Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 17. december 2012
1
HHX Matematik B
17. december 2012
Delprøven med hjælpemidler
hhx123-MAT-B-
Nogle opgaver inkluderer referencer til en formel i en grå kasse. Referencer til en formel kræves ikke i en
besvarelse, og kan ikke erstatte forklaringer og øvrig tekst. Grunden til, at her medtages formel i
løsningerne, er så du præcis kan se hvilken formel, der bruges i hver mellemregning.
Alle opgaver er for så vidt muligt regnet med WordMat, da vores erfaring viser, at det er langt det hurtigste
værktøj at anvende. Husk at skrive nedenstående kommentar om at beregningerne er foretaget ved hjælp
HHX 2. år
NB: Mange af de anvendte formler i opgaven kan findes og indsættes direkte fra WordMats egen
formelsamling, som findes øverst til venstre. Der er store tidsbesparelser at hente ved at bruge
formelsamlingen!
Opgave 6
a)
Udtrykket reduceres vha. WordMat:
Udtrykket reduceres vha. CAS-værktøjet WordMat.
b)
Forklaringer er givet til hver af linjerne :
1) Forskrifterne sættes lig hinanden.
2) Begge sider divideres med
.
3) Begge sider reduceres.
4) Den tredje rod tages på begge sider.
5) findes som enten eller .
Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 17. december 2012
2
Opgave 7
a)
Data kopieres ind i WordMats statistik-regneark, og fordelingen af beløb repræsenteres af et histogram
med en intervallængde på 1000:
b)
Vi foretager en ugrupperet optælling i WordMat og bestemmer i samme ombæring en række deskriptorer:
Deskriptorer
Kvartilsæt
Nedre
1599
Median
2688
Øvre
4000
Obs. Fraktil
Middeltal
3273
Spredning
2679
Vi udvælger og aflæser nu 3 deskriptorer:
Kvartilsæt:
Gennemsnit (middeltal):
00 20000
Beløb
Histogram
Et tern er 4%
Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 17. december 2012
3
Standardafvigelse (spredning):
c)
Et -plot med tilhørende tendenslinje, regressionsligning og forklaringsgrad R
2
foretages nu i Excel:
Vi aflæser regressionsligningen og opstiller en model:
Hvor,
angiver det beløb, kunden har købt for (i kr. må det formodes)
angiver kundens alder (i år må det formodes)
d)
Fordelingen af de beløb, som kunderne bruger, fremgår af nedenstående histogram:
y = 92,96x + 60,19
R² = 0,2813
0
5000
10000
15000
20000
25000
0
Beløb
Alder
00 20000
Beløb
Histogram
Et tern er 4%
Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 17. december 2012
4
Undersøgelsen har vist, at de 234 kunder i gennemsnit købte for ca. 3270 kr. De 25% mindst forbrugende
købte alle for under 1600 kr., mens de 25% mest forbrugende alle købte for over 4000 kr. Der var lige
mange der købte for over og under 2700 kr. Ca. af variationen i beløbsstørrelser kan forklares ved
kundens alder gennem følgende model: Alle forbruger et basisbeløb på 60 kr., som vokser med ca. 90 kr.
for hvert år, personen har levet.
Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 17. december 2012
5
Opgave 8
a)
Data fra filen bilforsikring optælles vha. en pivottabel i Excel og opskrives i et skema som det i opgaven
angivne:
Ingen skade
anmeldt
Skade anmeldt
Total
18 til 25
197
83
280
25 til 40
344
48
392
40 til 55
392
60
452
55 og ældre
240
40
280
Total
1173
231
1404
b)
Vi opstiller nu en nulhypotese og en alternativ hypotese:
Der er uafhængighed mellem alder og skadesstatus.
Der er en sammenhæng mellem alder og skadesstatus
De forventede værdier bestemmes i WordMats ark til
-uahængighedstest og afrundes til nærmeste hele
tal:
Ingen skade anmeldt
Skade anmeldt
Total
18 til 25
234
46
280
25 til 40
328
64
392
40 til 55
378
74
452
55 og ældre
234
46
280
Total
1173
231
1404
c)
Der udføres χ² - test for sammenhæng vha. CAS-værktøjet WordMat
P-værdi: 0,1037249 = 0,37249%
Da forkastes nulhypotesen på et 5% signifikansniveau. Det kan således ikke antages, at
der er uafhængighed mellem den enkelte kundes alder og skadesstatus.
Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 17. december 2012
6
Opgave 9
a)
Funktionen defineres:
På dag 40 får vi:
Afsætningen på dag 40 er på 343,64 ifølge modellen.
b)
Funktionen differentieres:
Af grafen ses det, at der er to ekstrema for - et maksimum og et minimum. Hvis
og
er -
værdierne i hhv. minimum og maksimum, kan vi desuden aflæse på grafen, at:
De to ekstrema findes ved at løse:
Ligningen løses for t vha. CAS-værktøjet WordMat.
Jf. ovenstående argumentation må der være et lokalt maksimum i . Vi bestemmer nu
afsætningen:
Vi ser, at denne afsætning er større end i begge intervalendepunkter (
).
Vi kan nu konkludere, at afsætningen er størst efter ca. 16 dage. Afsætningen er dog næsten lige så stor
efter 40 dage.
Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 17. december 2012
7
Til eksamen skal du kun udvælge én af de tre følgende opgaver, 10A, 10B og 10C. Her bringes alle løsninger,
så du kan bruge dem til at øve de forskellige opgavetyper.
Opgave 10A
a)
Antallet af biler uden fejl, er binomialfordelt som . er antallet af biler i en given stikprøve og
er sandsynligheden for, at en tilfældigt udvalgt 4 år gammel Audi A6 er uden fejl. Det vil sige:
Det forventede antal biler med fejl (i det vi antager, at alle bilerne er 4 år gamle) kan da bestemmes som:
Applus Bilsyn forventer således, at 17 biler er uden fejl.
b)
Sandsynligheden for, at der højst er 5 Audi A6 uden fejl kan bestemmes som
Dette gøres i WordMats regneark til binomialfordeling:
Binomialfordeling
P(X=
)=
p=
0,85
P(X≤
5
)=
3,19E-09
n=
20
P(
≤X≤
)=
Vi aflæser, at
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
0
P(X=r)
r
Binomialfordeling
Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 17. december 2012
8
Sandsynligheden for, at højst 5 Audi A6 er uden fejl er således
. Denne sandsynlighed er så
forsvindende lille, at Applus Bilsyn lige så godt kan opfatte den som værende lig med 0.
Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 17. december 2012
9
Opgave 10B
a)
Da der ikke afdrages på lånet, kan gælden fremskrives vha. kapitalfremskrivningsformlen. Kendte størrelser
defineres:
Lånets størrelse (startkapital):
Kvartårlig rente:
Antal terminer:
Gældens størrelse efter 4 terminer bestemmes:
Det vil sige, at byggelånet er vokset til 2.081.208,02 kr.
b)
Teksten er noget upræcis, så vi antager, at renten fortsætter med at være 1% pr. kvartal i perioden fra 1.
januar 2012 til 1. januar 2013. Desuden antager vi, at virksomheden heller ikke afdrager på lånet i denne
periode.
Gælden vil således kunne fremskrives med samme formel og betingelser (dog med ) som før:
Denne gæld kan nu opfattes som et nyt lån, der afdrages gennem årlige ydelser. Vi definerer kendte
størrelser:
Lånets størrelse:
Årlig rente:
Antal ydelser:
Ydelsen bestemmes nu ved at løse ligningen:
Ligningen løses for y vha. CAS-værktøjet WordMat.
Den årlige ydelse vil således have størrelsen 267.012,80 kr.
Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 17. december 2012
10
Opgave 10C
a)
angiver funktionstilvæksten, når vokser med 1. angiver funktionstilvæksten, når vokser med 1.
Forskriften for det samlede dækningsbidrag i kr. bliver så (funktionen defineres):
b)
Polygonområdet tegnes I GeoGebra. Funktionen vil have maksimum i et af polygonområdets hjørner. De 4
hjørnepunkter bestemmes vha. GeoGebras skæringsværktøj:
Koordinatsættene i hjørnepunkterne aflæses, og funktionsværdierne bestemmes i hvert af punkterne:
Vi ser og konkluderer nu, at det størst mulige samlede dækningsbidrag opnås ved at producere og afsætte
500 stk. af produkt A og 600 stk. af produkt B.