Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 25. Maj 2016
1
HHX Matematik A
25. maj 2016
Delprøven med hjælpemidler
hhx161-MAT/A-
Nogle opgaver inkluderer referencer til en formel i en grå kasse. Referencer til en formel kræves ikke i en
besvarelse, og kan ikke erstatte forklaringer og øvrig tekst. Grunden til, at her medtages formel i
løsningerne, er så du præcis kan se hvilken formel, der bruges i hver mellemregning.
Alle opgaver er for så vidt muligt regnet med WordMat, da vores erfaring viser, at det er langt det hurtigste
værktøj at anvende. Husk at skrive nedenstående kommentar om at beregningerne er foretaget ved hjælp
HHX 3. år
NB: Mange af de anvendte formler i opgaven kan findes og indsættes direkte fra WordMats egen
formelsamling, som findes øverst til venstre. Der er store tidsbesparelser at hente ved at bruge
formelsamlingen!
Opgave 6
a)
Forklaringer til linjerne gives herunder:
1) For at finde ekstrema skal ligningen
løses.
2) differentieres og den afledede funktion sættes lig med 0.
3) Der lægges
til på begge sider.
4) Der ganges med
på begge sider, eller begge sider opløftes i .
5) Vi opløfter begge sider i anden.
6) Vi trækker fra på begge sider og får så
, hvorefter sættes udenfor parentes, så
. Ved hjælp af nulreglen ser vi klart, at . Man kunne også
umiddelbart have indset, at de eneste løsninger til
er og .
7) Da funktionen ikke er defineret for , er det eneste sted med mulighed for ekstremum.
b)
Funktionen defineres:
Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 25. Maj 2016
2
Vi ved allerede, at der kun er et muligt ekstremum. Vi undersøger fortegnet for på begge sider af
nulpunktet for i .
Vi konkluderer så:
er voksende i intervallet
er aftagende i intervallet
: Du kan evt. medtage en monotonilinje, men dette er ikke påkrævet. Herunder vises en monotonilinje
for :
Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 25. Maj 2016
3
Opgave 7
a)
Vi kopierer data fra juni 2015 ind i WordMats regneark til rå data og tegner et histogram:
b)
Vi bestemmer en række deskriptorer vha. WordMat:
Deskriptorer
Kvartilsæt
Nedre
76
Median
145,5
Øvre
276,5
Obs. Fraktil
Middeltal
171,25
Spredning
97,97953
For juni 2015 har vi altså følgende deskriptorer:
Gennemsnit 171,25
Standardafvigelse 97,98
Kvartilsæt (76;145,5;276,5)
30 350
Liggetid i dage
Histogram
Et tern svarer til 4% af
kommunerne
Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 25. Maj 2016
4
c)
De gennemsnitlige liggetider for lejligheder i juni 2015 i kommunerne fordeler sig, som det fremgår af
histogrammet herunder:
Vi er desuden kommet frem til, at den gennemsnitlige liggetid for hver kommune er på ca. 171 dage -
spredningen omkring gennemsnittet er på omtrent 98 dage. De kommuner, som ligger i den fjerdedel med
de korteste gennemsnitlige liggetider, har alle gennemsnitlige liggetider på højst 76 dage. Tilsvarende har
kommunerne i den øverste fjerdedel alle gennemsnitlige liggetider på mindst 277 dage.
30 350
Liggetid i dage
Histogram
Et tern svarer til 4% af
kommunerne
Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 25. Maj 2016
5
Opgave 8
a)
Vi opskriver og løser differentialligningen med begyndelsesbetingelsen
.
Differentialligningen løses vha. CAS-værktøjet WordMat's 'Løs differentialligning' funktion med startbetingelsen R(0)=0
Vi kan altså konkludere, at har forskriften
Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 25. Maj 2016
6
Opgave 9
a)
Vi definerer funktionerne for udbud og efterspørgsel:
Ligevægtsmængden er givet ved den værdi af , som er løsning til ligningen:
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Ligevægtsprisen kan findes vha. en hvilken som helst af de opgivne funktioner for :
Vi konkluderer, at og .
b)
Vi definerer som en konstant funktion:
Arealet FO af det grå område kan nu bestemmes som arealet mellem graferne for og i intervallet
.
Forbrugeroverskuddet er således på
c)
Arealet DT af det grå område kan bestemmes som arealet mellem graferne for og i intervallet
, hvor
er den -værdi, som er løsning til:
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 25. Maj 2016
7
Dødvægtstabet kan så bestemmes som:
Ved en maksimalpris på . fås et dødvægtstab på
Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 25. Maj 2016
8
Opgave 10
a)
Vi optæller data vha. en pivottabel i Excel og indsætter resultatet i et skema som det opgivne:
Ja
Nej
Total
Region Hovedstaden
133
47
180
Region Midtjylland
48
23
71
Region Nordjylland
19
8
27
Region Sjælland
56
16
72
Region Syddanmark
65
28
93
Total
321
122
443
b)
Vi tester nulhypotesen på et 5%-signifikansniveau ved at anvende skemaets data i en
-
uafhængighedstest i WordMat:
χ²-test
Observationer
I alt
133
47
180
48
23
71
19
8
27
56
16
72
65
28
93
I alt
321
122
443
P-værdi:
66,10%
Signifikans
niveau:
5%
Da , kan vi ikke forkaste nulhypotesen på et 5%-signifikansniveau.
c)
Af skemaet kan vi se, at 321 ud af 443 kvinder svarede ”Ja” til, om de kunne lide øl. Vi kan nu bestemme et
95%-konfidensinterval for den generelle andel af kvinder, der vil svare ”Ja” til, om de kan lide øl. Vi antager
at stikprøven er tilfældigt udvalgt og bruger så et ”Z estimat på proportion” i GeoGebra:
Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 25. Maj 2016
9
Vi aflæser konfidensintervallet (nedre/øvre grænse) til
d)
Vi lader angive antallet af kvinder, der kan lide øl. I et selskab på kvinder med en generel andel af
kvinder, som kan lide øl, vil være binomialfordelt. Det vil sige . Sandsynligheden for
at alle 10 kvinder i et selskab kan lide øl, kan nu bestemmes i WordMat idet og . Vi får så:
Binomialfordeling
P(X=
10
)=
0,0401
p=
0,725
P(X≤
)=
n=
10
P(
≤X≤
)=
Det vil sige, at sandsynligheden for, at alle 10 kvinder i selskabet kan lide øl, er på 4,01%.
Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 25. Maj 2016
10
Opgave 11
a)
Vi definerer de opgivne prisfunktioner for hhv. SIMCAT og FLATDOG:
Det samlede dækningsbidrag er en sum af dækningsbidraget for hhv. SIMCAT og FLATDOG. Jf. den opgivne
beregningsforskrift kan det samlede dækningsbidrag altså bestemmes som:
Udtrykket udvides vha. CAS-værktøjet WordMat.
Vi kan altså konkludere, at:
b)
Vi tegner vha. GeoGebra. Ligningen bliver:
Niveaukurven får så nedenstående udseende i GeoGebra:
Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 25. Maj 2016
11
For en kvadratisk funktion af to variable på formen
, hvor ,
og og har samme fortegn, gælder der, at niveaukurverne
er ellipser med centrum i
, når vælges, så har samme fortegn som og , idet:
Vi ser af forskriften for , at og . Vi skal så vise, at for .
Vi definerer kendte størrelser vha. funktionsforskriften:
Vi kan nu definere:
Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 25. Maj 2016
12
Vi løser nu uligheden :
Uligheden løses for t vha. CAS-værktøjet WordMat.
Vi har nu vist, at for , hvorfor er ellipser for .
c)
Da både og er negative, har maksimum i centrum for ellipserne. Vi bestemmer vha.
WordMat, at:
Vi ser let, at disse værdier og ligger indenfor funktionens definitionsmængde givet ved
følgende uligheder:
Vi konkluderer så, at det antal FLATDOG og SIMCAT, der giver det største samlede dækningsbidrag, er 100
enheder af hver.
Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 25. Maj 2016
13
Til eksamen skal du kun udvælge én af de tre følgende opgaver, 12A, 12B og 12C. Her bringes alle løsninger,
så du kan bruge dem til at øve de forskellige opgavetyper.
Opgave 12A
a)
Funktionen defineres:
Vi søger ekstrema ved at sætte den afledede funktion lig med 0 og derved finde alle steder med vandrette
tangenter:
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Vi undersøger fortegn på begge sider af de to nulpunkter for :
Nulpunktet i repræsenterer en vandret vendetangent, da
på begge sider af nulpunktet.
Nulpunktet i repræsenterer et lokalt minimum, da
til venstre for nulpunktet og
til
højre for nulpunktet (det vil sige, at funktionen går fra at aftage til at vokse). Da dette minimum er det
eneste ekstremum for funktionen, er der desuden tale om et globalt minimum.
Vi bestemmer funktionsværdien i det globale minimum:
Funktionen har kun et ekstremum, og dette er et globalt minimum med koordinatsættet .
b)
Vi tegner grafen og markerer ekstremumspunktet:
Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 25. Maj 2016
14
Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 25. Maj 2016
15
Opgave 12B
a)
Vi definerer kendte størrelser:
Slutkapital:
Årlig rente:
Antal terminer (år):
Vi anvender kapitalfremskrivningsformlen:
Ligningen løses for K_0 vha. CAS-værktøjet WordMat.
Hjalte skal således indsætte
b)
Den samlede renteindtægt,
, ved mulighed a) kan bestemmes som slutkapital minus startkapital:
Den samlede renteindtægt,
, ved mulighed b) kan bestemmes som:
Hvor er størrelsen af hver enkelt ydelse. Vi starter med at definer kendte størrelser:
Annuitetens fremtidsværdi:
Den halvårlige rente:
Antal terminer:
Størrelsen ydelsen findes vha. formlen for annuitetsopsparinger:
Ligningen løses for y vha. CAS-værktøjet WordMat.
Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 25. Maj 2016
16
Vi bestemmer nu den samlede renteindtægt ved mulighed b)
Den største renteindtægt opnås således ved mulighed a), som er den første mulighed.
Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 25. Maj 2016
17
Opgave 12C
a)
Vi opstiller en lineær regressionsmodel i Excel vha. de opgivne data:
Vi aflæser funktionsforskriften:
b)
Vi definerer kendte størrelser:
Antal punkter i analysen:
Determinationskoefficienten
defineres som for at undgå forvirring af WordMat
Estimat af hældningskoefficient (vi skriver
frem for , da WordMat opfatter ”hat” som vektornotation):
Standardfejlen er givet ved (igen undlades -notation):
Konfidensintervallets grænser kan da bestemmes som:
er betegnelsen for
fraktilen af en -fordeling med frihedsgrader. er
signifikansniveauet (i vores tilfælde 5%), så vi skal finde 0,975-fraktilen. Denne beregnes i GeoGebra:
y = 0,0013x + 0,4186
R² = 0,4849
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
00
Motivation
Velfærdsydelse
Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 25. Maj 2016
18
Vi definerer nu:
Grænserne for 95%-konfidensintervallet kan nu beregnes:
Øvre:
Nedre:
Et 95%-konfidensinterval er således bestemt for hældningskoefficienten : .
Konfidensintervallet fortæller os, at hældningskoefficienten med 95% sikkerhed ligger i intervallet. Der er
altså med mindst 95% sikkerhed en positiv korrelation mellem størrelsen af velfærdsydelser og
motivationen for at arbejde.
Overskriften må umiddelbart tolkes som en afvisning af, at der skulle være en årsagssammenhæng i retning
af, at højere velfærdsydelser sænker motivationen for at arbejde. Man kan dog ikke alene ud fra denne
statistik sige noget om, hvilken årsagssammenhæng, der er/ikke er på spil. En mere passende overskrift
ville være: ”Der er en positiv korrelation mellem størrelsen af velfærdsydelser (korrigeret for købekraft) og
motivationen for at arbejde”.