Studiekompasset.dk Skriftlig matematik HHX A hhx102-MAT/A-
Opgave nr. 1 (med hjælpemidler).
(a) Først laves en tabel med data, der skal bruges i opgaven.
Alder Antal Frekvens Kumuleret frekvens
]0; 5] 956 16,72% 16,72%
]5; 10] 2539 44,40% 61,11%
]10; 15] 1235 21,59% 82,71%
]15; 20] 989 17,29% 100,00%
Frekvensen er antal observationer i det givne interval delt med det totale antal obser-
vationer. Den kumulerede frekvens er frekvensen af alle observationer op til og med
det givne interval. Tabellen giver anledning til følgende graf over den kumulerede fre-
kvens af virksomhedskonkurcer. Grafen er lavet i Microsoft Excel ved at indtaste og
beregne værdierne i tabellen og så plotte den kumulerede frekvens mod højreenderne
HHX 3. år
Man kunne også have lavet f.x. et histogram, men sumkurven er hurtig og skal næsten
altid bruges i næste delopgave.
(b) Typeinterval. Intervallet ]5; 10] er med 2539 virksomhedskonkurcer det interval med
det højeste antal.
Median. Af grafen for den kumulerede frekvens aflæses medianen til 8, 8.. Tallet aflæses
som x-koordinaten til skæringspunktet mellem sumkurven og linien y = 0, 50.
Kvartilsæt. Af grafen aflæses kvartilsættet til [ 5, 9; 8, 8; 13, 2]. Første hhv. tredie kvartil
aflæses som x-koordinaten til skæringspunktet mellem sumkurven og linien y = 0, 25
hhv. y = 0, 75. Andet kvartil er det samme som medianen der lige er fundet.
1
Side 1 af 14
Studiekompasset.dk Skriftlig matematik HHX A hhx102-MAT/A-
Gennemsnit. Når der er tale om intervaller bestemmes gennemsnittet som gennem-
snittet af intervalmidtpunkterne vægtet med antallet i det enkelte interval (jf. formel
115).
E(X) ≈
0 + 5
2
·16, 72%+
5 + 10
2
·44, 40%+
10 + 15
2
·21, 59%+
15 + 20
2
·17, 29% ≈ 9, 2132.
Varians. Variansen bestemmes ved (jf. formel 142)
Var(X) = E(X
2
) −E(X)
2
.
Først bestemmes E(X
2
), dvs. gennemsnittet af kvadratet på de enkelte observationer.
E(X
2
) =
0 + 5
2
2
· 16, 72% +
5 + 10
2
2
· 44, 40%
+
10 + 15
2
2
· 21, 59% +
15 + 20
2
2
· 17, 29%
≈ 111, 9244.
Nu bestemmes så variansen
Var(X) = E(X
2
) −E(X)
2
≈ 111, 9244 − 9, 2132
2
= 27, 0422.
Standardafvigelse. Standardafvigelsen er pr. definition givet ved (jf. formel 143)
σ(X) =
q
Var(X) ≈
p
27, 0122 ≈ 5, 2002.
Her er alle de statistiske deskriptorer bestemt, men man skal kun bestemme to. Det
anbefales derfor at man til eksamen vælger kun at lave de to hurtigste. De to hurtigste
er typeintervallet og medianen.
Alle formlerne henviser til Formelsamling for matematik niveau B og A på højere han-
delseksamen, 2001.
Referencer til en formelsamling kræves ikke i en besvarelse, og kan ikke erstatte for-
klaringer og øvrig tekst. Grunden til, at vi medtager formelnumre i vores løsninger,
er så du præcist kan se hvilken formel, der bruges i hver mellemregning. Hvis du til
opgaverne med hjælpemidler angiver formler, skal du i starten af besvarelsen huske
at skrive hvilken formelsamling, du henviser til.
2
Side 2 af 14
Studiekompasset.dk Skriftlig matematik HHX A hhx102-MAT/A-
Opgave nr. 2 (med hjælpemidler).
(a) Først bestemmes koordinaterne til vektoren
−−→
AB (jf. formel 168)
−−→
AB =
5 −(−1)
1 −(−1)
!
=
6
2
!
Ved hjælp af formlen (jf. formel 157)
|~a| =
q
a
2
1
+ a
2
2
kan |
−−→
AB| nu bestemmes
|
−−→
AB| =
p
6
2
+ 2
2
=
√
40 = 2
√
10 ≈ 6, 3246
(b) Vinklen ∠A vælges. Af cosinusrelationerne fås (jf. formel 32)
cos(∠A) =
|
−−→
AB|
2
+ |
−→
AC|
2
− |
−−→
BC|
2
2 ·|
−−→
AB| · |
−→
AC|
Indsættes tallene fås
cos(∠A) =
5
2
+ (2
√
10)
2
−
√
13
2
2 ·5 · 2
√
10
=
52
20
√
10
=
13
5
√
10
≈ 0, 8222
og deraf
∠A = cos
13
5
√
10
≈ 34, 6952
◦
Således er
∠A ≈ 34, 6952
◦
Alle formlerne henviser til Formelsamling for matematik niveau B og A på højere han-
delseksamen, 2001.
Referencer til en formelsamling kræves ikke i en b esvarelse, og kan ikke erstatte for-
klaringer og øvrig tekst. Grunden til, at vi medtager formelnumre i vores løsninger,
er så du præcist kan se hvilken formel, der bruges i hver mellemregning. Hvis du til
opgaverne med hjælpemidler angiver formler, skal du i starten af besvarelsen huske
at skrive hvilken formelsamling, du henviser til.
1
Side 3 af 14
Studiekompasset.dk Skriftlig matematik HHX A hhx102-MAT/A-
Opgave nr. 3 (med hjælpemidler).
(a) Peters gæld beregnes ved hjælp af opsparingsformlen (jf. formel 7) da situationen er
tilsvarende med en opsparing (SU-styrelsen sparer op hos Peter). Ifølge opsparings-
formlen gælder
A
n
= y ·
(1 + r)
n
− 1
r
.
Indsættes tallene fås
A
70
= 2755 ·
(1 + 0, 003)
70
− 1
0, 003
≈ 214.238, 25.
(b) Lånets størrelse pr. 1. december beregnes med fremskrivningsformlen (jf. formel 4)
K
n
= K
0
· (1 + r)
n
der giver
214.238, 25 · (1 + 0, 0015)
18
≈ 220.097, 03.
(c) Peters månedlige ydelse bestemmes ved hjælp af amortisationsformlen (jf. formel 9)
y = A
0
·
r
1 − (1 + r)
−n
.
Idet 12 år er 144 måneder fås
y ≈ 220.097, 03 ·
0, 0015
1 − (1 + 0, 0015)
−144
≈ 1700, 6039.
Peter skal altså betale en månedlige ydelse på 1700,60 kr.
Alle formlerne henviser til Formelsamling for matematik niveau B og A på højere han-
delseksamen, 2001.
Referencer til en formelsamling kræves ikke i en b esvarelse, og kan ikke erstatte for-
klaringer og øvrig tekst. Grunden til, at vi medtager formelnumre i vores løsninger,
er så du præcist kan se hvilken formel, der bruges i hver mellemregning. Hvis du til
opgaverne med hjælpemidler angiver formler, skal du i starten af besvarelsen huske
at skrive hvilken formelsamling, du henviser til.
1
Side 4 af 14
Studiekompasset.dk Skriftlig matematik HHX A hhx102-MAT/A-
Opgave nr. 4 (med hjælpemidler).
(a) Skæringspunkterne mellem graferne for f og g er de punkter hvor f (x) = g(x). Derfor
løses ligningen
f(x) = g(x)
m
− 2x
2
+ x + 1 = x
2
+ 4x − 5
m
− 3x
2
− 3x + 6 = 0
For at løse andengradsligningen bestemmes først diskriminanten (jf. formel 43).
d = b
2
− 4 · a · c = (−3)
2
− 4 · (−3) · 6 = 9 + 12 · 6 = 9 + 72 = 81.
Da d = 81 > 0 har andengradsligningen to løsninger. Disse er givet ved (jf. formel 44)
x =
−b ±
√
d
2a
.
Ved at indsætte tallene bestemmes
x =
−(−3) −
√
81
2 · (−3)
=
3 − 9
−6
=
−6
−6
= 1 ∨ x =
−(−3) +
√
81
2 · (−2)
=
3 + 9
−6
=
12
−6
= −2.
Ved hjælp af en vilkårlig af funktionerne f og g kan andenkoordinaterne nu bestemmes.
Her vælges funktionen g.
g(1) = 1
2
+ 4 · 1 − 5 = 1 + 4 − 5 = 0
g(−2) = (−2)
2
+ 4 · (−2) − 5 = 4 − 8 − 5 = 4 − 13 = −9
Skæringspunkterne mellem de graferne for f og g er således
(−2, −9) og (1, 0)
hvilket passer fint med figuren.
(b) Arealet, A, af det skraverede område er givet ved (jf. formel 201)
A =
Z
b
a
(f(x) − g(x))dx =
Z
1
−2
(f(x) − g(x))dx.
Derfor bestemmes først f(x) − g(x).
f(x)−g(x) = (−2x
2
+x+1)−(x
2
+4x−5) = −2x
2
+x+1−x
2
−4x+5 = −3x
2
−3x+6.
1
Side 5 af 14
Studiekompasset.dk Skriftlig matematik HHX A hhx102-MAT/A-
Nu kan arealet beregnes.
A =
Z
1
−2
(f(x) − g(x))dx
=
Z
1
−2
(−3x
2
− 3x + 6)dx
(jf. formel 196)
=
Z
1
−2
−3x
2
dx −
Z
1
−2
3xdx +
Z
1
−2
6dx
(jf. formel 197)
= −3
Z
1
−2
x
2
dx − 3
Z
1
−2
xdx +
Z
1
−2
6dx
(jf. formel 188 og 194)
= −3[
1
3
x
3
]
1
−2
− 3[
1
2
x
2
]
1
−2
+ [6x]
1
−2
= −3(
1
3
· 1
2
−
1
3
(−2)
3
) − 3(
1
2
· 1
2
−
1
2
(−2)
2
) + (6 · 1 − 6 · (−2))
= −3(
1
3
+
8
3
) − 3(
1
2
−
4
2
) + (6 + 12)
= −3 ·
9
3
+ 3 ·
3
2
+ 18
= −9 +
9
2
+ 18 = 9 +
9
2
= 13
1
2
Arealet af det skraverede område er altså 13
1
2
.
Alle formlerne henviser til Formelsamling for matematik niveau B og A på højere han-
delseksamen, 2001.
Referencer til en formelsamling kræves ikke i en besvarelse, og kan ikke erstatte for-
klaringer og øvrig tekst. Grunden til, at vi medtager formelnumre i vores løsninger,
er så du præcist kan se hvilken formel, der bruges i hver mellemregning. Hvis du til
opgaverne med hjælpemidler angiver formler, skal du i starten af besvarelsen huske
at skrive hvilken formelsamling, du henviser til.
2
Side 6 af 14
Studiekompasset.dk Skriftlig matematik HHX A hhx102-MAT/A-
Opgave nr. 5 (med hjælpemidler).
(a) Herunder står en kort forklaring til hver af de fire linier.
Linie 1: Ækvivalent med ligningen f
0
(x) = 0 som skal løses.
Linie 2: Ligningen splittes op ved hjælp af nulreglen.
Linie 3: De første to er løsningerne til x
2
−10x = 0, den sidste er løsning til ln(x) = 0.
Linie 4: Da x > 0 (nødvendig for ln(x)) sorteres x = 0 fra. L = {1, 10} er løsnings-
mængden til f
0
(x) = 0.
(b) Nulpunkterne for den kontinuerte funktion f
0
kender allerede. Derfor bestemmes nu
dens fortegn.
f
0
1
2
=
(
1
2
)
2
− 10 ·
1
2
· ln(
1
2
) ≈ 3, 2924 > 0
f
0
(2) = (2
2
− 10 · 2) · ln(2) ≈ −11, 0904 < 0
f
0
(11) = (11
2
− 10 · 11) · ln(11) ≈ 26, 3768 > 0
Monotonilinien bliver da
x
1
2
1 2 10 11
f’(x) 3,2924 0 −11, 0904 0 26,3768
f(x) % & %
Det ses af monotonilinien at f har lokalt maksimum i x = 1 og lokalt minimum i
x = 10.
For store værider af x bliver x
2
det dominerende udtryk i forskriften for f
0
, så der må
gælde at f
0
(x) → ∞ for x → ∞. Der gælder så også at f(x) → ∞ for x → ∞. Derfor
er x = 1 ikke et globalt maksimum.
1
Side 7 af 14
Studiekompasset.dk Skriftlig matematik HHX A hhx102-MAT/A-
Opgave nr. 6 (med hjælpemidler).
(a) Indsættes værdierne i forskriften for f fås
f(x) = 0, 5 · R · P · x +
F ·O
x
= 0, 5 · 0, 2 · 50 · x +
36.000 · 5.000
x
= 5x +
0
x
.
Omkostningerne for STORAGE kan altså beskrives ved
f(x) = 5x +
0
x
x > 0.
For at finde omkostningerne ved en ordrestørrelse på x = 4.000 bestemmes f (4.000).
f(4000) = 5 · 4000 +
0
4000
= 20.000 + 45.000 = 65.000.
Omkostningerne ved et ordrestørrelse på x = 4.000 er altså 65.000.
(b) Den ønskede værdi for STORAGE bestemmes ved at indsætte tallene fra opgave-
teksten. Det giver
x =
s
2 · F · O
R · P
=
s
2 · 36.000 · 5.000
0, 2 · 50
=
r
2 · 36.000 · 5.000
10
=
√
= 6.000
som ønsket.
For at vise at f har minimum for x = 6.000 bestemmes funktiones monotoniforhold.
Først løses ligningen f
0
(x) = 0.
f
0
(x) = 0
m
5 −
0
x
2
= 0
m
5 =
0
x
2
m
x
2
=
0
5
=
m
x = 6.000
hvor den sidste biimplikation gælder fordi x > 0. Nu bestemmes fortegnene for f
0
for
at lave en monotonilinie.
f
0
(1.000) = 5 −
0
1.000
2
= 5 −
0
1.000.000
= 5 − 180 = −175 < 0
f
0
(10.000) = 5 −
0
10.000
2
= 5 −
0
0
= 5 − 1, 8 = 3, 2 > 0
Det giver anledning til følgende monotonilinie
1
Side 8 af 14
Studiekompasset.dk Skriftlig matematik HHX A hhx102-MAT/A-
x 10.000
f’(x) -175 0 3, 2
f(x) & %
Af monotonilinien ses at f har lokalt minimum for x = 6.000. Da f(x) → ∞ for
x → ∞ og f(x) → ∞ for x → 0 er x = 6.000 et globalt maksimum.
2
Side 9 af 14
Studiekompasset.dk Skriftlig matematik HHX A hhx102-MAT/A-
Opgave nr. 7 (med hjælpemidler).
(a) Den samlede omsætning er givet ved
O(x, y) = p(x) ·x + q(y) ·y = (−x + 300)x + (−4y + 800)y = −x
2
+ 300x −4y
2
+ 800y
(b) For at vise det ønskede omskrives ligningen N(60.900) ⇔ f(x, y) = 60900. Undervejs
bruges kvadretsætning (a − b) = a
2
+ b
2
− 2ab.
N(60.900)
m
f(x, y) = 60900
m
− x
2
+ 300x − 4y
2
+ 800y = 60.900
m
x
2
− 300x + 4y
2
− 800y = −60.900
m
x
2
− 300x +
300
2
2
+ 4
y
2
− 200y +
200
2
2
= −60.900 +
300
2
2
+ 4 ·
200
2
2
m
(x − 150)
2
+ 4(y − 100)
2
= 1600
m
(x − 150)
2
1600
+ 4
(y − 100)
2
1600
= 1
m
(x − 150)
2
40
2
+
(y − 100)
2
400
= 1
m
(x − 150)
2
40
2
+
(y − 100)
2
20
2
= 1
Den sidste ligning ses at være på formen (jf. formel 181)
(x − x
0
)
2
a
2
+
(y − y
0
)
2
b
2
= 1
hvorfor niveaukurven N (60.900) må være en ellipse med centrum i (150, 100) og
halvakserne 40 og 20 som ønsket. Ellipsen er indtegnet på figuren herunder. Det far-
vede område er mulighedsområdet.
1
Side 10 af 14
Studiekompasset.dk Skriftlig matematik HHX A hhx102-MAT/A-
(c) Da centrum for ellipsen, C(150, 100) ligger inden i mulighedsområdet, 0 ≤ x ≤ 200 og
0 ≤ y ≤ 150, må optimum nødvendigvis være i centrum. Den største omsætning fås
altså ved en ugentlig afsætning af 150 ALM og 100 ØKO. Omsætningen ved denne
sammensætning er
O(150, 100) = −150
2
+ 300 · 150 − 4 · 100
2
+ 800 · 100 = 62, 500.
Den maksimale omsætning pr. uge er altså 62.500.
Alle formlerne henviser til Formelsamling for matematik niveau B og A på højere han-
delseksamen, 2001.
Referencer til en formelsamling kræves ikke i en besvarelse, og kan ikke erstatte for-
klaringer og øvrig tekst. Grunden til, at vi medtager formelnumre i vores løsninger,
er så du præcist kan se hvilken formel, der bruges i hver mellemregning. Hvis du til
opgaverne med hjælpemidler angiver formler, skal du i starten af besvarelsen huske
at skrive hvilken formelsamling, du henviser til.
2
Side 11 af 14
Studiekompasset.dk Skriftlig matematik HHX A hhx102-MAT/A-
Opgave nr. 8A (med hjælpemidler).
(a) Når skalaren t = 4 er vektoren
~
b =
4
2
. For at beregne vinklen mellem vektorerne ~a
og
~
b =
4
2
bruges formlem (jf. formel 162)
cos v =
~a ·
~
b
|~a| · |
~
b|
=
−2 · 4 + 7 · 2
p
(−2)
2
+ 7
2
√
4
2
+ 2
2
=
−8 + 14
√
4 + 49
√
20
=
6
√
1060
≈ 0, 1843.
Deraf fås at
v = cos
−1
6
√
1060
≈ 79, 3803
◦
.
Vinklen mellem de to vektorer er altså 79, 38
◦
afrundet til to decimaler.
(b) Længden af en vektor
~c =
c
1
c
2
!
er givet ved (jf. formel 157)
|~c| =
q
c
2
1
+ c
2
2
.
Ligningen der skal løses bliver således
|~a| = |
~
b|
m
q
(−2)
2
+ 7
2
=
p
t
2
+ 2
2
m
(−2)
2
+ 7
2
= t
2
+ 2
2
m
4 + 7
2
= t
2
+ 4
m
t
2
= 7
2
m
t = ±7
De værdier af t for hvilke |~a| = |
~
b| gælder er altså
t = −7 og t = 7.
Alle formlerne henviser til Formelsamling for matematik niveau B og A på højere han-
delseksamen, 2001.
Referencer til en formelsamling kræves ikke i en b esvarelse, og kan ikke erstatte for-
klaringer og øvrig tekst. Grunden til, at vi medtager formelnumre i vores løsninger,
er så du præcist kan se hvilken formel, der bruges i hver mellemregning. Hvis du til
opgaverne med hjælpemidler angiver formler, skal du i starten af besvarelsen huske
at skrive hvilken formelsamling, du henviser til.
1
Side 12 af 14
Studiekompasset.dk Skriftlig matematik HHX A hhx102-MAT/A-
Opgave nr. 8B (med hjælpemidler).
(a) For at finde det punkt i polygonområdet hvor f antager sin mindste værdi bestemmes
først en niveaulinie. Her er valgt N(15) ⇔ f (x, y) = 15. Ligningen løses
f(x, y) = 15
m
2x + 3y = 15
m
3y = −2x + 15
m
y = −
2
3
x + 5
Denne linie er indtegnet stiplet på figuren. Da der er tale et om minimeringsproblem
skal der egentligt parallelforskydes mod (0, 0). Parallelforskydes linie så den er i poly-
gonområdet kan der parallelforskydes mod (0, 0). Den ses at slippe polygonområdet i
det punkt hvor linierne
y = −x + 12 og y = −
1
2
x + 8
skærer hinanden. Dette kan også ses af ulighederne
−
3
2
< −1 < −
2
3
< −
1
2
.
De to liniers skæringspunkt bestemmes. Først bestemmes x.
−
1
2
x + 8 = −x + 12
m
− x + 16 = −2x + 24
m
x + 16 = 24
m
x = 8.
Nu bestemmes y .
y = −x + 12 = −8 + 12 = 4.
f antager altså sin mindte værdi i polygonområdet i punktet (x, y) = (8, 4) Værdien
i dette punkt er givet ved
f(8, 4) = 2 · 8 + 3 · 4 = 16 + 12 = 28.
Minimumsværdien for f indenfor polygonområdet er altså 28.
Bemærk at der er tale om en minimeringsopgave. Dermed skal man parallelforskyde
niveaulinien „indad.“
1
Side 13 af 14
Studiekompasset.dk Skriftlig matematik HHX A hhx102-MAT/A-
(b) Hvis minimumspunktet for f skal fastholdes må det være ved de samme to liniers
skæringspunkt at niveaukurver slipper polygonområdet. Om hældningen, a, af ni-
veaukurven må der altså gælde at
a ∈] − 1; −
1
2
[.
Hvis koefficienten til x i forskriften for f nu kaldes c og niveaukurven N(15) betragtes
som tidligere, fås
15 = cx + 3y ⇔ y = −
c
3
+ 5.
Da liniens hældning kaldes a gælder altså
a = −
c
3
⇔ c = −3a.
Da a ∈] − 1; −
1
2
[ fås således
c ∈] −
1
2
· (−3); −1 · (−3)[=]
3
2
; 3[.
Koefficienten til x i forskriften for f kan altså variere indenfor intervallet
]
3
2
; 3[
uden at minimumspunktet for f ændres.
Grunden til at intervallet, som c skal tilhøre, vendes i forhold til det a skal tilhøre,
er fordi vi multiplicerer med et negativ tal. Dette er en regneregel for uligheder (som
intervallet dybest set er); multipliceres eller divideres uligheden med et negativt tal
vendes ulighedstegnene (svarede til at vi bytter rundt på intervallet).
Alle formlerne henviser til Formelsamling for matematik niveau B og A på højere han-
delseksamen, 2001.
Referencer til en formelsamling kræves ikke i en besvarelse, og kan ikke erstatte for-
klaringer og øvrig tekst. Grunden til, at vi medtager formelnumre i vores løsninger,
er så du præcist kan se hvilken formel, der bruges i hver mellemregning. Hvis du til
opgaverne med hjælpemidler angiver formler, skal du i starten af besvarelsen huske
at skrive hvilken formelsamling, du henviser til.
2
Side 14 af 14