Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 18. august 2014
1
HHX Matematik A
18. august 2014
Delprøven med hjælpemidler
hhx142-MAT/A-
Nogle opgaver inkluderer referencer til en formel i en grå kasse. Referencer til en formel kræves ikke i en
besvarelse, og kan ikke erstatte forklaringer og øvrig tekst. Grunden til, at her medtages formel i
løsningerne, er så du præcis kan se hvilken formel, der bruges i hver mellemregning.
Alle opgaver er for så vidt muligt regnet med WordMat, da vores erfaring viser, at det er langt det hurtigste
værktøj at anvende. Husk at skrive nedenstående kommentar om at beregningerne er foretaget ved hjælp
HHX 3. år
NB: Mange af de anvendte formler i opgaven kan findes og indsættes direkte fra WordMats egen
formelsamling, som findes øverst til venstre. Der er store tidsbesparelser at hente ved at bruge
formelsamlingen!
Opgave 6
a)
Ligningen løses vha. WordMat:
Ligningen løses for a vha. CAS-værktøjet WordMat.
Den positive løsning er således .
b)
Forklaringer er givet til hver af linjerne :
1) Ligningen er skrevet op.
2) Der er lagt 4 til på begge sider og herefter divideret med 2 på begge sider.
Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 18. august 2014
2
3) Man har taget begge sider og brugt som potenser af . Dvs.
. På venstre side går så
at sige ud med jf. definitionen af den naturlige logaritme:
.
4) Der er trukket 1 fra på begge sider, hvorefter kvadratroden er taget på begge sider. Til venstre har
man så fået
. Løsningen er så splittet op i to ens udtryk med omvendt fortegn.
5) Løsningerne er udregnet.
Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 18. august 2014
3
Opgave 7
a)
Data kopieres ind i en tabel, og der anvendes eksponentiel regression i WordMat. Vi antager, at tabellens
data er angivet i de efterspurgte enheder.
Mængde
Pris
1100
180
1320
170
1620
160
1850
150
2150
140
2250
130
2600
120
2750
110
2950
100
3250
90
3600
80
Eksponentiel regression udført vha. CAS-værktøjet WordMat: R
2
= 0,9855521
Funktionen defineres:
b)
Funktionen for udbudsprisen defineres:
Ligevægtsmængden bestemmes ved at løse:
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Ligevægtsprisen kan nu bestemmes som:
Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 18. august 2014
4
Ligevægtsmængden er således ca.
, og ligevægtsprisen er ca.
. Enhederne er hhv.
stk. og kr. pr. stk.
c)
Linjen skærer med -aksen i
:
Det grå område er en trekant med en grundlinje:
Og en tilsvarende højde:
Producentoverskuddet bestemmes nu som arealet af trekanten:
Producentoverskuddet er således på 134.159,90 kr.
Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 18. august 2014
5
Opgave 8
a)
Funktionen defineres:
Nulpunkter bestemmes ved at løse:
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Funktionen har således nulpunkter i og .
b)
Stationære punkter søges ved at løse:
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Fortegn for bestemmes på alle sider af nulpunkterne for :
Dette sammenfattes i en monotonilinje:
Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 18. august 2014
6
-9
6
12
-
0
+
0
-
0
+
↘
↗
↘
↗
Af monotonilinjen kan vi se, at funktionen har lokale minimumspunkter i og . Desuden kan
vi se, at: for både og . Et af de to lokale minima må således være globalt
minimum. Vi undersøger nu funktionsværdierne i de to minima:
Da
, kan vi konkludere at funktionen har globalt minimum i
Grafen behøver ikke tegnes i en eksamensbesvarelse, men her bringes den for at illustrere besvarelsen:
Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 18. august 2014
7
Opgave 9
a)
Fordelingen af produktionstallene kopieres ind i WordMats regneark til statistik, hvor data optælles og
grupperes. Herefter tegnes et histogram med en intervallængde på 100 MWh:
b)
De relevante data optælles i en pivottabel i Excel og indsættes i et skema som det angivne:
over gennemsnit
under gennemsnit
Total
efter 2002
74
64
138
før 2002
38
91
129
Total
112
155
267
c)
Vi opstiller en nulhypotese:
: Der er ingen sammenhæng mellem alder og produktionsniveau
Nulhypotesen testes vha. en
-uafhængighedstest i WordMat med anvendelse af data fra ovenstående
skema:
00 3300
Observationer
Histogram
Et tern er 4%
Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 18. august 2014
8
χ²-test
Observationer
I alt
74
64
138
38
91
129
I alt
112
155
267
Forventede
I alt
57,88764
80,11236
138
54,11236
74,88764
129
112
155
267
P-værdi:
0,01%
Signifikans niveau:
5%
Da forkastes nulhypotesen på et 5%-signifikansniveau. Der kan således ikke antages
uafhængighed mellem møllernes alder og produktionsniveau.
d)
Der er foretaget en analyse af produktionsniveauet af 267 møller af en bestemt størrelse. Fordelingen er
som histogrammet herunder:
I analysen er møllerne blevet inddelt i 4 grupper ud fra to variable: alder (før/efter 2002) og
produktionsniveau (over/under gennemsnit). Det er så blevet undersøgt på et 5% signifikansniveau, om der
kan antages uafhængighed mellem en mølles alder og dens produktionsniveau. Konklusionen er, at der ikke
kan antages uafhængighed. De nye møller ligger hyppigere over gennemsnittet, end man ville forvente,
hvis produktionsniveauet og møllens alder var uafhængige af hinanden.
00 3300
Produktionstal i MWh
Histogram
Et tern er 4%
Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 18. august 2014
9
Opgave 10
a)
Den generelle form for en ellipses ligning er:
Hvor
er koordinatsættet for ellipsens centrum, mens er vandret halvakse og er lodret halvakse.
Niveaukurven kan skrives på formen:
Du kan fx omskrive ligningen ved at skrive den ind i GeoGebra™.
Den vandrette halvakse bestemmes som
Den lodrette halvakse bestemmes som
Vi kan nu aflæse, at centrum har koordinatsættet
.
Vi kan konkludere, at niveaukurven er en ellipse med centrum i punktet og
vandret halvakse og lodret halvakse .
b)
Herunder ses niveaukurven indtegnet i et koordinatsystem.
Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 18. august 2014
10
Du kan fx tegne niveaukurven i GeoGebra.
c)
Alle begrænsninger opskrives:
Begrænsningerne afgrænser kriteriefunktionens kapacitetsområde. Dette indtegnes nu i samme
koordinatsystem som . Ellipsens centrum indtegnes også.
Kriteriefunktionen er på formen for kvadratiske funktioner i 2 variable:
Niveaukurverne er koncentriske ellipser med centrum i
Da både og er negative, vil funktionen have globalt maksimum i dette centrum.
Det ser ud til, at centrum akkurat ligger på en af kapacitetsområdets kanter og dermed overholder
kapacitetsområdets begrænsninger. Vi undersøger, om dette er tilfældet ved at indsætte koordinatsættet
for centrum i den sidste ulighed:
Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 18. august 2014
11
Udtrykket omskrives vha. CAS-værktøjet WordMat ved brug af metoderne: Automatisk reduktion,
Vi konstaterer, at uligheden er overholdt, hvorfor maksimum for findes når
.
Prisen pr. stk. SEATALK kan da bestemmes som:
Prisen pr. stk. OCEANKOM kan bestemmes som:
Det største samlede dækningsbidrag opnås således, hvis SEATALK koster 2280 kr. pr. stk. og OCEANKOM
koster 4200 kr. pr. stk.
Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 18. august 2014
12
Opgave 11
a)
Differentialligningen løses vha. betingelse
Differentialligningen løses vha. CAS-værktøjet WordMat's 'Løs differentialligning' funktion med startbetingelsen p(2)=190
b)
Funktionen defineres:
Vi bestemmer nu
Dækningsbidraget er således på 259,53 kr. pr. stk. ved en salgspris på 4000 kr.
Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 18. august 2014
13
Til eksamen skal du kun udvælge én af de tre følgende opgaver, 12A, 12B og 12C. Her bringes alle løsninger,
så du kan bruge dem til at øve de forskellige opgavetyper.
Opgave 12A
a)
De samlede produktionsomkostninger er en sum af produktionsomkostninger for maskintid og arbejdstid:
Kapacitetsområdet er uendelig stort, da der ikke er nogen øvre begrænsninger for hverken eller . Her
tegnes et udsnit, hvor de nedre begrænsninger ses:
Du kan fx tegne kapacitetsområdet i GeoGebra.
b)
Skæringspunkterne , og , mellem de linjer som udgør områdets kanter, har koordinatsæt: A(5;26,25),
B(20;15) og C(40;10).
Du kan fx bestemme punkternes koordinater vha. skæringsværktøjet i GeoGebra.
Vi ser nu, at minimum findes i punkt B.
Hvis produktionsomkostningerne pr. arbejdstime ændres, får vi nu:
Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 18. august 2014
14
Hældningen af alle niveaulinjer til denne funktion er givet ved
Denne hældning skal ligge i et interval mellem hældningerne af de to linjer gennem hhv. A og B og B og C,
for hvilke B er skæringspunkt. Disse linjer er givet ved ligningerne:
Og
Der må altså gælde, at:
Uligheden løses for b vha. CAS-værktøjet WordMat.
Samt at:
Uligheden løses for b vha. CAS-værktøjet WordMat.
Fællesmængden af disse løsninger bliver:
Den maksimale stigning bliver da den maksimalt mulige værdi minus den oprindelige værdi af :
Produktionsomkostningerne pr. arbejdstime kan således maksimalt med 9 kr., når stadig skal antage sin
mindsteværdi i punktet .
Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 18. august 2014
15
Opgave 12B
a)
Hvis en person er villig til at gå ned i løn for at bevare sit job betegnes det som en succes. Succesraten
bliver da .
Antallet af ansatte i virksomheden er .
Antallet af ansatte, som er villige til at gå ned i løn, vil da være binomialfordelt som:
Vi bestemmer nu for denne binomialfordeling vha. WordMat:
Binomialfordeling
P(X=
)=
p=
0,33
P(X≤
)=
n=
650
P(
200
≤X≤
650
)=
0,895095
Sandsynligheden for, at mindst 200 af virksomhedens ansatte er villige til at gå ned i løn for at bevare
jobbet er ca. 89,5%.
b)
Data optælles vha. en pivottabel i Excel:
Antal af Villig til lønnedgang
Villig til lønnedgang
Total
Ja
15
Nej
35
Hovedtotal
50
Dvs.
Denne værdi er et skøn af den sande værdi, .
Du kan bestemme et 95%-konfidensinterval for vha. GeoGebras sandsynlighedslommeregner. Vælg ”Z
Estimat på Proportion” og indtast Succeser = 15 og N = 50. Konfidensintervallets grænser aflæses ved
”Nedre grænse” og ”Øvre grænse”.
Konfidensintervallet:
Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 18. august 2014
16
Vores estimat for virksomhedens andel er:
Vi ser, at
og vil nu undersøge, om denne forskel er signifikant.
Hvis andelen på landsplan er signifikant større end andelen i virksomheden, skal
ligge til højre
for konfidensintervallet for
. Dette efterlader en sandsynlighed på under 2,5% for, at
. Vi ser dog, at dette ikke er tilfældet, da
ligger indenfor
konfidensintervallet. Vi kan derfor ikke på et 2,5% signifikansniveau afvise, at andelen på landsplan er den
samme som andelen i virksomheden.
Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 18. august 2014
17
Opgave 12C
a)
Funktionerne for hhv. omsætning og omkostninger defineres:
Overskuddet (i 1000 kr.) kan bestemmes som:
Forskriften kan omskrives manuelt:
Funktionens nulpunkter bestemmes:
Ligningen løses numerisk for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Da der kun er 2 nulpunkter i definitionsmængden, er dette de samme to nulpunkter, som ses af grafen for
i opgaveteksten. Vi ser her, at er positiv i intervallet mellem nulpunkterne (og kun i dette interval, da
der ikke er flere nulpunkter). Det vil sige, at er positiv i intervallet: .
b)
Stationære punkter bestemmes ved at løse:
Ligningen løses numerisk for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Der er kun et stationært punkt i definitionsmængden, og dette må således være det maksimum, som ses på
grafen i opgaveteksten. Da punktet er det eneste ekstremum i definitionsmængden, er der tale om et
globalt maksimum. Det maksimale overskud kan således bestemmes som:
Ovenstående resultat er i 1000 kr. Det vil sige:
Det maksimale overskud er 2.663.028 kr.