Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 18. august 2014
1
HHX Matematik B
18. august 2014
Delprøven med hjælpemidler
hhx142-MAT/B-
Nogle opgaver inkluderer referencer til en formel i en grå kasse. Referencer til en formel kræves ikke i en
besvarelse, og kan ikke erstatte forklaringer og øvrig tekst. Grunden til, at her medtages formel i
løsningerne, er så du præcis kan se hvilken formel, der bruges i hver mellemregning.
Alle opgaver er for så vidt muligt regnet med WordMat, da vores erfaring viser, at det er langt det hurtigste
værktøj at anvende. Husk at skrive nedenstående kommentar om at beregningerne er foretaget ved hjælp
HHX 2. år
NB: Mange af de anvendte formler i opgaven kan findes og indsættes direkte fra WordMats egen
formelsamling, som findes øverst til venstre. Der er store tidsbesparelser at hente ved at bruge
formelsamlingen!
Opgave 6
a)
isoleres vha. WordMat:
Ligningen løses for n vha. CAS-værktøjet WordMat.
b)
Forklaringer er givet til hver af linjerne:
1) Kapitalfremskrivningsformlen er opskrevet, og kendte værdier er indsat.
2) Begge sider er divideret med 50000.
3) Den 10. rod er taget på begge sider.
4) Der er trukket 1 fra begge sider.
Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 18. august 2014
2
Opgave 7
a)
Data optælles i Excel vha. en pivottabel og opskrives i et skema som det i opgaven angivne:
Kvinde
Mand
Total
Andet
40
30
70
Arbejdsløshed
122
106
228
Indvandring
44
40
84
Klimaforandringer
82
68
150
Konkurrenceevne
64
98
162
Velfærd
56
44
100
Total
408
386
794
b)
Vi opstiller en nulhypotese:
: Der er ingen sammenhæng mellem køn og vurdering af største fremtidsudfordring.
Hypotesen testes på et 5%-signifikansniveau vha. en
-uafhængighedstest ved indsættelse af skemaets
data i WordMats regneark til
-test:
χ²-test
Observationer
I alt
40
30
70
122
106
228
44
40
84
82
68
150
64
98
162
56
44
100
I alt
408
386
794
P-værdi:
3,45%
Der er en
sammenhæng
Signifikans
niveau:
5%
Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 18. august 2014
3
Da , forkastes nulhypotesen på et 5% signifikansniveau. Med et signifikansniveau på 5%
kan vi således konkludere, at der er en sammenhæng mellem køn og vurdering af største
fremtidsudfordring.
c)
Notat til WWF:
En analyse er foretaget på baggrund af 794 danskeres svar på spørgsmålet: ”Hvad ser du som den største
udfordring for det danske samfund i fremtiden?”
Svarene fordeler sig på følgende vis:
Kvinde
Mand
Total
Andet
40
30
70
Arbejdsløshed
122
106
228
Indvandring
44
40
84
Klimaforandringer
82
68
150
Konkurrenceevne
64
98
162
Velfærd
56
44
100
Total
408
386
794
Analysen viser, at der er en statistisk signifikant sammenhæng mellem køn og svar på spørgsmålet. Af
skemaet ovenfor fremgår det for eksempel, at mændene i undersøgelsen i højere grad end kvinderne ser
konkurrenceevne som den største udfordring.
Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 18. august 2014
4
Opgave 8
a)
Funktionerne defineres:
Vi bestemmer nu:
Dækningsbidraget ved en afsætning på 2800 stk. er således kr.
b)
Grafen for dækningsbidraget er en parabel med ét eneste ekstremum, som er det globale maksimum.
Dette findes ved at løse:
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Prisen bliver så:
Den pris, som giver det størst mulige dækningsbidrag er 2100 kr. pr. styk.
Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 18. august 2014
5
Opgave 9
a)
Niveaulinjernes ligninger bestemmes:
Ligningen løses for y vha. CAS-værktøjet WordMat.
Ligningen løses for y vha. CAS-værktøjet WordMat.
Niveaulinjerne indtegnes nu i GeoGebra sammen med det angivne polygonområde. Hjørnepunkter er
bestemt vha. GeoGebra skæringsværktøj.
Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 18. august 2014
6
b)
Niveauet (funktionsværdierne) vokser, når bevæger sig i retning fra til . Den største
funktionsværdi skal således findes i hjørnepunktet . Vi indsætter nu punktets koordinater i
funktionsforskriften og får så:
Størsteværdien for inden for polygonområdet er altså 46.
Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 18. august 2014
7
Opgave 10
a)
Et xy-plot med tendenslinje laves i Excel vha. data fra filen campingvogn:
Tendenslinjens ligning aflæses og afrundes, og regressionsmodellen opskrives:
b)
Vi indsætter i modellen:
Kunden forventes således at bruge ca. 12.400 kr. på ekstraudstyr ifølge regressionsmodellen.
y = 0,1037x - 1060,9
R² = 0,9396
0
5000
10000
15000
20000
25000
30000
0000
Ekstraudstyr
Salgspris
Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 18. august 2014
8
Til eksamen skal du kun udvælge én af de tre følgende opgaver, 11A, 11B og 11C. Her bringes alle løsninger,
så du kan bruge dem til at øve de forskellige opgavetyper.
Opgave 11A
a)
Funktionen defineres og differentieres:
Tallet
betyder, at tangenten til grafen for i punktet
har hældningskoefficienten 0,8.
Dette kan fortolkes som funktionens væksthastighed i det pågældende punkt.
b)
Eventuelle stationære punkter bestemmes ved at løse:
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Vi ved, at
Nu bestemmes fortegnet for på højre side af nulpunktet:
Vi sammenfatter dette i en monotonilinje:
5
+
0
-
↗
↘
Vi kan nu konkludere, at:
er voksende i intervallet
er aftagende i intervallet
Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 18. august 2014
9
Opgave 11B
a)
De opgivne størrelser defineres:
Lånets størrelse:
Månedlig rente:
Antal ydelser:
Ydelsen kan nu bestemmes vha. formlen:
Ligningen løses for y vha. CAS-værktøjet WordMat.
Den månedlige ydelse på lånet er således kr.
b)
Vi definerer igen de relevante størrelser:
Ydelse:
Antal ydelser:
Lånets størrelse:
Rente:
Restgælden umiddelbart efter 20 ydelser kan bestemmes som:
Alle tidligere definitioner slettes.
Vi kan nu opfatte restgælden som et nyt lån med størrelsen
, som skal betales tilbage med følgende
betingelser.
Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 18. august 2014
10
Restgæld (”nyt lån”)
Rente:
Ydelse:
Vi løser nu:
Ligningen løses for n vha. CAS-værktøjet WordMat.
Der vil således skulle bruges yderligere 29 ydelser (hvoraf den sidste vil være mindre end resten) på at
betale lånet tilbage.
Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 18. august 2014
11
Opgave 11C
a)
Vi kan opfatte produktionen af én CPU som et binomialforsøg, hvor sandsynlighed for succes (fejl i
CPU’erne) er 2%. Vi lader angive antallet af fejl i sendingen på 180 stk. vil da være binomialfordelt:
)
Vi bestemmer nu
i WordMat:
Binomialfordeling
P(X=
)=
p=
0,02
P(X≤
)=
n=
180
P(
6
≤X≤
180
)=
0,153922
Sandsynligheden for, at der er mere end 5 CPU’ere med fejl i en sending på 180 er således på ca. 15,4%.
b)
Vi konstaterer, at . Da er tæt på 0, skal vi tjekke om følgende ulighed er opfyldt :
Vi indsætter og :
Vi ser, at uligheden er opfyldt og bestemmer så i GeoGebras sandsynlighedslommeregner et
konfidensinterval for den sande værdi af ud fra oplysningerne fra leverancen:
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0
13
26
39
52
65
78
91
104
117
130
143
156
169
P(X=r)
r
Binomialfordeling
Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 18. august 2014
12
Vi aflæser konfidensintervallet (nedre/øvre grænse):
Vi har, at:
samt at
. Det ser umiddelbart ud til, at andelen er steget. Vi vil nu
undersøge om denne stigning er statistisk signifikant. Hvis stigningen er signifikant, skal
ligge til
venstre for konfidensintervallet. Dette efterlader en sandsynlighed på under 2,5% for, at
. Vi ser
nu, at dette ikke er tilfældet, da
ligger indenfor konfidensintervallet for
. Vi kan således ikke på et
2,5% signifikansniveau afvise, at andelen af CPU’ere med fejl er uændret og dermed fortsat kan forventes
at være 2%.
: Det er vigtigt at kende betingelserne bag de formler, man bruger, men da det ikke ligger inden for
HHX-pensum at kunne bestemme konfidensintervaller med andre metoder end den anvendte her i
opgaven, vil man nok ikke opleve, at betingelserne ikke er opfyldt. Hvis man alligevel oplever meget små
eller store værdier af eller værdier af som nærmer sig 30 eller kommer under 30, kan det dog være en
god idé lige at efterprøve det. Herunder præsenteres betingelserne bag den anvendte metode:
For at bestemme et 95%-konfidensinterval benytter vi, at de skøn over , vi kan bestemme ved at
udtrække stikprøver af størrelsen , er tilnærmelsesvist normalfordelt som:
Dette gælder hvis:
er en binomialfordelt stokastisk variabel
Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 18. august 2014
13
En ny stokastisk variabel er defineret som
Stikprøvestørrelsen er mindst 30
Hvis er tæt på 0, skal der gælde, at
Hvis er tæt på 1, skal der gælde, at