Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 19. december 2011
1
HHX Matematik A
19. december 2011
hhx113-MAT/A-
Nogle opgaver inkluderer referencer til en formel i en grå kasse. Referencer til en formel kræves ikke i en
besvarelse, og kan ikke erstatte forklaringer og øvrig tekst. Grunden til, at her medtages formel i løsningerne,
er så du præcis kan se hvilken formel, der bruges i hver mellemregning.
Alle opgaver er for så vidt muligt regnet med WordMat, da vores erfaring viser, at det er langt det hurtigste
værktøj at anvende. Husk at skrive nedenstående kommentar om at beregningerne er foretaget ved hjælp
HHX 3. år
NB: Mange af de anvendte formler i opgaven kan findes og indsættes direkte fra WordMats egen
formelsamling, som findes øverst til venstre. Der er store tidsbesparelser at hente ved at bruge
formelsamlingen!
Opgaver uden hjælpemidler .............................................................................................................................. 2
Opgaver med hjælpemidler ............................................................................................................................... 4
Studiekompasset.dk Skriftlig matematik HHX A hhx113-MAT/A-
Opgaver uden hjælpemidler - 19. december 2011
Opgave 1
Først integreres funktionen f ved hjælp af de sædvanlige regneregler for integration af
polynomier (jf. formel 190,191,188). For netop ét k ∈ R fås
F (x) =
Z
f(x) dx =
Z
−3x
2
+ 2x
dx = −x
3
+ x
2
+ k .
Konstanten k bestemmes ved at løse ligninge F (1) = 2.
F (1) = 2 ⇔ −1
3
+ 1
2
+ k = 2 ⇔ 1 + 1 + k = 2 ⇔ k = 0 .
Funktionen F er således givet ved forskriften
F (x) = −x
3
+ x
2
.
Opgave 2
Tallet 4, 33 angiver at prisen på en liter benzin i år 1990 var 4,33 kroner. Tallet 0, 30
beskriver at priser på en liter benzin siden 1990 er steget med 30 øre hvert år.
Opgave 3
Funktionen f differentieres ved hjælp af de sædvanlige regneregler for differentation af
polynomier (jf. formel 105,108,106).
f
0
(x) =
3x
5
+ 2x
3
− 5x + 1
0
= 15x
4
+ 6x
2
− 5 .
Opgave 4
At x = −2 er en løsning kan vises ved at bestemme udtrykket på højresiden for x = −2.
Udtrykket bestemmes.
(2 · (−2) + 4) · ((−2)
2
− 2 · (−2)) = (−4 + 4) · (4 + 4) = 0 · 8 = 0 .
x = −2 er altså en løsning til ligningen. Samtlige tre løsninger bestemmes ved at løse
ligningen. Nulreglen anvendes.
(2x + 4) · (x
2
− 2x) = 0
m
2x + 4 = 0 ∨ x
2
− 2x = 0
m
2x = −4 ∨ x(x − 2) = 0
m
x = −2 ∨ x = 0 ∨ x = 2 .
De øvrige to løsninger er altså
x = 0 og x = 2 .
2
Studiekompasset.dk Skriftlig matematik HHX A hhx113-MAT/A-
Opgave 5
Ligevægtsmængden bestemmes ved at løse ligningen d(x) = s(x) for x. Ligningen løses.
d(x) = s(x) ⇔ 0, 09x
2
− 6x + 70 = 0, 09x
2
+ x + 7 ⇔ 7x = 63 ⇔ x = 9 .
Ligevægtsmængden for varen er altså 9.
Alle formlerne henviser til Formelsamling for matematik. Niveau B og A på højere
handelseksamen fra 1997. Står der er A foran formelnummeret er formlen dog fra ap-
pendikset fra april 2002.
Bemærk: Formelsamling må ikke anvendes til opgaver uden hjælpemidler.
Referencer til en formelsamling bør ikke medtages i en besvarelse, og formelhenvisnin-
ger kan ikke erstatte formler, forklaringer og øvrig tekst. Grunden til, at vi medtager
formelnumre i vores løsninger, er så du præcist kan se hvilken formel, der bruges i
hver mellemregning.
3
Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 19. december 2011
4
Opgaver med hjælpemidler
Opgave 1
a)
Vi tegner et trappediagram til at beskrive fordelingen af antal solgte herresko. Vi tegner trappediagrammet
med WordMats skabelon for ugrupperede observationer, resultatet kopieres ind i besvarelsen:
b)
Vi beskriver fordelingen vha. Typetal og Median.
Typetal: Skostørrelsen 42 er den hyppigst forekommende skostørrelse med en hyppighed på 183.
Median: Median er bestemt med WordMats skabelon for ugrupperede observationer, resultatet er kopieret
ind i besvarelsen.
Median
42
Medianen er bestemt til 42, dvs. at 50 % af skostørrelserne er under størrelse 42, og 50 % af skostørrelserne
er over størrelse 42.
0%
25%
50%
75%
100%
45
Kum. Frek.
Skostørrelse
Trappediagram
Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 19. december 2011
5
Opgave 2
a)
Vi bestemmer skalarproduktet mellem vektor og vektor
, når t = 0:
Skalarproduktet, når t = 0, er bestemt til -5.
b)
Vi definerer vektorerne.
Vi bestemmer vinklen mellem vektorerne, når t = 0.
Ligningen løses for v vha. CAS-værktøjet WordMat.
Vinklen mellem vektorerne, når t = 0, er bestemt til 108,4° (afrundet til 1 decimal).
c)
Vi benytter, at når determinanten mellem to vektorer er lig 0, så er vektorerne parallelle:
Ligningen løses for t vha. CAS-værktøjet WordMat.
De to værdier af t, der gør vektor
og vektor parallelle, er bestemt til t = -5 og t = 10.
Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 19. december 2011
6
Opgave 3
a)
Vi definerer forskriften for d samt definitionsmængden for x:
Vi bestemmer prisen p, der giver en efterspørgsel af varen på 50 kg, ved at bestemme d(50):
Prisen p på 83,5 kr. pr. kg, giver en efterspørgsel på 50 kg af varen.
b)
Vi bestemmer arealet af det grå område som differensen mellem arealet under grafen for d i intervallet [0;
50] og arealet under grafen for linjen med ligningen y = 83,5 i intervallet [0; 50]:
Comsumer Surplus for varen er bestem til 1839,6 kr. (afrundet til 1 decimal).
Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 19. december 2011
7
Opgave 4
a)
Vi definerer en forskrift for R(x) og C(x) samt definitionsmængden for x:
Forskriften for P er givet ved:
Dvs.:
Udtrykket omskrives vha. CAS-værktøjet WordMat ved brug af metoderne: Automatisk reduktion,
Udtrykket for omsætningen P(x) er bestemt til ovenstående udtryk. Vi har dermed gjort rede.
b)
Vi definerer P(x):
Vi bestemmer afsætningen, der giver størst overskud, ved at optimere P(x).
Vi bestemmer nulpunkter for den afledede funktion P’(x):
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Vi undersøger fortegnet for differentialkvotienten på begge sider af nulpunkterne for den afledede funktion
p’(x):
Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 19. december 2011
8
Vi kan konkludere at nulpunktet x = 1040,512 er et maksimum.
Den afsætning, der giver størst muligt overskud, er bestemt til 1041 stk. høreapparater (afrundet op til hel
høreapparat).
c)
Vi bestemmer en forskrift for GROMK:
Udtrykket omskrives vha. CAS-værktøjet WordMat ved brug af metoderne: Automatisk reduktion,
Vi definerer forskriften for GROMK:
Vi bestemmer den afsætning, der giver de mindst mulige grænseomkostninger, ved at optimere GROMK(x).
Vi bestemmer nulpunkter til den afledede funktion GROMK’:
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Vi undersøger fortegnet for differentialkvotienten på begge sider af nulpunktet.
Vi kan konkludere at nulpunktet er et minimum.
Den afsætning, der giver mindst mulige grænseomkostninger, er bestemt til 650 stk. høreapparater.
Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 19. december 2011
9
Opgave 5
a)
Vi definerer en forskrift for p(x) og q(y) samt definitionsmængden for hhv. x og y:
Vi har at dækningsbidraget kan bestemmes ved:
Dvs.:
Udtrykket omskrives vha. CAS-værktøjet WordMat ved brug af metoderne: Automatisk reduktion, Udvid,
Udtrykket for dækningsbidraget DB(x; y) er bestemt til ovenstående udtryk. Vi har dermed gjort rede.
b)
Niveaukurven N(57600) er en ellipse, hvis ligningen kan omskrives til den generelle formel for en ellipse:
Vi opskriver niveaukurven N(57600) og omskriver:
Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 19. december 2011
10
Vi kan konkludere, at niveaukurven
er en ellipse.
c)
Vi indtegner det polygonformede kapacitetsområde og niveaukurven N(57600) i GeoGebra. Resultatet
kopieres ind i besvarelsen.
Dækningsbidraget er underlagt følgende begrænsninger:
Uligheden løses for y vha. CAS-værktøjet WordMat.
Og:
Illustration fra GeoGebra:
Vi kan konkludere at ellipsernes centrum ligger inden for det polygonformede kapacitetsområde, dvs. det
størst mulige dækningsbidrag skal findes i ellipsernes centrum C(80, 150).
Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 19. december 2011
11
Det størst mulige dækningsbidrag findes ved en produktion og afsætning af 80 stk. af vare A pr. uge og 150
stk. af vare B pr. uge.
Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 19. december 2011
12
Opgave 6
a)
Vi bestemmer en forskrift for linjen l. Vi kender to punkter på linjen, og vi ved at linjen er lineær, vi bestemmer
derfor en linjens ligning ved at løse to ligninger med to ubekendte.
Ligningssystemet løses for a,b vha. CAS-værktøjet WordMat's 'Løs Ligninger' funktion,
Vi opskriver og definerer en ligning for linjen l:
En ligning for linjen l er bestemt til ovenstående udtryk.
I punktet A er x = 0:
Punktet A er bestemt til A(0, 5/2).
I punktet B er y = 0, vi løser for x:
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Punktet B er bestemt til B(5/2, 0).
b)
Vi bestemmer arealet af det grå område som differensen af arealet under grafen for linjen l i intervallet [A;
B] og arealet mellem graferne for linjen l og linjen f i intervallet [P; Q]:
Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 19. december 2011
13
Arealet af det grå område er bestemt til 2,64 (afrundet til 2 decimaler).
Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 19. december 2011
14
Opgave 7
a)
Linje 1:
Ligningen er skrevet op.
Linje 2:
Variablen trækkes uden for parentes.
Linje 3:
Nulreglen bruges.
Linje 4:
Kvadratsætningen
benyttes.
Linje 5: L
Løsningsmængden opskrives efter at
er løst.
Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 19. december 2011
15
Kun én af besvarelse af opgaverne 8A og 8B skal afleveres til bedømmelse.
Opgave 8A
a)
For et vilkårligt tal t omskriver vi ligningen f(x, y) = t:
Vi kan konkludere, at linjen har en hældning på -1,5 dvs. da -1,5 < -2 < -0,5 antager f sin mindste værdi i
skæringspunktet mellem linjerne.
Vi bestemmer skæringspunktet, ved at løse ovenstående ligningssystem som to ligninger med to ubekendte.
Ligningssystemet løses for y,x vha. CAS-værktøjet WordMat's 'Løs Ligninger' funktion,
Det punkt inden for polygonområdet, hvor f antager sin mindste værdi, er bestemt til (200, 100).
b)
Vi foretager en følsomhedsanalyse.
Vores kriteriefunktion bliver nu (i det a bliver vores variabel):
Dvs. niveaulinjen får hældningen
. Hvis minimum stadig skal findes i (x, y) = (200, 100), må hældningen
ligge mellem hældningerne for de to rette linjer givet ved ligningerne.
Og:
Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 19. december 2011
16
Det vil sige:
Vi løser de to uligheder hver for sig:
Uligheden løses for a vha. CAS-værktøjet WordMat.
Og:
Uligheden løses for a vha. CAS-værktøjet WordMat.
For at hældningen af niveaukurverne bliver indenfor det ønskede interval, koefficienten for x variere i
intervallet.
Vi kan konkludere, at koefficienten for x i forskriften for f kan variere i intervallet [5, 20], så f stadig antager
sin mindsteværdi i punktet (200, 100).
Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 19. december 2011
17
Opgave 8B
a)
Vi definerer kendte størrelser:
Vi bestemmer den effektive rente:
Vi har bestemt den effektive rente til 7,7 % (afrundet til 1 decimal). Vi har dermed gjort rede.
b)
Vi definerer yderligere kendte størrelser:
Vi bestemmer antallet af ydelser dvs. vi løser for n:
Ligningen løses for n vha. CAS-værktøjet WordMat.
Line skal betale 84 ydelser (afrundet op til helt ydelser).