Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 25. maj 2016
1
HHX Matematik B
25. maj 2016
Delprøven med hjælpemidler
hhx161-MAT/B-
Nogle opgaver inkluderer referencer til en formel i en grå kasse. Referencer til en formel kræves ikke i en
besvarelse, og kan ikke erstatte forklaringer og øvrig tekst. Grunden til, at her medtages formel i
løsningerne, er så du præcis kan se hvilken formel, der bruges i hver mellemregning.
Alle opgaver er for så vidt muligt regnet med WordMat, da vores erfaring viser, at det er langt det hurtigste
værktøj at anvende. Husk at skrive nedenstående kommentar om at beregningerne er foretaget ved hjælp
HHX 2. år
NB: Mange af de anvendte formler i opgaven kan findes og indsættes direkte fra WordMats egen
formelsamling, som findes øverst til venstre. Der er store tidsbesparelser at hente ved at bruge
formelsamlingen!
Opgave 6
a)
Forklaringer til hver af linjerne er givet herunder:
1) Ligningerne skrives op.
2) isoleres i begge ligninger. I venstre ligning sker dette ved subtraktion af efterfulgt af division
med . I højre ligning sker det ved subtraktion af efterfulgt af division med .
3) De to udtryk for sættes lig med hinanden.
4) Der lægges til på begge sider. Siderne byttes rundt.
5) Der divideres med på begge sider af ligningerne.
6) indsættes i en af de to udtryk for i linje 2. Man får så uanset valg, at .
Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 25. maj 2016
2
Opgave 7
a)
Vi definerer kendte størrelser:
Lånets størrelse:
Månedlig ydelse:
Antal terminer:
Vi anvender så, at:
Ligningen løses for r vha. CAS-værktøjet WordMat.
Renten er selvfølgelig positiv, så . Den månedlige rente er således på 1,07%.
Ligningen løses for r vha. CAS-værktøjet WordMat.
Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 25. maj 2016
3
Opgave 8
a)
Vi kopierer udbudspriserne og indsætter dem i WordMats statistikark til rå data. Her tegner vi et histogram
med en intervalbredde på 20.000 kr.:
b)
Vi udregner en række deskriptorer vha. WordMat:
Deskriptorer
Kvartilsæt
Nedre
49900
Median
80999
Øvre
129995
Obs. Fraktil
Middeltal
94107,08
Spredning
60706,33
Vi beskriver nu fordelingen vha. 3 deskriptorer:
Gennemsnitsprisen er
Spredningen er på
000
Udbudspris i kr.
Histogram
Et tern er 4%
Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 25. maj 2016
4
Kvartilsættet (enhed: kr.) er .
c)
Vi foretager et -plot i Excel og tilføjer en lineær tendenslinje med tilhørende regressionsligning og
determinationskoefficient
:
Vi aflæser tendenslinjens ligning og opstiller på den baggrund en lineær regressionsmodel:
Hvor:
d)
Der er foretaget en undersøgelse af fordelingen af udbudsprisen for 50 motorcykler. Det viser sig, at
priserne fordeler sig som vist på histogrammet herunder:
y = 114,74x + 4664,6
R² = 0,6777
0
50000
100000
150000
200000
250000
300000
0 2000
Udbudspris
Slagvolumen
Udbudspris som funktion af slagvolumen
Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 25. maj 2016
5
Den gennemsnitlige udbudspris ligger på 94.107,80 kr., og priserne er spredt omkring dette gennemsnit
med en spredning på 60.706,33 kr. De billigste 25% af motorcyklerne koster hver især højst 49.900 kr.,
mens de dyreste 25% af motorcyklerne hver især koster mindst 129.995 kr. Der er lige mange motorcykler,
der koster over som under 80.999 kr.
Desuden er sammenhængen mellem slagvolumen og udbudspris undersøgt. Vi har fundet en lineær
sammenhæng, som siger, at der er en grundpris på ca. 4650 kr., som forøges med omkring 115 kr. pr.
kubikcentimeter slagvolumen. Denne model kan forklare omkring 68% af variationen.
000
Udbudspris i kr.
Histogram
Et tern er 4%
Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 25. maj 2016
6
Opgave 9
a)
Vi definerer omkostningsfunktionen og beregner funktionsværdien ved en daglig produktion på .
Omkostningerne ved en daglig produktion på 150 stk. er på .
b)
Vi definerer omsætningsfunktionen og tegner de to grafer i samme koordinatsystem i intervallet
Vi bestemmer -værdierne i skæringspunkterne ved at sætte de to funktioner lig med hinanden og løse
ligningen:
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 25. maj 2016
7
Begge skæringspunkter ligger i definitionsmængden for begge funktioner. Vi bestemmer -værdierne vha.
:
De to skæringspunkter har således følgende koordinatsæt:
c)
Overskuddet defineres som omsætningen minus omkostningerne .
Vi søger evt. lokale maksima vha. nulpunkter for ved at løse:
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Nulpunktet ligger inden for definitionsmængden. Vi undersøger nu, om der er tale om et maksimum ved at
bestemme fortegnet for på begge sider af nulpunktet:
går fra at være voksende (
) til at være aftagende
i , hvilket vil sige, at der er et
lokalt maksimum i . Da der kun er et ekstremum, må dette maksimum desuden være et globalt
maksimum. Det størst mulige overskud kan nu bestemmes som :
Det størst mulige overskud er således på 44100.
Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 25. maj 2016
8
Opgave 10
a)
Vi lader angive den samlede pris for betonblandingen i kr. Funktionsforskriften bliver så:
b)
Den mindste pris opnås i et af hjørnerne af polygonområdet. Vi kan aflæse følgende hjørnepunkter direkte:
De resterende to hjørnepunkter kan bestemmes som skæringspunkter mellem linjen
og hhv. og
Vi bestemmer -koordinaten til skæringspunktet mellem og :
Ligningen løses for y vha. CAS-værktøjet WordMat.
Vi bestemmer -koordinaten til skæringspunktet mellem og :
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
De sidste to hjørnepunkter har altså følgende koordinatsæt:
Vi definerer kriteriefunktionen:
Funktionsværdien bestemmes nu i alle hjørnepunkter:
Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 25. maj 2016
9
Vi ser, at den samlede pris er mindst mulig for
Den samlede pris er således mindst mulig, når betonblandingen indeholder 5200 kg støbesand og 6800 kg
cement.
Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 25. maj 2016
10
Til eksamen skal du kun udvælge én af de tre følgende opgaver, 11A, 11B og 11C. Her bringes alle løsninger,
så du kan bruge dem til at øve de forskellige opgavetyper.
Opgave 11A
a)
Vi lader angive antallet af personer i en stikprøve i februar 2015, som vil stemme på Socialdemokraterne.
vil da være binomialfordelt. Det vil sige .
Vi opfatter 22,0% som den sande sandsynlighed for, at en tilfældig person i februar 2015 ville stemme på
Socialdemokraterne. Det vil sige . Stikprøvestørrelsen er . Sandsynligheden for, at
svarer til sandsynligheden for, at , da er en diskret variabel (antallet af personer skal være
et helt tal). er desuden begrænset opadtil af stikprøvens størrelse, så sandsynligheden kan bestemmes
som:
Vi bestemmer sandsynligheden i WordMats regneark til binomialfordeling:
Vi aflæser, at
Sandsynligheden for, at der i en stikprøve på 200 personer i februar ville være mere end 50, der ville
stemme på Socialdemokraterne, er således på .
Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 25. maj 2016
11
b)
Vi opfatter
som den sande værdi i februar. Vi ser, at estimatet for juni på
er
større end den sande værdi for februar. Vi opstiller så en nulhypotese om, at den sande værdi i juni,
er
lig med den sande værdi i februar. Nulhypotesen kan formuleres som:
Vi bestemmer nu et 98%-konfidensinterval for den sande værdi i juni,
. Der er kun 1% sandsynlighed
for, at
ligger til venstre for konfidensintervallet, så hvis det viser sig, at
ligger til venstre for
konfidensintervallet, kan vi forkaste nulhypotesen på et 1%-signifikansniveau.
Først skal vi bestemme antallet af personer i stikprøven, hvor , som ville stemme på
Socialdemokraterne (antal succeser). Dette gøres vha.:
Ligningen løses for X vha. CAS-værktøjet WordMat.
Konfidensintervallet bestemmes nu I GeoGebra vha. et ”Z estimat på proportion”:
Vi opskriver 98%-konfidensintervallet for
:
Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 25. maj 2016
12
Da
, ligger
til venstre for konfidensintervallet for
. Vi kan således forkaste
nulhypotesen på et 1%-signifikansniveau. På et 1%-niveau er der altså sket en statistisk signifikant stigning
mellem februar 2015 og juni 2015 i andelen af personer, som vil stemme på Socialdemokraterne.
Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 25. maj 2016
13
Opgave 11B
a)
Data optælles vha. en pivottabel i Excel, hvorefter vi opstiller resultatet i et skema som det angivne:
Ja
Måske
Nej
Total
18-34
107
117
59
283
35-54
122
165
118
405
55+
49
121
147
317
Total
278
403
324
1005
b)
Vi opstiller en nulhypotese:
: Der er uafhængighed mellem de variable ”aldersgruppe” og ”svar på spørgsmålet”
Nulhypotesen testes på et 5%-signifikansniveau ved at indsætte observationerne fra skemaet i en
-
uafhængighedstest i WordMat:
χ²-test
Observationer
I alt
107
117
59
283
122
165
118
405
49
121
147
317
I alt
278
403
324
1005
P-værdi:
0,00%
Der er en
sammenhæng
Signifikans
niveau:
5%
Vi ser, at , hvorfor nulhypotesen forkastes på et 5%-signifikansniveau. Vi konkluderer så,
at der er en statistisk signifikant sammenhæng mellem ”aldersgruppe” og ”svar på spørgsmålet” på et 5%-
signifikansniveau.
Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 25. maj 2016
14
Opgave 11C
a)
Vi definerer funktionen:
Vi definerer røringspunktets førstekoordinat:
En ligning for tangenten til grafen for en funktion med røringspunkt i
er bestem ved:
Tangenten kan således beskrives ved:
b)
Vi sætter og beskrive så tangenten som grafen for en funktion af . Vi definerer funktionen:
Vi bestemmer skæringspunkter mellem graferne for og :
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
er førstekoordinaten i røringspunktet, så må være førstekoordinaten for . Vi bestemmer
andenkoordinaten for som:
Vi konkluderer, at skærer grafen for i punktet .