Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 17. august 2015
1
HHX Matematik B
17. August 2015
Delprøven med hjælpemidler
hhx152-MAT/B-
Nogle opgaver inkluderer referencer til en formel i en grå kasse. Referencer til en formel kræves ikke i en
besvarelse, og kan ikke erstatte forklaringer og øvrig tekst. Grunden til, at her medtages formel i
løsningerne, er så du præcis kan se hvilken formel, der bruges i hver mellemregning.
Alle opgaver er for så vidt muligt regnet med WordMat, da vores erfaring viser, at det er langt det hurtigste
værktøj at anvende. Husk at skrive nedenstående kommentar om at beregningerne er foretaget ved hjælp
HHX 2. år
NB: Mange af de anvendte formler i opgaven kan findes og indsættes direkte fra WordMats egen
formelsamling, som findes øverst til venstre. Der er store tidsbesparelser at hente ved at bruge
formelsamlingen!
Opgave 6
a)
Forklaringer til linjerne findes herunder:
1) Formlen for den gennemsnitlige rente er skrevet op
2) Der er indsat, at:
,
og . Herefter er der lagt 1 til på begge sider.
3) Begge sider er opløftet i tredje potens.
4) Begge sider er divideret med 1,1128.
5) 1 er trukket fra på begge sider, hvorefter der er omregnet til procent og afrundet til 2 decimaler.
b)
Vi isolerer
vha. WordMat:
Ligningen løses for r_3 vha. CAS-værktøjet WordMat.
Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 17. august 2015
2
Vi har nu, at:
.
Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 17. august 2015
3
Opgave 7
a)
Et -plot foretages i Excel og indsættes herunder:
b)
Data indsættes i en tabel herunder, og der udføres eksponentiel regression i WordMat:
Antal år efter 1996
Entréindtægter i mio.
kr.
0
64,9
1
71,2
2
84
3
91,7
4
100,7
5
103
6
105,1
7
115,5
8
139,6
9
147
10
157,1
11
159,3
12
163,3
13
165,4
14
177,2
15
172,1
16
182,6
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
2 14 16 18
Entréindtægter i mio. kr.
Antal år efter 1996
Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 17. august 2015
4
Eksponentiel regression udført vha. CAS-værktøjet WordMat: R
2
= 0,9406755
Vi kan nu definere vores model:
Modellen er af typen
Om vækstraten gælder så, at:
Målsætningen om en årlig 5%-stigning er således opfyldt.
c)
Vi løser nu:
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Da er en voksende funktion ( ), kan vi konkludere, at
og
.
svarer til entréindtægterne i år . Ifølge modellen vil entréindtægterne således
overstige 250 mio. kr. i år 2016.
d)
Tivolis entréindtægter har været stigende hvert år i perioden -2013. Indtægterne er med nogenlunde
tilnærmelse
steget eksponentielt med en årlig vækstrate på ca. 6,62%. Målsætningen om 5%
årlig vækst er således opnået med en fin margin. Hvis den hidtidige udvikling kan fremskrives, må det
forventes, at entréindtægterne overstiger mio. kr. i år .
Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 17. august 2015
5
Opgave 8
a)
Data optælles i Excel vha. en pivottabel, og resultatet indsættes i et skema:
18-29 år
30-49 år
Total
Betinget dom
75
97
172
Bøde
33
40
73
Samfundstjeneste
52
24
76
Ubetinget 1-5 år
52
67
119
Ubetinget 2mdr-11mdr
59
106
165
Total
271
334
605
b)
Vi opstiller nu en nulhypotese:
Der er ingen sammenhæng mellem de to variable ’alder’ og ’holdning til straf’.
Nulhypotesen kan testes vha. en
-uafhængighedstest. Dette gøres i WordMat med et signifikansniveau
på 5%. VI får følgende resultat:
χ²-test
Observationer
I alt
Forventede
I alt
75
97
172
77,04463
94,95537
172
33
40
73
32,69917
40,30083
73
52
24
76
34,04298
41,95702
76
52
67
119
53,30413
65,69587
119
59
106
165
73,90909
91,09091
165
I alt
271
334
605
271
334
605
P-værdi:
0,01%
Der er en sammenhæng
Signifikans niveau:
5%
Da , forkastes nulhypotesen på et -signifikansniveau. Alder har således betydning for
holdningen til straf.
Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 17. august 2015
6
Opgave 9
a)
Funktionen defineres:
Nu bestemmes:
De variable enhedsomkostninger ved en produktionsmængde på 100 liter er således 135 kr.
b)
Funktionen er et andengradspolynomium på formen
(dog med begrænset
definitionsmængde). Da , har funktionen globalt minimum i:
Den produktionsmængde, som giver de mindste variable enhedsomkostninger er 20 liter.
c)
Forskriften bestemmes vha. WordMat:
Udtrykket udvides vha. CAS-værktøjet WordMat.
Forskriften for de samlede produktionsomkostninger kan nu defineres:
Der gælder stadig, at
Vi løser nu:
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 17. august 2015
7
En produktionsmængde på 100 liter svarer således til samlede produktionsomkostninger på kr.
Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 17. august 2015
8
Til eksamen skal du kun udvælge én af de tre følgende opgaver, 10A, 10B og 10C. Her bringes alle løsninger,
så du kan bruge dem til at øve de forskellige opgavetyper.
Opgave 10A
a)
Vi anvender WordMats regneark til normalfordelinger og indtaster de angivne kriterier. Sandsynligheden
kan bestemmes som arealet under frekvensfunktionen i intervallet :
Normalfordeling
Middelværdi:
50
Spredning:
1,2
Grafvindue
X
min
X
maks
45
55
Areal under frekvensfuntion
X
min
X
maks
48
4,78%
b)
Et 95%-konfidensinterval for stikprøven bestemmes i GeoGebra i WordMat vha. dens
sandsynlighedslommeregner:
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
53 55
Frekvensfunktion
Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 17. august 2015
9
Et 95%-konfidensinterval for middelværdien af indholdet ud fra stikprøven er således .
Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 17. august 2015
10
Opgave 10B
a)
Funktionen defineres:
Funktionen differentieres:
For at undersøge monotoniforholdene for f bestemmes først nulpunkter for . Dette gøres ved at løse
ligningen:
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Vi udregner nu fortegnet for f’ på begge sider af [nulpunktet/alle nulpunkterne]:
Vi sammenfatter dette i en monotonilinje:
1 ekstremumspunkt
1
-
0
+
↘
↗
Vi kan dermed konkludere:
f er voksende i intervallet
f er aftagende i intervallet
Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 17. august 2015
11
b)
Hældningen af en tangent til grafen for en funktion i et punkt
er givet ved
.
Punktets førstekoordinat bestemmes nu ved at løse
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Andenkoordinaten bestemmes som:
Vi har nu bestemt koordinatsættet til røringspunktet for den beskrevne tangent (her afrundet):
.
Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 17. august 2015
12
Opgave 10C
a)
Kristians kapital kan fremskrives 12 terminer vha. formlen for kapitalfremskrivning. Indgående størrelser
defineres:
Startkapital:
Rente:
er slutkapitalen
Umiddelbart efter den 1/1-2016 vil der således stå 15.272,24 kr. på kontoen.
b)
Den samlede slutkapital efter 24 måneder er en sum af to størrelser. Beløbet 15.000 kr. skal fremskrives
over 24 terminer, og fremskrivningen af den kapital, som udgøres af de løbende overførsler, kan foretages
vha. formlen for fremskrivning af en annuitet.
Der sker 13 overførsler (ydelser) af 800 kr. hver.
Ydelsen defineres:
Vi definerer nu de to størrelser, som tilsammen udgør slutkapitalen:
Slutkapitalen kan nu beregnes som:
Den 1/1 2017 vil der stå 26.043,54 kr. på kontoen.