Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 26. maj 2015
1
HHX Matematik B
26. maj 2015
Delprøven med hjælpemidler
hhx151-MAT-B-
Nogle opgaver inkluderer referencer til en formel i en grå kasse. Referencer til en formel kræves ikke i en
besvarelse, og kan ikke erstatte forklaringer og øvrig tekst. Grunden til, at her medtages formel i
løsningerne, er så du præcis kan se hvilken formel, der bruges i hver mellemregning.
Alle opgaver er for så vidt muligt regnet med WordMat, da vores erfaring viser, at det er langt det hurtigste
værktøj at anvende. Husk at skrive nedenstående kommentar om at beregningerne er foretaget ved hjælp
HHX 2. år
NB: Mange af de anvendte formler i opgaven kan findes og indsættes direkte fra WordMats egen
formelsamling, som findes øverst til venstre. Der er store tidsbesparelser at hente ved at bruge
formelsamlingen!
Opgave 6
a)
Udregninger foretaget ved hver af linjerne forklares herunder:
1) Formlen er skrevet op.
2) Følgende værdier er indsat:
og
3) 1 er lagt til på begge sider og den tolvte rod af begge sider er taget.
4) 1 er trukket fra på begge sider, og højre side er udregnet.
5) Begge sider er ganget med 12. Højre side konverteres til procent og afrundes til 2 decimaler.
b)
Vi isolerer vha. WordMat:
Ligningen løses for r vha. CAS-værktøjet WordMat.
Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 26. maj 2015
2
Vi kan konkludere, at:
Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 26. maj 2015
3
Opgave 7
a)
Data kopieres ind i WordMats regneark til rå data, hvor de automatisk optælles. Herefter grupperes de i
intervaller med en længde på 10.000, hvorefter der tegnes et histogram.
b)
De rå data kopieres til WordMats ark for ugrupperede observationer, som automatisk beregner en række
deskriptorer:
Deskriptorer
Kvartilsæt
Nedre
-349,5
Median
1344
Øvre
16751,5
Obs. Fraktil
Middeltal
7034,7803
Spredning
16236,3352
Vi kan nu konkludere, at:
-000
Observationer
Histogram
Et tern er 4%
Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 26. maj 2015
4
c)
Fordelingen af dækningsbidragene for den først undersøgte periode ses i histogrammet ovenfor. Siden da
er dækningsbidragene generelt steget, og der er samtidig kommet større spredning omkring
middelværdien.
I første periode lå en fjerdedel af dækningsbidragene under -349,50 kr., mens hver fjerde dækningsbidrag
nu er under -403 kr. Før lå halvdelen af dækningsbidragene under 1344 kr., mens halvdelen nu er under
1344 kr. Den øverste fjerdedel af dækningsbidragene lå tidligere over 16.751,50 kr., mens den nu er over
21.544 kr. Denne udvikling, hvor toppen vokser, mens bunden falder en smule, betyder samtidig, at
dækningsbidragene ligger mere spredt, hvilket også ses af, spredningen omkring middelværdien er steget
fra 16.236,34 kr. pr. ordre til 25.073 kr. pr. ordre. Middelværdien er desuden gået fra 7.034,78 kr. pr. ordre
til 15.056 kr. pr. ordre.
-000
Observationer
Første periode
Et tern er 4%
Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 26. maj 2015
5
Opgave 8
a)
Vi definerer kendte størrelser:
Rente:
Lånets størrelse:
Antal terminer:
Vi bestemmer nu ydelsen vha. formlen for nutidsværdi af en annuitet:
Ligningen løses for y vha. CAS-værktøjet WordMat.
Studenten skal således betale en kvartårlig ydelse på kr.
b)
Hvis der i den første periode ikke afdrages gæld, kan rentedelen for hver af terminerne i denne periode kan
beregnes som:
Den kvartårlige ydelse uden afdragsdel er således på kr.
Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 26. maj 2015
6
Opgave 9
a)
Data optælles i en pivottabel i Excel og indsættes i et skema som det i opgaven angivne:
Aftenbillet
Dagsbillet
Ingen rabat
Weekendbillet
Total
Brobizz
17
77
378
179
651
Kontant/kort
18
60
560
111
749
Total
35
137
938
290
1400
b)
Vi opstiller en nulhypotese, som kan testes vha. en
-test:
Der er ingen sammenhæng mellem rabatform og betalingsform.
Tabellens data indsættes nu i WordMats
-regneark:
χ²-test
Observationer
I alt
17
77
378
179
651
18
60
560
111
749
I alt
35
137
938
290
1400
P-værdi:
0,90%
Der er en sammenhæng
Signifikans
niveau:
5%
Da , forkastes nulhypotesen på et 5% signifikansniveau. Vi kan således
konkludere, at der er en sammenhæng mellem rabatform og betalingsform.
Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 26. maj 2015
7
Opgave 10
a)
Vi laver et -plot af data i Excel og tilføjer en tendenslinje med tilhørende ligning:
Tendenslinjens ligning giver os følgende estimater (tallene defineres):
b)
Omsætningen har følgende forskrift:
Det vil sige:
Denne forskrift er på den generelle form for andengradspolynomier, og grafen er således en parabel:
Da har parablen globalt maksimum i:
y = -0,2968x + 498,74
R² = 0,9998
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
0 1600
Salgspris i kr. pr. kg
Afsætning i kg
Lineær model
Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 26. maj 2015
8
Den afsætning, der giver størst omsætning er altså 840,2 kg.
Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 26. maj 2015
9
Til eksamen skal du kun udvælge én af de tre følgende opgaver, 11A, 11B og 11C. Her bringes alle løsninger,
så du kan bruge dem til at øve de forskellige opgavetyper.
Opgave 11A
a)
Konstanterne og angiver funktionstilvæksten for en stigning på 1 af hhv. og . Vi angiver nu
dækningsbidragene i tusinde kroner og definerer funktionen:
b)
Produktionen er underlagt følgende begrænsninger:
Samling:
Uligheden løses for y vha. CAS-værktøjet WordMat.
Kalibrering:
Uligheden løses for y vha. CAS-værktøjet WordMat.
Test:
Uligheden løses for y vha. CAS-værktøjet WordMat.
Desuden må der gælde, at:
Vha. ovenstående begrænsninger kan kapacitetsområdet nu indtegnes:
Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 26. maj 2015
10
Hjørnepunkternes koordinater er A(200,400), B(0,500), C(350,250), D(475,0) og E(0,0).
Du kan fx tegne polygonområdet i GeoGebra™. Hjørnepunkternes koordinater kan bestemmes vha.
skæringsværktøjet i GeoGebra.
Funktionens maksimum findes i et hjørnepunkt af polygonområdet. Vi beregner nu funktionsværdierne i de
fem hjørnepunkter:
Vi konkluderer nu, at det største dækningsbidrag opnås ved og . Virksomheden skal
således producere og sælge 350 DRAIN og 250 AWAY pr. uge for at opnå det størst mulige samlede
dækningsbidrag.
Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 26. maj 2015
11
Opgave 11B
a)
Funktionen defineres:
I ekstremumspunktet er tangenten til grafen vandret. Ekstremum findes da ved at løse:
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Ligningen løses numerisk for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Vi bestemmer nu andenkoordinaten:
Ekstremumspunktet har således koordinatsættet .
Punktet indtegnes i WordMat sammen med grafen for :
b)
En tangent er en ret linje, og kan således beskrives ved ligningen:
Hvor angiver skæringen med -aksen, mens er hældningskoefficienten.
For tangenten til grafen for en funktion i et punkt
, gælder at
Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 26. maj 2015
12
Vi bestemmer nu tangentens røringspunkt: Førstekoordinaten findes ved at løse:
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Ligningen løses numerisk for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Andenkoordinaten bliver så:
Vi indsætter nu hældningen samt røringspunktets koordinater i tangentens ligning og løser mht. :
Ligningen løses for b vha. CAS-værktøjet WordMat.
Tangentens skæringspunkt med -aksen er således givet ved koordinatsættet:
.
Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 26. maj 2015
13
Opgave 11C
a)
Antallet af forsinkede leverancer (succeser) er binomialfordelt med og . Dvs.
Vi søger nu vha. WordMats regneark til binomialfordeling. Vi får da:
Binomialfordeling
P(X=
)=
p=
0,15
P(X≤
9
)=
0,5877
n=
60
P(
≤X≤
)=
Vi aflæser, at:
Sandsynligheden for at få højst 9 forsinkede leverancer er således .
b)
Du kan bestemme et 95%-konfidensinterval for andelen af forsinkede leverancer med
sandsynlighedslommeregneren i GeoGebra. Indtast Succeser = 12 (antallet af forsinkede leverancer) og N =
85. Konfidensintervallets grænser aflæses ud for ”Nedre grænse” og ”Øvre grænse”.
Intervallet:
Vi ser, at:
, mens
. Det ser umiddelbart ud til, at andelen af fejlleverancer er
faldet. Vi vil nu undersøge, om dette fald er statistisk signifikant. Hvis dette er tilfældet, skal
ligge til
venstre for konfidensintervallet for
. Dette efterlader en sandsynlighed på under for, at
. Vi ser dog, at
ligger inden for konfidensintervallet, og vi kan derfor på et 2,5%
signifikansniveau ikke afvise, at andelen af forsinkede leverancer er uændret efter ansættelsen af den nye
logistikchef.
0
0,02
0,04
0,06
0,08
0,1
0,12
0,14
0,16
P(X=r)
r
Binomialfordeling