Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 26. august 2016
1
HTX Matematik A
26. august 2016
htx162-MAT/A-
Alle opgaver er for så vidt muligt regnet med WordMat, da vores erfaring viser, at det er langt det hurtigste
værktøj at anvende. Husk som indledning til din egen besvarelse at skrive en kommentar om, at
beregningerne er foretaget ved hjælp af WordMat, så censor ved, hvor tallene kommer fra.
NB: Mange af de anvendte formler i opgaven kan findes og indsættes direkte fra WordMats egen
formelsamling, som findes øverst til venstre i programmet. Der er store tidsbesparelser at hente ved at
bruge formelsamlingen!
Opgave 1
OBS: Husk at skifte til radianer, når der arbejdes med trigonometriske funktioner.
a)
t løses for ligningen x = 6:
Ligningen løses numerisk for t vha. CAS-værktøjet WordMat. med følgende antagelser/definitioner:
Tidspunktet, hvor ballonen rammer væggen, er bestemt til t = 2,06 sekunder efter slip (afrundet til 2
decimaler).
b)
Vektorfunktionen og definitionsmængden for t defineres:
Ballonens hastighedsvektor til tiden t = 0,4 bestemmes ved:
Ballonens hastighedsvektor til tiden t = 0,4 er bestemt til
(afrundet til 1 decimal).
Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 26. august 2016
2
c)
Afstanden mellem 2 punkter er givet ved:
Punktet
betegner vores kendte punkt P, og punktet
er det varierende punkt, dvs.
koordinatfunktionen for x og y:
Vi opstiller en funktion for afstanden mellem punktet og ballonen:
For at bestemme den mindste afstand mellem ballonen og punktet, skal vi bestemme minimum for
funktionen d(t), hvor 0 t 2,06, da ballonen rammer endevæggen til tiden t = 2,06 s. Først bestemmer vi
nulpunkter til den afledede funktion d’(t):
Ligningen løses numerisk for t vha. CAS-værktøjet WordMat. med følgende antagelser/definitioner:
Vi undersøger hvert af punkterne, for netop at bestemme punktet, der betegner den mindste afstand:
Vi undersøger om t = 1,0264454 betegner et minimum, ved at undersøge fortegnet for
differentialkvotienten på begge sider af nulpunktet for den afledede funktion d’(t):
Vi kan konkludere, at t = 1,026 betegner et minimum.
Tidspunktet, hvor afstanden mellem ballonen og punktet P er mindst, er bestemt til t = 1,026 s (afrundet til
2 decimaler).
Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 26. august 2016
3
Opgave 2
a)
Det er oplyst, at 10-ball rack’en har form som en ligesidet trekant, hvilket vil sige., at alle vinkler er 60°. Da
kuglerne er lige store, vil trekant PQR ligeledes danne en ligesidet trekant, hvor alle vinkler er 60°.
Røringspunktet S betegner midten af siden |QR|, og siden |PS| udgør derfor en vinkelhalveringslinje for
vinkel P. Vi halverer vinklen fra P i trekant PQR på 60°:
Dermed får vi vinkel v på 30°.
b)
Trekant PQS udgør en retvinklet trekant, hvor vinklen fra S er 90°.
Vi beregner siden |PQ|. Hver kugle har en diameter på 57 mm, dvs.:
Vi bestemmer siden |PS| med WordMats trekantsløser:
WordMats trekantsløser anvendes med input: P = 30°, Q = 60°, S = 90°, PQ = 171
P = 30°
Q = 60°
S = 90°
QS = 85,5
PS = 148,0903
PQ = 171
Vi aflæser længden af siden |PS| fra WordMats trekantsløser:
Siden |PS| er bestemt til 148,1 mm (afrundet til 1 decimal).
P
Q
S
QS
PS
PQ
Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 26. august 2016
4
c)
Vi bestemmer først længden af en af trekantens sider. Vi arbejder med en ligesidet trekant. Det sorte
linjestykke kan bestemmes udelukkende ved at se på kuglernes radius (se første figur herunder). Det røde
linjestykke har derimod forholdet √3 med radius. Dette fremgår, hvis vi zoomer ind på en af cirklerne yderst
i et af hjørnerne i nederste række. Tegner vi en trekant uden om cirklen, får vi igen en ligesidet trekant.
Tegner vi nu med udgangspunkt i cirklens centrum en retvinklet trekant (se anden figur herunder) får vi en
trekant med vinkler på 30°, 90° og 60°, hvor vi desuden ved, at trekantens højde er lig radius af cirklen.
Sætter vi radius af cirklen lig 1, kan vi vha. simple trigonometriske relationer bestemme forholdet mellem
radius af cirklen og den hosliggende katete til vinklen på 30° til √3.
Vi definerer først radius af én kugle:
Vi beregner omkredsen af den røde trekant:
Omkredsen af den røde trekant er bestemt til 809,2 mm (afrundet til 1 decimal).
Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 26. august 2016
5
Opgave 3
a)
Linjeelementerne i punkt A, B og C bestemmes ved:
For punkt A:
Tangenthældningen beregnes:
Linjeelementet opskrives (afrundet til 2 decimaler):
For punkt B:
Tangenthældningen beregnes:
Linjeelementet opskrives (afrundet til 2 decimaler):
For punkt C:
Tangenthældningen beregnes:
Linjeelementet opskrives (afrundet til 2 decimaler):
b)
Den generelle rekursionsligning for Eulers metode er:
Vi betragter differentialligningen:
Vi kan aflæse, at h = 10 fra afstanden mellem punkterne. Rekursionsligningen for differentialligningen
svarende til Eulers metode bliver da:
Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 26. august 2016
6
c)
Vi bestemmer en tilnærmet løsning:
For x
0
:
Vi har, at x
0
= 0, og y(x
0
) = 30.
For x
1
:
For x
2
:
Vi opstiller resultaterne i en tabel (afrundet til 2 decimaler):
0
1
2
0
10
20
30
35,6
42,2
d)
Vi bestemmer den eksakte løsning for x
2
= 20. Vi løser differentialligningen med WordMat med
startbetingelsen y(0) = 30:
Differentialligningen løses vha. CAS-værktøjet WordMats 'Løs differentialligning'-funktion med startbetingelsen y(0)=30
Vi bestemmer y(20):
Vi bestemmer afvigelsen mellem den eksakte og Eulers løsning for x
2
= 20:
Afvigelsen for x
2
= 20 er bestemt til -2,73 % (afrundet til 2 decimaler).
Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 26. august 2016
7
Opgave 4
a)
Værdier for kageformen defineres:
Kageformen har form som en keglestub. Volumen af en keglestub bestemmes ved:
Volumen af kageformen er bestemt til 25,7 cm
3
(afrundet til 1 decimal).
b)
Overfladearealet af kageformen bestemmes ved:
Overfladearealet af kageformen er bestemt til 28,1 cm
2
(afrundet til 1 decimal).
c)
Radius af kuglekalottens endeflade og højden defineres:
Overfladearealet af kuglekalotten bestemmes ved:
Overfladearealet af kuglekalotten er bestemt til 21,40 cm
2
(afrundet til 2 decimaler).
Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 26. august 2016
8
Opgave 5
a)
Vi definerer punktet:
Hvis A skal ligge på linjen m, skal parameterfremstillingen opfylde punktet:
Ligningen løses for t vha. CAS-værktøjet WordMat.
Advarsel: Du har bedt om at løse et ligningssystem, men angivet færre variable end ligninger. Kun de første
ligninger er løst. Kontroller selv om de(n) sidste ligning(er) passer.
Da der findes en værdi for t, kan det konkluderes, at punktet A ligger på linjen m.
b)
Vi definerer punkterne:
Vi bestemmer retningsvektoren til parameterfremstillingen:
Vi opskriver parameterfremstillingen. Vi vælger punktet B som begyndelsespunkt:
Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 26. august 2016
9
c)
Planens ligning består af en normalvektor til planen og et punkt i planen. Eftersom linjen l står vinkelret på
planen α, er retningsvektoren til linjen l lig normalvektoren til planen α.
Vi opskriver planens ligningen og reducerer:
Udtrykket omskrives vha. CAS-værktøjet WordMat ved brug af metoderne: Automatisk reduktion,
Ligningen kan yderligere reduceres med en faktor 3, dvs.:
Vi har dermed vist, at α har ovenstående ligning.
d)
Vi indsætter først stedfunktionerne for linjen l i ligningen for planen α:
Ligningen løses for t vha. CAS-værktøjet WordMat.
Vi bestemmer skæringen ved at indsætte punktet t i parameterfremstillingen for l:
Skæringspunktet mellem linjen l og planen α er bestemt til S(0,2308, 2,0769, 0,6923).
Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 26. august 2016
10
Opgave 6
a)
Vi definerer funktionen g(x):
Vi bestemmer x
2
ved at finde skæringen mellem graferne for f og g:
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Værdien for x
2
er bestemt til 79,83 (afrundet til 2 decimaler).
Vi bestemmer x
1
som skæringen mellem f(x) i definitionsmængden og f(x) i
definitionsmængden x
1
x x
2
:
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Kun den mindste løsning befinder sig i det gyldige definitionsområde, da x
1
x
2
:
Værdien for x
1
er bestemt til 78,72 (afrundet til 2 decimaler).
b)
En linje, der danner en vinkel på 45° med x-aksen, vil have en hældning på tan(45):
Vi definerer funktionen f for hver af de tre definitionsmængder:
Vi bestemmer førstekoordinaten til det punkt på grafen for f, hvor hældningen er 45° ift. x-aksen:
Ligningen havde ingen løsninger inden for for variabel x.
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 26. august 2016
11
Ligningen havde ingen løsninger inden for
for variabel x
Vi kan konkludere, at den eneste værdi for x, der ligger inden for et gyldigt definitionsområde, er x = 59,81
(afrundet til 2 decimaler).
Vi beregner anden koordinaten:
Koordinatsættet til det punkt på grafen, hvor tangentens hældning med x-aksen er 45°, er bestemt til
(59,80, 12,41) (afrundet til 2 decimaler).
c)
Vi definerer først x
1
og x
2
:
Vi kan se, at f(x) > g(x) i hele definitionsmængden. Vi bestemmer arealet af strandstolens profil:
Arealet af strandstolens profil er bestemt til 675,8 cm
2
(afrundet til 1 decimal).