Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 21. december 2009
1
HHX Matematik B
21. december 2009
HHX093-MAB
Nogle opgaver inkluderer referencer til en formel i en grå kasse. Referencer til en formel kræves ikke i en
besvarelse, og kan ikke erstatte forklaringer og øvrig tekst. Grunden til, at her medtages formel i løsningerne,
er så du præcis kan se hvilken formel, der bruges i hver mellemregning.
Alle opgaver er for så vidt muligt regnet med WordMat, da vores erfaring viser, at det er langt det hurtigste
værktøj at anvende. Husk at skrive nedenstående kommentar om at beregningerne er foretaget ved hjælp
HHX 3. år
NB: Mange af de anvendte formler i opgaven kan findes og indsættes direkte fra WordMats egen
formelsamling, som findes øverst til venstre. Der er store tidsbesparelser at hente ved at bruge
formelsamlingen!
Delprøven uden hjælpemidler .......................................................................................................................... 2
Delprøven med hjælpemidler ........................................................................................................................... 6
Studiekompasset.dk Uden hjælpemidler Matematik B - HHX, dec 2009
Opgave 1
a
Vi finder 90 %-kvartilen ved at trække en streg fra 90 % til den rammer sumkurven. 90
%-kvartilen forklarer os at 10 % af alle mobiltelefoner er over 20,4 måneder gamle. Resten
er yngre.
Vi bestemmer kvartilsættet ved at trække streger på grafen fra 25 %, 50 % og 75 %,
således (de stiplede linjer):
Vi kan udfra dette bestemme kvartilsættet til [5,11,17]
Opgave 2
a
Vi differentierer funktionen da den afledede funktion angiver hældningen af tangenten.
f
0
(x) =
x
3
+ 4x
2
− 3x
0
Formel 105 og 106
= 3x
2
+ 8x − 3
Vi bestemmer nu f
0
(1), der angiver hældningen af grafen f i punktet.
f
0
(1) = 3 · 1
2
+ 8 · 1 − 3 = 8
Vi udregner nu y-koordinaten til punktet.
2
Studiekompasset.dk Uden hjælpemidler Matematik B - HHX, dec 2009
f(1) = 1
3
+ 4 · 1
2
− 3 · 1 = 2
Jvf. formel 103 er tangentens ligning:
y = 8(x − 1) + 2
= 8x − 8 + 2
= 8x − 6
Vi indtegner denne på bilaget:
Opgave 3
a
Vi regner venstre side ud, og viser at det er lig med højre siden. Til det bruger vi 1.
kvadratsætning der siger at:
(a + b)
2
= a
2
+ b
2
+ 2ab
3
Studiekompasset.dk Uden hjælpemidler Matematik B - HHX, dec 2009
Vi har da:
(x + 4)
2
= x
2
+ 16 + 8x
og dermede er der gjort rede for at udsagnet er sandt.
Opgave 4
a
Vi løser uligheden ved formel 44.
f(x) = 0
m
x
2
+ 2x − 8 = 0
m
x =
−2 ±
p
2
2
− 4 · 1 · (−8)
2 · 1
m
x =
−2 ±
√
36
2
m
x =
−2 ± 6
2
m
x = −4 ∨ x = 2
Vi kigger nu på fortegnsvariationen for funktionen.
x : −5 −4 0 2 3
f(x) : 7 0 −8 0 7
: + − +
Vi indtegner nu begrænsningerne.
4
Studiekompasset.dk Uden hjælpemidler Matematik B - HHX, dec 2009
Opgave 5
a
Ligevægtsprisen findes hvor udbud og efterspørgsel er lige store, altså hvor d(x) = s(x).
Vi løser nu denne ligning.
d(x) = s(x)
m
1
4
x
2
− 5x + 24 =
1
4
x
2
+ 2x + 10
m
− 5x + 24 = 2x + 10
m
7x = 14
m
x = 2
Vi finder nu den pris der tilsvarer denne mængde ved at udregne S(2).
s(2) =
1
4
· 2
2
+ 2 · 2 + 10 = 1 + 4 + 10 = 15
Altså er ligevægtsprisen for varen A 15,00 kr.
5
Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 21. december 2009
6
Delprøven med hjælpemidler
Opgave 1
a)
Vi fremskriver beløbet på 25000 kr. indsat på kontoen 1. januar 2006 til 1. juli 2009, dvs. n = 14.
Den 1. juli indsættes der 12000 kr. på kontoen, dvs. at der den 1.juli 2009 samlet på kontoen står.
Saldoen umiddelbart efter indbetaling den 1. juli 2009 er bestemt til 40736,86 kr. (afrundet til 2 decimaler).
Vi har dermed gjort rede.
b)
Vi antager, at beløbet mellem 1. juli og 1. august bliver forrentet med 1 % pr. kvartal. Vi bestemmer den
månedlige rente ved:
Ligningen løses for r vha. CAS-værktøjet WordMat.
Vi fremskriver beløbet på kontoen til den 1. august 2009.
Vi definerer kendte størrelser.
Vi bestemmer den månedlige ydelse Carsten får udbetalt:
Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 21. december 2009
7
Carsten får udbetalt 702,2 kr. (afrundet til 1 decimal) for hver måned de næste 5 år.
Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 21. december 2009
8
Opgave 2
a)
Vi definerer forskriften for f:
Vi vælger at beskrive funktionen f vha. af de to analysepunkter: Nulpunkter og fortegnsvariation.
Vi bestemmer nulpunkter til grafen for f.
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Grafen for f har nulpunkter i x = -3, x = 0 og x = 1.
Vi undersøger fortegnet for funktionsværdien på begge sider af nulpunkterne:
Vi opskriver fortegnsvariation for f:
f er negativ i intervallet ]-∞; -3] og [0; 1]
f er positiv i intervallet [-3; 0] og [1; ∞[
b)
Vi tegner grafen, markeringer er foretaget i Paint, resultatet er derefter kopieret tilbage i besvarelsen:
Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 21. december 2009
9
Nulpunkter for f er markeret med grøn. Funktionens negative interval er markeret med blå, og funktionens
positive interval er markeret med rød.
Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 21. december 2009
10
Opgave 3
a)
Inden vi tegner et diagram, sorterer vi dataet med en Pivot-tabel i Excel, derefter tegner vi et pindediagram
til at beskrive fordelingen af solgte støvsugere pr. uge. Pindediagrammet tegnes i WordMats skabelon for
ugrupperede observationer, resultatet kopieres ind i besvarelsen.
b)
Vi vælger at beskrive fordelingen af antal solgte støvsugere pr. uge vha. af de 3 statistiske deskriptorer:
Typetal, Median og kvartilsæt.
Typetal: Typetallet kan aflæses fra diagrammet i opg a) til 2, dvs. at der typisk bliver solgt to støvsugere om
ugen.
Median: Medianen bestemmes med WordMats skabelon for ugrupperede observationer, resultatet kopieres
ind i besvarelsen:
Median
2
Medianen er bestemt til 2, dvs. at 50 % af gangene bliver der solgt under 2 støvsugere om ugen, og 50 % af
gangene bliver der solgt over 2 støvsugere om ugen.
Kvartilsæt: Kvartilsættet bestemmes med WordMats skabelon for ugrupperede observationer, resultatet
kopieres ind i besvarelsen:
Deskriptorer
Kvartilsæt
Mindste
0
Nedre
1,5
Median
2
Øvre
3
Største
4
0
1
2
3
4
5
6
7
0 1 2 3 4
Antal observationer
Antal solgte støvsugere pr. uge
Pindediagram
Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 21. december 2009
11
Opgave 4
a)
Vi definerer forskriften for f samt definitionsværdien for x:
Vi har, at omsætningen er givet ved:
Udtrykket omskrives vha. CAS-værktøjet WordMat ved brug af metoderne: Automatisk reduktion, Udvid,
En forskrift for omsætningen er bestemt til ovenstående udtryk.
Vi definerer forskriften for omsætningen:
Vi bestemmer den afsætning, der giver størst omsætning, ved at optimere O(x).
Vi bestemmer nulpunkter til den afledte funktion O’.
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Vi undersøger fortegnet for differentialkvotienten på begge sider af nulpunktet:
Vi kan konkludere, at x = 120 er et maksimum.
En afsætning på 120 stk. giver den største omsætning.
b)
f er injektiv, vi kan derfor bestemme den inverse funktion ved:
Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 21. december 2009
12
Dvs. den inverse funktion som funktion af x er givet ved:
Vi bestemmer
:
At
er lig 55 betyder, at når stykprisen for varen er 1850 kr. afsættes der 55 varer.
Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 21. december 2009
13
Opgave 5
a)
Vi bestemmer en forskrift for f(x, y):
En forskrift for den samlede indtægt i parkeringsafgift er bestemt til ovenstående udtryk.
b)
Vi indtegner niveaukurven N(1500) samt polygonområdet i GeoGebra, resultatet kopieres ind i besvarelsen.
Polygonområdet er begrænset af følgende:
Uligheden løses for y vha. CAS-værktøjet WordMat.
Udtrykket omskrives vha. CAS-værktøjet WordMat ved brug af metoderne: Automatisk reduktion, Udvid,
Og:
Uligheden løses for y vha. CAS-værktøjet WordMat.
Udtrykket omskrives vha. CAS-værktøjet WordMat ved brug af metoderne: Automatisk reduktion, Udvid,
Samt:
Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 21. december 2009
14
Illustration fra GeoGebra:
c)
Vi omskriver kriteriefunktionen f(x, y) for et vilkårligt tal t, så vi kan aflæse niveaulinjernes hældning:
Vi aflæser niveaulinjernes hældning til -1/4. Da - 0,5 < -1/4 < -1/5 betegner punktet, der giver den størst
mulige samlede indtægt i parkeringsafgift, skæringspunktet mellem linjerne med ligningerne:
Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 21. december 2009
15
Vi bestemmer skæringspunktet mellem to ovenstående linjer ved at løse ovenstående ligningssystem som to
ligninger med to ubekendte:
Ligningssystemet løses for y,x vha. CAS-værktøjet WordMat's 'Løs Ligninger' funktion,
Den størst mulige samlede indtægt i parkeringsafgift opnås ved 50 parkeringspladser for biler og 10
parkeringspladser for busser.
Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 21. december 2009
16
Kun én af besvarelse af opgaverne 6A og 6B skal afleveres til bedømmelse.
Opgave 6A
a)
Vi bestemmer vinkel B med WordMats trekantsløser.
WordMat's trekantsløser anvendes med input: BC = 15 , AC = 10 , AB = 8
A = 112,41113°
B = 38,047507°
C = 29,541361°
BC = 15
AC = 10
AB = 8
Vinkel B findes vha. en cosinusrelation:
Vinkel B er bestemt til 38,05° (afrundet til 2 decimaler). Vi har dermed gjort rede.
b)
Vi bestemmer højden h
a
med WordMats trekantsløser. Vi benytter at højden h
A
svarer til modstående
katetete til vinkel B i den retvinklede trekant som B udgør sammen med A og røringspunktet for højden h
A
på siden BC.
WordMat's trekantsløser anvendes med input: B = 38,047507° , HA = 90° , AB = 8
A
B
C
BC
AC
AB
Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 21. december 2009
17
B = 38,047507°
A = 51,952493°
HA = 90°
h
A
= 4,9305172
BC = 6,3
AB = 8
Længden af højden h
A
findes vha. sinus:
Lænden af højden h
A
er bestemt til 4,9 (afrundet til 1 decimal).
B
A
HA
h
A
BC
AB
Matematik B HHX – Skriftlig eksamen – 21. december 2009
18
Opgave 6B
a)
Der er tale om en eksponentiel funktion, da omsætninger falder med 2 % om året:
f(x) betegner omsætningen (målt i kr.) til året x år efter år 2000.
x betegner antal år efter år 2000.
b betegner funktionsværdien i x = 0, dvs. at omsætningen i år 2000 var 942000 kr.
a er fremskrivningsfaktoren med. Vi kender vækstraten r = -2 % og bestemmer fremskrivningsfaktoren:
Vi opskriver (og definerer til senere brug) en forskrift, der beskriver omsætningen x år efter år 2000:
En forskrift for omsætningen til året x år efter år 2000 er bestemt til ovenstående udtryk.
b)
Vi bestemmer året, hvor det forventes at omsætningen kommer under 700000 kr., ved at løse uligheden f(x)
< 700000 for x. Da WordMat har problemer med at løse uligheder, hvori der indgår en eksponent, løser vi i
stedet for x i f(x) = 700000:
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Omsætningen forventes at komme under 700000 kr. 14,70 (afrundet til 2 decimaler) år efter år 2000 dvs. i
2014.