Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 19. Maj 2017
1
HHX Matematik B
19. maj 2017
hhx171-MAT/B-
Nogle opgaver inkluderer referencer til en formel i en grå kasse. Referencer til en formel kræves ikke i en
besvarelse, og kan ikke erstatte forklaringer og øvrig tekst. Grunden til, at her medtages formel i
løsningerne, er så du præcis kan se hvilken formel, der bruges i hver mellemregning.
Alle opgaver er for så vidt muligt regnet med WordMat, da vores erfaring viser, at det er langt det hurtigste
værktøj at anvende. Husk at skrive nedenstående kommentar om at beregningerne er foretaget ved hjælp
HHX 2. år
NB: Mange af de anvendte formler i opgaven kan findes og indsættes direkte fra WordMats egen
formelsamling, som findes øverst til venstre. Der er store tidsbesparelser at hente ved at bruge
formelsamlingen!
Delprøven uden hjælpemidler .......................................................................................................................... 2
Delprøven med hjælpemidler ........................................................................................................................... 6
Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 19. Maj 2017
2
Delprøven uden hjælpemidler
Opgave 1
a)
Vi bestemmer f(2):
Da f(2) = 0 er x = 2 en løsning til ligningen f(x) = 0, vi har dermed gjort rede.
Opgave 2
a)
Besvarelsen til alle punkter er aflæst fra bilag 1.
Definitionsmængden for f:
f er defineret for x [-6; 10[
Nulpunkter:
f har nulpunkt i x = 0.
Ekstrema:
f har ekstremum x = 6.
Monotoniforhold:
f er aftagende i intervallet [-6; 6]
f er voksende i intervallet [6; 10[
Opgave 3
a)
Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 19. Maj 2017
3
Vi bestemmer den afledede funktion f’ ved at differentiere f:
Den afledede funktion f’(x) er bestemt til udtrykket herover.
Vi løser ligningen f’(x) = 0 for x:
En løsning til ligningen f’(x) = 0 er bestemt til x = 15.
(I): Differentialkvotienter
Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 19. Maj 2017
4
Opgave 4
a)
Medianen aflæses fra bilag 2 ved at bestemme x-værdien for y = 50 %:
Medianen er aflæst til ca. 37 år. Medianen fortæller at 50 % af dagpengemodtagerne i Danmark i år 2012
var under 37 år gammel, og 50 % af dagpengemodtagere i Danmark samme år var over 37 år gammel.
Opgave 5
a)
Produktion, x
100
120
Omkostning, C(x)
4200
4800
Sammenhængen kan beskrives med en lineær funktion:
Vi bestemmer tallet a ved:
Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 19. Maj 2017
5
Vi bestemmer tallet b ved:
Vi opskriver en forskrift for C(x):
En forskrift for C(x) er bestemt til udtrykket herover:
Når produktionen øges med 10 stk. så øges omkostningerne med a • 10 dvs.:
Når produktionen øges med 10 stk. så øges omkostningerne med 300 kr.
Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 19. Maj 2017
6
Delprøven med hjælpemidler
Opgave 6
a)
Vi definerer kendte størrelser, hvor n = 10 • 12 = 120:
Vi bestemmer saldoen på pensionsopsparingen efter 10 år, dvs. efter 120 måneder vha. formlen for
fremtidsværdien af en annuitet:
Efter 10 år står der 1175517 kr. på saldoen (afrundet op til helt tal).
b)
Vi giver forklaringer til udregninger.
Linje 1:
: Formlen for fremtidsværdien af en annuitet er skrevet op.
Linje 2:
: Kendte værdier er blevet indsat i formlen, og det ses, at antal terminer n er
den eneste ukendte variabel.
Linje 3:
: Der er blevet divideret igennem med y = 8000 på begge sider og herefter ganget
igennem med r = 0,0033 på begge sider.
Linje 4:
: Der er blevet lagt 1 til på begge sider og ligningen er vendt om.
Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 19. Maj 2017
7
Linje 5:
: Den naturlige logaritme er blevet taget på begge sider, og logaritme
reglen
er blevet benyttet på venstre side.
Linje 6:
: Der er blevet divideret igennem med ln(1,0033) på begge sider, og n er bestemt til 126,22.
Ib Pedersen skal spare op i 127 måneder.
c)
Vi definerer nye kendte størrelser:
Vi bestemmer antallet af måneder, hvor Ib kan få udbetalt 15000 kr. om måneder, vha. formlen for antallet
af ydelser for nutidsværdien for en annuitet:
Ib kan få udbetalt 15000 kr. om måneden i 97 måneder (afrundet ned til hel måned).
Opgave 7
a)
Vi konstruerer et skema som nedenstående med data fra filen entrepreneur i Excel vha. en Pivot-tabel.
Resultatet kopieres herefter ind i besvarelsen:
Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 19. Maj 2017
8
Antal af
Status
Status
Alder
Eksisterende iværksætter
Potentiel iværksætter
Hovedtotal
< 20 år
45
13
58
21-25 år
65
24
89
26-30 år
75
11
86
31-40 år
158
32
190
41-50 år
147
49
196
51-60 år
61
10
71
60 år +
15
10
25
Hovedtotal
566
149
715
Et skema som i opgaveformuleringen er bestemt til skemaet herover.
b)
Vi opstiller en nulhypotese til at teste, om der er forskel på aldersfordelingen mellem eksisterende og
potentielle iværksættere:
Nulhypotese: H
0
: Der er ikke forskel på aldersfordelingen mellem eksisterende og potentielle iværksættere.
Vi tester nulhypotesen på et 5 %-signifikansniveau vha. WordMats skabelon for
-uafhængighedstest,
resultatet kopieres ind i besvarelsen.
Resultat:
χ²-test
Observationer
Alder
Eksisterende iværksætter
Potentiel iværksætter
I alt
< 20 år
45
13
58
21-25 år
65
24
89
26-30 år
75
11
86
31-40 år
158
32
190
41-50 år
147
49
196
51-60 år
61
10
71
60 år +
15
10
25
I alt
566
149
715
P-værdi:
0,96%
Der er en
sammenhæng
Signifikans
niveau:
5%
Frihedsgrader:
6
Q-værdi:
16,
0,4
0,2
Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 19. Maj 2017
9
Kritisk Q-værdi:
12,
Da p-værdien på 0,96 % er mindre end signifikansniveauet op 5 % forkaster vi nulhypotesen. Vi kan således
konkludere, at der ifølge testen på et 5%-signifikansniveau er en sammenhæng for aldersfordelingen
mellem eksisterende- og potentielle iværksættere.
c)
Blandt de 715 adspurgte personer har de 566 været eksisterende iværksættere og de resteredende 149
personer potentielle iværksættere. Det ses ydermere, at størstedelen af de adspurgte personer har været
mellem 31 - 50 år gamle. Med
-uafhængighedstesten kan vi konkludere, at der på et 5% -
signifikansniveau ifølge testen er en sammenhæng for aldersfordelingen mellem eksisterende- og
potentielle iværksættere.
Opgave 8
a)
Vi definerer forskrifterne for hhv. R(x) og C(x) samt definitionsmængden for x:
Vi tegner graferne for R(x) og C(x) i samme koordinatsystem:
Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 19. Maj 2017
10
Vi bestemmer den afsætning, hvor omsætningen R(x) er lig de variable omkostninger C(x) ved at løse for x i
R(x) = C(x):
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Omsætningen og de variable omkostninger er lige store ved en afsætning på 504 stk. (afrundet op til hel
stk.).
b)
Dækningsbidraget er givet ved:
Dvs.:
Udtrykket omskrives vha. CAS-værktøjet WordMat ved brug af metoderne: Automatisk reduktion, Udvid,
En forskrift for dækningsbidraget DB som funktion af afsætningen x er bestemt til udtrykket herover.
Vi definerer forskriften for dækningsbidraget DB(x):
Vi bestemmer det størst mulige dækningsbidrag ved at optimerer DB(x). Vi bestemmer førstekoordinaten
til punktet, der betegner det største dækningsbidrag ved at bestemme nulpunkt til den afledede funktion
DB’(x):
Ligningen løses numerisk for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Der blev fundet løsninger vha. numeriske metoder, men der findes muligvis flere.
(I): WordMat har problemer med løse ligningen, vi anbefaler derfor, at tjekke facit med et alternativt CAS-
værktøj eller tegne grafen for f til at bestemme den grafiske løsning.
Vi undersøger fortegnet for differentialkvotienten på begge sider af nulpunktet for den afledede funktion
DB’:
Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 19. Maj 2017
11
Vi kan konkludere, at x = 199,49405 er et maksimum.
Vi bestemmer det største dækningsbidrag ved at bestemme DB(199,49405):
Det største dækningsbidrag er bestemt til 16415,9 kr. (afrundet til 1 decimal).
Opgave 9
a)
Vi bestemmer sandsynligheden for, at et tilfældigt valgt æg vejer mellem 63 og 72 gram vha. WordMats
skabelon for normalfordeling, resultatet kopieres herefter ind i besvarelsen.
Vi har:
Resultat fra normalfordeling:
Normalfordeling
Middelværdi:
70
Spredning:
12
Grafvindue
X
min
X
maks
20
100
Areal under frekvensfuntion
X
min
X
maks
63
72
29%
Sandsynligheden, for at et tilfældigt valgt æg vejer mellem 63 og 72 gram, er bestemt til 29 %.
b)
Vi bestemmer gennemsnit, spredning og kvartilsæt for stikprøven i Excel, resultatet kopieres herefter ind i
besvarelsen.
Følgende kommandoer er benyttet i Excel:
0
0,005
0,01
0,015
0,02
0,025
0,03
0,035
0,04
100
Frekvensfunktion
Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 19. Maj 2017
12
Gennemsnit: =MIDDEL(”MATRIX”)
Spredning: =STDAFV(”MATRIX”)
Nedre kvartil: =KVARTIL(”MATRIX”;1)
Median = KVARTIL(”MATRIX”;2)
Øvre kvartil =KVARTIL(”MATRIX”;3)
Resultat (afrundet til et passende antal decimaler):
Gennemsnit
70
Spredning
11,67
Nedre kvartil
62,2
Median
70
Øvre kvartil
77,83
c)
Vi bestemmer et 95%-konfidensinterval for middelværdien med GeoGebras sandsynlighedslommeregner,
med ”T estimat af middel”, da middelværdien og spredningen betragtes som et estimat bestemt vha.
stikprøven. Resultatet kopieres ind i besvarelsen.
Vi har størrelserne:
Resultat fra GeoGebra:
Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 19. Maj 2017
13
Vi aflæser det 95% - konfidensinterval for middelværdien for vægten af æggene (målt i gram) (intervallet er
afrundet til 2 decimaler):
Et 95 % - konfidensinterval for middelværdien for vægten af æggene er bestemt til intervallet herover
(afrundet til 2 decimaler).
Kun én af besvarelse af opgaverne 10A, 10B og 10C skal afleveres til bedømmelse.
Opgave 10A
a)
Vi opskriver (og definerer til senere brug) en formel for dækningsbidraget f(x; y):
En forskrift f(x; y) for det samlede dækningsbidrag er givet ved udtrykket herover.
Vi opstiller begrænsninger for polygonområdet:
Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 19. Maj 2017
14
Solsikkekerner:
Uligheden løses for y vha. CAS-værktøjet WordMat.
Majs:
Uligheden løses for y vha. CAS-værktøjet WordMat.
Korn:
Uligheden løses for y vha. CAS-værktøjet WordMat.
Produktionen er desuden selvfølgelig begrænset ved:
Vi indtegner polygonområdet i GeoGebra:
Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 19. Maj 2017
15
Polygonområdet ses indtegnet herover.
b)
Vi aflæser hjørnepunkterne til hhv. A(0; 350), B(50; 350), C(150; 300), D(300; 0) og E(0; 0). Vi undersøger
hjørnepunkterne:
Vi kan konkludere, at virksomheden skal producere 300 stk. normal-blandinger og 150 stk. lux-blandinger
pr. dag for at opnå det størst mulige daglige dækningsbidrag.
Opgave 10B
a)
Vi definerer forskriften for f(x):
Vi bestemmer nulpunkter til grafen for f:
Ligningen løses numerisk for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Der blev fundet løsninger vha. numeriske metoder, men der findes muligvis flere.
Nulpunkter til grafen for f er bestemt til hhv. x = -1,02, x = 0,19, x = 1,90 og x = 3,84 (afrundet til 2
decimaler).
(I): WordMat har problemer med løse ligningen, vi anbefaler derfor, at tjekke facit med et alternativt CAS-
værktøj eller tegne grafen for f til at bestemme den grafiske løsning.
Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 19. Maj 2017
16
Vi tegner grafen for f:
b)
Vi bestemmer den afledede funktion f’ ved:
Den afledede funktion f’ er bestemt til udtrykket herover.
Vi bestemmer monotoniforhold til grafen for f. Vi bestemmer nulpunkter til den afledede funktion f’:
Ligningen løses numerisk for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Der blev fundet løsninger vha. numeriske metoder, men der findes muligvis flere.
Vi undersøger fortegnet for differentialkvotienten på begge sider af nulpunktet for den afledede funktion
f’(x):
Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 19. Maj 2017
17
Vi opskriver monotoniforhold til grafen for f:
f er voksende i intervallerne ]-∞; -0,50] og [1,14; 3,20]
f er aftagende i intervallerne [-0,50; 1,14] og [3,20; ∞[
Opgave 10C
a)
Det er oplyst, at sammenhængen for s(x) kan beskrives med en lineær funktion:
Vi bestemmer, derfor en forskrift for s(x) med lineær regression i Excel med data fra filen boligpriser:
Forskriften for s(x), der beskriver sammenhængen mellem kvadratmeterprisen (målt i kr.) på solgte
fritidshuse i Jammerbug Kommune og x antal kvartaler efter 2. kvartal år 2009 aflæses fra diagrammet
herover:
En forskrift s(x) er bestemt til udtrykket herover.
b)
Vi forklarer betydningen af parameteren a.
y = -119,75x + 17751
R² = 0,4672
0
5000
10000
15000
20000
25000
25
Kvadratmeterprisen
Kvartaler efter 2. kvartal 2009
s(x) = ax + b
Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 19. Maj 2017
18
Parameteren a betegner hældningen for den lineære regressionsmodel s(x), dvs. for hvert kvartal efter 2.
kvartal år 2009 falder boligprisen pr. kvadratermeter for et fritidshus i Jammerbugt kommune i gennemsnit
med 119,8 kr. (afrundet til 1 decimal).
Vi definerer forskriften for s(x):
Vi har, at x = 27 betegner 1. kvartal år 2017, dvs. vi bestemmer den forventede kvadratmeterpris 1. kvartal
2017 ved at bestemme s(27):
Den forventede kvadratmeterpris 1.kvartal år 2017 er bestemt til 14517,8 kr. (afrundet til 1 decimal).