Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 28. maj 2014
1
HTX Matematik A
28. maj 2014
htx141-MAT/A-
Løsning med WordMat ...................................................................................................................................... 2
Løsning med Maple ......................................................................................................................................... 17
Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 28. maj 2014
2
Løsning med WordMat
Alle opgaver er for så vidt muligt regnet med WordMat, da vores erfaring viser, at det er langt det hurtigste
værktøj at anvende. Husk at skrive nedenstående kommentar om at beregningerne er foretaget ved hjælp
af WordMat som første linje til besvarelsen, så censor ved hvor tallene kommer fra.
NB: Mange af de anvendte formler i opgaven kan findes og indsættes direkte fra WordMats egen formel-
samling, som findes øverst til venstre. Der er store tidsbesparelser at hente ved at bruge formelsamlingen!
WordMat er blevet brugt som CAS-værktøj til løsningen af denne eksamen.
Opgave 1
a)
Vinkel u er udsnitsvinklen i et cirkelafsnit. Størrelsen af vinklen kan bestemmes ved at isolere vinklen i
formlen for pilhøjden p:
Ligningen løses for u vha. CAS-værktøjet WordMat.
hvor r er radius R
1
, v er centervinklen u og p er pilhøjden h
1
, som er givet i opgaven. Vi definere størrelserne:
Vi indsætter størrelserne.
Ligningen løses for v vha. CAS-værktøjet WordMat.
Vinklen u er 79,20
o
Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 28. maj 2014
3
b)
Bredden b er summen af pilhøjderne i de to buer vist i figur 1. Vi udregner pilhøjden i buen med radius R
2
i
figur 1. Vi definere udsnitsvinklen og radius og benytter herefter formlen for pilhøjde, vist i opgave 1a:
Pilhøjden i højre bue er 0,57 meter. Bredden b er derfor:
Bredden b er 1,13 meter
c)
Den samlede længde af murværket på figur 1 er summen af buelængderne i begge buer. Buelængden i
venstre bue er givet i opgaven.
Formlen for buelængde er givet ved:
Hvor r er radius i cirkeludsnittet, v er udsnitsvinklen og l er buelængden. Vi beregner buelængden i højre bue.
Udsnitsvinklens størrelse og radius i cirkeludsnittet er defineret i opgave 1b.
Buelængden i højre bue er 3,34 meter. Den samlede buelængde er derfor:
Den samlede længde af murværket er 6,71 meter.
Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 28. maj 2014
4
d)
Vi beregner murstensmængden brugt ved en lige mur. Vi beregner kordelængde i den højre bue vha.
følgende formel:
Hvor r er radius i cirkeludsnittet og v er udsnitsvinklen. Vi har defineret disse størrelser i de foregående
opgaver:
Korden i højre bue er 3,06. Størrelsen af korden i venstre bue er givet i opgaven:
Vi beregner summen af kordelængderne i højre og venstre bue:
Da der skal være 2 mursten i bredden, hvis det er en lige mur, fordobler vi den samlede kordelængde for at
få mængden af mursten benyttet ved den lige mur.
Der skal bruges 12,35 meter mursten til en lige mur. Mængden af mursten som skal bruges til den
slangeformet mur er lig den samlede buelængde af højre og venstre bue, som er udregnet i opgave 1c. Vi
udregner hvor mange procent mindre mursten der skal benyttes til den buede mur.
Der spares 54,35 % mursten ved at bygge muren slangeformet.
Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 28. maj 2014
5
Opgave 2
a)
Vi undersøger funktionsværdien for x=8 for begge stykvise funktioner. Vi definerer funktionerne:
Vi bestemmer funktionsværdien h(8) og g(8):
Da funktionsværdierne er ens for x=8 for begge stykvise funktioner, er den samlede funktion f kontinuer for
x=8.
b)
Arealet bestemmes i et interval [a,b] ud fra følgende formel:
Hvor a og b er grænseværdierne for x. Grænseværdierne er følgende:
Vi indsætter nu funktionen og grænseværdierne i formlen:
Vi bestemmer nu arealet i intervallet . Funktionen gældende i intervallet defineres:
Grænseværdierne og funktionen indsættes i formlen for arealet
Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 28. maj 2014
6
Det samlede areal beregnes:
Arealet af det planlagte blomsterbed er 30,41 kvadratfod.
c)
Vi benytter formlen for arealet under en funktion afgrænset af et interval og x-aksen. Vi benytter funktionen,
som vi tidligere har definere som g(x), da det er den funktionen har startgrænseværdien, x=0, som er der
hvor blomsterbedet starter. Derudover har vi tidligere udregnet at arealet i intervallet [0,8] er 12,8, hvilket
er større end 10, hvor er arealet af blomsterbedet. Derfor må L være mindre end 8.
Vi kender arealet, funktionsforskriften og den ene grænseværdi. Vi kan derfor isolere for slutgrænseværdien:
Ligningen løses numerisk for L vha. CAS-værktøjet WordMat.
Længden L er lig 6,81 fod.
Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 28. maj 2014
7
Opgave 3
a)
Da differentialligningerne er et udtryk for hældning, indsættes A’s koordinater i de tre differentialligninger
for at finde kurvernes hældning i punkt A. Vi definerer A’s koordinater:
Vi beregner hældningen i punkt A for de tre løsningskurver:
Løsningskurverne har derved alle samme hældning i punkt A.
b)
Ligning a viser en kurve med en konstant hældning, da ligningen ikke afhænger af hverken x eller y.
Løsningskurve III passer derfor til ligning a, da denne netop har en konstant hældning. Det ses også at
løsningskurve II har en hældning på nul ved skæring med y-aksen. Dette stemmer overens med ligning b, da
ligningen giver nul for x=0. Løsningskurve I hører derfor til ligning c.
Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 28. maj 2014
8
Opgave 4
a)
Figur 4 viser en sinus-svingning. Vektorfunktionens y(t) er forskriften på sinussvingningen, som er opstillet på
følgende form:
Udtrykket i parentesen er vinkelhastigheden givet i radianer pr. sekund ganget med tiden givet i sekunder,
hvilket er lig vinklen givet i radianer.
Sammenligninger vi svingningen med enhedscirklen, kan vi bestemme antal radianer passeret ved slutporten.
Omkredsen i en enhedscirkel er . Derfor tager hver svingning rad/s. Når løberen når slutporten, har
han passeret 3 svingninger og antallet af radianer er derfor . Vi kan derfor sætte udtrykket i parentesen
lig antallet af radianer
Ligningen løses for t vha. CAS-værktøjet WordMat.
t defineres:
Vi sætter t-værdien ind i udtrykket for x i vektorfunktionen for at bestemme, hvor slutporten er placeret på
x-aksen:
Afstanden mellem start- og slutportene er 259,079 m
b)
For at bestemme accelerationsvektoren differentierer vi vektorfunktionen r 2 gange. Vi definerer x- og y-
funktionen hver for sig:
Vi differentierer funktionerne to gange vha. WordMat:
Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 28. maj 2014
9
Vi opstiller accelerationsvektoren:
Vi sætter t= 1,4
Længden af vektoren bestemmes vha. følgende formel:
Vektoren længde er 15,24.
Når du regner med sinus og cosinus skal du være opmærksom på, om du regner i grader eller radianer. I dette
tilfælde skal der regnes i radianer. Dette indstiller vi ved at markere ligningen og trykke på rad under
indstillinger i WordMat-fanen.
c)
Ligningen for en cirkel med centrum i B skærer vektorfunktionen r(t) i punktet V. Vi opstiller cirklens ligning
ud fra følgende formel:
Hvor (a,b) er cirklens centrum og r er radius i cirklen. Centrum er punkts B’s koordinatsæt:
Ud fra opgavebeskrivelsen ved vi at cirklens radius er 18 meter.
Vi opstiller ligningen for cirklen:
Ud fra retningsvektoren givet i opgaven, har vi et udtryk for x og y.
Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 28. maj 2014
10
Vi indsætter udtrykkene for x og y i cirklens ligning og bestemmer tiden t, hvor de to kurver skærer hinanden.
Ligningen løses numerisk for t vha. CAS-værktøjet WordMat.
Da punktet V er den første skæring mellem de to kurver, er det den mindste t-værdi, vi skal benytte. Vi
indsætter t-værdien i udtrykkene for x og y fra vektorfunktionen.
Punktet V har koordinaterne , hvilket stemmer godt overens med figur 4.
Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 28. maj 2014
11
Opgave 5
a)
2) Formlen for arealerne af rektanglet, kvadratet, cirklen og den krumme del af cylinderen indsættes i
formlen.
Figur 5 viser, at arealet af rektanglet er kassens side, som er x lang og 2h høj, derfor er formlen for arealet af
rektanglet være:
.
Kvadrat har sidelængde x og arealet er derfor:
.
Arealet af cirklen er opstillet ud fra cylinderens grundfladeareal. Arealet af en cirkel er
, hvor r er radius.
Da vi får afvide at cylinderens diameter er lig kassens sidelængde, er radius lig
. Derved bliver cirklens areal:
.
Arealet for den krumme del af cylinderen er:
, da formlen for den krumme del af en cylinder er:
, hvor radius r er lig
og højden h kaldes blot h på figur 5.
3) Udtrykket reduceres. Først opløses parentesen:
Udtrykket består af tre led, som kan reduceres til to led ved at sætte x
2
og x·h uden for parentes.
Udtrykket i parenteserne reduceres
5) Udtrykket for voluminet af en kasse og af en cylinder indsættes i udtrykket. Voluminet af kassen er lig
, da formlen for voluminet af en kasse er . Vi ser af tegningen på
figur 5 at siden har længden x og højden har størrelsen 2h. Voluminet af cylinderen er
, da formlen
for voluminet af en cylinder er:
. Vi ser på figur 5, at radius r er lig det halve af kassens
sidelængde
og cylinderen har højden h.
Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 28. maj 2014
12
6) Udtrykket for voluminet reduceres.
sættes uden for parentes:
Udtrykket i parentesen reduceres:
7) Der isoleres for h ved at dividere med udtrykket
på begge sider af lighedstegnet.
Der ganges med 4 i tæller og nævner.
8) Udtrykkety for h indsættes på h’s plads i udtrykket for overfladearealet.
9) Udtrykket reduceres
Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 28. maj 2014
13
b)
Vi definerer funktionen A:
Vi differentierer funktionen vha. WordMat
For at bestemme ekstremumspunkterne, sættes den afledte funktion lig nul og der isoleres for x:
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Monotoniforholdene undersøges for at klargøre, at der er tale om et minimum:
Vi udregner nu fortegnet for A’ på begge sider af nulpunktet:
Der er tale om et minimum, da A’(x) går fra minus til nul til plus.
-
0
+
↘
↗
Vi har følgende udtryk for h:
Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 28. maj 2014
14
Vi indsætter den fundne værdi for x:
Størrelserne for x og h således at krukken areal bliver så lille som muligt er:
c)
Vi indsætter størrelserne for x, fundet i opgave 5b, i funktionen A(x):
Det mindst mulige overfladeareal er 90,364 cm
2
Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 28. maj 2014
15
Opgave 6
a)
Vi benytter afstandsformlen for at bestemme for afstanden mellem to punkter:
Punkterne A og T har koordinaterne:
Vi indsætter koordinaterne i formlen.
Afstanden fra punkt A til punkt T er 3,317 meter.
b)
Vi bestemmer planets ligning på normalform:
Hvor
er koordinaterne til en normalvektor på planet og
er koordinaterne til et punkt på
planet.
Punkt T benyttes som fast punkt i planet:
Normalvektoren bestemmes ud fra krydsproduktet af to ikke-parallelle vektorer i planet. Vi bestemmer
og
ud fra punkterne A, B og T, som defineres nedenfor:
Vektor AB bestemmes:
Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 28. maj 2014
16
Vektor AT bestemmes:
Du skal være opmærksom på, at når du bruger WordMat til at beregne en vektor ud fra to punkter, så skal
du opstille punkterne som en vektor (Design - matrix)
Normalvektoren bestemmes ud fra krydsproduktet af vektor AB og AT:
Normalvektorens koordinater og koordinaterne for punkt T indsættes i ligningen:
Ligningen for planet er givet ved:
Udtrykket reduceres vha. CAS-værktøjet WordMat.
Opgave 6c, 6d og 6e er ikke medtaget, da disse opgaver relaterer sig til forberedelsesmaterialet.
Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 28. maj 2014
17
Løsning med Maple
Alle opgaver er regnet med Maple, da vores erfaring viser, at det er et stærkt værktøj at anvende. Husk at
skrive nedenstående kommentar om at beregningerne er foretaget ved hjælp af Maple som første linje til
besvarelsen, så censor ved hvor tallene kommer fra.
NB: Mange af de anvendte formler i opgaven kan findes og indsættes direkte fra Maples Gym-pakken egen
formelsamling. Der er store tidsbesparelser at hente ved at bruge formelsamlingen!
(1.1.4)(1.1.4)
(1.2.2)(1.2.2)
(1.2.3)(1.2.3)
(1.2.1)(1.2.1)
(1.1.2)(1.1.2)
(1.2.4)(1.2.4)
(1.1.3)(1.1.3)
(1.1.1)(1.1.1)
HTX Matematik A 28. Maj 2014
htx141-MAT/A-
Alle beregninger er udført med Maple som CAS-værktøj . Maple bruger "." som decimaladskiller.
Opgave 1
a)
Vinkel er udsnitsvinklen i et cirkelafsnit. Størrelsen af vinklen kan bestemmes ved at isolere
vinklen i formlen for pilhøjden :
Vi definerer størrelserne og :
2.44
0.56
Vinkel bestemmes:
14
Vinklen er 79,20
b)
Bredden er summen af pilhøjderne i de to buer vist i figur 1. Vi udregner pilhøjden i buen
med radius i figur 1. Vi definere udsnitsvinklen og radius og benytter herefter formlen
for pilhøjde, vist i opgave 1a:
2.34
81.82
101
Pilhøjden i højre bue er 0,57 meter. Bredden b er derfor:
Bredden b er 1,13 meter.
c)
Den samlede længde af murværket på figur 1 er summen af buelængderne i begge buer.
Buelængden i venstre bue er givet i opgaven.
(1.4.1)(1.4.1)
(1.3.1)(1.3.1)
(1.4.3)(1.4.3)
(1.3.2)(1.3.2)
(1.4.5)(1.4.5)
(1.4.2)(1.4.2)
(1.4.4)(1.4.4)
3.37
Formlen for buelængde i en cirkel med radius og centervinklen er givet ved:
= 42
Buelængden i højre bue er 3,34 meter. Den samlede buelængde er derfor:
42
Den samlede længde af murværket er 6,71 meter.
d)
Vi beregner murstensmængden brugt ved en lige mur.
Vi beregner kordelængde i den højre bue vha. følgende formel, som viser kordelængden i en
cirkel med radius og centervinkel :
54
Korden i højre bue er 3,06. Størrelsen af korden i venstre bue er givet i opgaven:
3.11
Vi beregner summen af kordelængderne i højre og venstre bue:
54
Da der skal være 2 mursten i bredden, hvis det er en lige mur, fordobler vi den samlede
kordelængde for at få mængden af mursten benyttet ved den lige mur.
71
Der skal bruges 12,35 meter mursten til en lige mur. Mængden af mursten som skal bruges til
den slangeformet mur er lig den samlede buelængde af højre og venstre bue, som er udregnet
i opgave 1c. Vi udregner hvor mange procent mindre mursten der skal benyttes til den buede
mur.
Der spares 54,35 % mursten ved at bygge muren slangeformet.
(2.2.5)(2.2.5)
(2.2.6)(2.2.6)
(2.2.7)(2.2.7)
(2.1.2)(2.1.2)
(2.2.2)(2.2.2)
(2.1.4)(2.1.4)
(2.2.4)(2.2.4)
(2.2.3)(2.2.3)
(2.1.1)(2.1.1)
(2.2.1)(2.2.1)
(2.1.3)(2.1.3)
Opgave 2
a)
Vi undersøger funktionsværdien for for begge stykvise funktioner. Vi definerer
funktionerne:
Vi bestemmer funktionsværdien og :
3
3
Da funktionsværdierne er ens for for begge stykvise funktioner, er den samlede funktion
f kontinuer for .
b)
Arealet under funktionen g i et interval [a,b] bestemmes ud fra følgende formel:
Hvor a og b er grænseværdierne for x. Grænseværdierne er følgende:
0
8
Arealet under g bestemmes:
55
assign to a name
Vi bestemmer nu arealet i intervallet x2]8,12]. Da det er h som gælder i dette interval,
bestemmes arealet under h i følgende interval:
8
12
(2.2.8)(2.2.8)
(2.3.1)(2.3.1)
(2.3.2)(2.3.2)
(2.2.9)(2.2.9)
assign
Det samlede areal beregnes:
Arealet af det planlagte blomsterbed er 30,41 kvadratfod.
c)
Vi benytter formlen for arealet under en funktion afgrænset af et interval og x-aksen. Vi
benytter funktionen, som vi tidligere har definere som g(x), da det er den funktionen har
startgrænseværdien, x=0, som er der hvor blomsterbedet starter. Derudover har vi tidligere
udregnet at arealet i intervallet [0,8] er 12,8, hvilket er større end 10, hvor er arealet af
blomsterbedet. Derfor må L være mindre end 8.
Vi kender arealet, funktionsforskriften og den ene grænseværdi. Vi kan derfor isolere for
slutgrænseværdien:
81
Længden L er lig 6,81 fod.
(3.1.2)(3.1.2)
(3.1.5)(3.1.5)
(3.1.3)(3.1.3)
(3.1.1)(3.1.1)
(3.1.4)(3.1.4)
Opgave 3
a)
2
1
Vi beregner hældningen i punkt A for de tre løsningskurver:
Løsningskurverne har derved alle samme hældning i punkt A.
b)
Ligning a viser en kurve med en konstant hældning, da ligningen ikke afhænger af hverken x
eller y. Løsningskurve III passer derfor til ligning a, da denne netop har en konstant hældning.
Det ses også at løsningskurve II har en hældning på nul ved skæring med y-aksen. Dette
stemmer overens med ligning b, da ligningen giver nul for x=0. Løsningskurve I hører derfor
til ligning c.
(4.2.3)(4.2.3)
(4.1.2)(4.1.2)
(4.1.3)(4.1.3)
(4.1.4)(4.1.4)
(4.1.1)(4.1.1)
(4.2.2)(4.2.2)
(4.3.1)(4.3.1)
(4.2.1)(4.2.1)
Opgave 4
a)
Figur 4 viser en sinus-svingning. Vektorfunktionens y(t) er forskriften på sinussvingningen,
som er opstillet på følgende form:
Udtrykket i parentesen er vinkelhastigheden givet i radianer pr. sekund ganget med tiden givet
i sekunder, hvilket er lig vinklen givet i radianer.
Sammenligninger vi svingningen med enhedscirklen, kan vi bestemme antal radianer passeret
kan derfor sætte udtrykket i parentesen lig antallet af radianer.
Vi sætter t-værdien ind i udtrykket for x i vektorfunktionen for at bestemme, hvor slutporten er
placeret på x-aksen:
25
= 42
Afstanden mellem start- og slutportene er 259,079 m
b)
Vi definerer vektorfunktionen:
Vi bestemmer længden af accelerationsvektoren til tiden
1.4
Vektoren længde er 15,24.
c)
Ligningen for en cirkel med centrum i B skærer vektorfunktionen r(t) i punktet V. Vi opstiller
ligningen for en cirkel med centrum i [a,b] og med radius r på følgende form:
(4.3.7)(4.3.7)
(4.3.8)(4.3.8)
(4.3.10)(4.3.10)
(4.3.3)(4.3.3)
(4.3.9)(4.3.9)
(4.3.5)(4.3.5)
(4.3.6)(4.3.6)
(4.3.4)(4.3.4)
(4.3.2)(4.3.2)
Punkt B er koordinaterne til cirklens centrum:
50
0
Cirklen har følgende radius:
18
Cirklens ligning er givet ved:
Vi bestemmer til hvilken t-værdi, de to funktioner skærer hinanden:
Vi definerer t-værdien til skæringspunktet og bestemmer vektorfunktionens koordinater til t-
værdien:
58
Punktet V har koordinaterne V=(33.79,-7.83), hvilket stemmer godt overens med figur 4.
Opgave 5
a)
2)
Formlen for arealerne af rektanglet, kvadratet, cirklen og den krumme del af cylinderen
indsættes i formlen.
Figur 5 viser, at arealet af rektanglet er kassens side, som er x lang og 2h høj, derfor er
formlen for arealet af rektanglet være: .
Kvadrat har sidelængde x og arealet er derfor: .
Arealet af cirklen er opstillet ud fra cylinderens grundfladeareal. Arealet af en cirkel er ,
hvor er radius. Da vi får afvide at cylinderens diameter er lig kassens sidelængde, er radius
lig . Derved bliver cirklens areal:
.
Arealet for den krumme del af cylinderen er: , da formlen for den krumme del af en
cylinder er: , hvor radius r er lig og højden kaldes blot på figur 5.
3)
Udtrykket reduceres. Først opløses parentesen:
Udtrykket består af tre led, som kan reduceres til to led ved at sætte og uden for
parentes.
Udtrykket i parenteserne reduceres:
5)
Udtrykket for voluminet af en kasse og af en cylinder indsættes i udtrykket. Voluminet af
kassen er lig , da formlen for voluminet af en kasse er . Vi
ser af tegningen på figur 5, at siden har længden og højden har størrelsen . Voluminet af
cylinderen er , da formlen for voluminet af en cylinder er: . Vi ser på figur 5,
at radius er lig det halve af kassens sidelængde og cylinderen har højden .
6)
Udtrykket for voluminet reduceres:
(5.2.1)(5.2.1)
sættes uden for parentes:
Udtrykket i parentesen reduceres:
7)
Der isoleres for ved at dividere med trykket: på begge sider af lighedstegnet:
Der ganges med 4 i tæller og nævner.
8)
Udtrykkety for indsættes på plads i udtrykket for overfladearealet.
9)
Udtrykket reduceres:
b)
Vi definerer funktionen A:
Vi bestemmer funktionen minimum vha. følgende værktøj:
(5.2.2)(5.2.2)
(5.3.1)(5.3.1)
(5.2.3)(5.2.3)
47
Vi indsætter i udtrykket for h:
assign
Størrelserne for x og h således at krukken areal bliver så lille som muligt er:
= 09
c)
Vi indsætter i funktionen for A:
21
Det mindst mulige overfladeareal er 90,364 .
(6.2.1)(6.2.1)
(6.2.2)(6.2.2)
(6.1.1)(6.1.1)
(6.1.2)(6.1.2)
(6.2.3)(6.2.3)
(6.2.5)(6.2.5)
(6.2.4)(6.2.4)
Opgave 6
a)
Vi benytter afstandsformlen:
Vi indsætter punkternes koordinater:
assign
Længden AT er 3.31 meter.
b)
Vi definerer punkterne:
Vi definerer planet:
En ligning for planet er givet ved:
Opgave 6c, 6d og 6e er ikke medtaget, da disse opgaver relaterer sig til forberedelsesmaterialet.