Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 17. august 2017
1
HHX Matematik B
17. august 2017
hhx172-MAT/B-
Nogle opgaver inkluderer referencer til en formel i en grå kasse. Referencer til en formel kræves ikke i en
besvarelse, og kan ikke erstatte forklaringer og øvrig tekst. Grunden til, at her medtages formel i løsningerne,
er så du præcis kan se hvilken formel, der bruges i hver mellemregning.
Alle opgaver er for så vidt muligt regnet med WordMat, da vores erfaring viser, at det er langt det hurtigste
værktøj at anvende. Husk at skrive nedenstående kommentar om at beregningerne er foretaget ved hjælp
HHX 2. år
NB: Mange af de anvendte formler i opgaven kan findes og indsættes direkte fra WordMats egen
formelsamling, som findes øverst til venstre. Der er store tidsbesparelser at hente ved at bruge
formelsamlingen!
Delprøven uden hjælpemidler .......................................................................................................................... 2
Delprøven med hjælpemidler ........................................................................................................................... 5
Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 17. august 2017
2
Delprøven uden hjælpemidler
Opgave 1
a)
Vi bestemmer det gennemsnitlige antal af tilmeldte ved:
Det gennemsnitlige antal af tilmeldte er bestemt til 8.
Opgave 2
a)
Vi tegner en graf for en funktion f, der opfylder betingelserne i tekten.
Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 17. august 2017
3
Opgave 3
a)
Vi undersøger om x = 7 er en løsning til ligningen:
Vi kan konkludere, at x = 7 er en løsning til ligningen.
Opgave 4
a)
Sammenhængen kan beskrives med en eksponentiel model:
Vi indfører passende variable:
f(x) betegner antallet af dollarmillionærer i et land til tiden x antal år efter år 2016.
x betegner x antal år efter år 2016.
b betegner antallet af dollarmillionærer i år 2016, dvs. b er lig 45600.
a betegner fremskrivningsfaktoren. Med vækstraten r = 4,5 % bestemmer vi fremskrivningsfaktoren a:
Vi opstiller en eksponentiel model:
Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 17. august 2017
4
En eksponentiel model, der beskriver udviklingen i antallet af dollarmillionærer i et land efter år 2016 er
bestemt til udtrykket herover.
Opgave 5
a)
Vi bestemmer ligevægtsmængden ved at løse for x i d(x) = s(x):
Ligevægtsmængden for varen er bestemt til 1000.
Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 17. august 2017
5
Delprøven med hjælpemidler
Opgave 6
a)
Vi giver en forklaring til linjerne.
Linje 1: Ligningen er skrevet op.
Linje 2: Der er blevet trukket 3 fra på begge sider af lighedstegnet.
Linje 3: Der er blevet divideret igennem med 2 på begge sider af lighedstegnet.
Linje 4: den naturlige logaritme ln er blevet taget på begge sider af lighedstegnet, således at x = 1,609. Vi kan
konkludere, at x = 1,609 er en løsning til ligningen.
Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 17. august 2017
6
Opgave 7
a)
Vi definerer forskriften for hhv. C(x) og R(x) samt definitionsmængden for x:
Vi bestemmer produktionsmængderne, hvor omkostninger og omsætning er lige store, ved at løse for x i C(x)
= R(x):
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Omkostninger og omsætning er lige store ved en produktionsmængde på hhv. 44,5 liter pr. uge (afrundet til
1 decimal) og 225 liter pr. uge (afrundet til hel liter).
b)
Vi bestemmer et udtryk for overskuddet. Overskuddet er givet ved:
Dvs.:
Udtrykket omskrives vha. CAS-værktøjet WordMat ved brug af metoderne: Automatisk reduktion,
Vi definerer forskriften for overskuddet som funktion af x:
Vi bestemmer overskuddet ved en produktionsmængde på 150 liter ved at bestemme O(150):
Overskuddet er bestemt til 33110 kr.
Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 17. august 2017
7
c)
Vi bestemmer det største ugentlige overskud ved at optimere O(x). Vi bestemmer nulpunkter til den afledede
funktion O’(x):
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Vi undersøger fortegnet for differentialkvotienten på begge sider af nulpunktet for den afledede funktion O’:
Vi har at, at x = 153,06624 er et maksimum.
Vi kan konkludere, at virksomheden opnår størst ugentligt overskud ved en produktion på 153,1 liter af
kemikaliet pr. uge (afrundet til 1 decimal).
Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 17. august 2017
8
Opgave 8
a)
Vi bestemmer sandsynligheden for, at få et udbytte på mindst 10 tons hvede pr. hektar på en tilfældigt
udvalgt mark i Danmark vha. GeoGebras sandsynligheds lommeregner for normalfordeling, resultatet
kopieres herefter ind i besvareselen.
Vi har størrelserne:
Og vi skal bestemme:
Resultat fra Normalfordeling.
Vi aflæser sandsynligheden for, at udbyttet er mindst 10 tons hvede pr. hektar til:
Sandsynligheden for at få et udbytter på mindst 10 tons hvede pr. hektar er bestemt til 9 % (afrundet til helt
tal).
Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 17. august 2017
9
b)
Vi bestemmer 10%-fraktilen for udbyttet med GeoGebras sandsynligheds lommeregner for normalfordeling,
resultatet kopieres herefter ind i besvarelsen.
Vi har størrelserne:
Og vi skal bestemme, X, når P = 0,10, dvs. 10 % - fraktilen. Resultat fra normalfordeling:
Vi aflæser 10% - fraktilen for udbyttet til:
10% - fraktilen er bestemt til 6,3 tons hvede pr. hektar (afrundet til 1 decimal).
10%-fraktilen fortæller, at i 10 % af tilfældene vil en tilfældigt udvalgt hvedemark i Danmark give et udbytte
på 6,3 tons pr. hektar eller derunder.
c)
Vi bestemmer gennemsnit og spredning for de små landbrug i Excel med data fra filen hvede, resultatet
kopieres herefter ind i besvarelsen. Vi benytter følgende kommandoer i Excel:
For gennemsnit: =MIDDEL(”MATRIX”)
Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 17. august 2017
10
For spredning: =(STDAFV.P(”MATRIX”)
Resultat fra Excel:
Gennemsnit
7,966667
Spredning
1,439687
Gennemsnittet for udbyttet er bestemt til 8 tons hvede pr. hektar (afrundet til helt tal), og spredningen er
bestemt til 1,44 tons hvede pr. hektar (afrundet til 2 decimaler).
d)
Da udbyttet antages at være normalfordelt, så bestemmer vi et konfidensinterval for middelværdien ved at
bestemme et ’t interval af middel’ med GeoGebras sandsynlighedslommeregner.
Vi har størrelserne:
Resultat fra GeoGebra:
Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 17. august 2017
11
Vi aflæser 95%-konfidensintervallet for middelværdien til:
Det gennemsnitlige udbytte for landbrugene i sammenslutningen af små landbrug ligger med 95%
sandsynlighed mellem 7,52 tons pr. hektar og 8,42 tons pr. hektar.
Vi skal vurdere, om de små landbrug får samme gennemsnitlige udbytte pr. hektar som hele landet. Vi
opstiller derfor hypoteserne:
H
0
: µ = 8,1
H
1
: µ ≠ 8,1
Konfidensniveauet er 95%, så signifikansniveauet er 5%:
100% - 95% = 5%
Da middelværdien for hele landet på 8,1 ligger i 95%-konfidensintervallet
, så kan vi ikke forkaste
H
0
. Vi kan således ikke afvise på et 5%-signifikansniveau, at de små landbrug får det samme gennemsnitlige
udbytte som hele landet.
Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 17. august 2017
12
Opgave 9
a)
Vi bestemmer (og definerer til senere brug) en forskrift for det samlede ugentlige dækningsbidrag:
En forskrift for det samlede ugentlige dækningsbidrag er bestemt til udtrykket herover.
b)
Vi opstiller begrænsninger for produktionen af de to højtalermodeller GIGABOOM og MEGABOOST:
Samleafdeling:
Uligheden løses for y vha. CAS-værktøjet WordMat.
Udtrykket omskrives vha. CAS-værktøjet WordMat ved brug af metoderne: Automatisk reduktion, Udvid,
Testafdeling:
Uligheden løses for y vha. CAS-værktøjet WordMat.
Pakkeafdeling:
Uligheden løses for y vha. CAS-værktøjet WordMat.
Udtrykket omskrives vha. CAS-værktøjet WordMat ved brug af metoderne: Automatisk reduktion, Udvid,
Der må desuden selvfølgelig gælde:
Vi indtegner begrænsningerne i GeoGebra og bestemmer koordinatenerne til polygonområdets
hjørnepunkter, resultatet kopieres herefter ind i besvarelsen.
Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 17. august 2017
13
Vi aflæser koordinaterne til hjørnepunkterne til A(0, 400), B(0, 0), C(500, 0) D(400, 150) og (200, 350). Vi
undersøger dækningsbidraget, i hvert af de 5 hjørnepunkter:
Vi kan konkludere, at det størst mulige ugentlige dækningsbidrag opnås ved en produktion af 200 stk.
GIGABOOM og 350 stk. MEGABOOST.
c)
Vi undersøger produktionstiden i hver af afdelingerne med den nuværende produktion på 200 stk.
GIGABOOM og 350 stk. MEGABOOST dvs. x = 200 og y = 350.
Samleafdeling:
Der er ikke overskud af tid i samleafdelingen.
Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 17. august 2017
14
Testafdeling:
Der er ikke overskud af tid i testafdelingen.
Pakkeafdeling:
Vi kan konkludere, at der er overskudstid i pakkeafdelingen. Vi bestemmer overskudstiden ved:
Overskudstiden i pakkeafdelingen er bestemt til 400 min.
Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 17. august 2017
15
Kun én af besvarelse af opgaverne 10A, 10B og 10C skal afleveres til bedømmelse.
Opgave 10A
a)
Vi konstruerer et skema som i opgaveformuleringen i Excel med en Pivot-tabel med data fra filen frokost,
resultatet kopieres herefter ind i besvarelsen.
Kvinde
Mand
Total
A Smørrebrød
371
329
700
B Sandwich
71
50
121
C Salat
74
63
137
D Pasta
26
19
45
E Varm ret
80
94
174
F Spiser ikke frokost
47
39
86
G Andet
55
22
77
Total
724
616
1340
Et skema som i opgaveformuleringen er bestemt til skemaet herover.
b)
Vi opstiller en nulhypotese til at teste om der sammenhæng mellem svar og køn.
Nulhypotese H
0
: Der er ikke sammenhæng mellem danskernes svar på spørgsmålet og deres køn.
Vi tester nulhypotesen H
0
med WordMats skabelon for
-uafhængigheds test. Testen foretages på et 5 -
signifikansniveau, og resultatet kopieres herefter ind i besvarelsen.
Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 17. august 2017
16
Resultat fra test:
Vi forkaster nulhypotesen H
0
på et 5 % signifikansniveau da p-værdien på 1,64% er mindre end
signifikansniveauet. Vi kan således konkludere, at der er en sammenhæng mellem danskernes svar og deres
køn.
Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 17. august 2017
17
Opgave 10B
a)
Vi definerer kendte størrelser:
Vi bestemmer løbetiden n ved at løse for n i udtrykket herunder for nutidsværdien af en annuitet:
Ligningen løses for n vha. CAS-værktøjet WordMat.
Kunden har 161 måneders løbetid (afrundet ned til helt måned).
b)
Vi definerer nye kendte størrelser:
Vi har 161 hele ydelser. Vi bestemmer restgælden efter 161 måneder:
Den sidste ydelse er givet ved:
Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 17. august 2017
18
Den sidste ydelse er bestemt til 1766,7 kr. (afrundet til 1 decimal).
Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 17. august 2017
19
Opgave 10C
a)
Vi bestemmer et xy-plot og opstiller en lineær regressionsmodel, der beskriver sammenhængen mellem alder
x og beløb y, i Excel med data fra filen bar, resultatet kopieres herefter ind i besvarelsen.
Et xy - plot der beskriver sammenhængen mellem alder og beløb er bestemt til plottet herover.
Vi aflæser regressionsmodellen fra plottet her over til:
En lineær regressionsmodel, der beskriver sammenhængen mellem alder og beløb er bestemt til udtrykket
herover.
b)
Vi definerer regressionsmodellen.
Vi bestemmer den gennemsnitlige alder på en kunde, der brugte 250 kr. i baren ved at løse for x, når B(x) =
250:
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Ifølge modellen var kunden 21 år gammel (afrundet ned til helt år).
y = 20,653x - 190,46
R² = 0,5181
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
37 42
Beløb (kr.)
Alder (år)
xy - plot