Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 14. august 2009
1
HHX Matematik A
14. august 2009
HHX092-MAA
Nogle opgaver inkluderer referencer til en formel i en grå kasse. Referencer til en formel kræves ikke i en
besvarelse, og kan ikke erstatte forklaringer og øvrig tekst. Grunden til, at her medtages formel i løsningerne,
er så du præcis kan se hvilken formel, der bruges i hver mellemregning.
Alle opgaver er for så vidt muligt regnet med WordMat, da vores erfaring viser, at det er langt det hurtigste
værktøj at anvende. Husk at skrive nedenstående kommentar om at beregningerne er foretaget ved hjælp
HHX 3. år
NB: Mange af de anvendte formler i opgaven kan findes og indsættes direkte fra WordMats egen
formelsamling, som findes øverst til venstre. Der er store tidsbesparelser at hente ved at bruge
formelsamlingen!
Delprøven uden hjælpemidler .......................................................................................................................... 2
Delprøven med hjælpemidler ........................................................................................................................... 5
Studiekompasset.dk Uden hjælpemidler Matematik A - HHX, aug 2009
Alle formlerne henviser til Formelsamling for matematik niveau B og A på højere
handelseksamen, 2001.
Referencer til en formelsamling kræves ikke i en besvarelse, og kan ikke erstatte
formler, forklaringer og øvrig tekst. Grunden til, at vi medtager formelnumre i vo-
res løsninger, er så du præcist kan se hvilken formel, der bruges i hver mellemregning.
Opgave 1
a
Vi ved at arealet, A, af en vilkårlig trekant er givet ved (formel 34)
A =
1
2
ac · sin B
Vi indsætter de opgivne størrelser og finder:
A =
1
2
· 4 · 7 · 0, 6 = 8, 4
Altså er arealet af trekanten 8,4.
Opgave 2
Vi finder den omvendte funktion, p
−1
, til p.
p = 0, 5x + 500
m
p − 500 = 0, 5x
m
x = 2p − 1000
Vi har altså at p
−1
= 2y − 1000
Vi bestemmer nu p
−1
(2000).
p
−1
(2000) = 2 · 2000 − 1000 = 3000
Dette fortæller os at hvis prisen på varen er 2000 afsættes der 3000 varer.
Opgave 3
Vi ved at to vektorer er ortogonale hvis deres prikprodukt er 0 (formel 164). Vi bestemmer
prikproduktet imellem ~a og
~
b, (formel 161).
~a ·
~
b = a
1
· b
1
+ a
2
· b
2
= (−1) · 6 + (−2) · (−3) = 0
2
Studiekompasset.dk Uden hjælpemidler Matematik A - HHX, aug 2009
Da prikproduktet mellem vektorerne er 0, er de to vektorer altså ortogonale.
For at bestemme om ~a og ~c er parallelle, undersøger vi om tværvektoren til ~a er or-
togonal på ~c. I givet fald er vektorerne parallelle. Vi bestemmer først tværvektoren til ~a.
Denne findes til (formel 166).
ˆ
~a =
−a
2
a
1
!
=
3
−1
!
Vi undersøger nu om tværvektoreren til ~a er ortogonal på ~c.
ˆ
~a · ~c = 3 · 3 + (−1) · 9 = 0
Da disse to vektorer er ortognale må der også gælde at ~a og ~c er parallele.
Opgave 4
Vi starter med at differentiere funktionen da vi ved at den afledede funktion redegører for
hældningen af den oprindelige funktion. Vi bestemmer altså f
0
(x).
f
0
(x) =
x
2
− x − 6
0
Formel 105 og 106
= 2x − 1
Vi bestemmer nu hældningen af tangenten i punktet x = 1.
f
0
(1) = 2 · 1 − 1 = 1
Vi bruger nu etpunktsformlen (formel 103) der siger:
y = f
0
(x
0
)(x − x
0
) + f(x
0
)
og vi får følgende tangentligning:
y = 1(x − 1) + (−6)
= x − 7
Altså er tangentligningen for f i røringspunktet (1, −6), y = x − 7
Opgave 5
Arealet imellem grafen og første aksen er jvf. formel 200 givet ved det bestemte integrale
af funktionen i det ønskede interval. Vi udregner det bestemte integrale jvf. formel 194.
3
Studiekompasset.dk Uden hjælpemidler Matematik A - HHX, aug 2009
Z
4
−4
x
3
− 16x
dx
=
Z
4
−4
x
3
dx −
Z
4
−4
16xdx
Formel 188 og 195
=
1
3
x
4
− 8x
2
4
−4
Da (−4)
2
= 4
2
og −(−4)
4
= 4
4
= 0
Da begge arealerne, A
O
1
og A
O
2
> 0 er summen af disse altså ikke identiske med det
bestemte integrale vi udregnede ovenfor.
4
Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 14. august 2009
5
Delprøven med hjælpemidler
Opgave 1
a)
Vi definerer vektor og vektor
:
Vi bestemmer vinklen mellem vektorerne:
Ligningen løses for v vha. CAS-værktøjet WordMat.
Den spidse vinkel mellem vektor og vektor
er bestemt til 60,26° (afrundet til 2 decimaler).
b)
Vi benytter, at arealet af parallelogrammet udspændt af to vektorer er lig den numeriske værdi af
determinanten for de to vektorer:
Ligningen løses for t vha. CAS-værktøjet WordMat.
De to værdier af t, så arealet af parallelogrammet udspændt af vektor og vektor
er lig 10, er bestemt til
t = -8 og t = 12.
Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 14. august 2009
6
Opgave 2
a)
Vi udfylder række 2 i amortisationsplanen:
TERMIN
RESTGÆLD
PRIMO
YDELSE
RENTEBELØB
AFDRAG
RESTGÆLD
ULTIMO
1
50.000,00
6.000,00
1.500,00
4.500,00
45.500,00
2
45.500,00
6.000,00
1.365,00
4.635,00
40.865,00
b)
Vi bestemmer størrelsen af den 10. ydelse:
Vi definerer kendte størrelser:
Vi bestemmer den 10. og sidste ydelse ved at bestemme restgælden umiddelbart efter, at den 9. ydelse er
betalt:
Størrelsen af den 10. ydelse er bestemt til 4284,02 kr. (afrundet til 2 decimaler).
Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 14. august 2009
7
Opgave 3
a)
Vi definerer en forskrift for C(x) og R(x) samt definitionsmængden for x.
Vi har, at overskuddet kan beskrives ved:
Udtrykket omskrives vha. CAS-værktøjet WordMat ved brug af metoderne: Automatisk reduktion, Udvid,
Et udtrykt der beskriver overskuddet, er bestem til ovenstående udtryk. Vi forskriften for O(x):
Vi bestemmer det antal styk BETA, der giver størst overskud ved at optimere O(x).
Vi bestemmer nulpunkter til den afledede funktion O’:
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Vi undersøger fortegnet for differentialkvotienten på begge sider af nulpunktet for den afledede funktion:
Vi kan konkludere, at nulpunktet er et maksimum.
Nysted opnår størst omsætning ved salget af 110 stk. BETA.
Vi bestemmer den største omsætning ved at bestemme O(110):
Den største omsætning er bestemt til 12960 kr.
b)
Vi bestemmer en forskrift for GROMK:
Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 14. august 2009
8
Udtrykket omskrives vha. CAS-værktøjet WordMat ved brug af metoderne: Automatisk reduktion, Udvid,
Vi definerer forskriften for GROMK:
Vi bestemmer en forskrift fro GROMS:
Udtrykket omskrives vha. CAS-værktøjet WordMat ved brug af metoderne: Automatisk reduktion, Udvid,
Vi definerer forskriften for GROMS:
Vi bestemmer ligevægtsmængden x
L
ved at løse nedenstående ligning for x:
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Ligevægtsmængden x
L
er bestemt til 110 stk. BETA.
Sammenligner vi ligevægtsmængden x
L
og resultatet fra opg a), kan vi konkludere, at i punktet x = 110, hvor
der intet opnås ved at producere en ekstra enhed, er det samme punkt, hvor den størst mulige omsætning
findes.
c)
Vi bestemmer arealet af (GROMS - GROMK) som differensen mellem arealet under grafen for GROMS og
arealet under grafen for GROMK i intervallet [50; x
L
]:
Arealet af (GROMS - GROMK) er bestemt til 12960 kr.
Sammenligner vi arealet af (GROMS - GROMK) med det maksimale overskud bestemt i opg a), kan vi
konkludere at resultatet er identisk, dvs. at arealet af (GROMS - GROMK) svarer til det maksimale overskud.
Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 14. august 2009
9
Opgave 4
a)
OBS: Der er fejl i denne opgave. Der findes ingen løsning til ligningen
. De to løsninger der
fremkommer i opgaven stammer begge fra ledet og
, og IKKE fra
, som det ellers udgår
fra opgaven.
Linje 1:
Funktionen f er givet.
Linje 2:
Funktionen f er differentieret.
Linje 3:
Vi sætter f’(x) lig med 0.
Linje 4:
e
x
sættes uden for parentes.
Linje 5:
Nulreglen benyttes.
Linje 6:
Ligningen
løses, der findes hhv. to løsninger x = -2 og x = 0.
b)
Vi definerer en forskrift for f:
Vi bestemmer monotoniforhold for f:
Vi bestemmer nulpunkter til den afledede funktion f’:
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Vi undersøger fortegnet for differentialkvotienten på begge sider af nulpunkterne for den afledede funktion:
Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 14. august 2009
10
Vi opskriver monotoniforhold for grafen f:
f er voksende i intervallet ]-∞; -2] og [0; ∞].
f er aftagende i intervallet [-2; 0].
Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 14. august 2009
11
Opgave 5
a)
Vi har, at hvis F(x) er en stamfunktion til f(x), så gælder der:
Dvs. at grafen for f(x) har have nulpunkter, hvor grafen for F(x) har en tangenthældning svarende til 0. Dette
stemmer overens med at Graf 1 har nulpunkt i x = -4 og x = 0, hvor Graf 2 har en tangenthældning svarende
til 0 i x = -4 og x = 0.
Vi kan dermed konkludere at Graf 1 er grafen for f(x) og Graf 2 er grafen for stamfunktionen til F(x).
Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 14. august 2009
12
Opgave 6
a)
Vi omskriver kriteriefunktionen f(x, y) for et vilkårligt talt t, så vi kan aflæse niveaulinjernes hældning:
Vi kan aflæse niveaulinjernes hældning til - 2/3. Da -1 < -2/3 < -0,5 er punktet, der betegner det størst mulige
samlede dækningsbidrag, skæringspunktet mellem linjerne med ligningen:
Vi bestemmer skæringspunktet mellem to ovenstående linjer, ved at løse ovenstående ligningssystem som
to ligninger med to ubekendte:
Ligningssystemet løses for y,x vha. CAS-værktøjet WordMat's 'Løs Ligninger' funktion,
Vi kan konkludere, at det størst mulige samlede dækningsbidrag findes ved en produktionssammensætning
af 6 stk. Mini’er og 5 stk. Midi’er.
b)
Vi foretager en følsomhedsanalyse:
Vores kriteriefunktion bliver nu (i det a bliver vores variabel):
Dvs. niveaulinjen får hældningen
. Hvis minimum stadig skal findes i (x, y) = (6, 5), må hældningen for
ligge mellem hældningerne for de to rette linjer givet ved ligningerne:
Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 14. august 2009
13
Dvs.:
Vi løser de to uligheder hver for sig:
Uligheden løses for a vha. CAS-værktøjet WordMat.
Og:
Uligheden løses for a vha. CAS-værktøjet WordMat.
For at dækningsbidraget for Midi fastholdes på 1500 kr. pr. stk. og produktionssammensætningen bestemt i
opg a) forbliver uændret, kan dækningsbidraget for Mini varierer i intervallet:
Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 14. august 2009
14
Opgave 7
a)
Vi definerer en forskrift for p(x) og q(y) samt definitionsmængden for x og y:
Vi har, at den samlede omsætning kan beskrives ved:
Udtrykket omskrives vha. CAS-værktøjet WordMat ved brug af metoderne: Automatisk reduktion, Udvid,
En forskrift for den samlede omsætning, er bestemt til ovenstående udtryk. Vi har dermed gjort rede.
b)
Kan niveaukurven N(70000) omskrives til den generelle formel for en ellipse:
Hvor ellipsens centrum betegner C(x
0
, y
0
):
Vi omskriver niveaukurven:
Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 14. august 2009
15
Vi kan konkludere, niveaukurven N(70000) er en ellipse med centrum i C(400, 200). Vi har dermed gjort rede.
Vi indtegner niveaukurven N(70000) samt begrænsninger i GeoGebra, resultatet kopieres ind besvarelsen:
Illustration fra GeoGebra.
c)
Vi indser, at centrum af ellipserne C(400, 200) ligger inden for det polygonformede kapacitetsområde, dvs.
at punktet, der beskriver det størst mulige overskud, skal findes i centrum af ellipserne C(400, 200).
Det størst mulige overskud fås ved en afsætning af 400 FIX og 200 FAX.
Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 14. august 2009
16
Kun én af besvarelse af opgaverne 8A og 8B skal afleveres til bedømmelse.
Opgave 8A
a)
Vi tegner en sumkurve for fordelingen med WordMats skabelon for grupperede observationer, resultatet
kopieres ind i besvarelsen:
b)
Gennemsnittet og standardafvigelsen er bestemt med WordMats skabelon for grupperede observationer,
resultatet kopieres ind i besvarelsen.
Gennemsnit: 124,4 m
3
(afrundet til 1 decimal).
Standardafvigelsen: 25,3 m
3
(afrundet til 1 decimal).
c)
Hvis vi antager, at observationerne fra Århus er repræsentative for de århusianske husstandes vandforbrug,
kan det ud fra oplysningerne konkluderes, at århusianere bruger relativt en smule mere vand end
københavnerne (højere gennemsnit), og at de århusianske husstandes vandforbrug er mere ensartet end de
københavnske (lavere standardafvigelse).
0%
25%
50%
75%
100%
180 200
Kum. Frek.
Årligt vandforbrug i m
3
Sumkurve
Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 14. august 2009
17
Opgave 8B
a)
Vi definerer en forskrift for f:
Vi undersøger forløbet for grafen for f, ved at undersøge monotoniforholdene af grafen for f:
Vi bestemmer nulpunkter for den afledede funktion f’:
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Vi undersøger fortegnet for differentialkvotienten på begge sider af nulpunktet:
Vi kan konkludere, at kun i punktet x = 2, er hældningen af grafen for f lig 0, dvs. da fortegnet for
differentialkvotienten er positiv på begge sider af dette nulpunkt, er grafen for f voksende i hele dens
definitionsmængde.
b)
Vi bestemmer nulpunkter til den anden afledede funktion:
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Vi undersøger fortegnet for den anden afledede kvotient på begge sider af nulpunktet for den anden afledede
funktion:
Vi kan konkludere, at grafen for f skifter krumning fra konkav til konveks i punktet x = 2.
Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 14. august 2009
18
c)
Vi benytter, at differentialkvotienten til et punkt pr. definition er lig hældningen for tangenten til samme
punkt. Vi bestemmer de to første koordinater til tangenternes røringspunkt med grafen for f, hvor
hældningen lig 3:
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Vi definerer første koordinaterne for røringspunktet mellem grafen for f og de to tangenter:
Vi bestemmer en ligning for, hver af de to tangenter:
Den første ligning til en af tangenterne for grafen f med en hældningskoefficient lig 3 er bestemt til
ovenstående udtryk.
Og:
Den anden ligning til en af tangenterne for grafen f med en hældningskoefficient lig 3 er bestemt til
ovenstående udtryk.