Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – hhx171-MAT/A-
1
HHX Matematik A
19. maj 2017
hhx171-MAT/A-
Nogle opgaver inkluderer referencer til en formel i en grå kasse. Referencer til en formel kræves ikke i en
besvarelse, og kan ikke erstatte forklaringer og øvrig tekst. Grunden til, at her medtages formel i
løsningerne, er så du præcis kan se hvilken formel, der bruges i hver mellemregning.
Alle opgaver er for så vidt muligt regnet med WordMat, da vores erfaring viser, at det er langt det hurtigste
værktøj at anvende. Husk at skrive nedenstående kommentar om at beregningerne er foretaget ved hjælp
HHX 3. år
NB: Mange af de anvendte formler i opgaven kan findes og indsættes direkte fra WordMats egen
formelsamling, som findes øverst til venstre. Der er store tidsbesparelser at hente ved at bruge
formelsamlingen!
Delprøven uden hjælpemidler .......................................................................................................................... 2
Delprøven med hjælpemidler ........................................................................................................................... 7
Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – hhx171-MAT/A-
2
Delprøven uden hjælpemidler
Opgave 1
a)
Vi bestemmer den afledede funktion f’ ved at differentiere f:
Vi benytter, at differentialkvotienten i x = 1 pr. definition er lig hældningen for tangenten til grafen for f i x =
1. Vi undersøger fortegnet for differentialkvotienten i x = 1, ved at bestemme f’(1):
Vi kan konkludere, at grafen for f har en tangent med en positiv hældning, når x = 1.
(I): Differentialkvotienter
Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – hhx171-MAT/A-
3
Opgave 2
a)
Vi aflæser 25%-fraktilen på bilag 1 til ca. 14m.
Vi bestemmer andelen af danske trawlere, der har en længde på mere end 40 % som differensen mellem
100 % og andelen af danske trawlere, der har en længde på under 40 m (aflæst på bilag 1 til ca. 89 %) dvs.:
Andelen af danske trawlere, der her en længde på mere end 40 m er bestemt til 11 %.
Opgave 3
a)
Vi har, at grafen C tilfører forskriften for h(x), da grafen for C afbilder en lineær funktion, og h er den eneste
lineære funktion.
Vi har, at grafen for B tilhører forskriften f(x), da f(x) er forskriften for en potensfunktion, hvor eksponenten
på -0,5 er mindre end 0, ved en sådanne potensfunktion er x ikke defineret for 0, hvilket stemmer overens
med at grafen for B er den eneste graf, hvis skæring med y-aksen i x = 0 ikke er synlig, og derfor må
formodes ikke at være defineret.
Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – hhx171-MAT/A-
4
Vi har, at grafen for A tilhører forskriften for g(x), da g(x) er forskriften for en eksponentielt aftagende
funktion, der modsat f(x) er definereret i x = 0.
Opgave 4
a)
Hvor:
Vi kan aflæse fra grafen i opgaveformuleringen, at grafen for R(x), dvs. omsætningen, er større i intervallet
mellem skæringspunkterne mellem grafen for R(x) og grafen for C(x):
Vi bestemmer skæringspunkterne mellem R(x) og C(x) ved:
Vi løser ligningen som en andengradsligning vha. diskriminanten og bestemmer rødderne til ligningen. Vi
bestemmer diskriminanten:
Vi bestemmer rødderne ved:
Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – hhx171-MAT/A-
5
Dvs.:
Og:
Intervallet for den afsatte mængde, hvor overskuddet er større end omkostningerne er bestemt til [2; 18].
Opgave 5
a)
Vi bestemmer en stamfunktion F(x) til f(x) ved at integrere f(x):
Vi bestemmer k, ved at indsætte punktet P i udtrykket for stamfunktionen herover og løse for k:
Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – hhx171-MAT/A-
6
Vi opskriver stamfunktionen, hvis graf netop går igennem punktet P:
Stamfunktionen er bestemt til udtrykket herover.
(I): Stamfunktioner
Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – hhx171-MAT/A-
7
Delprøven med hjælpemidler
Opgave 6
a)
Vi giver en forklaring til linjerne.
Linje 1
: De to forskrifter sættes lig hinanden.
Linje 2
: Udtrykket udskrives.
Linje 3
: Der divideres med 20 på begge sider, og der divideres med 0,4
x
på begge sider. På højre side
reduceres ved brug af potensreglen
.
Linje 4
: Det indses, at x = 2 er en løsning.
Linje 5
: y bestemmes ved at indsætte x = 2 i en af forskrifterne og derefter reducere.
Skæringspunktet er bestemt til (x, y) = (2, 28,80).
Opgave 7
a)
Vi definerer forskriften for f, samt definitionsmængden for x:
Vi bestemmer de 3 karakteristika: Nulpunkter, monotoniforhold og ekstrema.
Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – hhx171-MAT/A-
8
Vi bestemmer nulpunkter til grafen for f:
Ligningen løses numerisk for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Der blev fundet løsninger vha. numeriske metoder, men der findes muligvis flere.
(I): WordMat har problemer med løse ligningen, vi anbefaler derfor, at tjekke facit med et alternativt CAS-
værktøj eller tegne grafen for f til at bestemme den grafiske løsning.
Vi bestemmer nulpunkter til den afledede funktion f’:
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Vi undersøger fortegnet for differentialkvotienten på begge sider af nulpunktet for den afledede funktion
f’:
Vi opskriver resultaterne:
Grafen for f har nulpunkter i x = 12,34 og x = 1 (afrundet til 2 decimaler).
Vi kan konkludere, at grafen for f har ekstremum i x = 4.
f er aftagende i intervallet ]0; 4]
f er voksende i intervallet [4; ∞ [.
Vi tegner grafen for f og markerer de bestemte karakteristika. Markeringen foretages i Paint og resultatet
kopieres herefter ind i besvarelsen:
Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – hhx171-MAT/A-
9
Nulpunkter er markeret med lilla cirkel (x = 12,34 og x = 1), ekstremum er markeret med grøn cirkel (x = 4),
grafens aftagende interval er markeret med blå, og funktionens voksende interval er markeret med rød.
Opgave 8
a)
Vi konstruerer et skema som i opgaveformuleringen med data fra filen hotels, skemaet konstrueres i Excel
vha. en Pivot-tabel. Resultatet kopieres ind i besvarelsen:
Aldersgruppe
18-39 år
40-49 år
50-59 år
60+ år
Hovedtotal
Ja
161
99
76
123
459
Nej
328
233
319
515
1395
Hovedtotal
489
332
395
638
1854
Et skema som vist i opgaveformuleringen er konstrueret til ovenstående.
Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – hhx171-MAT/A-
10
b)
Vi opstiller en nul-hypotese H
0
der kan benyttes til at teste, om der er sammenhæng mellem svar og
aldersgruppe:
Nulhypotese: H
0
: Der er ikke sammenhæng mellem svar og aldersgruppe.
Vi tester nulhypotesen på et 5 % - signifikansniveau med WordMats skabelon for
-uafhængighedstest,
resultatet kopieres ind i besvarelsen.
Resultat af testen:
χ²-test
Observationer
Aldersgruppe
18-39 år
40-49 år
50-59 år
60+ år
I alt
Ja
161
99
76
123
459
Nej
328
233
319
515
1395
I alt
489
332
395
638
1854
P-værdi:
0,00%
Der er en sammenhæng
Signifikans
niveau:
5%
Frihedsgrader:
3
Q-værdi:
38,
13,
3,9
4,8
7,2
Kritisk Q-værdi:
7,3
Da p-værdien aflæst til 0,00 % er under signifikansniveauet på 5% forkaster vi nulhypotesen. Vi kan således
konkludere, at der ifølge testen på et 5 % signifikansniveau er en sammenhæng mellem svar og
aldersgruppe.
c)
Fra skemaet bestemt i opg a) kan vi aflæse antallet af danskere i aldersgruppen 18 - 39 år, der svarer ja, til
at være:
Fra skemaet bestemt til opg a) kan vi aflæse antallet af danskere i aldersgruppen 18 - 39 år, til i alt at være:
Vi bestemmer et 95 % -konfidensinterval for denne andel med ”Z interval for andel” med GeoGebras
sandsynlighedslommeregner. Resultatet kopieres ind i besvarelsen:
Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – hhx171-MAT/A-
11
Vi aflæser det 95% - konfidensinterval til:
Et 95% - konfidensinterval for denne andel er bestemt til ovenstående (afrunde til 1 decimal).
d)
Vi benytter WordMats skabelon for binomialfordeling, resultatet kopieres ind i besvarelsen.
Vi antager at basissandsynligheden er:
Vi har, at sandsynligheden er baseret for 100 danskere, dvs. vores antalsparameter bliver:
Vi skal bestemme sandsynligheden for, at der blandt 100 danskere i aldersgruppen 18 - 39 år højest er 25
der svarer ja. Dvs. vi skal bestemme:
Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – hhx171-MAT/A-
12
Resultat fra binomialfordeling:
Binomialfordeling
P(X=
)=
p=
0,329
P(X≤
25
)=
0,0552
n=
100
P(
≤X≤
)=
µ =
32,9
σ =
4,6985
Vi aflæser resultatet:
Sandsynligheden for at, der blandt 100 danske højest er 25, der svarer ja, er bestemt til 5,5 % (afrundet til 1
decimal).
Opgave 9
a)
Vi foretager et xy-plot i Excel med data fra filen vaskemaskiner. Resultatet kopieres ind i besvarelsen:
b)
Vi sorterer først dataet fra filen vaskemaskiner i Excel med en Pivot-tabel, herefter bestemmer vi hhv.:
middeltal, median samt 25%-fraktilerne for priserne med WordMats skabelon for ugrupperede
observationer, resultatet kopieres herefter ind i besvarelsen.
y = -23,728x + 8319,2
R² = 0,1268
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
9000
10000
5
Pris i kr.
Årligt energiforbrug (kWh
Vaskemaskiener
Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – hhx171-MAT/A-
13
OBS: Husk, at det er for priserne og ikke det årlige energiforbrug:
Deskriptorer
Kvartilsæt
Median
4499
Obs. Fraktil
3269
25%
Middeltal
4646
Middeltallet er bestemt til 4646 kr., medianen er bestemt til 4499 kr., og 25%-fraktilen er bestemt til 3269
kr.
c)
Vi opstiller en lineær regressions model ved at foretage en lineær regression på dataet fra xy-plottet
bestemt ti opg a).
Vi aflæser regressions ligningen til:
Vi opskriver en lineær regressionsmodel, der beskriver sammenhængen mellem det årlige energiforbrug x
og prisen y:
En model er bestemt til udtrykket herover.
d)
Vi kan på plottet bestemt i opg a) se, at sammenhængen mellem årligt energiforbrug og pris varierer
meget, som bl.a. også kommer kraftigt til udtryk i regressionsligningen bestemt i opg c), der netop
beskriver sammenhængen mellem årligt energiforbrug og pris. Med en R
2
-værdi på 0,1268, står det klart, at
en overbevisende sammenhæng mellem det årlige energiforbrug og prisen ikke er til stede, det kan derfor
ikke umiddelbart med stor overbevisning konkluderes, at vaskemaskiner med et lavt årligt energiforbrug er
dyrere end vaskemaskiner med et stort årligt energiforbrug. Med medianen bestemt til opg b) kan vi aflæse
at 50 % af vaskemaskinerne koster mere end 4499 kr. og 50 % af vaskemaskinerne koster under 4499 kr.,
hvis vi sammenligner med middeltallet på 4646 kr., kan vi konkludere, at der er et stort udvalg i dyre og
billigere vaskemaskiner. Med ovenstående in mente kan det konkluderes, at en dyr vaskemaskine ikke er
ensbetydende med et lavt energiforbrug og omvendt.
Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – hhx171-MAT/A-
14
Opgave 10
a)
Vi definerer forskrifterne for hhv. f(x), g(x) og h(x):
Vi bestemmer førstekoordinaterne til skæringspunkterne A og B som skæringerne mellem graferne for g og
h:
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Vi bestemmer anden koordinaterne ved at bestemme hhv. g(0) og g(4):
Vi bestemmer førstekoordinaterne til skæringspunktet C som skæringen mellem graferne for f og h:
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Vi har, at x = 0 betegner førstekoordinaten for A. Vi bestemmer anden koordinaten for skæringen C ved at
bestemme f(8):
Skæringspunkterne A B og C er bestemt til hhv.: A(0, 0), B(4, 4) og C(8, 8).
b)
Vi bestemmer arealet af det grå område, som differensen mellem arealet under grafen for f i intervallet [0;
8] og arealet under grafen for g i intervallet [0; 4] og arealet under grafen for h i intervallet [4; 8] dvs.:
Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – hhx171-MAT/A-
15
Arealet af det grå område er bestemt til 74,7 (afrundet til 1 decimaler).
Opgave 11
a)
Vi definerer forskrifterne for hhv. E(x) og U(x) samt definitionsmængden for x:
Vi bestemmer ligevægtsmængden ved at løse ligningen herunder for x:
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Ligevægtsmængden er bestemt til 42500.
Vi bestemmer den tilsvarende pris ved at bestemme E(42500):
Den tilsvarende pris er bestemt til 1763 kr. (afrundet til helt tal).
b)
Vi isolerer m i ligningen herunder:
Ligningen løses for m vha. CAS-værktøjet WordMat.
Et udtryk for m er bestemt til ovenstående.
Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – hhx171-MAT/A-
16
c)
Vi bestemmer m ved en stykafgift på T = 500 kr. ved at bestemme m, når T = 500 dvs.:
Stykafgiften er bestemt til 30000 kr.
Vi bestemmer det tilhørende skatteprovenu SP ved at bestemme SP, når m = 30000 og T = 500 dvs.:
Det tilhørende skatteprovenu er bestemt til kr.
d)
Vi har, skatteprovenuet er givet ved:
Vi substituerer m udtrykt ved T ind i udtrykket herover, derved får vi SP som funktion af T:
Udtrykket omskrives vha. CAS-værktøjet WordMat ved brug af metoderne: Automatisk reduktion, Udvid,
Vi definerer SP som funktion af T:
Udtrykket er identisk med udtrykket i opgaveformuleringen, vi har dermed gjort rede.
Vi bestemmer stykafgiften, der giver det største skatteprovenu ved at optimere SP(T). Vi bestemmer
nulpunkter til den afledede funktion SP’:
Ligningen løses for T vha. CAS-værktøjet WordMat.
Vi undersøger fortegnet for differentialkvotienten på begge sider af nulpunktet for den afledede funktion
SP’:
Vi kan konkludere, at nulpunktet er et maksimum.
Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – hhx171-MAT/A-
17
Stykafgiften, der giver det største skatteprovenu, er bestemt til T = 850 kr.
Kun én af besvarelse af opgaverne 12A, 12B og 12C skal afleveres til bedømmelse.
Opgave 12A
a)
Vi definerer kendte størrelser:
Vi bestemmer gældens størrelse umiddelbart efter sidste udbetaling vha. formlen for restgæld:
Gælden umiddelbart efter sidste udbetaling er bestemt til -82040,62 kr. (afrundet til 2 decimaler).
b)
Vi definerer nye kendte størrelser:
Vi bestemmer gældens størrelse den 1/1 2020 vha. formlen for kapitalfremskrivning:
Gældens størrelse er bestemt til -76442,0 kr. (afrundet til 1 decimal).
Vi definerer nye kendte størrelser, hvor n = 12·6 = 72:
Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – hhx171-MAT/A-
18
Vi bestemmer den månedlige ydelse som ydelsen i et annuitetslån:
Den månedlige ydelse er bestemt til 1178,0 kr. (afrundet til 2 decimaler).
Opgave 12B
a)
Vi bestemmer en forskrift for T ved at løse differentialligningen herunder med WordMat. Vi benytter
startbetingelsen T(1) = 42, hvor n > 1:
Differentialligningen løses vha. CAS-værktøjet WordMat's 'Løs differentialligning' funktion med startbetingelsen T(1)=42med følgende
antagelser/definitioner:
Vi definerer forskriften for T til senere brug:
En forskrift for T er bestemt til udtrykket herover.
Vi bestemmer, hvor mange enheder, der skal produceres, for at produktionstiden er under 30 minutter pr.
enhed ved at løse uligheden T(n) < 30 for n. WordMat har problemer med uligheder, hvori der indgår en
eksponent, vi løser i stedet for n, når T = 30, hvor n > 1:
Ligningen løses for n vha. CAS-værktøjet WordMat. med følgende antagelser/definitioner:
Skal produktionstiden være under 30 minutter pr. enhed skal antallet af producerede enheder være mindst
17 (afrundet op til hel enhed).
Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – hhx171-MAT/A-
19
b)
Vi bestemmer T’(10):
Vi giver en forklaring til tallet. Tallet T’(10) = -0,66 (afrundet til 2 decimaler), betegner at
produktionshastigheden ved en produktion af 10 enheder falder med 0,66 minutter.
Opgave 12C
a)
Vi opstiller begrænsninger for produktionen:
Blanding:
Uligheden løses for y vha. CAS-værktøjet WordMat.
Rensning:
Uligheden løses for y vha. CAS-værktøjet WordMat.
Produktionen er desuden under begrænsningen:
Det samlede dækningsbidrag, dvs. vores kriteriefunktion, er givet ved. Vi definerer desuden forskriften til
senere brug:
Vi indtegner polygonområdet i GeoGebra, resultatet kopieres ind i besvarelsen.
Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – hhx171-MAT/A-
20
Vi undersøger hjørnepunkterne A, B, C, E:
Vi kan konkludere, at mængden, der giver det største mulige samlede ugentlige dækningsbidrag, er
bestemt til 0 kg FIT100 og 700 MUSCLE-P.
b)
Vi foretager en følsomhedsanalyse.
Vores kriteriefunktion bliver nu (i det b bliver vores variabel):
Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – hhx171-MAT/A-
21
Dvs. niveaulinjen får hældningen
. Hvis maksimum stadig skal findes i (x, y) = (0, 700), må hældningen
være større eller lig hældningen for linjen med ligningen herunder:
Det vil sige:
Vi løser uligheden:
Uligheden løses for b vha. CAS-værktøjet WordMat.
Dækningsbidraget for MUSCLE-P kan maksimalt falde til 48 kr. (afrundet til 2 decimaler) uden, at det
ændrer på den optimale sammensætning bestemt til opg a).