Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 14. August 2009
1
HHX Matematik B
14. august 2009
HHX092-MAB
Nogle opgaver inkluderer referencer til en formel i en grå kasse. Referencer til en formel kræves ikke i en
besvarelse, og kan ikke erstatte forklaringer og øvrig tekst. Grunden til, at her medtages formel i løsningerne,
er så du præcis kan se hvilken formel, der bruges i hver mellemregning.
Alle opgaver er for så vidt muligt regnet med WordMat, da vores erfaring viser, at det er langt det hurtigste
værktøj at anvende. Husk at skrive nedenstående kommentar om at beregningerne er foretaget ved hjælp
HHX 3. år
NB: Mange af de anvendte formler i opgaven kan findes og indsættes direkte fra WordMats egen
formelsamling, som findes øverst til venstre. Der er store tidsbesparelser at hente ved at bruge
formelsamlingen!
Opgaver uden hjælpemidler .............................................................................................................................. 2
Opgaver med hjælpemidler ............................................................................................................................... 5
Studiekompasset.dk Uden hjælpemidler Matematik B - HHX, aug 2009
Opgave 1
Når efterspørgsel og udbud er lige store, gælder at d(x) = s(x). Vi løser denne ligning
med hensyn til x.
1
2
· x + 6 = −x + 12
1, 5x = 6
x = 4
Altså er den afsatte mængde ved ligevægtsprisen for varen 4.
Vi bestemmer nu ligevægtsprisen, p
l
ved at indsætte x = 4 i s(x).
p
l
= −4 + 12 = 8
Opgave 2
Vi ser at der er tale om en ligning af anden grad. Jvf. formel 44 findes løsningen til denne
således:
x =
−b ±
√
b
2
− 4ac
2a
=
−3 ±
p
3
2
− 4 · 1 · (−4)
2 · 1
=
−3 ±
√
9 − 16
2
=
−3 ± 5
2
m
x =
−3 − 5
2
= −4 ∨ x =
−3 + 5
2
= 1
⇓
L = {−4, 1}
Opgave 3
Vi starter med at differentiere funktionen da vi ved at den afledede funktion redegører for
hældningen af den oprindelige funktion. Vi bestemmer altså f
0
(x).
2
Studiekompasset.dk Uden hjælpemidler Matematik B - HHX, aug 2009
f
0
(x) =
x
2
− x − 6
0
Formel 105 og 106
= 2x − 1
Vi bestemmer nu hældningen af tangenten som f
0
(1).
f
0
(1) = 2 · 1 − 1 = 1
Vi bruger nu etpunktsformlen der siger at tangentens ligning kan opskrives på følgende
måde:
y = f
0
(x
0
)(x − x
0
) + f(x
0
)
og vi får da følgenden tangentligning:
y = 1(x − 1) + (−6)
= x − 7
Vi indtegner nu tangenten på bilaget:
3
Studiekompasset.dk Uden hjælpemidler Matematik B - HHX, aug 2009
Opgave 4
Vi ved at definitionsmængden for y 7→
√
y er y ∈ [ 0; ∞[. Vi sætter 2x−6 = y og bestemmer
definitionsmængden for funktionen.
2x − 6 ≥ 0
m
2x ≥ 6
m
x ≥ 3
Derfor er definitionsmængden for f(x), Dm(f ) = [3; ∞[ Vi bestemmer nulpunkter til
funktionen.
f(x) =0
m
√
2x − 6 =0
m
2x − 6 =0
m
2x =6
m
x =
6
2
=3
Funktionen har et nulpunkt i x=3.
Opgave 5
a
Vi ved, jvf. formel 34, at arealet af en vilkårlig trekant er givet ved:
A =
1
2
ac · sin B
Vi indsætter de opgivne størrelser og finder:
A =
1
2
· 4 · 7 · 0, 6 = 8, 4
Altså er arealet af trekanten 8,4.
4
Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 14. August 2009
5
Opgaver med hjælpemidler
Opgave 1
a)
Vi har, at grafen for den afledte funktion f’ viser forløbet for tangenthældningen for grafen til f, dvs. at når
grafen for f’ er positiv er grafen for f voksende og omvendt.
Vi kan konkludere, at Graf 1 er grafen for den afledede funktion f’, og Graf 2 er grafen for f.
Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 14. August 2009
6
Opgave 2
a)
Vi tegner sumkurven for fordelingen med WordMats skabelon for grupperede observationer, resultatet
kopieres ind i besvarelsen.
b)
Vi vælger, at beskrive fordelingen med de tre statistiske deskriptorer: Typeinterval, Gennemsnit og fraktiler.
Typeinterval: Typeintervallet kan let aflæses fra tabellen med data fra opgaveformuleringen. Typeintervallet
er aflæst til ]120; 140].
Fraktiler: Fraktilerne er bestemt med WordMats skabelon for grupperede observationer, resultatet kopieres
ind i besvarelsen.
Kvartilsæt
Mindste
60
Nedre
105
Median
126,7
Øvre
144,2
Største
180
Gennemsnit: Gennemsnittet er bestemt med WordMats skabelon for grupperede observationer, resultatet
kopieres ind i besvarelsen.
Gennemsnit
124,4
0%
25%
50%
75%
100%
180 200
Kumm. Frek.
Årligt vandforbrug m
2
Sumkurve: Fordelinge årligt vandforbrug
Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 14. August 2009
7
Opgave 3
a)
Vi giver en forklaring til tallene for 2. termin.
Primo restgæld: Primo restgæld betegner den resterende gæld ved indgangen i terminen, dvs. inden ydelsen
er betalt:
Rentebeløb: Rentebeløbet er beløbet, der betales i rente. Vi har, at den halvårlige rente er 3 %:
Afdrag: Afdraget er det beløb, som gælden betales af med for den pågældende termin:
Ultimo restgæld: Ultimo restgæld er modsat Primo restgæld gælden ved udgangen af den pågældende
termin, dvs. efter at ydelsen er betalt:
b)
Vi definerer kendte størrelser:
Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 14. August 2009
8
Vi bestemmer restgælden umiddelbart efter, at den 6. ydelse er betalt:
Restgælden umiddelbart efter at den 6. ydelse er betalt, er bestemt til 20892,16 kr. (afrundet til 2 decimaler).
Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 14. August 2009
9
Opgave 4
a)
Vi definerer x som antallet af producerede Mini’er, og y defineres som antallet af producerede Midi’er. Vi
bestemmer en forskrift for f(x, y):
b)
Vi opstiller uligheder.
For afdeling A:
Uligheden løses for y vha. CAS-værktøjet WordMat.
For afdeling B:
Uligheden løses for y vha. CAS-værktøjet WordMat.
Der må desuden selvfølgelig gælde:
Vi indtegner begrænsninger for produktionen med GeoGebra, resultatet kopieres ind i besvarelsen.
Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 14. August 2009
10
Illustration fra GeoGebra:
b)
Vi indtegner niveaulinjen N(6000) i GeoGebra, resultatet kopieres ind i besvarelsen:
Vi omskriver kriteriefunktionen f(x, y) for et vilkårligt tal t, så vi kan aflæse niveaulinjernes hældning:
Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 14. August 2009
11
Vi kan aflæse niveaulinjernes hældning til -2/3. Da -1 < - 2/3 < -0,5 betegner punktet, der beskriver det størst
mulige samlede dækningsbidrag, skæringen mellem linjernes med ligningerne:
Vi bestemmer skæringen mellem de to ovenstående linjer ved at løse ovenstående ligningssystem som to
ligninger med to ubekendte.
Ligningssystemet løses for y,x vha. CAS-værktøjet WordMat's 'Løs Ligninger' funktion,
Det størst mulige dækningsbidrag opnås ved en produktion på 6 stk. Mini pr. uge og 5 stk. Midi pr. uge.
Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 14. August 2009
12
Opgave 5
a)
Vi bestemmer længden af siden A med WordMats trekantsløser.
WordMat's trekantsløser anvendes med input: A = 35° , b = 13 , c = 10
A = 35°
B = 94,974208°
C = 50,025792°
a = 7,4846823
b = 13
c = 10
Længden af siden a findes vha. en cosinusrelation
Længden af siden a er bestemt til 7,48 (afrundet til 2 decimaler).
b)
Vi bestemmer størrelsen af den stumpe vinkel B med WordMats trekantsløser.
Vinkel B findes vha. en cosinusrelation:
Den stumpe vinkel B er bestemt til 94,97° (afrundet til to decimaler).
A
B
C
a
b
c
Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 14. August 2009
13
Kun én af besvarelse af opgaverne 6A og 6B skal afleveres til bedømmelse.
Opgave 6A
a)
Vi definerer forskriften for f(x):
Vi bestemmer nulpunkter til den afledede funktion f’:
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Vi undersøger fortegnet for differentialkvotienten på begge sider af nulpunktet for den afledede funktion:
Der findes altså kun et sted på grafen for f, hvor tangenthældningen er lig 0 (x = 2). Da differentialkvotienten
er positiv på begge sider af dette punkt (x = 2), kan vi konkludere, at grafen for f er voksende i hele
definitionsmængden for f.
b)
Vi bestemmer nulpunkter til den afledede funktion f’:
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Vi kan konkludere, at grafen for f har en vendetangent i x = 2.
Vi bestemmer anden koordinaten for røringspunktet mellem vendetangenten og grafen for f:
Koordinatsættet til røringspunktet mellem vendetangenten og grafen for f er bestemt til (2, 4).
Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 14. August 2009
14
c)
Vi benytter, at differentialkvotienten til et punkt på en graf pr. definition er lig tangenthældningen til grafen
i samme punkt.
Vi bestemmer førstekoordinaten til tangenten, der er parallel med y = 3x:
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Vi har, at x = 1 er førstekoordinaten til y = 3x, dvs. at x = 3 er førstekoordinaten til røringspunktet mellem
tangenten og grafen for f.
Vi definerer førstekoordinaten tangenten:
Vi bestemmer en ligning til tangenten:
En ligning for tangenten til grafen for f, der er parallel med y = 3x, er bestemt til ovenstående udtryk.
Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 14. August 2009
15
Opgave 6B
a)
Vi definerer forskriften for C(x) og R(x) samt definitionsmængden for x:
Vi har, at overskuddet er givet ved:
Udtrykket omskrives vha. CAS-værktøjet WordMat ved brug af metoderne: Automatisk reduktion, Udvid,
Vi definerer forskriften for overskuddet:
Vi bestemmer det antal styk BETA, der giver størst overskud, ved at optimere O(x). Vi bestemmer nulpunkter
til den afledede funktion O’(x):
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Vi undersøger fortegnet for differentialkvotienten på begge sider af nulpunktet:
Vi kan konkludere, at nulpunktet er et maksimum.
Der opnås størst overskud ved en afsætning af 110 styk BETA.
b)
Vi bestemmer en forskrift for GROMK = C’(x):
Udtrykket omskrives vha. CAS-værktøjet WordMat ved brug af metoderne: Automatisk reduktion, Udvid,
En forskrift for GROMK(x) er bestemt til ovenstående udtryk.
Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 14. August 2009
16
Vi bestemmer en forskrift for GROMS = R’(x):
Udtrykket omskrives vha. CAS-værktøjet WordMat ved brug af metoderne: Automatisk reduktion, Udvid,
En forskrift for GROMS(x) er bestemt til ovenstående udtryk.
c)
Vi bestemmer ligevægtsmængden for BETA:
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Ligevægtsmængden for BETA er bestemt til 110. Løsningen er altså identisk med den vi fandt i opg a). Det
betyder, at ved ligevægtsmængden, hvor omkostninger stiger med det samme som omsætningen ved
udvidelsen af produktionen på 1 enhed, finder vi ligeså det største overskud.