Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 17. august 2015
1
HHX Matematik A
17. august 2015
Delprøven med hjælpemidler
hhx152-MAT/A-
Nogle opgaver inkluderer referencer til en formel i en grå kasse. Referencer til en formel kræves ikke i en
besvarelse, og kan ikke erstatte forklaringer og øvrig tekst. Grunden til, at her medtages formel i
løsningerne, er så du præcis kan se hvilken formel, der bruges i hver mellemregning.
Alle opgaver er for så vidt muligt regnet med WordMat, da vores erfaring viser, at det er langt det hurtigste
værktøj at anvende. Husk at skrive nedenstående kommentar om at beregningerne er foretaget ved hjælp
HHX 3. år
NB: Mange af de anvendte formler i opgaven kan findes og indsættes direkte fra WordMats egen
formelsamling, som findes øverst til venstre. Der er store tidsbesparelser at hente ved at bruge
formelsamlingen!
Opgave 6
a)
Forklaringer er givet til hver af linjerne:
1) Funktionsudtrykket er skrevet op.
2) Kendte værdier er indsat og funktionsudtrykket er reduceret.
3) Funktionen er differentieret
4) er sat lig med 0 for at finde vandrette tangenter.
5) To løsninger er fundet til ligningen
.
b)
Ligningen løses mht. vha. WordMat:
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 17. august 2015
2
Alle ubekendte størrelser er større end eller lig med 0. Den optimale seriestørrelse kan således bestemmes
som:
Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 17. august 2015
3
Opgave 7
a)
Data optælles vha. en pivottabel i Excel og opskrives i et skema som det angivne.
Bruger
aldrig
Bruger
ind
imellem
Bruger
ofte
Kender
ikke
Total
Kvinde
24
105
85
30
244
Mand
15
120
110
55
300
Total
39
225
195
85
544
b)
Vi opstiller en nulhypotese:
: Der er ingen sammenhæng mellem køn og brugen af rengøringsmidlet
Nulhypotesen testes på et 5%-signifikansniveau vha. tabellens data. Dette gøres i WordMats regneark til
-uafhængighedstest:
χ²-test
Observationer
I alt
24
105
85
30
244
15
120
110
55
300
I alt
39
225
195
85
544
P-værdi:
4,70%
Der er en sammenhæng
Signifikans
niveau:
5%
Da forkastes nulhypotesen på et 5%-signifikansniveau. Der er således ikke uafhængighed
mellem køn og brugen af rengøringsmidlet.
c)
En ny tabel udformes:
Bruger aldrig
Bruger ind imellem
Bruger ofte
Kvinde
24
105
85
Mand
15
120
110
Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 17. august 2015
4
Nulhypotesen testes med udgangspunkt i den nye tabel og samme fremgangsmåde som i b)
χ²-test
Observationer
I alt
24
105
85
214
15
120
110
245
I alt
39
225
195
459
P-værdi:
12,20%
Signifikans
niveau:
5%
Vi ser nu, at . Nulhypotesen kan altså ikke forkastes på et 5%-signifikansniveau.
Resultatet af undersøgelsen ændres altså, hvis de personer, der svarede ”Kender ikke”, fjernes fra
stikprøven.
Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 17. august 2015
5
Opgave 8
a)
Fordelingen af produktionsmængder kopieres ind i WordMats regneark til statistik. Her beregnes en række
deskriptorer:
Deskriptorer
Kvartilsæt
Nedre
561
Median
617
Øvre
917
Obs. Fraktil
Middeltal
950,65094
Spredning
891,31273
Den gennemsnitlige produktionsmængde (middeltal) og kvartilsættet aflæses nu:
Kvartilsæt: (561,617,917)
Den gennemsnitlige produktionsmængde er 950,7 hektoliter.
b)
Vi foretager et -plot af data i et koordinatsystem i Excel. Dertil kobles en lineær tendenslinje med
tilhørende regressionsligning:
Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 17. august 2015
6
Vi kan nu aflæse en regressionsmodel:
angiver produktionsmængden i hektoliter
angiver produktionstiden i timer
Den forventede produktionstid for findes som:
Det vil sige, at den forventede produktionstid ved en produktionsmængde på 3000 hektoliter er på 81,4
timer.
c)
Vi definerer kendte størrelser:
Antal punkter i analysen:
Determinationskoefficient
defineres som for at undgår forvirring af WordMat
Estimat af hældningskoefficient (vi skriver
frem for , da WordMat opfatter ”hat” som vektornotation):
Standardfejlen er givet ved (igen undlades -notation):
y = 0,0245x + 7,9034
R² = 0,9312
0
20
40
60
80
100
120
140
160
0
Produktionstid i timer
Produktionsmængde i hektoliter
Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 17. august 2015
7
Konfidensintervallets grænser kan da bestemmes som:
er betegnelsen for
fraktilen af en -fordeling med frihedsgrader. er
signifikansniveauet (i vores tilfælde 5%), så vi skal finde 0,975-fraktilen. Denne beregnes i GeoGebra:
Vi definerer nu:
Grænserne for 95%-konfidensintervallet kan nu beregnes:
Øvre:
Nedre:
Et 95%-konfidensinterval er således bestemt for hældningskoefficienten :
d)
Der er foretaget en analyse af en stikprøve på 106 produktionsserier. Analysen viser, at den gennemsnitlige
produktionsmængde pr. produktionsserie er på 950,7 hektoliter. Den mindste fjerdedel af serierne var alle
Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 17. august 2015
8
på højst 561 hektoliter, og i den største fjerdedel var alle på mindst 917 hektoliter. Halvdelen af serierne
var på højst 617 hektoliter.
Der er desuden fundet en lineær sammenhæng med høj forklaringsgrad mellem produktionstid og
produktionsmængde. Det viser sig, at produktionstiden vokser med ca. halvandet minut (0,0245 timer),
hver gang produktionsmængden stiger med én hektoliter. Denne sammenhæng er benyttet til at forudsige,
at en produktionsmængde på 3000 hektoliter vil svare til en produktionstid på 81,4 timer.
Der er foretaget en yderligere analyse af produktionshastigheden angivet i minutter pr. hektoliter, som
viser at denne med 95% sandsynlighed ligger mellem og (0,0232 timer pr. hL og 0,0258 timer
pr. hL).
Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 17. august 2015
9
Opgave 9
a)
Funktionerne for pris-afsætning på hhv. det udenlandske og indenlandske marked defineres:
Det samlede dækningsbidrag er lig med summen af dækningsbidraget fra hhv. det udenlandske og
indenlandske marked:
Udtrykket udvides vha. CAS-værktøjet WordMat.
Vi kan nu opskrive og definere funktionsforskriften for dækningsbidraget:
b)
Vi sætter
og løser mht. :
Ligningen løses for y vha. CAS-værktøjet WordMat.
Udtrykket omskrives vha. CAS-værktøjet WordMat ved brug af metoderne: Automatisk reduktion,
Den generelle form for en parabels ligning er
Vi ser, at niveaukurvens ligning kan omskrives til denne form:
Vi er givet følgende begrænsninger:
Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 17. august 2015
10
Begrænsningerne afgrænser sammen et kapacitetsområde. Dette indtegnes i GeoGebra sammen med
niveaukurven
.
c)
Vi undersøger nu, hvad der sker med niveaukurverne, når bliver større. Vi tager udgangspunkt i den
generelle ligning for niveaukurverne:
Ligningen løses for y vha. CAS-værktøjet WordMat.
Udtrykket udvides vha. CAS-værktøjet WordMat.
Det vil sige:
Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 17. august 2015
11
Heraf ser vi, at når vokser, vil det blot svare til, at parablen parallelforskydes opad. Vi kan således
konstatere, at maksimum må findes et sted på linjen gennem A og D givet ved ligningen .
Dette udtryk for kan således substitueres ind i funktionen for dækningsbidraget, hvorved vi får en
funktion af en variabel:
Denne funktion har forskrift som en parabel med , hvorfor den har ét toppunkt, som er globalt
maksimum. -værdien i toppunktet bestemmes ved at løse:
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
-værdien i maksimum findes ved at indsætte i ligningen for linjen :
Virksomheden skal således afsætte 20 stk. på det udenlandske marked () og 70 stk. på det
indenlandske marked for at opnå det største dækningsbidrag.
Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 17. august 2015
12
Opgave 10
a)
Funktionen defineres:
Vi får da:
Den lavestlønnede halvdel af befolkningen tjener således ca. 31,25% af den samlede indkomst.
b)
Vi definerer linjen med ligning som en funktion:
. Vi ser, at i hele intervallet .
Vi kan nu definere :
B kan defineres som:
Vi får så:
Vi kan heraf konkludere, at GINI koefficienten for Danmark var 0,25 i 2010.
Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 17. august 2015
13
Opgave 11
a)
Vi bestemmer funktionens nulpunkter:
Vi løser nu:
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Vi bestemmer fortegnet for på begge sider af nulpunktet:
Vi kan heraf konkludere:
har ét nulpunkt. Dette findes i
er negativ i intervallet
er positiv i intervallet
b)
Grafen tegnes i WordMat i et passende interval:
Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 17. august 2015
14
Hældningen af tangenten til grafen for i et punkt
svarer til værdien
. Vi løser nu:
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Vi definerer nu:
Tangentens ligning kan nu beregnes som:
og tegnes nu i samme koordinatsystem i et passende interval:
Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 17. august 2015
15
Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 17. august 2015
16
Til eksamen skal du kun udvælge én af de tre følgende opgaver, 12A, 12B og 12C. Her bringes alle løsninger,
så du kan bruge dem til at øve de forskellige opgavetyper.
Opgave 12A
a)
Differentialligningen opskrives med og -notation og løses i WordMat vha. begyndelsesbetingelsen
Differentialligningen løses vha. CAS-værktøjet WordMat's 'Løs differentialligning' funktion med startbetingelsen r(0)=0
Vi kan nu opskrive og definere en forskrift for :
b)
Den samlede omsætning fra uge 9 til uge 24 kan beregnes som det bestemte integral:
Den samlede omsætning fra uge 9 til uge 24 efter introduktionen er således 59.207,41 kr.
Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 17. august 2015
17
Opgave 12B
a)
Den årlige rente kan bestemmes som forholdet mellem rentedel og primo gæld for en hvilken som helst
termin. Her foretages beregningen for første termin:
Den årlige rente er på 2,5%
Den årlige ydelse kan bestemmes som summen af rentedel og afdragsdel for en hvilken som helst termin.
Igen anvendes første termin:
Den årlige ydelse er således på 9500 kr.
b)
Kendte størrelser defineres:
Lånets størrelse:
Årlig rente:
Årlig ydelse:
Antal ydelser, , bestemmes nu ved at løse ligningen:
Ligningen løses for n vha. CAS-værktøjet WordMat.
Der betales således 47 ydelser hvoraf den sidste er mindre end de andre. Størrelsen af den sidste ydelse
svarer til
, hvor
er restgælden efter 46 ydelser. Det er fordi, restgælden forrentes en
enkelt gang, inden den betales af med den sidste ydelse. Vi får da:
Det vil sige, at den sidste ydelse har størrelsen
Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 17. august 2015
18
Opgave 12C
a)
Hvis angiver det daglige dækningsbidrag i tusinder kroner, kan vi skrive .
kan bestemmes som arealet under grafen for normalfordelingens tæthedsfunktion
(frekvensfunktion) i intervallet . Dette bestemmes i WordMat:
Normalfordeling
Middelværdi:
42
Spredning:
25
Grafvindue
X
min
X
maks
0
10
Areal under frekvensfuntion
X
min
X
maks
75
9,34%
Sandsynligheden for, at dækningsbidraget på en tilfældig dag er over 75.000 kr. er således 9,34%.
b)
Hvis vi betragter en dag, hvor som en succes, vil sandsynligheden for succes ved en tilfældigt
udvalgt dag (et binomialforsøg) være 9,34% . I en stikprøve på 80 dage vil antallet
af succeser, , være binomialfordelt som:
Vi søger nu at bestemme . Dette gøres i WordMat (her anvendes dog altid som den stokastiske
variabel):
Binomialfordeling
P(X=
)=
p=
0,0934
P(X≤
6
)=
0,372
n=
80
P(
≤X≤
)=
Sandsynligheden for, at højst 6 dage af de 80 giver et dækningsbidrag på over 75.000 kr. er således på
37,2%