Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 21. december 2009
1
HHX Matematik A
21. december 2009
HHX093-MAA
Nogle opgaver inkluderer referencer til en formel i en grå kasse. Referencer til en formel kræves ikke i en
besvarelse, og kan ikke erstatte forklaringer og øvrig tekst. Grunden til, at her medtages formel i løsningerne,
er så du præcis kan se hvilken formel, der bruges i hver mellemregning.
Alle opgaver er for så vidt muligt regnet med WordMat, da vores erfaring viser, at det er langt det hurtigste
værktøj at anvende. Husk at skrive nedenstående kommentar om at beregningerne er foretaget ved hjælp
HHX 3. år
NB: Mange af de anvendte formler i opgaven kan findes og indsættes direkte fra WordMats egen
formelsamling, som findes øverst til venstre. Der er store tidsbesparelser at hente ved at bruge
formelsamlingen!
Delprøven uden hjælpemidler .......................................................................................................................... 2
Delprøven med hjælpemidler ........................................................................................................................... 5
Studiekompasset.dk Uden hjælpemidler Matematik A - HHX, dec 2009
Alle formlerne henviser til Formelsamling for matematik niveau B og A på højere
handelseksamen, 2001.
Opgave 1
a
Jvf. formel 159 adderes vektorer således:
~a +
~
b =
2 + 1
6 + (−2)
!
=
3
4
!
Vi kan nu finde længden af denne vektor jvf. formel 157.
|~a +
~
b| =
p
3
2
+ 4
2
=
√
25 = 5
Altså er længden af de to vektorer adderet, 5.
Opgave 2
a
Vi finder skæringspunktet i mellem graferne for de to funktioner. Dette gøres ved at løse
d(x) = s(x) med hensyn til x.
d(x) = s(x)
m
1
4
x
2
− 5x + 24 =
1
4
x
2
+ 2x + 10
m
− 5x + 24 = 2x + 10
m
7x = 14
m
x = 2
Vi finder nu den pris der tilsvarer denne mængde ved at udregne S(2).
s(2) =
1
4
· 2
2
+ 2 · 2 + 10 = 1 + 4 + 10 = 15
Altså er ligevægtsprisen for varen A 15,00 kr.
Opgave 3
a
Hældningen af tangenten kan findes ved at differentiere f (x) og dernæst indsætte x-
koordinaten for tangentpunktet. Vi differentierer:
2
Studiekompasset.dk Uden hjælpemidler Matematik A - HHX, dec 2009
f
0
(x) =
x
3
− 3x
2
− 9x + 1
0
Formel 105 og 106
= 3x
2
− 6x − 9
Vi finder nu f
0
(0).
f
0
(0) = 0
3
− 6 · 0 − 9 = −9
Vi bestemmer nu punktet P .
P (0, f(0)) = P (0,
0
3
− 3 · 0
2
− 9 · 0 + 1
) = 1
Jvf. formel 103, kan vi nu udregnes tangentligningen således:
y = −9(x − 0) + 1
= −9x + 1
Altså er tangenten der går igennem punktet P (0, f(0) givet ved:
y = −9x + 1
Opgave 4
a
Vi ved at
√
y har definitionsmængden y ∈ [0; ∞[. Vi sætter 2x − 4 = y og bestemmer
definitionsmængden.
2x − 4 > 0
m
2x > 4
m
x > 2
Derfor er definitionsmængden for f (x), Dm(f ) = [2; ∞[
Opgave 5
a
Jvf. formel 201 er arealet, A imellem graferne for to funktioner, f og g, afgrænset af x = a
og x = b givet ved:
A =
Z
b
a
(f − g)dx
3
Studiekompasset.dk Uden hjælpemidler Matematik A - HHX, dec 2009
Vi indsætter vores funktioner og grænser og finder:
A =
Z
2
0
(4 − (3x
2
− 6x + 4))dx
Formel 188 og 190
=
h
x
3
+ 3x
2
i
2
0
= 12 − 8
= 4
Arealet om området {(x, y)|0 ≤ x ≤ 2 ∧ 3x
2
− 6x + 4 ≤ y ≤ 4} er altså 4
4
Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 21. december 2009
5
Delprøven med hjælpemidler
Opgave 1
a)
Vi benytter, at hvis skalarproduktet mellem to vektorer er lig 0, så er vektorerne ortogonale. Vi bestemmer
skalarproduktet mellem vektor og vektor
, når t = 1:
Skalarproduktet mellem vektor og vektor
, når t = 0, er bestemt til 0. Vi har dermed gjort rede.
b)
Vi benytter, at når determinanten mellem to vektorer er lig 0, så er vektorerne parallelle med hinanden:
Ligningen havde ingen løsninger indenfor for variabel t
Der findes ingen løsninger for t . Vi har dermed gjort rede.
c)
Vi benytter, at arealet af parallelogrammet udspændt af to vektorer er lig den numeriske værdi af
determinanten for de to vektorer:
Ligningen løses for t vha. CAS-værktøjet WordMat.
Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 21. december 2009
6
De to værdier af t, så arealet af parallelogrammet udspændt af vektor og vektor
er lig 8, er bestemt til
t = -1 og t = 0.
Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 21. december 2009
7
Opgave 2
a)
Inden vi tegner et diagram, sorterer vi dataet med en Pivot-tabel i Excel, derefter tegner vi et pindediagram
til at beskrive fordelingen af solgte støvsugere pr. uge. Pindediagrammet tegnes i WordMats skabelon for
ugrupperede observationer, resultatet kopieres ind i besvarelsen.
b)
Vi vælger at beskrive fordelingen af støvsugere pr. uge vha. af de 3 statistiske deskriptorer: Typetal, Median
og kvartilsæt.
Typetal: Typetallet kan aflæses fra diagrammet I opg a) til 2, dvs. at der typisk bliver solgt to støvsugere om
dagen.
Median: Medianen bestemmes med WordMats skabelon for ugrupperede observationer, resultatet kopieres
ind i besvarelsen.
Median
2
Medianen er bestemt til 2, dvs. at 50 % af gangene bliver der solgt under 2 støvsugere om ugen, og 50 % af
gangene bliver der solgt over 2 støvsugere om dagen.
Kvartilsæt: Kvartilsættet bestemmes med WordMats skabelon for ugrupperede observationer, resultatet
kopieres ind i besvarelsen.
Deskriptorer
Kvartilsæt
Mindste
0
Nedre
1,5
Median
2
Øvre
3
Største
4
0
1
2
3
4
5
6
7
0 1 2 3 4
Antal observationer
Antal solgte støvsugere
Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 21. december 2009
8
Opgave 3
a)
Vi ved, at der er tale om rentesregning, da der ydes en fast rente, og der kun indsætte engangsbeløb. Vi
udregner hvor mange penge Carsten har pr. 1. april, 2007 umiddelbart efter indsættelsen af de 10000 kr.:
Vi beregner nu, hvor mange penge Carsten har pr. juli, 2009, dvs. 9 terminer senere:
Saldoen umiddelbart efter indbetalingen 1. juli 2009 er bestemt til 43672,39 kr. Vi har dermed gjort rede.
b)
Vi antager, at beløbet mellem 1. juli og 1. august bliver forrentet med 1 % pr. kvartal. Vi beregner den
månedlige rente ved:
Ligningen løses for r vha. CAS-værktøjet WordMat.
Vi beregner beløbet som Carsten har til rådighed i starten af sin uddannelse dvs. pr. 1. august 2009:
Vi bestemmer beløbet Carsten får udbetalt hver måned vha. formlen for ydelsen af et annuitetslån:
Carsten får udbetalt 752,0 kr. hver måned i de 5 år hans uddannelse tager.
Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 21. december 2009
9
Opgave 4
a)
Vi definerer en forskrift for f, hvor :
Vi vælger beskriver funktionen med de to analysepunkter: Nulpunkter og monotoniforhold.
Vi bestemmer nulpunkter til f:
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Grafen for f har nulpunkter i x = -3, x = 0 og x = 1.
Vi bestemmer monotoniforhold for f.
Vi bestemmer først nulpunkter til grafen for den afledede funktion f’:
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Vi undersøger fortegnet for differentialkvotienten på begge sider af nulpunktet:
Vi opskriver monotoniforhold for f:
f er voksende i intervallet ]-∞; -1,87] og [0,54; ∞[
f er aftagende i intervallet [-1,87; 0,54]
Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 21. december 2009
10
Opgave 5
a)
Omsætningen kan beskrives med en eksponentiel funktion, da udviklingen sker med en fast % om året.
f(x) betegner omsætningen i en virksomhed til året x år efter år 2000, hvor x > 0.
x betegner antal år efter år 2000, hvor x > 0.
b betegner virksomhedens omsætningen i år 2000, dvs. x = 0, og er 942 000 kr.
a betegner fremskrivningsfaktoren. Med vækstraten r kan vi beregne fremskrivningsfaktoren:
Vi opskriver en model, der angiver virksomhedens omsætning x år efter år 2000:
En model, der beskriver virksomhedens omsætning til året x år efter år 2000 er bestemt til ovenstående
udtryk.
b)
Vi definerer forskriften for f(x) samt definitionsmængden for x:
Vi bestemmer tidspunktet, hvor den forventede omsætning er 700 000 kr. ved at løse f(x) = 700 000 for x:
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Ifølge modellen er virksomhedens forventede omsætning faldet til 700 000 kr. ca. 12,22 år (afrundet til 2
decimaler) efter år 2000 dvs. i år 2012.
Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 21. december 2009
11
Opgave 6
a)
Linje 1:
fremkommer da tallet under kvadratroden skal være større end 0.
Linje 2:
Der kvadreres på begge sider - Desuden gælder , herfra og nedefter.
Linje 3:
På højre side bruges 2. kvad. Sætning, der siger:
Linje 4:
Leddene rykkes sammen, tilbage står en 2. gradsligning.
Linje 5:
Ligningen løses med formel
.
Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 21. december 2009
12
Opgave 7
a)
Vi definerer en forskrift for f(x) samt definitionsmængden for x:
Vi bestemmer den samlede omsætning efter 365 dage:
Ifølge modellen vil virksomhedens samlede omsætning i år 2010 være 147673 kr. (afrundet til helt tal).
b)
Vi definerer forskriften for g(x):
Vi bestemmer arealet mellem graferne, som differensen mellem arealet under grafen for f og arealet under
grafen for g i intervallet [0; 365]:
Ifølge modellen vil virksomhedens samlede overskud i år 2010 være 69533 kr. (afrundet til helt tal).
Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 21. december 2009
13
Opgave 8
a)
Vi definerer en forskrift for p(x) og q(y) samt definitionsmængden for x og y:
Vi har, at den samlede omsætning kan beskrives ved:
Udtrykket omskrives vha. CAS-værktøjet WordMat ved brug af metoderne: Automatisk reduktion, Udvid,
Den samlede omsætning kan beskrives med ovenstående udtryk, vi har dermed gjort rede.
b)
Kan niveaukurven N(31250) omskrives til den generelle formel for en ellipse:
Hvor ellipsens centrum betegner C
. Vi omskriver niveaukurven N(31250):
Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 21. december 2009
14
Vi kan konkluderer, at niveaukurven N(31250) er en ellipse med centrum i C(125, 400).
Vi indtegner niveaukurven N(31250) og begrænsningsområdet i GeoGebra, resultatet kopieres ind i
besvarelsen:
Begrænsningsområdet er begrænset af følgende:
Uligheden løses for y vha. CAS-værktøjet WordMat.
Samt:
Udtrykket omskrives vha. CAS-værktøjet WordMat ved brug af metoderne: Automatisk reduktion, Udvid,
Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 21. december 2009
15
Illustration fra GeoGebra:
c)
Vi bestemmer punktet, der beskriver den mest optimale omsætning pr. dag, som det punkt, hvor en
niveaukurve netop skærer linjen med ligningen :
Vi indsætter ligningen for linjen i niveaukurven og omskriver ligningen:
Udtrykket omskrives vha. CAS-værktøjet WordMat ved brug af metoderne: Automatisk reduktion, Udvid,
Dvs. vi har andengradspolynomiet:
Dette polynomium skal have netop én rod, derfor må diskriminanten være lig 0, vi finder førstekoordinaten
for roden ved:
Vi
Vi bestemmer anden koordinaten ved:
Vi har, at den optimale omsætning pr. uge findes i punktet (100, 300).
Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 21. december 2009
16
Vi kan konkludere, at under den nævnte begrænsning bliver den optimale afsætning 100 stk. af P1 pr. uge og
300 stk. P2 pr. uge.
Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 21. december 2009
17
Kun én af besvarelse af opgaverne 9A og 9B skal afleveres til bedømmelse.
Opgave 9A
a)
Vi omskriver niveaulinjen f(x, y) for et vilkårligt tal t, så vi kan aflæse niveaukurvernes hældning:
Vi kan aflæse niveaukurvernes hældning til -1.
Vi bestemmer hældningerne for de to begrænsninger:
Og:
Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 21. december 2009
18
Da -2 < -1 < -1/2 findes punktet, der beskriver den størst mulige omsætning i skæringspunktet mellem
linjerne:
Vi bestemmer skæringspunktet ved at løse ovenstående ligningssystem som to ligninger med to ubekendte:
Ligningssystemet løses for y,x vha. CAS-værktøjet WordMat's 'Løs Ligninger' funktion,
For at opnå den størst mulige omsætning, skal der produceres 12 stk. af T1 om dagen samt 24 stk. af T2 om
dagen.
b)
Vi foretager en følsomhedsanalyse:
Vores kriteriefunktion bliver nu (i det a bliver vores variabel):
Dvs. niveaulinjen får hældningen
. Hvis minimum stadig skal findes i (x, y) = (25, 25), må hældningen ligge
mellem hældningerne for de to rette linjer givet ved ligningerne:
Dvs.:
Vi løser de to uligheder hver for sig:
Uligheden løses for a vha. CAS-værktøjet WordMat.
Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 21. december 2009
19
Og:
Uligheden løses for a vha. CAS-værktøjet WordMat.
For at den største mulige samlede omsætning stadig findes med produktionssammensætningen bestemt i
opg a), kan prisen for T1 varierer i intervallet:
Vi kan konkludere, at prisen for T1 maksimalt kan stige til 50 kr., så den størst mulige samlede omsætning
stadig findes med produktionssammensætningen bestemt i opg a) dvs. 12 stk. af T1 og 24 stk. af T2.
Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 21. december 2009
20
Opgave 9B
a)
Vi har, at det bestemte integral er givet ved:
Det bestemte integral er bestemt til 0,75.
b)
Vi benytter, at tangentens ligning til et punkt x
0
er givet ved:
Vi bestemmer en ligningen til tangenten for grafen f i x = 1:
Udtrykket omskrives vha. CAS-værktøjet WordMat ved brug af metoderne: Automatisk reduktion, Udvid,
En ligning for tangenten til grafen for f i x = 1 er bestemt til ovenstående udtryk.