Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 29. August 2014
1
HTX Matematik A
29. august 2014
htx142-MAT/A-
Løsning med WordMat ...................................................................................................................................... 2
Løsning med Maple ......................................................................................................................................... 22
Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 29. August 2014
2
Løsning med WordMat
Alle opgaver er for så vidt muligt regnet med WordMat, da vores erfaring viser, at det er langt det hurtigste
værktøj at anvende. Husk at skrive nedenstående kommentar om at beregningerne er foretaget ved hjælp
af WordMat som første linje til besvarelsen, så censor ved hvor tallene kommer fra.
NB: Mange af de anvendte formler i opgaven kan findes og indsættes direkte fra WordMats egen formel-
samling, som findes øverst til venstre. Der er store tidsbesparelser at hente ved at bruge formelsamlingen!
WordMat er blevet brugt som CAS-værktøj til løsningen af denne eksamen.
Opgave 1
a)
Vi benytter WordMats trekantsløser til at bestemme vinklerne.
WordMats trekantsløser anvendes med input: a = 3,4; b = 5; c = 5
A = 39,75375°
B = 70,12313°
C = 70,12313°
a = 3,4
b = 5
c = 5
Vinkel A og B findes vha. cosinusrelationer
39,8°
70,1°
70,1°
3,4
5
5
Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 29. August 2014
3
Vinkel C findes vha. vinkelsum = 180° i en trekant
Vinkel , vinkel og vinkel
b)
Vi bestemmer den komplementære vinkel til vinkel C, som vi fandt i opgave 1a. Se nedenstående skitse:
Vi kalder den viste vinkel på skitsen for C
2
.
Vinkel C
2
er 109,88
o
. Vi beregner længden CD:
Længden CD er 2,9.
Vi kan benytte WordMats trekantløser til at bestemme de resterende vinkler og sider i trekanten.
WordMats trekantsløser anvendes med input: C
2
= 109,88°, DV = 13,5, CD = 2,9
C
2
= 109,88°
D = 58,46528°
V = 11,65472°
DV = 13,5
CV = 12,23552
CD = 2,9
110°
58,5°
11,7°
13,5
12,2
2,9
Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 29. August 2014
4
Længden af siden CV findes vha. en cosinusrelation
2. gradsligningen løses for CV
2. gradsligningen har to løsninger:
Men kun 12,24 giver mening her.
Vinkel D findes vha. en cosinusrelation
Vinkel V findes vha. vinkelsum = 180° i en trekant
Vinkel v er bestemt til
c)
Vi indlægger et koordinatsystem således, at z-aksen går gennem punkt D.
Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 29. August 2014
5
For at bestemme ligningen til planet skal vi benytte et fast punkt på planet og en normalvektor til planet.
Koordinaterne til normalvektor bestemmes ud fra krydsproduktet af to ikke-parallelle vektorer på planet.
Vi bestemmer vektor VD. X-koordinatet til punkt V bestemmes ud fra den retvinklede trekant som dannes
med origo i den rette vinkel. Vi benytter WordMats trekantløser.
WordMats trekantsløser anvendes med input: O = 90°, V = 11,65°, DV = 13,5
O = 90°
D = 78,35°
V = 11,65°
DV = 13,5
OV = 13,22189
OD = 2,726091
Vinkel D findes vha. vinkelsum = 180° i en trekant
90°
78,4°
11,6°
13,5
13,2
2,73
Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 29. August 2014
6
Længden af siden OV findes vha. cosinus
Længden af siden OD findes vha. sinus
x-koordinatet til punkt v er lig størrelsen af længden OV. Da punktet ligger på x-aksen må z- og y-koordinatet
være lig nul. Vi definerer punktet:
Bemærk at vi definerer punktet som en matrix (Design - matrix) for at senere kunne beregne en vektor ud
fra punktet.
Koordinaterne for punkt D bestemmes. Z-koordinatet er lig længden OD. Da punktet ligger på z-aksen er x-
og y-koordinatet lig nul. Vi definerer punktet:
Vi kan nu beregne vektor VD:
Vi bestemmer nu koordinater til en vektor som har startpunkt i punkt V og bevæger sig parallelt med y-aksen.
Vi vælger et tilfældigt punkt E, som er placeret på en linje parallel med y-asken og gennem punktet V. E’s x-
koordinatet er lig størrelsen af længden fra nulpunkt til punkt V. z-koordinatet må være lig nul, da vektoren
er parallel med y-aksen og har startpunkt på x-aksen. Der vælges et vilkårligt y-koordinat. Vektoren opstilles:
Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 29. August 2014
7
Krydsproduktet af vektor VD og V bestemmes:
Vi har nu bestemt koordinaterne til en normalvektor. Vi kan nu opstille planets ligning på følgende form:
Hvor a,b,c er normalvektorens koordinater og
er lig koordinaterne til et punkt på linjen. Vi benytter
punkt V som fast punkt og opstiller ligningen:
Planet som glasfladen er en del af har ligningen
Udtrykket reduceres vha. CAS-værktøjet WordMat.
Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 29. August 2014
8
Opgave 2
a)
År Antal solgte enheder/mio.
Q3'07 1,25
Q3'08 7
Q3'09 7,5
Q3'10 14,5
Q3'11 17,5
Q3'12 27
b)
Vi opstiller en kolonne i tabellen som viser størrelsen af t
År t Antal solgte enheder/mio.
Q3'07 0 1,25
Q3'08 1 7
Q3'09 2 7,5
Q3'10 3 14,5
Q3'11 4 17,5
Q3'12 5 27
Vi benytter Excel til at opstille en graf for sammenhængen for foretager en eksponentiel regression.
Forskriften for den eksponentielle model er:
y = 2,2899e
0,5363x
R² = 0,8582
0
5
10
15
20
25
30
35
40
0 1 2 3 4 5 6
Antal solgte enheder/mio
.
År
Iphone-salg i 3.kvartal(mio.enheder)
Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 29. August 2014
9
c)
Vi foretager en lineær regression af samme graf.
Forskriften for den lineære model er:
d)
Vi sammenligner
-værdierne, som er genereret for de to grafer.
-værdierne er et udtryk for, hvor godt
tendenslinje stemmer overens med punktserien. Jo tættere værdien er på 1, jo bedre stemmer tendenslinjen
overens med punktserien.
-værdien for den eksponentielle model er:
0,8582
-værdien for den lineære model er:
R² = 0,9491
Da
-værdien for den lineære model ligger tættere på 1 beskriver denne model sammenhængen bedst.
y = 4,7786x + 0,5119
R² = 0,9491
0
5
10
15
20
25
30
0 1 2 3 4 5 6
Antal solgte enheder/mio
.
År
Iphone-salg i 3.kvartal(mio.enheder)
Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 29. August 2014
10
Opgave 3
a)
Cirklens ligning bestemmes på følgende form:
For at bestemme cirklens ligning indsættes punkterne A og B i GeoGebra. Herefter benyttes funktionen
midtpunkt eller centrum, for at bestemme cirklens centrum. Cirklen kan nu opstilles ud fra centrum og et
punkt på cirklen.
Cirklens ligning er genereret til:
b)
Tangentens ligning bestemmes ud fra følgende formel:
Hvor (a,b) er cirklens centrum og
er koordinaterne til det punkt, som tangenten tangerer i.
Cirklens centrumkoordinater aflæses af cirklens ligning:
Tangenten tangerer i punkt B, som har følgende koordinater:
Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 29. August 2014
11
Koordinaterne indsættes i formlen:
Ligningen reduceres:
Udtrykket reduceres vha. CAS-værktøjet WordMat.
Vi isolerer for y:
Ligningen løses for y vha. CAS-værktøjet WordMat.
Ligningen for tangenten til cirklen gennem punktet B er:
c)
Området opdeles i en trekant og et cirkelafsnit, som vist på skitsen nedenfor:
Arealet i trekanten bestemmes vha. følgende formel:
Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 29. August 2014
12
Hvor g er grundlinjen AC og h er højden BC. Da hypotenusen i den tegnede trekant er lig diameteren i cirklen,
er trekanten retvinklet. Vi beregner længden af diameteren vha. afstandsformlen:
A og B’s koordinater indsættes:
Vi benytter WordMats trekantløser til at beregne længden af grundlinjen AC og højden BC i trekanten.
WordMats trekantsløser anvendes med input: A = 20°, C = 90°, AB = 12,52996
A = 20°
B = 70°
C = 90°
BC = 4,285499
AC = 11,77431
AB = 12,52996
Vinkel B findes vha. vinkelsum = 180° i en trekant
Længden af siden BC findes vha. sinus
Længden af siden AC findes vha. cosinus
Arealet af trekanten beregnes:
Cirkelafsnittet beregnes vha. følgende formel:
20°
70°
90°
4,29
11,8
12,5
Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 29. August 2014
13
Radius beregnes:
Udsnitsvinklen beregnes vha. formlen for kordens længde:
Kordens længde er lig linjestykket BC. Størrelserne indsættes i formlen og der isoleres for v:
Ligningen løses for v vha. CAS-værktøjet WordMat.
Arealet af cirkelafsnittet kan nu beregnes:
Det samlede areal beregnes:
Det samlede areal af området er 26,40.
Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 29. August 2014
14
Opgave 4
Opgave 4a, 4b og 4c er ikke medtaget, da disse opgaver relaterer sig til forberedelsesmaterialet.
Opgave 5
a)
Differentialligningen der beskriver væksten af bakteriekulturen, ser således ud:
Hvor k er proportionalitetsfaktoren
b)
For at funktionen N(t) er en løsning til differentialligningen, skal udregningen af højre og venstre side af
ligningen være lig hinanden. WordMat benyttes til udregning af henholdsvis højre og venstre side. Vi løser
først venstre side af differentialligningen, som er , ved at differentiere funktionen N.
Vi opskriver differentialligningen:
Vi løser nu højre side ved at indsætte funktionen N på N’s plads i differentialligningen:
Det ses at vi får samme udtryk, når vi løser henholdsvis højre og venstre side af differentialligningen. Vi har
derved vist at funktionen N er en løsning til differentialligningen.
c)
Fordoblingskonstanten er givet ved:
Vi bestemmer a:
Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 29. August 2014
15
Vi indsætter i formlen for fordoblingskonstanten:
Fordoblingskonstanten er lig 7,22.
Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 29. August 2014
16
Opgave 6
a)
(2)
t isoleres ved at først trække
fra på begge sider af lighedstegnet.
Herefter divideres der med udtrykket
på begge sider af lighedstegnet
(3)
Koordinatfunktionen for y opskrives
(4)
Udtrykket for t indsættes i y’s koordinatfunktion.
(5)
Der ganges ind i parenteserne. Vi laver en matematisk udledning.
Vi ganger parentesen ud.
Vi ganger op i tælleren.
(6)
Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 29. August 2014
17
Faktoren
i tæller og nævner går ud med hinanden:
Vi ved at:
Vi indsætter udtrykket i ligningen
b)
Vi definerer konstanterne.
Vi indsætter parablen i Graph:
Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 29. August 2014
18
c)
Vi bestemmer skæringen med x-aksen ved at sætte y=0 og isolere for x.
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Springets vandrette længde er 63,5 meter, da springere forlader platformen ved x=0.
d)
Vi bestemmer parablens toppunkt. Vi differentier funktionen for at finde parablens hældning:
For at undersøge monotoniforholdene for f bestemmes først nulpunkter for f’. Dette gøres ved at løse
ligningen:
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Vi udregner nu fortegnet for f’ på begge sider af nulpunktet:
Vi sammenfatter dette i en monotonilinje:
+
0
-
↗
↘
Vi har derved fundet x-koordinatet for maksimum. Vi indsætter x-koordinatet i funktionen f:
Den største højde på springet er 7,16 meter.
Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 29. August 2014
19
e)
Vi løser opgaven grafisk ved at indsætte en tangent i punktet, hvor grafen skærer y-aksen.
Graph generer følgende forskrift for tangenten:
Vi aflæser hældningen a:
Vi bestemmer vinklen med vandret ud fra følgende sammenhæng:
Hvor v er vinklen med vandret.
Ligningen løses for v vha. CAS-værktøjet WordMat.
Tangentens vinkel med vandret ved landingen er 22,82
o
Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 29. August 2014
20
Opgave 7
a)
Skæringen mellem de to kurver bestemmes ved at sætte funktionerne lig hinanden og isolere for x.
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Vi kender nu A og B’s x-koordinater:
Vi indsætter x-koordinaterne i en af de to funktioner for at finde y.
A og B har koordinaterne:
Vi benytter afstandsformlen til at finde afstanden mellem punkterne:
Bredden af bagenden er 5,11 meter.
b)
Vi opstiller integralet for arealet mellem to funktioner i intervallet
Grænseværdierne er:
Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 29. August 2014
21
Vi beregner integralet vha. WordMat.
Arealet af bagenden er
.
Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 29. August 2014
22
Løsning med Maple
Alle opgaver er regnet med Maple, da vores erfaring viser, at det er et stærkt værktøj at anvende. Husk at
skrive nedenstående kommentar om at beregningerne er foretaget ved hjælp af Maple som første linje til
besvarelsen, så censor ved hvor tallene kommer fra.
NB: Mange af de anvendte formler i opgaven kan findes og indsættes direkte fra Maples Gym-pakken egen
formelsamling. Der er store tidsbesparelser at hente ved at bruge formelsamlingen!
(1.2.4)(1.2.4)
(1.2.3)(1.2.3)
(1.1.1)(1.1.1)
(1.2.1)(1.2.1)
(1.2.2)(1.2.2)
(1.2.5)(1.2.5)
HTX Matematik A - 29. august 2014
htx142-MAT/A-
Alle beregninger er udført med Maple som CAS-værktøj . Maple bruger "." som decimaladskiller.
Opgave 1
a)
Vi kender alle siderne i trekant ABC og kan derved bestemme vinklerne:
Vinkel A er 39,75 , vinkel B er 70,12 og vinkel C er 70,12
b)
Vi bestemmer den komplementære vinkel til vinkel C, som vi fandt i opgave 1a. Se
nedenstående skitse:
C
2
C
A
B
v
V
D
X
Y
Z
93
41
Vinkel er 109,88 . Vi beregner længden CD:
2.9
Vi bestemmer vinkel ud fra trekant Længden DV defineres:
13.5
Vi benytter nu Maples trekantværktøj til at bestemme vinkel i trekant
Vinkel er lig 11,65 .
c)
Vi indlægger et koordinatsystem således, at z-aksen går gennem punkt D.
(1.3.7)(1.3.7)
(1.3.6)(1.3.6)
(1.3.2)(1.3.2)
(1.3.1)(1.3.1)
(1.3.4)(1.3.4)
(1.3.3)(1.3.3)
(1.3.5)(1.3.5)
C
2
C
A
B
v
V
D
X
Y
Z
O
Vi bestemmer koordinaterne til tre punkter på planet. Vi beregner størrelserne i trekant OVD:
90
Punkt V og D har derved følgende koordinatsæt:
V
Vi definere et tilfældigt punkt, som er placeret på en linje gennem V og parallel med y-aksen
E
Vi definerer planet p og generer en ligning for planet:
p
`while processing result`
`while processing result`
=
Planet som glasfladen er en del af har ligningen:
(2.2.1)(2.2.1)
(2.2.2)(2.2.2)
Opgave 2
a)
År
Antal solgte enheder/mio
b)
Vi benytter regression til at generere en eksponentiel tendenslinje gennem punktsættet givet i
opgaven og benytter Maple til at generere en funktionsforskrift for tendenslinjen.
Den eksponentielle model er:
2.29
c)
Vi foretager en lineær regression af samme graf:
Forskriften for den lineære model er:
y =
d)
Vi sammenligner -værdierne, som er genereret for de to grafer. -værdierne er et udtryk
for, hvor godt tendenslinje stemmer overens med punktserien. Jo tættere værdien er på 1, jo
bedre stemmer tendenslinjen overens med punktserien.
-værdien for den eksponentielle model er: =
-værdien for den lineære model er: =0,9491
Da -værdien for den lineære model ligger tættere på 1 beskriver denne model
sammenhængen bedst.
(3.1.6)(3.1.6)
(3.1.4)(3.1.4)
(3.1.5)(3.1.5)
(3.2.1)(3.2.1)
(3.1.2)(3.1.2)
(3.2.2)(3.2.2)
(3.1.7)(3.1.7)
(3.1.1)(3.1.1)
(3.1.3)(3.1.3)
(3.2.3)(3.2.3)
(3.1.8)(3.1.8)
Opgave 3
a)
Ligningen for en cirkel med radius og centrum i (a,b) bestemmes på følgende form:
Vi definerer punkterne A og B:
B
Radius bestemmes:
Centrums koordinater bestemmes:
C
5
17
2
Cirklens ligning bestemmes:
Ligningen for cirklen er
b)
Ligningen for en tangent, som tangerer en cirkel med centrum i (a,b) i punktet ( ), er givet
ved:
Vi definerer og :
8
14
(3.3.2)(3.3.2)
(3.2.4)(3.2.4)
(3.3.3)(3.3.3)
(3.3.1)(3.3.1)
(3.3.4)(3.3.4)
(3.2.5)(3.2.5)
Ligningen for tangenten bestemmes:
Ligningen for tangenten gennem punktet B er:
c)
Området opdeles i en trekant og et cirkelafsnit, som vist på skitsen nedenfor:
B
A
C
v
a
b
c
Arealet i trekanten bestemmes vha. følgende formel:
Hvor g er grundlinjen AC og h er højden BC. Da hypotenusen i den tegnede trekant er lig
diameteren i cirklen, er trekanten retvinklet. Vi bestemmer alle størrelserne i trekant ABC:
Vi definerer punkterne A og B:
A
B
20
(3.3.13)(3.3.13)
(3.3.8)(3.3.8)
(3.3.7)(3.3.7)
(3.3.12)(3.3.12)
(3.3.5)(3.3.5)
(3.3.9)(3.3.9)
(3.3.11)(3.3.11)
(3.3.6)(3.3.6)
(3.3.10)(3.3.10)
Arealet af trekanten beregnes:
06
80
= 66
Arealet af cirkelafsnittet i en cirkel med radius og med centervinkel beregnes vha.
følgende formel:
Udsnitsvinklen beregnes vha. formlen for kordens længde:
Kordens længde er lig linjestykket a. Størrelserne indsættes i formlen og der isoleres for :
06
93
assign to a name
Arealet af cirkelafsnittet kan nu beregnes:
= 82
Det samlede areal beregnes:
Det samlede areal af området er 26,3.
(3.3.5)(3.3.5)
Opgave 4
Opgave 4a, 4b og 4c er ikke medtaget, da disse opgaver relaterer sig til forberedelsesmaterialet.
(5.3.1)(5.3.1)
(5.1.1)(5.1.1)
(5.3.3)(5.3.3)
(5.2.1)(5.2.1)
(3.3.5)(3.3.5)
(5.3.2)(5.3.2)
Opgave 5
a)
Differentialligningen der beskriver væksten af bakteriekulturen, ser således ud:
Hvor k er proportionalitetsfaktoren.
b)
For at funktionen N(t) er en løsning til differentialligningen, skal udregningen af højre og
venstre side af ligningen være lig hinanden. Maple benyttes til udregning af henholdsvis højre
differentiere funktionen N.
=
Vi opskriver differentialligningen:
=
Det ses at vi får samme udtryk, når vi løser henholdsvis højre og venstre side af
differentialligningen. Vi har derved vist at funktionen N er en løsning til differentialligningen.
c)
Fordoblingskonstanten er givet ved:
a bestemmes:
0.096
64
Fordoblingskonstanten bestemmes:
34
Fordoblingskonstanten er lig 7,22.
(3.3.5)(3.3.5)
Opgave 6
a)
(2)
isoleres ved at først trække fra på begge sider af lighedstegnet.
Herefter divideres der med udtrykket på begge sider af lighedstegnet:
(3)
Koordinatfunktionen for y opskrives
(4)
(5)
Der ganges ind i parenteserne. Vi laver en matematisk udledning.
Vi ganger parentesen ud.
Vi ganger op i tælleren.
(6)
Faktoren i tæller og nævner går ud med hinanden:
(6.2.1)(6.2.1)
(6.2.6)(6.2.6)
(6.2.2)(6.2.2)
(6.2.5)(6.2.5)
(3.3.5)(3.3.5)
(6.2.3)(6.2.3)
(6.2.4)(6.2.4)
Vi ved at:
Vi indsætter udtrykket i ligningen:
b)
Vi definerer konstanterne:
9.82
30
20
0
1.8
Funktionen er givet ved:
(3.3.5)(3.3.5)
(6.3.1)(6.3.1)
c)
Vi bestemmer skæringen med x-aksen:
Springets vandrette længde er 63,5 meter, da springere forlader platformen ved
d)
Vi bestemmer funktionenens maksimum vha. følgende værktøj:
(6.5.2)(6.5.2)
(6.5.1)(6.5.1)
(6.4.1)(6.4.1)
(3.3.5)(3.3.5)
Funktionen har maksimum i intervallet til følgende x-værdi:
29.45564
= 30
Den største højde på springet er 7,16 meter.
e)
Tangenten til kurven tangerer i landingens koordinater, som er ( ). Vi
bestemmer tangentens hældning:
Ud fra sammenhængen mellem tangenthældningen og vinklen til vandret bestemmes v:
Tangentens vinkel med vandret ved landingen er 22,82
(7.1.4)(7.1.4)
(7.2.1)(7.2.1)
(7.1.5)(7.1.5)
(7.1.8)(7.1.8)
(7.2.2)(7.2.2)
(7.1.2)(7.1.2)
(7.1.3)(7.1.3)
(7.1.6)(7.1.6)
(3.3.5)(3.3.5)
(7.2.3)(7.2.3)
(7.1.7)(7.1.7)
(7.1.1)(7.1.1)
Opgave 7
a)
Funktionerne defineres:
Koordinaterne til A og B er koordinaterne til skæringen mellem de to funktioner:
25
A og B har følgende koordinater:
Vi bestemmer bagendens bredde:
50
Bredden af bagenden er 5,11 meter.
b)
Arealet er afgrænset af grænseværdierne a og b og funktionerne g og f. Vi definerer
grænseværdierne:
25
Vi opstiller integralet for arealet mellem to funktioner i intervallet x2[a,b]:
Arealet af bagenden er 8,48