Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 23. maj 2014
1
HHX Matematik B
23. maj 2014
Delprøven med hjælpemidler
hhx141-MAT/B-230514
Nogle opgaver inkluderer referencer til en formel i en grå kasse. Referencer til en formel kræves ikke i en
besvarelse, og kan ikke erstatte forklaringer og øvrig tekst. Grunden til, at her medtages formel i
løsningerne, er så du præcis kan se hvilken formel, der bruges i hver mellemregning.
Alle opgaver er for så vidt muligt regnet med WordMat, da vores erfaring viser, at det er langt det hurtigste
værktøj at anvende. Husk at skrive nedenstående kommentar om at beregningerne er foretaget ved hjælp
HHX 2. år
NB: Mange af de anvendte formler i opgaven kan findes og indsættes direkte fra WordMats egen
formelsamling, som findes øverst til venstre. Der er store tidsbesparelser at hente ved at bruge
formelsamlingen!
Opgave 6
a)
Ligningen løses vha. WordMat:
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Vi kan heraf konkludere, at
er en løsning til ligningen.
b)
Forklaringer til hver linje er givet herunder:
1) Ligningen er skrevet op.
2) er trukket fra på begge sider.
3) er sat udenfor en parentes
4) Nulreglen (
anvendes.
Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 23. maj 2014
2
5) Den ene løsning er . Den anden løsning findes ved at lægge 10 til på begge sider og derefter
tage den naturlige logaritme af begge sider. Derpå udregnes og afrundes værdien af .
Nedenstående forklaring er kun en hjælp til forståelsen og således ikke nødvendig i en
eksamensbesvarelse. Følgende trin udføres for at nå punkt 5:
I dette trin anvendes en generel logaritmeregel på venstre side
Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 23. maj 2014
3
Opgave 7
a)
Udbudspriserne omregnes til mio. kr. og kopieres ind i WordMats regneark til rå data, hvorefter et
histogram med intervallængden 0,1 mio. tegnes:
b)
En række deskriptorer beregnes nu i WordMats ark til ugrupperede observationer:
Deskriptorer
Kvartilsæt
Nedre
1,14
Median
1,53
Øvre
2
Obs. Fraktil
Middeltal
1,62
Spredning
0,68
Fordelingen af udbudspris kan (bl.a.) beskrives ved følgende tre deskriptorer (enheden er mio. kr.):
Kvartilsæt:
0,5 0,7 0,9 1,1 1,3 1,5 1,7 1,9 2,1 2,3 2,5 2,7 2,9 3,1 3,3 3,5
Udbudspriser i mio. kr.
Histogram
Et tern er 4%
Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 23. maj 2014
4
Gennemsnit (middeltal):
Standardafvigelse (spredning): 0,68
c)
Et XY-plot med tendenslinje foretages i Excel:
Tendenslinjens ligning aflæses, og vi opskriver vores regressionsmodel, som har forklaringsgraden
R
2
=56,77%:
d)
En undersøgelse af data fra 100 fritidshuse til salg på Rømø i år 2013 har vist, at udbudspriserne er fordelt
som vist på følgende histogram:
y = 14395x + 270512
R² = 0,5677
0
500000
1000000
1500000
2000000
2500000
3000000
3500000
4000000
0 200 250
Pris i kroner
Størrelse i kvadratmeter
Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 23. maj 2014
5
Undersøgelsen viste desuden, at gennemsnitprisen er 1,62 mio. kr. Som det fremgår af histogrammet er
der dog en vis variation i huspriserne. Den billigste fjerdedel af husene koster under 1,14 mio. kr., mens den
dyreste fjerdedel koster mere end 2 mio. kr. Der er lige mange huse, som koster under og over 1,53 mio. kr.
Cirka 57 procent af variationen i udbudspriser kan forklares ved følgende sammenhæng: En grund koster
ca. 270 tusinde kroner, hvortil man skal lægge ca. 14.500 kroner for hver kvadratmeter bolig.
0,5 0,7 0,9 1,1 1,3 1,5 1,7 1,9 2,1 2,3 2,5 2,7 2,9 3,1 3,3 3,5
Udbudspriser i mio. kr.
Histogram
Et tern er 4%
Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 23. maj 2014
6
Opgave 8
a)
Vi anvender, at:
Vi laver en tabel i Excel som den angivne :
Termin
Primo
restgæld
Ydelse
Rentebeløb
Afdrag
Ultimo
restgæld
1
40000,00
1173,00
832,00
341,00
39659,00
2
39659,00
1173,00
824,91
348,09
39310,91
Vi konkluderer således, at:
I første termin rentebeløbet 832 kr., mens afdraget er 341 kr.
Ultimo restgæld efter 2. termin er 39.310,91 kr.
I Excel er formlerne indtastet på følgende måde:
Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 23. maj 2014
7
Opgave 9
a)
Funktionerne for hhv. omsætning og omkostninger defineres:
Overskuddet kan nu findes vha. WordMat som omsætningen minus omkostningerne:
Funktionen defineres:
Overskuddet bestemmes:
Overskuddet ved en afsætning på 12 ton er således 29,68 mio. kr.
b)
Stationære punkter bestemmes ved at løse:
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Fortegnet for undersøges nu på begge sider af nulpunktet:
Da funktionen går fra at være voksende (
) til at være aftagende (
), er der tale om et lokalt
maksimum. Da punktet er det eneste ekstremum i definitionsmængden, er der desuden tale om et globalt
maksimum. Den afsætning, som giver maksimalt overskud er altså omkring 10,95 tons
Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 23. maj 2014
8
Opgave 10
a)
Data fra undersøgelsen optælles vha. en pivottabel i WordMat og opskrives i et skema som det i opgaven
angivne:
Hovedstadsområdet
Nordjylland
Sjælland
Total
Ja
323
105
631
1059
Nej
110
19
302
431
Total
433
124
933
1490
b)
Vi opstiller en nulhypotese:
: Der er ingen sammenhæng mellem brugernes svar på spørgsmålet og den landsdel, de kommer fra.
Hypotesen kan testes på et 5%-signifikansniveau vha. en
-uafhængighedstest. Dette gøres i WordMat
med følgende resultat:
χ²-test
Observationer
I alt
323
105
631
1059
110
19
302
431
I alt
433
124
933
1490
P-værdi:
0,01%
Der er en
sammenhæng
Signifikans
niveau:
5%
Da , forkastes nulhypotesen på et 5%-signifikansniveau.
På et 5%-signifikansniveau kan vi således konkludere, at der er en sammenhæng mellem brugernes svar på
spørgsmålet og den landsdel, de kommer fra.
Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 23. maj 2014
9
Til eksamen skal du kun udvælge én af de tre følgende opgaver, 11A, 11B og 11C. Her bringes alle løsninger,
så du kan bruge dem til at øve de forskellige opgavetyper.
Opgave 11A
a)
Sandsynligheden kan bestemmes som arealet under grafen for normalfordelingens frekvensfunktion i
intervallet . Dette bestemmes i WordMat:
Normalfordeling
Middelværdi:
10,75
Spredning:
1
Grafvindue
X
min
X
maks
5,75
15,75
Areal under frekvensfuntion
X
min
X
maks
10
23%
Sandsynligheden aflæses til .
b)
Et 95%-konfidensinterval for middelværdien bestemmes i GeoGebras sandsynlighedslommeregner vha.
de opgivne oplysninger (vi anvender et T-estimat, da vi kun har et estimat af
spredningen/standardafvigelsen):
Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 23. maj 2014
10
Intervallet aflæses (nedre/øvre grænse) og opskrives:
Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 23. maj 2014
11
Opgave 11B
a)
f defineres:
For at undersøge monotoniforholdene for bestemmes først nulpunkter for . Dette gøres ved at løse
ligningen:
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Vi udregner nu fortegnet for f’ for passende værdier af :
Vi sammenfatter dette i en monotonilinje:
0
40/3
-
0
+
0
-
↘
↗
↘
Vi kan dermed konkludere:
f er voksende i intervallet
f er aftagende i intervallerne og
b)
For at finde de punkter, hvor tangenthældningen er 5, løser vi ligningen:
Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 23. maj 2014
12
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Et røringspunkt er derfor:
Hvor:
Vi kan således konkludere, at røringspunktet til den ene tangent har koordinatsættet
Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 23. maj 2014
13
Opgave 11C
a)
angiver funktionstilvæksten, når vokser med 1, mens angiver funktionstilvæksten, når vokser med .
Funktionsforskriften for det samlede dækningsbidrag i kroner bliver da (funktionen defineres):
b)
Ulighederne opskrives og omskrives evt. (så én variabel er isoleret):
Uligheden løses for y vha. CAS-værktøjet WordMat.
Uligheden løses for y vha. CAS-værktøjet WordMat.
En yderligere ulighed må være opfyldt (da der ikke kan være negative pladser til campingvogne):
Ulighederne afgrænser sammen et polygonformet kapacitetsområde, som tegnes i GeoGebra.
Polygonområdets hjørnepunkter bestemmes vha. skæringsværktøjet i GeoGebra:
Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 23. maj 2014
14
Funktionsværdien (og dermed dækningsbidraget) vil antage sin største værdi i et af polygonområdets
hjørnepunkter. Hjørnepunkternes koordinater aflæses, og funktionsværdien undersøges i hvert af
hjørnepunkterne:
Vi kan nu konkludere, at antager sin største værdi i . Der skal således anlægges 75
campinghytter og 100 pladser til campingvogne, for at det samlede daglige dækningsbidrag bliver størst
muligt.