Studiekompasset.dkKlasse: HHX 3. år · Fag: Matematik A
Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 4. juni 2012
1
HHX Matematik A 4. juni 2012
hhx121-MAT/A-
Nogle opgaver inkluderer referencer til en formel i en grå kasse. Referencer til en formel kræves ikke i en
besvarelse, og kan ikke erstatte forklaringer og øvrig tekst. Grunden til, at her medtages formel i løsningerne,
er så du præcis kan se hvilken formel, der bruges i hver mellemregning.
Alle opgaver er for så vidt muligt regnet med WordMat, da vores erfaring viser, at det er langt det hurtigste
værktøj at anvende. Husk at skrive nedenstående kommentar om at beregningerne er foretaget ved hjælp
HHX 3. år
NB: Mange af de anvendte formler i opgaven kan findes og indsættes direkte fra WordMats egen
formelsamling, som findes øverst til venstre. Der er store tidsbesparelser at hente ved at bruge
formelsamlingen!
Opgaver uden hjælpemidler .............................................................................................................................. 2
Opgaver med hjælpemidler ............................................................................................................................... 5
Studiekompasset.dk Skriftlig matematik HHX A hhx121-MAT/A-
Opgaver uden hjælpemidler - 4. juni 2012
Alle formlerne henviser til Formelsamling for matematik. Niveau B og A på højere
handelseksamen fra 1997. Står der et A foran formelnummeret e formlen dog fra ap-
pendikset fra april 2002.
Bemærk: Formelsamling må ikke anvendes til opgaver uden hjælpemidler.
Referencer til en formelsamling bør ikke medtages i en besvarelse, og formelhenvisnin-
ger kan ikke erstatte formler, forklaringer og øvrig tekst. Grunden til, at vi medtager
formelnumre i vores løsninger, er så du præcist kan se hvilken formel, der bruges i
hver mellemregning.
Opgave 1 (bestem forskrif for en funktion)
For at bestemme en forskrift for s, bestemmes først hældningskoefficienten a, (jf. formel
19).
a =
y
2
− y
1
x
2
− x
1
=
600 − 500
40 − 20
=
100
20
= 5
ved at indsætte et punkt i forskriften for s bestemmes nu b.
s(x) = ax + b
⇓
500 = 5 · 20 + b
m
500 = 100 + b
m
b = 400
Forskriften for 4 er altså
s(x) = 5x + 400
Opgave 2 (ortogonale planvektorer)
Vektorerne ~a og
~
b er ortogonale netop hvos ~a ·
~
b = 0, (jf. formel 164). Vektorernes skalar-
produkt bestemmes.
~a ·
~
b =
6
3
!
·
t
2
!
= 6t + 6
2
Studiekompasset.dk Skriftlig matematik HHX A hhx121-MAT/A-
Endelig løses ligningen ~a ·
~
b = 0 for t.
~a ·
~
b = 0
m
6t + 6 = 0
m
6(t + 1) = 0
m
t + 1 = 0
m
t = −1
De to vektorer er altså ortogonale netop hvis t = −1.
Opgave 3 (summerede frekvens og fraktiler)
Af 75%-fraktilen er 354.529,60 kroner betyder at 75% af populationen har en indkomst
ligmed eller mindre end dette beløb.
Den andel af befolkningen der har en indkomst på højest 200.000 kroner bestemmes
ved at skære grafen med linien
x = 200.000
og aflæse skæringspunktets andenkoordinat. Anden koordinaten aflæses til 0, 4.
Der er altså 40% af befolkningen der har en indkomst på højest 200.000 kroner.
Opgave 4 (betydningen af den første afledede)
Først bestemmes f
0
(2).
f
0
(2) =
√
2 + 7 − 2 =
√
9 − 2 = 3 − 2 = 1
At f
0
(2) = 1 betyder at tangentil til grafen for f i punktet (2, f(2)) har hældningen 1.
3
Studiekompasset.dk Skriftlig matematik HHX A hhx121-MAT/A-
Opgave 5 (arealbestemmelse ved integration)
Arealet af det grå område et givet ved (jf. formel 200)
Z
1
−1
f(x) dx
Integralet bestemmes.
Z
1
−1
f(x) dx =
Z
1
−1
−3x
2
+ 3
dx =
−
3
3
x
3
+ 3x
1
−1
=
h
−x
3
+ 3x
i
1
−1
=
−1
3
+ 3 · 1
−
−(−1)
3
+ 3 · (−1)
= −1 + 3 − 1 + 3 = 4
Arealet af det grå område er altså 4
4
Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 4. juni 2012
5
Opgaver med hjælpemidler
Opgave 1
a)
Vi tegner en sumkurve til at beskrive fordelingen af antallet af registrerede dårlige betalere i RKI. Vi tegner
sumkurven med WordMats skabelon for grupperede observationer, resultatet kopieres ind i resultatet:
b)
Typeintervallet er intervallet, der forekommer flest gange. Med 56.166 personer i RKI er typeintervallet ]40;
50] det mest hyppige interval.
Kvartilsættet er bestemt med WordMats skabelon for grupperede observationer. Resultatet kopieres ind i
besvarelsen:
Deskriptorer
Kvartilsæt
Mindste
20
Nedre
30,33
Median
39,73
Øvre
48,64
Største
80
0%
25%
50%
75%
100%
´Kum. Frek.
Alder
Sumkurve
Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 4. juni 2012
6
Opgave 2
a)
Vi bestemmer skalarproduktet mellem vektor og vektor
, når tallet t = 1:
󰇍
󰇡
󰇢 󰇡
󰇢

Skalarproduktet, når t = 1, er bestemt til 25.
b)
Vi bestemmer vinklen mellem vektor og vektor
󰇍
, når tallet t = 1:

󰇛
󰇜
󰇍
󰇍

󰇛
󰇜
󰇡
󰇢 󰇡
󰇢
󰇻
󰇡
󰇢
󰇻󰇻
󰇡
󰇢
󰇻
Ligningen løses for v vha. CAS-værktøjet WordMat.

Vinklen, når tallet t = 1, er bestemt til 11,3° (afrundet til 1 decimal).
c)
Vi bestemmer de to værdier af t ved at løse for t i nedenstående udtryk:


󰇍

󰈅
󰇧
󰇡
󰇢󰇡
󰇢
󰇨
󰈅
Ligningen løses for t vha. CAS-værktøjet WordMat.
 
De to værdier af t, så parallelogrammet udspændt af vektorerne har arealet 15, er bestemt til t = -4 og t = 11.
Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 4. juni 2012
7
Opgave 3
a)
Vi definerer forskriften for C og definitionsmængden for x:
󰇛
󰇜




Vi bestemmer de samlede variable omkostninger ved at bestemme C(50):
󰇛

󰇜

De samlede variable omkostninger ved en produktionsmængde på 50 er bestemt til 700.
b)
Vi bestemmer den produktionsmængde, der har de laveste variable enhedsomkostninger ved at bestemme
førstekoordinaten til punktet, hvor grafen for C har vendetangent:
Vi bestemmer nulpunkter til den anden afledede funktion C’’:
󰆒󰆒
󰇛
󰇜
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

Den produktionsmængde der giver de laveste variable enhedsomkostninger er 34.
Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 4. juni 2012
8
Opgave 4
a)
Vi definerer forskriften for f og definitionsmængden for x:
󰇛
󰇜


Vi bestemmer arealet af det grå område A:

󰇛
󰇜


Arealet af det grå område A er bestemt til 7,33 (afrundet til 2 decimaler).
b)
Vi bestemmer arealet af det grå område B som hhv. summen af arealet under grafen l i intervallet [0; 1] og
differensen mellem arealet under grafen f og grafen m:
Vi bestemmer først arealet under grafen l i intervallet [0; 1]:


Vi bestemmer differensen af arealet under grafen f og grafen m:

 

Det samlede areal af det grå område B er givet ved:





Arealet af det grå område B er bestemt til 8,33 (afrundet til 2 decimaler).
Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 4. juni 2012
9
Opgave 5
a)
Vi definerer kendte størrelser:



Vi bestemmer den månedlige rente, hvor r > 0:
󰇛
󰇜

Ligningen løses for r vha. CAS-værktøjet WordMat. med følgende antagelser/definitioner:

Den månedlige rente er bestemt til 2,2642 % (afrundet til 4 decimaler). Vi har dermed gjort rede.
b)
Vi definerer antal ydelser og den månedlige rente:


Vi bestemmer restgælden efter at den 16. ydelse er betalt med formlen for restgæld:
󰇛
󰇜
󰇛
󰇜

Restgælden umiddelbart efter at den 16. ydelse er betalt er bestemt til 7827,6 kr. (afrundet til 1 decimal).

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 4. juni 2012
10
Opgave 6
a)
Linje 1:


:
󰇛󰇜 sættes lig nul.
Linje 2:

󰇛
󰇜
:

sættes udenfor parentes.
Linje 3:

:
Nulreglen benyttes.
Linje 4:
:
Løsningen bestemmes idet

ikke har nogen løsning.
b)
Vi har i opg a) bestemt nulpunkt til grafen for f, sammenligner vi grafen for f med nulpunktet, besidder vi de
nødvendige oplysninger til at opskrive monotoniforhold for grafen f:
f er aftagende i intervallet ]-∞; -1].
f er voksende i intervallet [-1; ∞[
Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 4. juni 2012
11
Opgave 7
a)
Niveaukurven
󰇛

󰇜
er givet ved
󰇛
󰇜
. Ligningen omskrives.
󰇛
󰇜















󰇛

󰇜
󰇛

󰇜



󰇛

󰇜
󰇛

󰇜

󰇛

󰇜

󰇛

󰇜

Niveaukurven
󰇛

󰇜
er altså den ønskede ellipse. Vi har dermed gjort rede.
b)
Produktionen er begrænset af linjen med ligningen:

Uligheden løses for y vha. CAS-værktøjet WordMat.

Og selvfølgelig:
Vi indtegner det polygonformede kapacitetsområde og niveaukurve N(1525) i GeoGebra. Resultatet kopieres
ind i besvarelsen:
Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 4. juni 2012
12
Vi kan konkludere at ellipsernes centrum ikke befinder sig i det polygonformede kapacitetsområde dvs. at
den optimale produktion ikke findes i ellipsernes centrum, men i det punkt, hvor en niveaukurve netop rører
linjen med ligningen:

Vi bestemmer dette punkt ved at indsætte ovenstående ligning i ligningen for niveaukurven:


󰇛

󰇜

󰇛

󰇜

Udtrykket omskrives vha. CAS-værktøjet WordMat ved brug af metoderne: Automatisk reduktion, Udvid,


Der skal være netop en løsning til denne ligning da d = 0, dvs. den ene løsning findes ved:

󰇛

󰇜
󰇛

󰇜

Vi bestemmer anden koordinaten for punktet ved at indsætte førstekoordinaten i ligningen for linjen:


Løsningspunktet er bestemt til (24, 76).
Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 4. juni 2012
13
For at det samlede ugentlige overskud bliver størst muligt, skal der produceres 24 stk. af vare A pr. uge og 76
stk. af vare B pr. uge. Vi har dermed gjort rede.
c)
Vi definerer forskriften for p og q samt definitionsmængden for x og y:
𝑝
(
𝑥
)
≔−0,25𝑥+35
𝑞
(
𝑦
)
≔−𝑦+215
0≤𝑥≤140
0≤𝑦≤215
Vi bestemmer stykprisen for hhv. vare A og B ved at indsætte løsningspunktet (24, 76) fra opg b) i
forskrifterne for stykpriserne dvs.:
For vare A:
𝑝
(
24
)
=29
For vare B:
𝑞
(
76
)
=139
Stykprisen for hhv. vare A og vare B, der giver det størst mulige samlede overskud pr. uge, er bestemt til 29
og 139.
Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 4. juni 2012
14
Til eksamen skal du kun udvælge én af de to følgende opgaver, 8A og 8B. Her bringes alle løsninger, så du
kan bruge dem til at øve de forskellige opgavetyper.
Opgave 8A
a)
Vi definerer forskriften for f:
󰇛
󰇜


Vi bestemmer nulpunkter og fortegnsvariation:
Vi bestemmer nulpunkter:
󰇛
󰇜
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
  
Nulpunkter til grafen for f er bestemt til N(-5) og N2(0) og N3(2).
Vi bestemmer fortegnsvariation til grafen for f:
󰇛

󰇜

󰇛

󰇜

󰇛
󰇜

󰇛
󰇜

f er negativ i intervallet ]-∞; -5] og [0; 2]
f er positiv i intervallet [-5; 0] og [2; ∞[
b)
Vi bestemmer førstekoordinaten til røringspunktet for den anden tangent med hældningen - 1:
󰆒
󰇛
󰇜

Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
 
Førstekoordinaten til røringspunktet for den anden tangent er x = 1:
Vi bestemmer anden koordinaten til røringspunktet som f(1):
Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 4. juni 2012
15
𝑓
(
1
)
=−6
Røringspunktet for den anden tangen er bestemt til (1, -6).
𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:
Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 4. juni 2012
16
Opgave 8B
a)
Vi bestemmer niveaukurven for et vilkårligt tal N(t):
󰇛
󰇜
 





Niveaukurvernes hældning er altså -0,75. Vi har, at -1 < -0,75 < -0,5 dvs. at f antager sin mindsteværdi i
skæringspunktet mellem linjerne:
 
Og:
 
Vi bestemmer skæringspunktet mellem de to linjer ved at løse nedenstående ligningssystem som to ligninger
med to ubekendte:
 
 
Ligningssystemet løses for y,x vha. CAS-værktøjet WordMat's 'Løs Ligninger' funktion,
 
Punktet, der betegner mindsteværdien for f, er bestemt til (20, 50).
b)
Vi foretager en følsomhedsanalyse:
Vores kriteriefunktion bliver nu (i det a bliver vores variabel):
󰇛
󰇜

Dvs. niveaulinjen får hældningen

. Hvis minimum stadig skal findes i (x, y) = (20, 50), må hældningen
ligge mellem hældningerne for de to rette linjer givet ved ligningerne:
Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 4. juni 2012
17
𝑦=−1+70
Og:
𝑦=−0,5𝑥+60
Det vil sige:
−1≤−
𝑎
100
≤−0,5
Vi løser de to uligheder hver for sig:
−
𝑎
100
≤−0,5
⇕ Uligheden løses for a vha. CAS-værktøjet WordMat.
𝑎≤50
Og:
−1≤−
𝑎
100
⇕ Uligheden løses for a vha. CAS-værktøjet WordMat.
𝑎≤100
For at hældningen af niveaukurverne bliver indenfor det ønskede interval, kan koefficienten x i forskriften
for f varierer i intervallet:
[50;100]
Vi kan konkludere, at koefficienten til x i forskriften for f kan variere i intervallet [50; 100], så f stadig antager
sin mindsteværdi i punktet (20, 50).