Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – Efterår 2011
1
HHX Matematik B
Efterår 2011
Delprøven med hjælpemidler
Vejledende opgave 1
Nogle opgaver inkluderer referencer til en formel i en grå kasse. Referencer til en formel kræves ikke i en
besvarelse, og kan ikke erstatte forklaringer og øvrig tekst. Grunden til, at her medtages formel i
løsningerne, er så du præcis kan se hvilken formel, der bruges i hver mellemregning.
Alle opgaver er for så vidt muligt regnet med WordMat, da vores erfaring viser, at det er langt det hurtigste
værktøj at anvende. Husk at skrive nedenstående kommentar om at beregningerne er foretaget ved hjælp
HHX 2. år
NB: Mange af de anvendte formler i opgaven kan findes og indsættes direkte fra WordMats egen
formelsamling, som findes øverst til venstre. Der er store tidsbesparelser at hente ved at bruge
formelsamlingen!
Opgave 6
a)
Udtrykket reduceres vha. WordMat:
Udtrykket reduceres vha. CAS-værktøjet WordMat.
b)
Forklaringer er givet til hver af linjerne :
1) Ligningen er skrevet op.
2) Der er trukket 3x fra på begge sider af lighedstegnet.
3) er sat udenfor parentes.
4) Nulreglen er anvendt.
5) Der er lagt 3 til på begge sider af højre lighedstegn.
Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – Efterår 2011
2
Opgave 7
a)
Fordelingen af antal kundebesøg kopieres ind i WordMats statistikregneark. Data optælles, og der tegnes et
pindegram over antallet af kundebesøg:
b)
Vi udregner en række deskriptorer i WordMat:
Deskriptorer
Kvartilsæt
Nedre
2
Median
3
Øvre
4
Obs. Fraktil
Middeltal
2,94
Spredning
1,11
Vi aflæser nu tre udvalgte deskriptorer:
Gennemsnit (middeltal): 2,94 kundebesøg.
Typetal: 3
Kvartilsæt:
0
10
20
30
40
0 1 2 3 4 5 6
Hyppighed
Antal kundebesøg
Pindediagram
Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – Efterår 2011
3
c)
Antallet af kundebesøg pr. sælger fordeler sig som på pindediagrammet herunder:
Som det også fremgår af pindediagrammet, er det typiske antal kundebesøg på 3 pr. sælger. I gennemsnit
foretager sælgerne 2,94 kundebesøg hver. De 25% mindst besøgende sælgere foretager højst 2 besøg,
mens de 25% mest besøgende sælgere foretager mindst 4 besøg. 50% foretager højst 3 besøg.
0
10
20
30
40
0 1 2 3 4 5 6
Hyppighed
Antal kundebesøg
Pindediagram
Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – Efterår 2011
4
Opgave 8
a)
Data fra filen indenlandsk salg anvendes i Excel til at foretage et -plot med tilhørende tendenslinje og
regressionsligning:
b)
Regressionsligningen aflæses og en lineær model opstilles. angiver det indenlandske salg i mio. kr., mens
angiver antal år efter 1969.
Da
er der en høj forklaringsgrad, og ovenstående model kan således anvendes med god
tilnærmelse.
y = 54388x + 64888
R² = 0,9789
0
500000
1000000
1500000
2000000
2500000
3000000
45
Indenlandsk salg i mio. kr.
Antal år efter 1969
Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – Efterår 2011
5
Opgave 9
a)
Data fra filen mediemonitor optælles vha. en pivottabel i Excel og opskrives i et skema:
Aviser eller
blade
Internet eller
mobil
Radio eller
tv
Total
Kvinde
233
22
388
643
Mand
141
25
191
357
Total
374
47
579
1000
b)
Vi opstiller en nulhypotese og en alternativ hypotese:
Der er uafhængighed mellem de to variable, ’køn’ og ’foretrukket nyhedsmedie’.
Der er en korrelation mellem de to variable, ’køn’ og ’foretrukket nyhedsmedie’.
Vi bestemmer en tabel med forventede værdier ved at indsætte den ovenstående tabels data i en
-
uafhængighedstest i WordMat (de forventede værdier er afrundet til nærmeste hele tal, men der er
anvendt decimaltal i de videre udregninger):
Forventede
Aviser eller blade
Internet eller mobil
Radio eller
tv
Total
Kvinde
240
30
372
643
Mand
134
17
207
357
Total
374
47
579
1000
c)
Nulhypotesen testes nu i WordMat som beskrevet:
χ²-test
Observationer
I alt
233
22
388
643
141
25
191
357
I alt
374
47
579
1000
P-værdi:
1,25%
Signifikans niveau:
5%
Q-værdi:
8,5
-teststørrelsen aflæses som Q-værdien. Dvs. .
Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – Efterår 2011
6
Da forkastes nulhypotesen på et 5%-signifikansniveau. Der er således ikke uafhængighed
mellem køn og foretrukket nyhedsmedie.
Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – Efterår 2011
7
Opgave 10
a)
Funktionerne for hhv. omkostninger og omsætning defineres:
Desuden gælder for begge funktioner, at
Overskuddet kan nu bestemmes som:
Vi kan nu opskrive (og definere) funktionsforskriften for overskuddet:
Stationære punkter bestemmes ved at løse:
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Af ovenstående stationære punkter samt grafen kan vi se, at overskuddet er størst ved en afsætning på
kg.
b)
Vi løser uligheden:
Uligheden løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Første løsning forkastes, da den ligger uden for funktionens definitionsmængde.
Vi afrunder den tilbageværende løsning og konkluderer, at overskuddet er positivt i afsætningsintervallet
.
Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – Efterår 2011
8
Opgave 11
a)
Der må gælde, at:
i intervaller, hvor er aftagende
i intervaller, hvor er voksende
når har en vandret tangent
Vi ser, at ovenstående kriterier kun er opfyldt, hvis Graf 1 er grafen for .
Vi kan hermed konkludere, at Graf 1 viser grafen for den afledede funktion .
Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – Efterår 2011
9
Til eksamen skal du kun udvælge én af opgaverne 12A og 12B. Her bringes løsninger på både 12A og 12B, så
du kan øve begge opgavetyper.
Opgave 12A
a)
Kendte størrelser defineres:
Lånets størrelse:
Rente:
Antal ydelser:
Ydelsen kan nu bestemmes ved at løse ligningen:
Ligningen løses for y vha. CAS-værktøjet WordMat.
Den månedlige ydelse er således på 16.653,08 kr.
b)
Ydelsen defineres:
Antal ydelser omdefineres:
Restgælden efter ydelser kan bestemmes som:
Umiddelbart efter ydelse nr. 65 er der således en restgæld på 799.038,30 kr.
Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – Efterår 2011
10
Opgave 12B
a)
Andelen estimeres som antallet af personer med aviser eller blade som foretrukket medie (374 personer -
aflæst af tabellen i opgave 9) divideret med stikprøvestørrelsen (1000 personer).
Dvs.
b)
Vi bestemmer et 95%-konfidensinterval for den sande værdi af i 2006. Dette gøres i GeoGebras
sandsynlighedslommeregner:
Vi aflæser nu 95%-konfidensintervallet for
(øvre/nedre grænse):
I 2003 har vi, at
. Der er kun 2,5% sandsynlighed for, at
ligger til venstre for
konfidensintervallet. Da
ligger til venstre for 95%-konfidensintervallet for -værdien i 2006, kan vi på
et 2,5%-signifikansniveau konkludere, at andelen, som har aviser eller blade som foretrukket medie, er
faldet mellem 2003 og 2006.