Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 15. december 2014
1
HHX Matematik B
15. december 2014
Delprøven med hjælpemidler
hhx143-MAT-B-
Nogle opgaver inkluderer referencer til en formel i en grå kasse. Referencer til en formel kræves ikke i en
besvarelse, og kan ikke erstatte forklaringer og øvrig tekst. Grunden til, at her medtages formel i
løsningerne, er så du præcis kan se hvilken formel, der bruges i hver mellemregning.
Alle opgaver er for så vidt muligt regnet med WordMat, da vores erfaring viser, at det er langt det hurtigste
værktøj at anvende. Husk at skrive nedenstående kommentar om at beregningerne er foretaget ved hjælp
HHX 2. år
NB: Mange af de anvendte formler i opgaven kan findes og indsættes direkte fra WordMats egen
formelsamling, som findes øverst til venstre. Der er store tidsbesparelser at hente ved at bruge
formelsamlingen!
Opgave 6
a)
Forklaringer er givet til hver af linjerne :
1) Formlen er skrevet op.
2) Kendte værdier er indsat.
3) Begge sider er ganget med
.
4) Udtrykket
er isoleret, og den naturlige logaritme er taget på begge sider. Derefter er
isoleret.
5) Værdien af højre side er udregnet og afrundet.
:
Beregningerne foretages og forklares mere dybdegående herunder af hensyn til forståelsen. Forklaringer
med en detaljeringsgrad som i besvarelsen ovenfor er tilstrækkeligt til eksamen. Når et skridt i
beregningerne passer med en af linjerne, indsættes et nummer fra 1-5:
Formlen er skrevet op:
Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 15. december 2014
2
Vi indsætter nu, at
, og :
Vi ganger med
Beregninger udføres
Vi adderer udtrykket:
. Derpå tages den naturlige logaritme
Vi anvender, at
Vi dividerer med
Beregningen udføres og resultatet afrundes:
b)
isoleres vha. WordMat:
Ligningen løses for n vha. CAS-værktøjet WordMat.
Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 15. december 2014
3
Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 15. december 2014
4
Opgave 7
a)
Data fra filen avis optælles vha. en pivottabel i Excel og opstilles i et skema som det i opgaven angivne:
Indland
Lokal
Sport
Udland
Total
By
47
39
38
40
164
Forstad
37
35
21
10
103
Provins
59
35
36
24
154
Total
143
109
95
74
421
b)
Vi opstiller en nulhypotese:
Der er ingen sammenhæng mellem de to variable ’bopæl’ og ’først læste sektion’.
Hypotesen testes på et 5% signifikansniveau ved at indsætte tabellens data i WordMats regneark til
-
test:
χ²-test
Observationer
I alt
47
39
38
40
164
37
35
21
10
103
59
35
36
24
154
I alt
143
109
95
74
421
P-værdi:
2,54%
Der er en sammenhæng
Signifikans
niveau:
5%
Da , forkastes nulhypotesen på et 5% signifikansniveau. På et 5% signifikansniveau kan vi
således konkludere, at der er en sammenhæng mellem, hvor man bor, og hvilken sektion af avisen man
læser først.
Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 15. december 2014
5
Opgave 8
a)
Månedslønningerne kopieres ind i WordMats regneark til rå data, hvorefter de optælles og repræsenteres
ved et histogram med intervallængder på 10.000 kr.:
b)
Data kopieres nu til WordMats ark for ugrupperede observationer, hvorefter vi får en række deskriptorer.
Deskriptorer
Kvartilsæt
Nedre
29450
Median
36600
Øvre
45400
Obs. Fraktil
52300
90%
Middeltal
37582
Spredning
10407,4
Vi kan således konkludere, at:
Middelværdien er 37.852 kr.
90%-fraktilen er 52.300 kr.
Medianen er 36.600 kr.
0
Observationer
Histogram
Et tern er 4%
Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 15. december 2014
6
c)
Et xy-plot foretages i Excel, hvorefter en tendenslinje med forklaringsgrad
tilføjes:
Vi aflæser og afrunder ligningen for tendenslinjen og har nu en lineær regressionsmodel:
angiver anciennitet i år
angiver månedsløn i kr.
d)
I en stikprøve på 245 ansatte kan vi se, at den gennemsnitlige månedsløn er på 37.852 kr. Halvdelen af de
ansatte tjener mere end 36.600 kr., og 10% af de ansatte tjener mere end 52.300 kr. En generel model er
fundet for sammenhængen mellem anciennitet og månedsløn: startlønnen er omkring 21.400 kr. og lønnen
stiger herefter ca. med kr. om året. Denne model forklarer 85% af variationen i månedsløn.
y = 1774,7x + 21385
R² = 0,8511
0
10000
20000
30000
40000
50000
60000
70000
80000
25 30
Månedsløn i kr.
Anciennitet i år
Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 15. december 2014
7
Opgave 9
a)
Funktionen defineres og grafen tegnes i WordMat:
Vi løser nu:
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Ved en salgspris på 55 kr. er den daglige afsætning på ca. 69 stk.
b)
Funktionerne defineres:
Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 15. december 2014
8
Forskriften bestemmes som:
Vi kan således konkludere, at:
Vi løser nu:
Uligheden løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Dvs. at dækningsbidraget er positivt for:
c)
Stationære punkter søges ved at løse:
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Vi undersøger nu fortegnet for på begge sider af nulpunktet:
Da funktionen går fra at være voksende (
) til at være aftagende
), er der tale om et lokalt
maksimum. Da der ikke er andre ekstrema i definitionsmængden, må det også være et globalt maksimum.
Vi bestemmer nu maksimumsværdien:
Det størst mulige dækningsbidrag er således 2252,43 kr.
Salgsprisen, som skal fastsættes for at opnå dette, bestemmes som:
Salgsprisen skal således fastsættes til 70,78 kr. for at opnå det størst mulige dækningsbidrag.
Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 15. december 2014
9
Til eksamen skal du kun udvælge én af de tre følgende opgaver, 10A, 10B og 10C. Her bringes alle løsninger,
så du kan bruge dem til at øve de forskellige opgavetyper.
Opgave 10A
a)
angiver funktionstilvæksten, når vokser med 1. angiver funktionstilvæksten, når vokser med 1. Det
samlede årlige dækningsbidrag i kr. kan altså bestemmes ved (funktionen defineres):
b)
Produktionen er underlagt en række begrænsninger:
Uligheden løses for y vha. CAS-værktøjet WordMat.
Og
Uligheden løses for y vha. CAS-værktøjet WordMat.
Begrænsningerne giver et polygonformet kapacitetsområde, som skitseres i GeoGebra i WordMat.
Hjørnepunkter findes vha. GeoGebras skæringsværktøj:
Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 15. december 2014
10
Den største funktionsværdi (og dermed dækningsbidrag) findes i et af hjørnepunkterne. Vi afløser
hjørnepunkterne og undersøger funktionsværdien i disse:
Det største dækningsbidrag opnås således ved at nedlægge produktionen af Mahogny (dvs. der skal
opdrættes 0) og producere 2250 Safir pr. år. Dækningsbidraget vil i så fald være 720.000 kr. ifølge
modellen.
Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 15. december 2014
11
Opgave 10B
a)
Det opsparede beløb kan bestemmes vha. formlen for fremskrivning af en annuitet. Vi definerer indgående
størrelser:
Månedlig rente:
Månedlig ydelse:
Beløbet bestemmes:
Efter 12 indbetalinger vil Camilla således have opsparet 31.147,83 kr.
b)
Efter en indbetaling mere, vil de 47.697,78 kr. være fremskrevet ved at gange med én gang. Den
næste indbetaling når ikke at blive fremskrevet og skal derfor blot lægges oveni uden rente. dvs.
Der vil således stå 50.522,12 kr. umiddelbart efter den næste indbetaling
Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 15. december 2014
12
Opgave 10C
a)
Kundernes kendskab til produktet kan opfattes som binomialfordelt, hvor kendskab er succes og
manglende kendskab er fiasko. Vi får således, at . Man undersøger en gruppe på 60 dvs. .
Hvis angiver det antal, der kender til produktet, har vi, at: .
Vi skal nu bestemme
, hvilket gøres i WordMat:
Binomialfordeling
P(X=
)=
p=
0,35
P(X≤
)=
n=
60
P(
25
≤X≤
60
)=
0,8
Vi får nu, at:
Sandsynligheden for at mindst 25 kunder ud af en gruppe på 60 kender til produktet er således .
b)
Data fra filen marketing optælles vha. en pivottabel og ser, at 118 af de 264 adspurgte kender til produktet.
Dette svarer til en andel på
.
Et 90%-konfidensinterval for sandsynligheden for succes (kendskab til produktet) efter reklamekampagnen
bestemmes nu vha. GeoGebras sandsynlighedslommeregner:
0
0,02
0,04
0,06
0,08
0,1
0,12
2 56 60
P(X=r)
r
Binomialfordeling
Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 15. december 2014
13
Vi aflæser og opskriver nu det beregnede konfidensinterval (nedre/øvre grænse):
Da den tidligere opgivne sandsynlighed for succes,
, ligger til venstre for for 90%-
konfidensintervallet for
, er der under sandsynlighed for, at
. På et 5%-
signifikansniveau kan vi således konkludere, at reklamekampagnen har øget kendskabet til produktet.