Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 29. maj 2015
2
Løsning med WordMat
Alle opgaver er for så vidt muligt regnet med WordMat, da vores erfaring viser, at det er langt det hurtigste
værktøj at anvende. Husk at skrive nedenstående kommentar om at beregningerne er foretaget ved hjælp
af WordMat som første linje til besvarelsen, så censor ved hvor tallene kommer fra.
NB: Mange af de anvendte formler i opgaven kan findes og indsættes direkte fra WordMats egen formel-
samling, som findes øverst til venstre. Der er store tidsbesparelser at hente ved at bruge formelsamlingen!
WordMat er blevet brugt som CAS-værktøj til løsningen af denne eksamen.
Opgave 1
a)
Formlen for størrelsen af en vinkel i en regulær polygon er:
Hvor n er antallet af vinkler. Vinkel O bestemmes ud fra ovenstående formel:
Vinkel O er bestemt til:
Trekanten OAB er ligebenet, da ottekanten er regulær. Størrelsen af vinkel A og B er derfor ens. Da vi ken-
der vinkelsummen i en trekant, som er 180
o
, og størrelsen af vinkel O, kan vi udregne vinkel A og B. Vi ud-
regner vinkel A:
Vinkel A og B er bestemt til: .
b)
Her må det antages, at der menes punkternes koordinater i et x,y-koordinatsystem, som vist i figur 1. Ud
fra figur 1 ses det, at punkt A har y-koordinatet:
x-koordinatet bestemmes vha. sinusrelationerne. Sidelængden OA bestemmes vha. WordMat (CAS-Løs lig-
ninger)
Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 29. maj 2015
3
Ligningen løses for OA vha. CAS-værktøjet WordMat.
Sidelængden OA er bestemt til 1,307. Punkt A har således følgende koordinatsæt:
Tegnes højden i trekant OAB, fra punkt B og vinkelret ned på grundlinjen, fås en retvinklet trekant. Vi kalder
det vinkelrette hjørne for C. Se nedenstående skitse:
Da trekantens punkt O befinder sig i origo, er længden af OC lig B’s x-koordinatet og længden af BC er lig B’s
y-koordinatet. Trekantens sidelængder OC og BC bestemmes vha. WordMats trekantløser (Diverse - tre-
kant). WordMats trekantsløser anvendes med input: O = 45°, B = 45°, C = 90°, OB = 1,306563
Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 29. maj 2015
4
O = 45°
B = 45°
C = 90°
BC = 0,9238796
OC = 0,9238796
OB = 1,306563
Længden af siden BC findes vha. sinus
Længden af siden OC findes vha. cosinus
Punkt B har således følgende koordinatsæt: .
c)
En ligning for planen bestemmes på normalform ud fra følgende ligning:
Vi skal derfor kende et punkt i planet og en normalvektor til planet. Punkt T benyttes som fast punkt i pla-
net:
En normalvektor bestemmes ud fra krydsproduktet af to ikke-parallelle vektorer i planet. Vi bestemmer
og
ud fra punkterne A, B og T, som defineres nedenfor:
45°
45°
90°
0,924
0,924
1,31
Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 29. maj 2015
5
Vektor AB bestemmes:
Vektor AT bestemmes:
Du skal være opmærksom på, at når du bruger WordMat til at beregne en vektor ud fra to punkter, så skal
du opstille punkterne som en vektor (Design - matrix)
En normalvektor bestemmes ud fra krydsproduktet af vektor AB og AT:
Normalvektorens koordinater og koordinaterne for punkt T indsættes i ligningen og en ligning for planen
ABT bestemmes:
Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 29. maj 2015
6
Opgave 2
a)
Ud fra opgavebeskrivelsen ved vi, at planets ligning er givet ved:
Vi isolerer for z:
Ligningen løses for z vha. CAS-værktøjet WordMat.
Forskriften for funktionen f, hvis graf er planen , er givet ved:
b)
Trekanten afgrænses af to linjer på formen:
Hvor a er linjens hældningskoefficient og b er skæringspunktet med y-aksen. Den en linje, som afgrænser
grafområdet, går gennem punkterne O og B. Hældningskoefficienten a bestemmes ud fra de to punkter på
linjen. Hældningskoefficienten bestemmes ud fra følgende formel:
Vi kender koordinaterne for punkterne:
Vi indsætter i formlen:
Hældningskoefficienten er lig 1. Linjen gennem punkterne O og B skærer y-aksen i origo. Derfor må størrel-
sen af b være 0. Funktionsforskriften er derved:
Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 29. maj 2015
7
Derudover afgrænses grafområdet af en linje, som går gennem punkterne C og B. Hældningskoefficienten a
bestemmes ud fra de to punkter på linjen. Punkt C’s x-koordinat er nul, da punktet er placereret på y-aksen.
y-koordinatet er lig trekantens sidelængde(OA), som blev beregnet i opgave 1.
Hældningskoefficienten bestemmes:
Hældningskoefficienten er bestemt til: .
b er skæringen med y-aksen. b er derfor lig trekantens sidelængde.
Forskriften for den anden linje, som afgrænser trekanten OBC, er bestemt til:
Hvilket stemmer overens med forskrifterne givet i opgaveformuleringen.
Vi har ikke medtaget besvarelsen af opgave 2c og 2d, da disse opgaver tilhører forberedelsesmaterialet,
som blev udgivet i 2015. Opgaverne er derfor ikke inden for pensum.
Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 29. maj 2015
8
Opgave 3
a)
Den samlede højde h, kan udregnes således:
er givet i opgaven og pilhøjden p udregnes vha. følgende formel:
Hvor r er kugleafsnittets radius og ν er udsnitsvinklen. Udsnitsvinklen kendes ikke, og vi opstiller derfor en
trekant, hvor to af siderne har kugleafsnittets radius som sidelængde og den sidste side har cylinderens dia-
meter som sidelængde.
WordMats trekantsløser anvendes med input: a = 0,74, b = 0,4, c = 0,4
A = 135,3367°
B = 22,33165°
C = 22,33165°
a = 0,74
b = 0,4
c = 0,4
Vinkel A findes vha. cosinusrelationer
Vinkel A, som er udsnitsvinklen er bestemt til:. Pilhøjden kan nu udregnes:
Den samlede højde h kan nu udregnes:
Højden h er lig
b)
Det samlede volumen af beholderen udregnes på følgende måde:
A
B
C
a
b
c
Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 29. maj 2015
9
Voluminet af cylinderen bestemmes ud fra følgende formel:
Hvor h er cylinderens højde
og r er cylinderens radius. Størrelsen af
er opgivet i opgavebeskrivelsen
og cylinderens radius udregnes ud fra cylinderes diameter. Vi definerer størrelserne og udregner voluminet
af cylinderen.
Voluminet af cylinderen er bestemt til:
Derudover består beholderen af et kugleafsnit i bunden og i toppen. Voluminet af kugleafsnit udregnes
vha. følgende formel:
Hvor r er radius i den kugle, som kugleafsnittet er en del af, og h er højde i kugleafsnittet. Kugleafsnittets
højde er lig pilhøjden udregnet i opgave 3a:
Vi får oplyst radius i kugleafsnittet i opgaven:
Vi indsætter størrelserne i formlen:
Det samlede volumen udregnes:
Det samlede volumen af beholderen er
.
c)
Vi opskriver differentialligningen:
Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 29. maj 2015
10
For at funktionen p er en løsning til differentialligningen, skal udregningen af højre og venstre side af lignin-
gen være lig hinanden. WordMat benyttes til udregning af henholdsvis højre og venstre side. Vi løser først
venstre side af ligningen, som er
, ved at differentiere funktionen p.
Vi løser nu højre side ved at indsætte funktionen p på p’s plads i differentialligningen:
Det ses at vi får samme udtryk, når vi løser henholdsvis højre og venstre side af differentialligningen. Vi har
derved vist at funktionen p er en løsning til differentialligningen.
d)
Differentialligningen er et udtryk for øjeblikkelig trykændring. Vi har i opgaven fået givet trykket p og kom-
pressorens tryk p
k
. Vi definerer værdierne:
Værdierne indsættes i differentialligningen:
Den øjeblikkelige trykændring er
Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 29. maj 2015
11
Opgave 4
a)
Følgende formel beskriver voluminet af et omdrejningslegeme drejet om x-aksen:
Hvor funktionen r(x) er den givne funktion, som beskriver den indvendige radius. Vi definerer funktionen
Da der påfyldes 15 cm vand, har vi følgende grænseværdier:
Funktionen og grænseværdierne indsættes i formlen:
Voluminet af vandet i karaflen er
b)
Karaflens største diameter er lig funktionens maksimum. Vi skal derfor finde koordinaterne til skæringspunk-
terne for de vandrette tangenter til grafen. Tangenterne befinder sig ved maksimum, minimum eller som
vandret vendetangent. Det ses dog af grafen, at der kun er tale om maksimums- og minimumspunkter. For
at bestemme maksimum og minimumspunkterne bestemmes funktionens monotoniforhold. For at under-
søge monotoniforholdene for r bestemmes først nulpunkter for r’. Dette gøres ved at løse ligningen:
The equation is solved for x by WordMat.
Vi udregner nu fortegnet for r’ på begge sider af alle nulpunkterne:
Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 29. maj 2015
12
Vi sammenfatter dette i en monotonilinje
6,815
22,709
+
0
-
0
+
↗
↘
↗
Vi kan dermed konkludere:
r er voksende i intervallerne
og
r er aftagende i intervallet
r har lokalt maksimum for og
r har lokalt minimum for
Da vi kender maksimums x-koordinat, indsættes denne værdi i funktionen og y, som er er lig radius, be-
stemmes:
Karaflens største radius er 4,63 cm, hvilket ganges med 2 for at finde den største diameter.
Karaflens største diameter er
Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 29. maj 2015
13
Opgave 5
a)
Vi benytter kommandoen Indsæt - diagram -XY-punktdiagram, hvorefter punkterne indsættes i et Excel ark.
b)
Vi benytter lineær regression til at generere en ret linje gennem punktsættet givet i opgaven og benytter
Excel til at generere en funktionsforskrift for tendenslinjen.
30000
35000
40000
45000
50000
55000
60000
10 11
Antal personer
År efter 2000
Antal personer med misligholdt gæld
y = 2726.2x + 29980
R² = 0.9937
30000
35000
40000
45000
50000
55000
60000
10 11
Antal personer
År efter 2000
Antal personer med misligholdt gæld
Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 29. maj 2015
14
Den lineære model er:
c)
Vi benytter regression til at generere en eksponentiel tendenslinje gennem punktsættet givet i opgaven og
benytter Excel til at generere en funktionsforskrift for tendenslinjen.
Den eksponentielle model er:
d)
Ud fra de generede
-værdier er det muligt at vurdere, hvilken model som passer bedst på sammenhæn-
gen ud fra hvilken models
-værdi, som ligger tættest på 1.
Den lineære model havde følgende
-værdi:
Den eksponentielle model havde følgende
-værdi:
y = 32598e
0.0572x
R² = 0.9988
30000
35000
40000
45000
50000
55000
60000
10 11
Antal personer
År efter 2000
Antal personer med misligholdt gæld
Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 29. maj 2015
15
Ud fra
-værdierne er det den eksponentielle model, som passer bedst på sammenhængen, da modellens
-værdi ligger tættest på 1. Da begge
-værdier ligger meget tæt på 1 kan man ikke ud fra denne værdi
afgøre, hvilken model, som passer bedst på sammenhængen. For at understøtte første antagelse ser vi på
punkternes beliggenhed i forhold til modellen. Her ses det også, at den eksponentielle model passer bedst
på sammenhængen, da punkterne følger den eksponentielle tendenslinje bedre end den lineære.
Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 29. maj 2015
16
Opgave 6
a)
Vi definerer funktionen f og punktet, som tangenten tangerer i:
En ligning for tangenten til grafen for f i punktet
er givet ved
Denne forskrift stemmer overens med den forskrift, som er opgivet i opgaven.
b)
Vi vil i denne opgave benytte os af integralregning. Arealet i intervallet
afgrænset af x-aksen og funk-
tionen g(x) er givet ved:
Værdien for x
0
indsættes i funktionsforskriften for tangenten:
Intervallets grænseværdier(a,b) skal nu bestemmes. Da punktmængden afgrænses af y-aksen er den nedre
grænse:
Funktionens øvre grænse b bestemmes ud fra funktionens skæringspunkt med y-aksen. Funktionen sættes
lig nul og der isoleres for x:
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Funktionens nedre grænse b er 2,5. Funktionen og grænseværdierne indsættes i integralet og arealet ud-
regnes:
Det gråtonede område har et areal på
Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 29. maj 2015
17
c)
Vi opstiller tangentens ligning:
Grænseværdierne bestemmes nu som værdier udtrykt ved x
0
. Vi sætter funktionen lig nul og isolerer for x:
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Funktionens grænseværdier er bestemt til:
Funktionen og grænseværdierne indsættes i integralet for arealet af det gråtonede område:
Arealet er uafhængig af værdien x
0
, da det ses, at 2 er en konstant.