Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 26. maj 2015
1
HHX Matematik A
26. maj 2015
Delprøven uden hjælpemidler
hhx151-MAT/A-
Nogle opgaver inkluderer referencer til en formel i en grå kasse. Referencer til en formel kræves ikke i en
besvarelse, og kan ikke erstatte forklaringer og øvrig tekst. Grunden til, at her medtages formel i
løsningerne, er så du præcis kan se hvilken formel, der bruges i hver mellemregning.
Opgave 1
a)
De anvendte oplysninger bruges til at tegne en graf for en mulig funktion på bilaget.
Grafen skal have en vandret tangent, når .
Funktionsværdierne må ikke komme over 7 eller under 0.
Punktet skal ligge på grafen.
Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 26. maj 2015
2
Opgave 2
a)
Da produktionsapparatet afskrives lineært, kan vi anvende en lineær model:
angiver værdien af produktionsapparatet i tusinde kr.
angiver antal år efter 2012
angiver og har således værdien
angiver hældningskoefficienten. Denne kan tolkes som -tilvæksten, når vokser med . Vi får da, at
Den endelige forskrift bliver nu:
Vi løser nu ligningen
antager værdien 13 i årstallet
Værdien af produktionsapparatet vil således være 150.000 kr. i år 2025.
Opgave 3
a)
Funktionen differentieres:
Dette indsættes nu i differentialligningen, og vi undersøger, om den viser det samme på begge sider af
lighedstegnet:
Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 26. maj 2015
3
Da der står det samme på begge sider af lighedstegnet, har vi nu vist, at er en løsning til den angivne
differentialligning.
: Regneregler
Funktion Afledt funktion
Opgave 4
a)
Funktionen integreres, hvorved vi finder en forskrift for samtlige stamfunktioner til :
Da grafen for går gennem punktet , ved vi, at
. Dvs.
Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 26. maj 2015
4
Den endelige funktionsforskrift kan nu opskrives:
: Ubestemt integral
hvor F(x) er stamfunktion til f(x)
Sætte konstant udenfor
Sum/differens kan splittes i to integraler
Funktion Stamfunktion
Opgave 5
a)
Omkostningsfunktionen differentieres:
Forskriften er således:
Vi løser nu:
Vi har nu en andengradsligning på formen:
Den har løsningen:
Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 26. maj 2015
5
Det vil sige:
Og
og ligger således uden for funktionens definitionsmængde.
Vi kan nu konkludere, at produktionsmængden er 5 tons, når grænseomkostningerne er 15.000 kr.
: Regneregler
Funktion Afledt funktion