Studiekompasset.dkKlasse: HHX 3. år · Fag: Matematik A
Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 17. august 2012
1
HHX Matematik A
17. august 2012
hhx122-MAT/A-
Nogle opgaver inkluderer referencer til en formel i en grå kasse. Referencer til en formel kræves ikke i en
besvarelse, og kan ikke erstatte forklaringer og øvrig tekst. Grunden til, at her medtages formel i løsningerne,
er så du præcis kan se hvilken formel, der bruges i hver mellemregning.
Alle opgaver er for så vidt muligt regnet med WordMat, da vores erfaring viser, at det er langt det hurtigste
værktøj at anvende. Husk at skrive nedenstående kommentar om at beregningerne er foretaget ved hjælp
HHX 3. år
NB: Mange af de anvendte formler i opgaven kan findes og indsættes direkte fra WordMats egen
formelsamling, som findes øverst til venstre. Der er store tidsbesparelser at hente ved at bruge
formelsamlingen!
Opgaver uden hjælpemidler .............................................................................................................................. 2
Opgaver med hjælpemidler ............................................................................................................................... 5
Studiekompasset.dk Skriftlig matematik HHX A hhx122-MAT/A-
Opgaver uden hjælpemidler - 17. august 2012
Alle formlerne henviser til Formelsamling for matematik. Niveau B og A på højere
handelseksamen fra 1997. Står der er A foran formelnummeret er formlen dog fra ap-
pendikset fra april 2002.
Bemærk: Formelsamling må ikke anvendes til opgaver uden hjælpemidler.
Referencer til en formelsamling bør ikke medtages i en besvarelse, og formelhenvisnin-
ger kan ikke erstatte formler, forklaringer og øvrig tekst. Grunden til, at vi medtager
formelnumre i vores løsninger, er så du præcist kan se hvilken formel, der bruges i
hver mellemregning.
Opgave 1 (Parallelle planvektorer)
Først bestemmes vektoren ~a for t = −
3
2
.
~a =
2t
3
!
=
2 ·
−
3
2
3
!
=
−3
3
!
Det ses nu let at
~a = 3 ·
~
b
Da ~a således er et multipla af
~
b må de to vektorer være parallelle.
Opgave 2 (En ligning for en cirkel)
På figuren aflæses centrum til punktet (4, −1) og radius til 3. Cirklens ligning bliver da
(x − 4)
2
+ (y + 1)
2
= 3
2
Opgave 3 (Bestem en stamfunktion)
For at bestemme F bestemmes først først det ubestemte integrale til f.
Z
f(x) dx =
Z
x
3
+ 4x
dx
(jf. formel 190)
=
Z
x
3
dx +
Z
4x dx
(jf. formel 188)
=
1
4
x
4
+ 2x
2
Idet der findes ét k ∈ R så
F (x) =
Z
f(x) dx + k
2
Studiekompasset.dk Skriftlig matematik HHX A hhx122-MAT/A-
løses ligningen F (0) = 5 nu for k.
F (0) = 5
m
1
4
· 0
4
+ 2 · 0
2
+ k = 5
m
k = 5
Således fås altså
F (x) =
1
4
x
4
+ 2x
2
+ 5
Opgave 4 (Bestem monotoniforhold)
For at bestemme monotoniforholdene differentieres først funktionen.
f
0
(x) =
1
3
x
3
− x
2
0
(jf. formel 190)
=
1
3
x
3
0
−
x
2
0
(jf. formel 191)
=
1
3
x
3
0
−
x
2
0
(jf. formel 188)
=
1
3
· 3x
2
− 2x
= x
2
− 2x
Nu løses ligningen f
0
(x) = 0.
f
0
(x) = 0
m
x
2
− 2x = 0
m
x(x − 2) = 0
m
x = 0 ∨ x = 2
Nu kan endelig monotoniforholdene bestemmes ved at bestemmes fortegnene for f
0
i de
intervallet løsningerne til f
0
(x) = 0 inddeler definitionsmængden for f i.
f
0
(−1) = (−1)
2
− 2 · (−1) = 1 + 2 = 3
f
0
(1) = 1
2
− 2 · 1 = 1 − 2 = −1
f
0
(3) = 3
2
− 2 · 3 = 9 − 6 = 3
Dette giver anledning til følgende monotonilinie.
3
Studiekompasset.dk Skriftlig matematik HHX A hhx122-MAT/A-
x 0 2
f
0
(x) + − +
f(x) % & %
Funktionen f vokser altså på ] − ∞; 0] ∪ [2; ∞[ og aftager på [0; 2].
Opgave 5 (Bestem lineær sammenhæng ud fra to punkter)
Da egenkapitalen vokser lineært kan funktionen skrives på formen
f(x) = ax + b
Først bestemmes hældningskoefficienten, (jf. formel 19)
a =
y
2
− y
1
x
2
− x
1
=
1600 − 1200
6 − 4
=
400
2
= 200
Ved at indsætte et punkt i ligningen f (x) = ax + b kan b nu bestemmes.
f(x) = ax + b
⇓
1200 = 200 · 4 + b
m
1200 = 800 + b
m
b = 400
Forskriften for funktionen f kan da gives ved
f(x) = 200 · x + 400
År 2012 er 9 år efter år 2003. Egenkapitaler i år 2012 er altså givet ved f(9).
f(9) = 200 · 9 + 400 = 1800 + 400 = 2200
Da værdierne for egenkapitalen er i 1000 kroner, er egenkapitalen for virksomheden i 2012
i følge modellen 2,2 millioner kroner.
4
Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 17. august 2012
5
Opgaver med hjælpemidler
Opgave 1
a)
Vi beskriver fordelingen af antal patienter med en sumkurve, vi tegner sumkurven med WordMats skabelon
for grupperede observationer. Resultatet kopieres ind i besvarelsen:
b)
Fordelingen beskrives med typeintervallet og medianen:
Typeintervallet er det interval der optræder hyppigst. Med hele 33 dage er typeintervallet ]5;10]. Oftere
end noget andet interval af samme længde, er der altså 6-10 patienter i nattetimerne.
Medianen aflæses til 10 (afrundet til helt tal), dvs. at der halvdelen af nætterne på hospitalet vil være 10
patienter.
0%
25%
50%
75%
100%
25 30
Kum. Frek.
Antal dage
Sumkurve
Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 17. august 2012
6
Opgave 2
a)
Vi bestemmer koordinaterne til vektor 
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
og 
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
:
Vi definerer punkterne:
󰇡

󰇢
󰇡

󰇢
󰇡
󰇢
Vi bestemmer vektorerne:

󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
󰇡

󰇢

󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
󰇡
󰇢
Koordinatsættet til vektorerne er bestemt til 
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
󰇡

󰇢 og 
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
󰇡
󰇢.
b)
Vi bestemmer vinkel A i trekant ABC ved at bestemme vinklen mellem vektor 
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
og vektor 
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
:
Vi definerer vektorerne:

󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
󰇡

󰇢

󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
󰇡
󰇢
Vi bestemmer vinklen mellem vektorerne:

󰇛
󰇜

󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍

󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍

󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍


󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
Ligningen løses for v vha. CAS-værktøjet WordMat.

Vinkel A i trekant ABC er bestemt til 52,13° (afrundet til 2 decimaler).
Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 17. august 2012
7
Opgave 3
a)
Vi definerer forskriften for D og S samt definitionsmængden for x:
󰇛
󰇜

 
󰇛
󰇜


 
Størrelsen af forbrugeroverskuddet FO bestemmes som differensen mellem arealet under grafen for D og
arealet under grafen for linjen med ligningen y = 5300 i intervallet [0; 100]:

󰇛
󰇜





Vi har dermed gjort rede, for at forbrugeroverskuddet er lig 230000 kr.
Vi bestemmer producentoverskuddet PO som differensen mellem arealet under grafen for linjen med
ligningen y = 5300 og arealet under grafen S i intervallet [0;100]:
 

󰇛
󰇜



Producentoverskuddet er bestemt til 248333 kr. (afrundet til helt tal.)
b)
Vi definerer forskriften for D
1
:
󰇛
󰇜

 
Vi bestemmer skæringen mellem grafen for D
1
og grafem for S:
󰇛
󰇜
󰇛
󰇜
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

Vi bestemmer funktionsværdien i punktet med førstekoordinaten x = 100 for D
1
(x):
󰇛

󰇜

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 17. august 2012
8
Vi har, at grafen for D
1
og grafen for S skærer hinanden i punktet S(100, 5300), vi har dermed vist, at graferne
skærer hinanden i punktet A.
c)
Vi bestemmer først en ny værdi for forbrugeroverskuddet for D
1
:
󰇛
󰇜





Den samlede velfærdseffekt bestemmes som summen af FO
1
og PO:
 

Den samlede velfærdseffekt VE er bestemt til 428 333 kr. (afrundet til helt tal).
Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 17. august 2012
9
Opgave 4
a)
Niveaukurven
󰇛

󰇜
er en ellipses netop hvis ligningen 
󰇛

󰇜
 for passende reelle tal

kan omskrives til formen:
󰇛
󰇜
󰇛
󰇜

Vi omskriver niveaukurven N(20 000):

󰇛

󰇜


 
 

 
 










󰇛

󰇜

󰇛
󰇜






󰇛

󰇜
󰇛
󰇜

Vi kan konkludere at niveaukurven N(20 000) er en ellipses med centrum i (20, 5).
b)
Vi indtegner to niveaukurver og begrænsninger i GeoGebra. Resultatet kopieres ind i besvarelsen:
Vi indtegner niveaukurverne:

󰇛

󰇜

󰇛

󰇜
Polygonområdet er begrænset af:
Og:
Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 17. august 2012
10

Uligheden løses for y vha. CAS-værktøjet WordMat.

Illustration af polygonområdet:
c)
Da ellipsernes centrum ligger inden for det polygonformede kapacitetsområde, findes den optimale
produktionssammensætning i ellipsernes centrum C(20, 5).
Dvs. at dækningsbidraget bliver størst muligt, hvis der produceres 20 BIO og 5 FORCE pr. uge.
Vi bestemmer det størst mulige dækningsbidrag ved at bestemme DB(20, 5):

󰇛

󰇜




Det størst mulige dækningsbidrag pr. uge er bestemt til 20250 kr.
Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 17. august 2012
11
Opgave 5
a)
Vi definerer kendte størrelser:




Vi bestemmer størrelsen af beløbet efter de tre rentetilskrivninger:
󰇛
󰇜
󰇛
󰇜
󰇛
󰇜

Størrelsen af beløbet efter de tre rentetilskrivninger er bestemt til 2825380 kr. Vi har dermed gjort rede.
b)
Vi definerer antallet af terminer:
Vi bestemmer den gennemsnitlige rente:
󰇛
󰇜
󰇛
󰇜
󰇛
󰇜

Den gennemsnitlig rente i de tre år er bestemt til 4,15 % (afrundet til 2 decimaler). Vi har dermed gjort rede.
Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 17. august 2012
12
Opgave 6
a)
Vi har, at grafen for den afledede funktion pr. definition viser forløbet for tangenthældning til grafen for den
ikke afledede funktion. Vi kan aflæse for graf 2 at x = 1 er et nulpunkt samt at hældningen til tangenten i x =
0 for Graf 2 er lig 0, vi kan med tidligere forklaret sammenhæng in mente konkludere at Graf 1 viser grafen
for en differentiabel funktion.
Illustration af grafer (illustrationen er ikke nødvendig til eksamen).
Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 17. august 2012
13
Opgave 7
a)
Vi beskriver funktionen f med nulpunkter og fortegnsvariation:
Vi definerer f(x):
󰇛
󰇜



Vi bestemmer nulpunkter til grafen for f:
󰇛
󰇜
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
   
Nulpunkterne til grafen for f er bestemt til hhv. N(0,0) og N2(2,0) og N3(4,0)
Vi undersøger fortegnsvariationen:
󰇛

󰇜

󰇛
󰇜

󰇛
󰇜
󰇛
󰇜

Funktionen f er positiv i intervallet ]-∞; 0[ og ]2;4[
Funktionen f er negativ i intervallet ]0;2[ og ]4; ∞[

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 17. august 2012
14
Opgave 8
a)
Linje 1: Arealet under grafen er givet som det bestemte integral af f i intervallet [1; 3].
Linje 2: Forskriften for f substitueres ind i udtrykket for arealet under grafen i intervallet [1; 3].
Linje 3: f integreres.
Linje 4: Grænsernes indsættes og det bestemte integral reduceres yderligere.
Linje 5: Konstanten a isoleres og er bestemt til a = 5.
b)
Vi opstiller et lignende udtryk som i opg a) med den nye funktion f og løser for a:
 
Ligningen løses for a vha. CAS-værktøjet WordMat.
Værdien a, så arealet under grafen f i intervallet [1; 3] forbliver 30, er bestemt til 3.
Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 17. august 2012
15
Til eksamen skal du kun udvælge én af de to følgende opgaver, 9A og 9B. Her bringes alle løsninger, så du
kan bruge dem til at øve de forskellige opgavetyper.
Opgave 9A
a)
Vi definerer forskriften for f og førstekoordinaten til punktet:
󰇛
󰇜


Vi bestemmer en tangent til grafen for f i punkter (-1, f(-1)):
󰆒
󰇛
󰇜
󰇛
󰇜
󰇛
󰇜
Ovenstående udtryk er identisk med udtrykket i opgaveformuleringen. Vi har dermed gjort rede.
b)
Vi bestemmer grænserne for det grå område som skæringen mellem grafen f grafen t:
󰇛
󰇜
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
 
Da grafen t ligger over grafen f i intervallet [-1; 3] er det grå område givet ved:

󰇛
󰇜




Arealet af det grå område er bestemt til 64/3.

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 17. august 2012
16
Opgave 9B
a)
Området er underlagt følgende begrænsninger:
5𝑥+4𝑦 ≥ 48
⇕ Uligheden løses for y vha. CAS-værktøjet WordMat.
−0,25·
(
5·𝑥 −48
)
≤ 𝑦
Udtrykket omskrives vha. CAS-værktøjet WordMat ved brug af metoderne: Automatisk reduktion, Udvid,
−1,25·𝑥+12 ≤ 𝑦
Og:
𝑥+2𝑦 ≤ 24
⇕ Uligheden løses for y vha. CAS-værktøjet WordMat.
𝑦 ≤ −0,5·
(
𝑥−24
)
Udtrykket omskrives vha. CAS-værktøjet WordMat ved brug af metoderne: Automatisk reduktion, Udvid,
𝑦 ≤ −0,5·𝑥+12
Og:
𝑥+4𝑦 ≥ 32
⇕ Uligheden løses for y vha. CAS-værktøjet WordMat.
−0,25·
(
𝑥−32
)
≤ 𝑦
Udtrykket omskrives vha. CAS-værktøjet WordMat ved brug af metoderne: Automatisk reduktion, Udvid,
−0,25·𝑥+8 ≤ 𝑦
Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 17. august 2012
17
Vi indtegner det polygonformede kapacitetsområde i GeoGebra. Resultatet kopieres ind i besvarelsen.
Illustration af polygonformet kapacitetsområde, den grønne linje betegner de samlede
reklameomkostninger:
Vi ser på illustrationen, at punktet der beskriver de mindst mulige samlede reklameomkostninger, er
skæringspunktet mellem linjerne med ligningen herunder.
 

Ligningssystemet løses for x,y vha. CAS-værktøjet WordMat's 'Løs Ligninger' funktion,
 
Vi kan konkludere, at de mindst mulige samlede reklameomkostninger findes ved 4 annoncer i lokalavisen
og 7 reklamespots i lokalbiografen.
b)
Vi foretager en følsomhedsanalyse.
Vores kriteriefunktion bliver nu (i det a bliver vores variabel).
󰇛

󰇜

Dvs. niveaulinjen får hældningen

. Hvis minimum stadig skal findes i (x, y) = (4, 7), må hældningen
ligge mellem hældningerne for de to rette linjer givet ved ligningerne:
 
Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 17. august 2012
18
Og:
−0,25·𝑥+8 ≤ 𝑦
Det vil sige:
−1,25≤ −
𝑎
10000
≤ −0,25
Vi løser de to uligheder hver for sig:
−1,25≤ −
𝑎
10000
⇕ Uligheden løses for a vha. CAS-værktøjet WordMat.
𝑎 ≤ 12500
Og:
−
𝑎
10000
≤ −0,25
⇕ Uligheden løses for a vha. CAS-værktøjet WordMat.
𝑎 ≥ 2500
For at hældningen af niveaukurverne bliver indenfor det ønskede interval, kan prisen for annoncer i
lokalavisen variere i intervallet:
[
2500;12500
]
Prisen for annoncer i lokalavisen kan altså variere mellem 2500 kroner og 12500 kroner, uden at punktet for
mindsteværdien af f flyttes.