Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 24. maj 2017
1
HTX Matematik A
24. maj 2017
htx171-MAT/A-
Alle opgaver er for så vidt muligt regnet med WordMat, da vores erfaring viser, at det er langt det hurtigste
værktøj at anvende. Husk at skrive nedenstående kommentar om at beregningerne er foretaget ved hjælp
HTX 3. år
NB: Mange af de anvendte formler i opgaven kan findes og indsættes direkte fra WordMats egen
formelsamling, som findes øverst til venstre. Der er store tidsbesparelser at hente ved at bruge
formelsamlingen!
Opgave 1
a)
Vi bestemmer arealet af det indre område som summen af arealet af rektanglet og arealet af en cirkel med
radius på 36,50 m:
Arealet af rektanglet er givet ved, hvor bredden af rektanglet er lig to gange radius af cirklen:
Arealet af cirklen er givet ved:
Arealet af det indre område er givet ved summen af disse:
Arealet af det indre område er bestemt til 10345,9 m
2
(afrundet til 1 decimal).
Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 24. maj 2017
2
b)
Vi bestemmer omkredsen af atletikbanen som summen af omkredsen af en cirkel med radius på r = 36,50 +
0,30 og to gange længden af rektanglet:
Omkredsen af cirklen:
To gange længden af rektanglet:
Summen af disse er lig omkredsen af atletikbanen.
Omkredsen af atletikbanen er bestemt til 400,0 m (afrundet til 1 decimal), vi har dermed gjort rede.
c)
Vi benytter, at arealet af en trekant er givet ved:
Vi halverer trekanten i to retvinklede trekanter med grundlinjen g = 42/2 = 21 (målt i m), og arealet T =
1840/2 = 920 (målt i m
2
). Vi bestemmer højden i en af de retvinklede trekanter ved løse for h i udtrykket
herunder.
Ligningen løses for h vha. CAS-værktøjet WordMat.
Vi bestemmer nu siden S som hypotenusen i en af de retvinklede trekanter med WordMats trekantsløser.
WordMat's trekantsløser anvendes med input: S = 90° , h = 87,619048 , g = 21
Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 24. maj 2017
3
H = 76,52193°
G = 13,47807°
S = 90°
h = 87,61905
g = 21
s = 90,10049
Længden af siden s findes vha. Pythagoras.
Længden af siden s er bestemt til 90,10 m (afrundet til 2 decimaler).
H
G
S
h
g
s
Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 24. maj 2017
4
Opgave 2
a)
Vi opstiller tabel med data:
Måne
Io
Europa
Ganymedes
Callisto
Themisto
Middelafstand
x [ mio. km ]
0,422
0,671
1,07
1,88
7,39
Omløbstid T
[ døgn ]
1,77
3,55
7,15
16,7
130
Vi indtegner data i passende koordinatsystem:
b)
Det er oplyst at sammenhængen kan beskrives med en potensfunktion, vi bestemmer derfor tallene a og b
med potens regression.
Potens regression udført vha. CAS-værktøjet WordMat: R
2
= 0,
Tallene aflæses fra regressionsligningen.
Tallet a er bestemt til 1,50 (afrundet til 2 decimaler), og tallet b er bestemt til 6,46 (afrundet til 2
decimaler).
Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 24. maj 2017
5
c)
Vi definerer forskriften for T(x):
Vi bestemmer Ledas omløbstid omkring Jupiter ved at bestemme T(11,14):
Ifølge modellen er Ledas omløbstid omkring Jupiter bestemt til 240,9 døgn. (afrundet til 1 decimal).
Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 24. maj 2017
6
Opgave 3
a)
En ligning for planen er givet ved:
Ligger punktet A i planen , skal punktet opfylde planens ligning. Vi indsætter punktet A i planens ligning og
reducerer:
Da udtrykket ikke er lig 0, opfylder punktet A ikke planens ligning, og vi kan dermed konkludere, at punktet
A ikke ligger i planen .
b)
Vi bestemmer den spidse vinkel mellem planen og linjen l ved først at bestemme vinklen mellem
normalvektoren til planen og retningsvektoren til linjen. Vi aflæser en normalvektor til planen fra planens
ligning og en retningsvektor til linjen fra linjens parameterfremstilling, vi definerer desuden vektorerne til
senere brug.
Vi bestemmer vinklen mellem retningsvektoren og normalvektoren:
Ligningen løses for v vha. CAS-værktøjet WordMat.
Vi bestemmer vinklen mellem planen og linjen ved:
Vi har bestemt den spidse vinkel da vinklen w < 90°.
Den spidse vinkel mellem planen og linjen l er bestemt til 33,85° (afrundet til 2 decimaler).
Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 24. maj 2017
7
c)
Planens parameterfremstilling består af to ikke parallelle vektorer i planen hhv.
og
og et
begyndelsespunkt (x
0
, y
0
, z
0
):
Vi kan i opgaveformuleringen direkte aflæse en vektor, der ligger i planen, som retningsvektoren i
parameterfremstillingen for linjen l.
Til at bestemme den resterende ikke parallelle vektor, aflæser vi først to punkter, der ligger i planen . I
opgaveformuleringen kan vi aflæse to af punkter, der ligger i planen , som hhv. punktet A og
begyndelsespunktet for parameterfremstillingen for linjen l. Vi definerer hhv. punktet A og
begyndelsespunktet i parameterfremstillingen for linjen l:
Vi bestemmer den resterende og ikke parallelle vektor, der ligger i planen som vektor
:
Vi vælger punktet A som begyndelsespunkt i planen og opskriver en parameterfremstilling for planen :
En parameterfremstilling for planen er bestemt til udtrykket herover.
Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 24. maj 2017
8
Opgave 4
Opgave 4 tilhører forberedelsesmaterialet, som blev udgivet i 2017. Opgaven er derfor ikke inden for
pensum.
a)
Vi har, at sandsynligheden for at den valgte lærer er en gråhåret matematiklærer er givet ved (GM =
Gråhåret matematiklærer):
Vi har, at sandsynligheden for at den valgte lærer, der ikke er gråhåret, er matematiklærer er givet ved
(IGM = ikke gråhåret matematiklærer):
Sandsynligheden P(M) for at en lærer er matematiklærer er givet ved summen af P(GM) og P(IGM) dvs.:
Sandsynligheden for at den valgte lærer er en matematiklærer er bestemt til P(M) = 0,22 = 22 %, vi har
dermed gjort rede.
b)
Vi skal bestemme P(G|M), dvs. med andre ord skal vi bestemme den betingede sandsynlighed for, at den
valgte lærer er gråhåret, efter den følgende hændelse er indtruffet, at den valgte lærer er matematiklærer.
Vi har, at den betingede sandsynlighed er givet ved:
Hvor P(G|M) kun er defineret for P(M) > 0.
Vi har, at sandsynligheden for, at den valgte lærer er en gråhåret matematiklærer dvs. P(G M) er givet
ved:
Sandsynligheden for, at den valgte lærer er matematiklærer, er givet ved:
Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 24. maj 2017
9
Dvs.:
Sandsynligheden for, at den valgte lærer er gråhåret, efter den følgende hændelse er indtruffet, at den
valgte lærer er matematiklærer, er bestemt til 0,45 = 45 % (afrundet til 2 decimaler).
c)
Sandsynligheden for følgende hændelser hhv. M og G er givet ved:
M: Den valgte lærer er matematiklærer:
G: Den valgte lærer er gråhåret:
Skal M og G være uafhængige skal de opfylde sætningen:
Vi har, at M og G har en fællesmængde M G, da en gråhåret lærer godt kan være matematiklærer, hvor
sandsynligheden for, at dette faktisk er tilfældet, er givet ved:
Vi har, at P(M)·P(G) er givet ved:
Dvs.:
Vi kan altså konkludere, at M og G ikke er uafhængige.
Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 24. maj 2017
10
Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 24. maj 2017
11
Opgave 5
a)
Vi definerer forskriften for f:
Vi bestemmer monotoniforhold for f. Vi bestemmer nulpunkter til den afledede funktion f’:
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Vi undersøger fortegnet for differentialkvotienten på begge sider af nulpunktet for den afledede funktion
f’:
Vi opskriver monotoniforhold for f:
f er aftagende i intervallerne ]-∞; -1] og [1; ∞[
f er voksende i intervallet [-1; 1]
b)
Vi definere x = 1,2 som x
0
:
Vi bestemmer en ligning for tangenten til grafen for f i punktet x = 1,2 ved:
En ligning for tangenten til grafen for f i punktet x = 1,2 er bestemt til udtrykket herover. Udtrykket er
identisk med udtrykket for tangenten t i opgaveformuleringen, vi har dermed gjort rede.
Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 24. maj 2017
12
c)
Vi bestemmer den nedre grænse for arealet af det tonede område som skæringen mellem grafen for
tangenten t og grafen for f(x) i 2.kvadrant dvs. x < 0:
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat. med følgende antagelser/definitioner:
Vi bestemmer arealet af det tonede område som differensen mellem arealet under grafen for tangenten t
og arealet under grafen for f(x) i intervallet [-2,4; 1,2] dvs.:
Arealet af det tonede område er bestemt til 4,7 (afrundet til 1 decimal).
d)
Vi færdiggør forklaringen til trin (2) og redegør for trinene (3) og (4):
Trin (2):
Funktionen differentieres vha. af reglerne:
Trin (3):
Udtrykket for den afledede funktion f’ fra trin (2) er blevet reduceret dvs.:
Trin (4):
Differentialkvotienten for hhv. x
0
og -x
0
er opgivet, hvor det ses, at differentialkvotienten for hhv. f’(x
0
) og
f’(-x
0
) er den samme, dette kan forklares ved:
Og:
Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 24. maj 2017
13
Vi argumenterer for, at tangenterne altid vil være parallelle:
Vi har, at differentialkvotienten pr. definition beskriver hældningen for tangenten til grafen for f i punktet
x
0
. Vi har i trin (4) vist, at differentialkvotienten er identisk for hhv. x
0
og -x
0
, vi har derved at tangenterne
altid vil være parallelle, da hældningen for tangenterne vil være ens for x ]-∞; ∞[.
Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 24. maj 2017
14
Opgave 6
a)
Vi definerer koordinatligningen for y:
Vi har, at når bolden rammer jorden er y = 0. Vi bestemmer tidspunktet t
slut
, hvor bolden rammer jorden,
ved at løse for t, når y(t) = 0, hvor t > 0:
Ligningen løses for t vha. CAS-værktøjet WordMat. med følgende antagelser/definitioner:
Bolden rammer jorden i t = 0,9180092 s.
Vi har, at t
slut
er bestemt til t
slut
= 0,92 s (afrundet til 2 decimaler).
b)
Vi definerer vektorfunktionen :
Vi bestemmer koordinatsættet til P ved at indsætte t
slut
= 0,9180092 s i vektorfunktionen
dvs.:
Koordinatsættet til nedslagspunktet P er bestemt til P(13,59, 0) (afrundet hhv. til 2 decimaler og til 0).
c)
Vi bestemmer den maksimale højde af slaget, som den maksimale værdi koordinatligningen for y antager i
intervallet [0; t
slut
], dette gøres ved at optimere y(t). Vi bestemmer nulpunkter til den afledede funktion
y’(t):
Ligningen løses for t vha. CAS-værktøjet WordMat. med følgende antagelser/definitioner:
Vi undersøger fortegnet for differentialkvotienten på begge sider af nulpunktet for den afledede funktion
y’:
Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 24. maj 2017
15
Vi kan konkludere, at t = 0,er et maksimum.
Vi bestemmer den maksimale højde af slaget ved at bestemme y(0,):
Den maksimale højde af slaget er bestemt til 1,66 m (afrundet til 2 decimaler).
d)
Vi definerer koordinatligningen for x som funktion af t:
Vi bestemmer tidspunktet, hvor bolden passerer nettet, ved at løse for t i x(t) = 7:
Ligningen løses for t vha. CAS-værktøjet WordMat.
Vi har, relationen mellem sted og fart er givet ved:
Dvs. vi bestemmer hastigheden for tennisbolden, når den passerer nettet, ved at bestemme
:
Tennisboldens hastighed, når den passerer nettet er bestemt til 14,9 m/s (afrundet til 1 decimal).