Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 26. maj 2015
1
HHX Matematik A
26. maj 2015
Delprøven med hjælpemidler
hhx151-MAT-A-
Nogle opgaver inkluderer referencer til en formel i en grå kasse. Referencer til en formel kræves ikke i en
besvarelse, og kan ikke erstatte forklaringer og øvrig tekst. Grunden til, at her medtages formel i
løsningerne, er så du præcis kan se hvilken formel, der bruges i hver mellemregning.
Alle opgaver er for så vidt muligt regnet med WordMat, da vores erfaring viser, at det er langt det hurtigste
værktøj at anvende. Husk at skrive nedenstående kommentar om at beregningerne er foretaget ved hjælp
HHX 3. år
NB: Mange af de anvendte formler i opgaven kan findes og indsættes direkte fra WordMats egen
formelsamling, som findes øverst til venstre. Der er store tidsbesparelser at hente ved at bruge
formelsamlingen!
Opgave 6
a)
Linjerne forklares herunder:
1) Formlen er skrevet op.
2) Der er indsat, at: at , .
er bestemt til 1,96 og indsat i formlen.
3) Højre side er reduceret.
4) Begge sider er divideret med 3,92. Herefter er begge sider opløftet i anden potens.
5) Begge sider er ganget med og divideret med 0,000026. Resultatet er beregnet.
b)
isoleres vha. WordMat:
Ligningen løses for n vha. CAS-værktøjet WordMat.
Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 26. maj 2015
2
WordMat forvirres af notationen for og
så vi har her anvendt hhv. og i stedet.
Vi har nu isoleret og kan konkludere, at:
Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 26. maj 2015
3
Opgave 7
a)
Data fra filen sommerferie optælles i Excel vha. en pivottabel og arrangeres i et skema:
Ja, i
Danmark
Ja, i
udlandet
Nej
Total
arbejdsløs
36
21
13
70
offentlig
sektor
77
134
5
216
pensionist
177
294
55
526
privat sektor
85
170
15
270
studerende
57
70
13
140
Total
432
689
101
1222
b)
Vi opstiller en nulhypotese:
: Der er ingen sammenhæng mellem svar på spørgsmålet og beskæftigelse.
χ²-test
Observationer
I alt
36
21
13
70
77
134
5
216
177
294
55
526
85
170
15
270
57
70
13
140
I alt
432
689
101
1222
P-værdi:
0,000042%
Der er en
sammenhæng
Signifikans
niveau:
5%
Da forkastes nulhypotesen på et -signifikansniveau. Vi kan således konkludere,
at der er en sammenhæng mellem beskæftigelse og svar på spørgsmålet.
Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 26. maj 2015
4
Opgave 8
a)
Middelværdi og spredning indtastes i WordMats regneark til normalfordeling. Sandsynligheden for, at en
tilfældig pose vejer mere end 1100 g svarer til arealet under grafen for tæthedsfunktionen
(frekvensfunktionen) i intervallet .
Normalfordeling
Middelværdi:
1000
Spredning:
55
Grafvindue
X
min
X
maks
Areal under frekvensfuntion
X
min
X
maks
1100
3,45%
Arealet aflæses. Vi kan nu konkludere, at sandsynligheden for, at en tilfældigt udvalgt pose vaskepulver
vejer mere end 1100 g, er .
b)
Data kopieres fra filen vaskepulver og indsættes i WordMats statistikark til rå data. Herefter ordnes de
automatisk og indsættes i WordMats regneark til ugrupperede observationer. En række deskriptorer
beregnes automatisk:
Deskriptorer
Kvartilsæt
Nedre
953
Median
990,5
Øvre
1040
Obs. Fraktil
Middeltal
995,34
Spredning
61,187
Vi kan nu konkludere, at gennemsnitsvægten i stikprøven er ca. 995,34 g, mens spredningen er ca. 61,19 g.
Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 26. maj 2015
5
Opgave 9
a)
Relevante størrelser defineres i WordMat:
Månedlig rente:
Månedlig ydelse i kr.:
Lån i kr.:
Antal ydelser:
Restgælden kan nu bestemmes i WordMat vha. formlen:
Restgælden på banklånet efter 6 år (72 ydelser) er således
b)
De indgående størrelser er nu ændret:
Månedlig rente:
Lån i kr.:
Antal ydelser:
Ydelsernes størrelse kan nu bestemmes ved at løse:
Ligningen løses for y vha. CAS-værktøjet WordMat.
Den månedlige ydelse på lånet er således
c)
Først beregnes den samlede månedlige ydelse for mulighed 2. Vi har, at:
Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 26. maj 2015
6
Nu beregnes de samlede beløb, som familien skal betale for hver af mulighederne. Dette gøres ved at
gange den månedlige ydelse med antallet af terminer:
Mulighed 1 løber over 7 år og har således 84 terminer. Den månedlige ydelse er 4368,13 kr. Det samlede
beløb,
, bliver da:
Mulighed 2 løber for begge låns vedkommende over 6 år og har således 72 terminer. Den samlede,
månedlige ydelse er på 4976,70 kr. Det samlede beløb,
, bliver da
Den samlede besparelse ved at vælge mulighed 2 er således:
Præsentation af lånemuligheder for familien:
Her ses en tabel, som fremstiller jeres lånemuligheder:
Mulighed 1
Banklån
Mulighed 2
Bilforhandler
Supplerende lån i
banken
Lånebeløb
320.000 kr.
256.000 kr.
64.000 kr.
Månedlig rente
0,33%
0,29%
0,42%
Antal ydelser
84
72
72
Ved mulighed 1 skal I samlet set betale ca. 367.000 kr. for bilen. Dette gøres ved en månedlig afbetaling på
ca. 4368 kr. over en periode på 7 år.
Ved mulighed 2 skal I samlet set betale ca. 358.000 kr. for bilen. Dette gøres ved en månedlig afbetaling på
ca. 4977 kr. over en periode på 6 år. Afbetalingen er delt op i to. En til bilforhandleren på ca. 1032 kr. pr
måned og en til banken på ca. 3945 kr. pr. måned. Den samlede besparelse ved at vælge mulighed 2 er på
8600 kr.
Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 26. maj 2015
7
Opgave 10
a)
Vi definerer nu de to funktioner for hhv. indenlandsk efterspørgsel, indenlandsk udbud og import:
For begge gælder, at:
Vi finder nu de to størrelser
og
ved at løse:
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Dvs.
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Dvs.
Nu bestemmer vi importen ved en pris på 150 kr.:
Det vil sige, at der ved en pris på 150 kr. importeres 4500 stk. af den givne vare.
b)
Hvis prisen på 150 kr. forbliver uændret, vil den nye pris inkl. told være på 200 kr. Importen udregnes nu på
samme måde som før:
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Dvs.
Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 26. maj 2015
8
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Dvs.
Toldindtægten er da givet ved:
Toldindtægten ved en toldsats på 50 kr. oveni prisen på 150 kr. er således på kr.
Importen ved en pris på 200 kr. (varens pris plus toldsatsen) udregnes:
Faldet i import er da givet ved:
Importen falder således med stk. ved at pålægge toldsatsen på 50 kr.
Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 26. maj 2015
9
Opgave 11
a)
Funktionen defineres:
Nulpunkterne bestemmes ved at løse:
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Koordinatsættene til de to nulpunkter er således
og .
i tangentens ligning defineres som en funktion af :
Røringspunktets førstekoordinat findes nu ved at løse:
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Andenkoordinaten findes som:
Vi har nu koordinatsættet for røringspunktet: .
b)
Det grå område kan inddeles i to mindre områder,
og
.
afgrænses af førsteaksen og grafen for i intervallet . Da i hele intervallet, kan arealet
bestemmes som:
afgrænses af førsteaksen og grafen for i intervallet . Da i hele intervallet, kan arealet
bestemmes som:
Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 26. maj 2015
10
Arealet af det grå område beregnes nu i WordMat som:
Arealet af det grå område er altså ca. .
:
Situationen ses herunder:
Grafen for er tegnet med grønt mens grafen for er tegnet med sort. Den røde streg angiver delelinjen
for de to områder. Denne tegning er ikke nødvendig i en besvarelse, hvis man er i stand til at se inddelingen
for sig og formulere den præcist med ord og matematisk notation.
Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 26. maj 2015
11
Opgave 12
a)
Niveaukurvens ligning opskrives:
Ligning indskrives i GeoGebra, hvorved niveaukurven tegnes i et koordinatsystem. Ved at køre musen over
niveaukurven får vi at vide, at der er tale om en ellipse. Desuden kan vi trykke ’vis ligning’, så vi får ligningen
på den generelle form for ellipser,
Hvor
angiver ellipsens centrum.
Vi ser, at ligningen kan omskrives til
og konkluderer derfor, at er en
ellipse.
b)
Funktionens niveaukurver er på den generelle form for keglesnit:
Da og er forskellige fra og har samme fortegn, vil funktionens niveaukurver være koncentriske
ellipser, og da og begge er negative vil kriteriefunktionen have sit maksimum i ellipsens centrum. Da
ellipserne er koncentriske, kan vi aflæse centrum af den omskrevne ligning for . Koordinatsættet
er så , og dette ligger inden for de angivne begrænsninger
For at opnå det største samlede dækningsbidrag pr. dag, skal der sælges 350 styk A og 250 styk B.
c)
Vi tegner det nye kapacitetsområde samt ellipsernes centrum:
Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 26. maj 2015
12
Da centrum ligger uden for maksimum, vil niveaukurven for den størst mulige funktionsværdi være den
mindst mulige ellipse med mindst i punkt inden for kapacitetsområdet. Ellipsen vil dermed tangere linjen
givet ved ligningen: . Vi indsætter linjens ligningen i den generelle ligning for
niveaukurverne, hvorved vi får en forskrift for niveauet som funktion af :
Vi ser, at forskriften er et andengradspolynomium (
med . Toppunktet er således
globalt maksimum og findes i:
Vi indsætter nu i ligningen for linjen
Kriteriefunktionen antager således sin største værdi, når
.
For at opnå det største samlede dækningsbidrag pr. dag med hensyn til den nye begrænsning, skal der
sælges 296 styk A og 202 styk B.
Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 26. maj 2015
13
Til eksamen skal du kun udvælge én af de tre følgende opgaver, 13A, 13B og 13C. Her bringes alle løsninger,
så du kan bruge dem til at øve de forskellige opgavetyper.
Opgave 13A
a)
angiver den solgte mængde KOMPAKT i tons
angiver den solgte mængde NORMAL i tons
Begrænsningerne er som følger:
Trykning:
Uligheden løses for y vha. CAS-værktøjet WordMat.
Pakning:
Uligheden løses for y vha. CAS-værktøjet WordMat.
Selvfølgelig må der desuden gælde, at:
Det samlede dækningsbidrag i tusinde kroner defineres som funktion af og :
Kapacitetsområdet tegnes i GeoGebra vha. de angivne begrænsninger:
Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 26. maj 2015
14
Funktionens maksimum må findes i et af hjørnepunkterne af det polygonformede kapacitetsområde:
Vi ser, at det samlede dækningsbidrag er størst, hvis virksomheden sælger 50 tons KOMPAKT og 50 tons
NORMAL.
b)
Vores kriteriefunktion bliver nu (i det bliver variabel):
Dvs. niveaulinjen får hældningen
. Hvis maksimum stadig skal findes i
, må
hældningen ligge mellem hældningerne for de to rette linjer givet ved ligningerne:
Det vil sige:
Vi løser de to uligheder hver for sig:
Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 26. maj 2015
15
Uligheden løses for b vha. CAS-værktøjet WordMat.
skal selvfølgelig være positiv, så første løsning forkastes.
Uligheden løses for b vha. CAS-værktøjet WordMat.
Der spørges til, hvor meget dækningsbidraget på NORMAL må stige, så der må desuden gælde, at , da
ellers ikke er steget. Hvis vi tager fællesmængden af de angivne krav til , så får vi:
må altså maksimalt antage størrelsen
.
Dækningsbidraget pr. ton NORMAL må således højst stige til 1200 kr., hvis sammensætningen i a) fortsat
skal være optimal. Dette svarer til en stigning på 200 kr. i forhold til den oprindelige værdi.
Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 26. maj 2015
16
Opgave 13B
a)
Differentialligningen løses I WordMat vha. Begyndelsesbetingelsen
Differentialligningen løses vha. CAS-værktøjet WordMat's 'Løs differentialligning' funktion med startbetingelsen K(0)=0
Løsningen til differentialligningen kan nu defineres:
b)
Vi løser nu:
Ligningen løses for t vha. CAS-værktøjet WordMat.
Det vil sige, at der går timer, før 1000 personer har kendskab til begivenheden.
Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 26. maj 2015
17
Opgave 13C
a)
Data hentes fra filen finanskrise, hvorefter punkterne plottes, og en tendenslinje tegnes:
Vi har nu en lineær regressionsmodel for sammenhængen mellem stigningen i arbejdsløshed og
stigningen i ulighed , som kan aflæses af ligningen for tendenslinjen:
b)
Vi definerer kendte størrelser:
Antal punkter i analysen:
Determinationskoefficient
defineres som for at undgår forvirring af WordMat
Estimat af hældningskoefficient (vi skriver
frem for , da WordMat opfatter ”hat” som vektornotation):
Standardfejlen er givet ved (igen undlades -notation):
Konfidensintervallets grænser kan da bestemmes som:
er betegnelsen for
fraktilen af en -fordeling med frihedsgrader. er
signifikansniveauet (i vores tilfælde 5%), så vi skal finde 0,975-fraktilen. Denne beregnes i GeoGebra:
y = 0,1953x - 0,0709
R² = 0,2451
-3,0
-2,0
-1,0
0,0
1,0
2,0
3,0
4,0
-4,0 -2,0 0,0 2,0 4,0 6,0 8,0 10,0 12,0 14,0
Stigning i ulighed
Stigning i arbejdsløshed
Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 26. maj 2015
18
Vi definerer nu:
Grænserne for 95%-konfidensintervallet kan nu beregnes:
Øvre:
Nedre:
Et 95%-konfidensinterval er således bestemt for hældningskoefficienten : .
Hvis der ingen sammenhæng er, må der gælde, at . Det vil sige, at . Der er kun 2,5%
sandsynlighed for, at ligger til venstre for 95% konfidensintervallet, så på et 2,5% signifikansniveau kan vi
afvise en hypotese om, at .
Vi kan konkludere, at der var en positiv korrelation mellem stigning i arbejdsløshed og stigning i ulighed i
forbindelse med finanskrisen i 2008. OECD’s antagelse holder i dette tilfælde.