Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 16. august 2013
1
HHX Matematik B
16. august 2013
Delprøven med hjælpemidler
Hhx132-MAT-B-
Nogle opgaver inkluderer referencer til en formel i en grå kasse. Referencer til en formel kræves ikke i en
besvarelse, og kan ikke erstatte forklaringer og øvrig tekst. Grunden til, at her medtages formel i
løsningerne, er så du præcis kan se hvilken formel, der bruges i hver mellemregning.
Alle opgaver er for så vidt muligt regnet med WordMat, da vores erfaring viser, at det er langt det hurtigste
værktøj at anvende. Husk at skrive nedenstående kommentar om at beregningerne er foretaget ved hjælp
HHX 2. år
NB: Mange af de anvendte formler i opgaven kan findes og indsættes direkte fra WordMats egen
formelsamling, som findes øverst til venstre. Der er store tidsbesparelser at hente ved at bruge
formelsamlingen!
Opgave 6
a)
Ligningen løses vha. WordMat:
Ligningen løses for m vha. CAS-værktøjet WordMat.
b)
Forklaringer til hver af linjerne er givet herunder:
1) Ligningen er skrevet op.
2) Begge sider er ganget med og divideret med 400.
3) 1 er trukket fra begge sider og beregninger er udført.
4) Den naturlige logaritme er taget på begge sider. Herefter er der anvendt, at:
5) Begge sider er divideret med , hvorefter beregninger og afrundinger er foretaget.
Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 16. august 2013
2
Opgave 7
a)
Funktionerne for hhv. omsætning og omkostninger defineres:
Forskriften for overskuddet kan nu bestemmes som:
Vi kan nu opskrive og definere forskriften:
Vi løser nu:
Uligheden løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Den første løsningsmængde bortkastes, da . Vi ser, at hele anden løsningsmængde ligger inden for
funktionens definitionsmængde. Overskuddet er således positivt i hele intervallet .
b)
Vi søger et maksimum ved at finde nulpunkter for :
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Første løsning bortkastes, da . Fortegnet for
undersøges nu på begge sider af nulpunktet.
Da går fra at være voksende (
) til at være aftagende
, er der tale om et lokalt maksimum.
Da dette er det eneste ekstremum i definitionsmængden er der desuden tale om et globalt maksimum. Den
afsætning, som giver det største overskud er således 10,9 tons.
Overskuddet bestemmes nu som:
Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 16. august 2013
3
Dvs. at det maksimale overskud er på 31.000 kr.
Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 16. august 2013
4
Opgave 8
a)
Der må gælde, at:
i de intervaller, hvor er aftagende.
i de intervaller, hvor er voksende.
, når har et ekstremum.
Vi ser nu, at ovenstående kriterier kun er opfyldt, hvis er grafen for og er grafen for .
Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 16. august 2013
5
Opgave 9
a)
Data fra filen ost optælles i WordMat, og et histogram med intervallængden 10 gram tegnes:
b)
Vi beregner en række deskriptorer vha. WordMat:
Deskriptorer
Kvartilsæt
Nedre
792
Median
800
Øvre
808
Obs. Fraktil
Middeltal
800
Spredning
11,4
Vi aflæser nu, at:
Gennemsnittet (middeltallet) er 800 g.
Medianen er 800 g.
25%-fraktilen (nedre kvartil) er 792 g.
25 830
Observationer
Histogram
Et tern er 4%
Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 16. august 2013
6
c)
Sandsynligheden kan bestemmes som arealet under grafen for normalfordelingens tæthedsfunktion i
intervallet:
Dette areal bestemmes i WordMat:
Normalfordeling
Middelværdi:
800
Spredning:
12
Grafvindue
X
min
X
maks
750
850
Areal under frekvensfuntion
X
min
X
maks
780
4,78%
Sandsynligheden for, at en tilfældigt udvalgt ost vejer mindre end 780 gram er 4,78%.
d)
Der er foretaget en analyse af en stikprøve på 150 tilfældigt udvalgte oste i 800 grams indpakninger, og det
har vist sig, at deres vægt fordeler sig som på histogrammet herunder:
Ostene vejer i gennemsnit 800 g. Der er desuden lige mange oste, der vejer over 800 g som oste, der vejer
under 800 g. 25% af ostene vejer højst 792 g. Hvis antager, at ostenes vægt er normalfordelt med en
middelværdi på 800 g og en spredning på 12 g, vil der være en sandsynlighed på under 5% for, at en
tilfældigt udvalgt ost vejer mindre end 780 g.
25 830
Observationer
Histogram
Et tern er 4%
0
0,005
0,01
0,015
0,02
0,025
0,03
0,035
0,04
50
Tæthedsfunktion
Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 16. august 2013
7
Opgave 10
a)
Data fra filen kvittering optælles og opstilles i et skema:
Ikke
udsalg
Udsalg
Total
Fejl
60
53
113
Ikke fejl
323
128
451
Total
383
181
564
b)
Vi opstiller en nulhypotese:
Hvorvidt der er fejl på en kvittering eller ej er uafhængigt af, om varen er en udsalgsvare eller ikke en
udsalgsvare.
Vi tester nu nulhypotesen på et 5%-signifikansniveau vha. en
-uafhængighedstest:
χ²-test
Observationer
I alt
60
53
113
323
128
451
I alt
383
181
564
P-værdi:
0,02%
Signifikans
niveau:
5%
Da forkastes nulhypotesen på et 5%-signifikansniveau. På et 5%-signifikansniveau må vi
således afvise dagligvarebutikkens påstand.
Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 16. august 2013
8
Til eksamen skal du kun udvælge én af de tre følgende opgaver, 11A, 11B og 11C. Her bringes alle løsninger,
så du kan bruge dem til at øve de forskellige opgavetyper.
Opgave 11A
a)
Data fra filen pris-afsætning anvendes i Excel til at foretage et -plot med tilhørende tendenslinje og
regressionslinje:
Vi aflæser og definerer regressionslinjen som en funktion :
b)
Den angivne afsætning kan bestemmes ved at løse:
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Afsætningen ved en pris på 150 kr. vil således være ca. 10.200 stk. ifølge modellen.
y = -0,0135x + 287,65
R² = 0,9913
100
120
140
160
180
200
220
240
260
280
300
Pris i kr.
Afsætning i stk.
Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 16. august 2013
9
Opgave 11B
a)
Kendte størrelser defineres:
Rente:
Antal ydelser:
Lånets størrelse:
Den månedlige ydelse kan nu bestemmes vha. formlen:
Ligningen løses for y vha. CAS-værktøjet WordMat.
Den månedlige ydelse er således på 1228,10 kr.
b)
Kendte størrelser defineres:
Rente:
Ydelse:
Lånets størrelse:
Antallet af ydelser kan nu bestemmes vha. formlen:
Ligningen løses for n vha. CAS-værktøjet WordMat.
Sofie skal således tilbagebetale lånet over 82 faste ydelser á 1000 kr. og en enkelt afsluttende ydelse til
afbetaling af en lille restgæld.
Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 16. august 2013
10
Opgave 11C
a)
angiver funktionstilvæksten, når vokser med 1, mens angiver funktionstilvæksten, når vokser med
1. Funktionen for det samlede dækningsbidrag i kr. pr. dag bliver så (funktionen defineres):
Polygonområdet (kriteriefunktionens kapacitetsområde) tegnes:
Hjørnepunkternes koordinater er A(0,0), B(20,0), C(0,24), D(16,16) og E(20,10).
Du kan fx tegne polygonområdet i GeoGebra™. Hjørnepunkternes koordinater kan bestemmes med
skæringsværktøjet.
b)
Funktionens maksimum findes i et af hjørnepunkterne. Vi bestemmer funktionsværdierne i alle
hjørnepunkterne:
Funktionens maksimum findes altså, når
Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 16. august 2013
11
Virksomheden skal således producere og afsætte 16 RUBBER og 16 SKINLOOK pr. dag for at opnå det
største samlede dækningsbidrag pr. dag.