Matematik A/B HHX – Skriftlig eksamen – 17. august 2016
1
HHX Matematik B
17. august 2016
Delprøven med hjælpemidler
hhx162-MAT/B-
Nogle opgaver inkluderer referencer til en formel i en grå kasse. Referencer til en formel kræves ikke i en
besvarelse, og kan ikke erstatte forklaringer og øvrig tekst. Grunden til, at her medtages formel i
løsningerne, er så du præcis kan se hvilken formel, der bruges i hver mellemregning.
Alle opgaver er for så vidt muligt regnet med WordMat, da vores erfaring viser, at det er langt det hurtigste
værktøj at anvende. Husk at skrive nedenstående kommentar om at beregningerne er foretaget ved hjælp
HHX 2. år
NB: Mange af de anvendte formler i opgaven kan findes og indsættes direkte fra WordMats egen
formelsamling, som findes øverst til venstre. Der er store tidsbesparelser at hente ved at bruge
formelsamlingen!
Opgave 6
a)
Funktionerne og definitionsmængden defineres:
Matematik A/B HHX – Skriftlig eksamen – 17. august 2016
2
Graferne tegnes:
b)
Dækningsbidraget er givet ved:
Udtrykket omskrives vha. CAS-værktøjet WordMat ved brug af metoderne: Automatisk reduktion,
Ovenstående udtryk stemmer overens med dækningsbidraget oplyst i opgaveteksten.
c)
1) Dækningsbidraget differentieres og sættes lig nul. Dækningsbidraget skal optimeres. Den maksimale
værdi for dækningsbidraget findes ved at differentiere og sætte udtrykket lig 0.
2) Dækningsbidraget differentieret er et andengradspolynomium.
3) Ligningen løses som et andengradspolynomium dvs. ved at finde rødderne.
4) Ligningen har 2 løsninger, hvoraf kun ligger indenfor definitionsmængden.
5) Det konkluderes at, er maksimum, hvilket stemmer overens med at dækningsbidraget
differentieret er et konkavt andengradspolynomium.
6) Funktionsværdien er beregnet dvs. det størst mulige dækningsbidrag er beregnet til 4680000.
Matematik A/B HHX – Skriftlig eksamen – 17. august 2016
3
Opgave 7
a)
Data optælles i Excel vha. en pivottabel og opskrives i et skema som det i opgaven angivne:
Begrundelse
bil
cykel
gående
kollektiv trafik
Hovedtotal
afstand
104
152
30
29
315
infrastruktur
36
44
8
12
100
parkeringsforhold
56
158
20
14
248
velkendt butik
37
88
20
12
157
Hovedtotal
233
442
78
67
820
b)
Vi opstiller en nulhypotese:
: Der er ingen sammenhæng mellem begrundelse og valg af transportmiddel.
Hypotesen testes på et 5%-signifikansniveau vha. en
-uafhængighedstest ved indsættelse af ovenstående
skema i WordMats regneark til
-test:
Testen kopierer ind i Word:
χ²-test
Observationer
I alt
104
152
30
29
315
36
44
8
12
100
56
158
20
14
248
37
88
20
12
157
I alt
233
442
78
67
820
P-værdi:
0,50%
Der er en sammenhæng
Signifikans niveau:
5%
Da , forkastes nulhypotesen på et 5% signifikansniveau. Med et signifikansniveau på 5%
kan vi således konkludere, at der er en statistisk signifikant sammenhæng mellem begrundelse og valg af
transportform.
Matematik A/B HHX – Skriftlig eksamen – 17. august 2016
4
Opgave 8
a)
Kendte størrelser defineres:
Antal terminer:
Kvartårlig rente:
Hovedstol:
Den kvartårlige ydelse bestemmes ved annuitetesformlen:
Ligningen løses for y vha. CAS-værktøjet WordMat.
Den kvartårlige ydelse er bestemt til 22095 kr. (afrundet).
b)
Der afdrages med en ydelse på 22095 kr. 16 gange over de 4 år. Det svarer til:
Størrelsen af den samlede renteudgift over de 4 år beregnes ved:
Størrelsen af den samlede renteudgift over de 4 år er således 53520 kr.
c)
De samlede renteudgifter til lånet fra bank B er:
De samlede udgifter til lånet fra bank B er:
De samlede udgifter til lånet fra bank B er 43512 kr.
Det står klart at lånet fra bank A er dyrere end lånet fra bank B. Med en kvartårlig rente på 1,2 % mod bank
A’s 2,0 %, er den kvartårlige ydelse altså mindre for tilbuddet fra bank B. På trods af et årligt gebyr på 3000
kr. er de samlede udgifter på tilbuddet fra bank B stadig mindre end lånet fra bank A.
Matematik A/B HHX – Skriftlig eksamen – 17. august 2016
5
Opgave 9
a)
Antallet af forsinkede fly (succeser) er binomialfordelt med og . Dvs.
Vi
søger
vha. WordMats regneark til binomialfordeling. Vi får da:
Sandsynligheden for, at der er 0 aflyste fly beregnes med WordMats skabelon for binomialfordeling:
Binomialfordeling
P(X=
0
)=
0,1028
p=
0,15
n=
14
Det aflæses fra binomialfordelingen at
Ifølge fordelingen er sandsynligheden, for at 0 fly mellem Ålborg og København er forsinkede, ca. 10,28%.
b)
Den grafiske præsentation af stikprøven over antal forsinkede fly på en 70 dages periode, foretages ved et
pindediagram:
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
0,35
13 14
P(X=r)
r
Binomialfordeling
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
0 1 2 3 4 5 6
Hyppighed
Antal forsinkede fly pr. dag
Fordeling af forsinkede fly
Matematik A/B HHX – Skriftlig eksamen – 17. august 2016
6
Andelen af 0. forsinkede fly pr. dag bestemmes ved:
Det aflæses fra tabellen, at der er 7 dage, hvor der er 0 forsinkede fly. Der er i alt 70 dage dvs.:
Andelen af dage, hvor der er 0 forsinkede fly, er 10 %.
c)
Et 95%-konfidensinterval for andelen af dage med 0 forsinkede fly bestemmes i GeoGebra i WordMat vha.
sandsynlighedslommeregneren. Vi har 7 succeser (dage med 0 forsinkede fly) ud af 70 binomialforsøg. Da
får vi:
Et 95%-konfidensinterval for andelen af dage med 0 forsinkede fly aflæses og opskrives afrundet (nedre /
øvre grænse):
Matematik A/B HHX – Skriftlig eksamen – 17. august 2016
7
Til eksamen skal du kun udvælge én af de tre følgende opgaver, 10A, 10B og 10C. Her bringes alle løsninger,
så du kan bruge dem til at øve de forskellige opgavetyper.
Opgave 10A
a)
Vi opskriver funktionen:
b)
Vi opskriver betingelserne:
Lodning:
Uligheden løses for y vha. CAS-værktøjet WordMat.
Samling:
Uligheden løses for y vha. CAS-værktøjet WordMat.
Desuden må der selvfølgelig gælde, at:
Kapacitetsområdet indtegnes nu i GeoGebra, og hjørnepunkternes koordinatsæt bestemmes vha.
GeoGebras skæringsværktøj:
Matematik A/B HHX – Skriftlig eksamen – 17. august 2016
8
Den største funktionsværdi skal findes i et af det polygonformede kapacitetsområdes hjørnepunkter. Vi
undersøger de mulige værdier:
Det størst mulige dækningsbidrag opnås således ved månedlig produktion af 125 MT-ADV2 og 150 MT-
UM1.
Matematik A/B HHX – Skriftlig eksamen – 17. august 2016
9
Opgave 10B
a)
Funktionen og definitionsmængden defineres:
Ekstremum bestemmes:
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Punktet markeres på grafen :
b)
Først bestemmes førstekoordinaten til røringspunktet mellem tangenten og grafen :
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Tangentens ligning bestemmes:
Det udgår fra tangentens ligning at tangenten med en hældning på -6 skærer -aksen -10.
Matematik A/B HHX – Skriftlig eksamen – 17. august 2016
10
Opgave 10C
a)
Et xy- med tendensline laves i Excel vha. data fra filen bilpriser:
Tendenslinjen aflæses og regressionsmodellen opskrives afrundet og defineres:
b)
Vi løser ligningen
:
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Nyprisen på en bil, der har et værditab over 4 år på 180000, er ifølge modellen 386006 kr. (afrundet til 1
decimal).
y = 0,4149x + 19.846,3529
R² = 0,7926
90000
110000
130000
150000
170000
190000
210000
350000
Værditab over 4 år
Nypris