Matematik A HTX – Vejledende opgaver 2007
1
HTX Matematik A
Vejledende opgaver 2007
Nogle opgaver inkluderer tips eller yderligere forklaringer i en grå boks af pædagogiske hensyn. Dette skal
ikke opfattes som en del af besvarelsen, og det bør ikke efterlignes til eksamen.
Alle opgaver er for så vidt muligt regnet med WordMat, da vores erfaring viser, at det er langt det hurtigste
værktøj at anvende. Husk at skrive en kommentar om, at beregningerne er foretaget ved hjælp af
WordMat som første linje til besvarelsen, så censor ved hvor tallene kommer fra.
NB: Mange af de anvendte formler i besvarelsen kan findes og indsættes direkte fra WordMats egen
formelsamling, som findes øverst til venstre. Der er store tidsbesparelser at hente ved at bruge
formelsamlingen!
Opgave 1
a)
For en indskreven cirkel gælder, at de tre linjer fra centrum til cirklens tre røringspunkter med trekanten
danner rette vinkler med de pågældende sider i trekanten. De tre røringspunkter benævnes
,
og
.
HTX 3. år
Da har koordinatsættet og hele trekanten ligger i -planen, må koordinatsættet for være:
Matematik A HTX – Vejledende opgaver 2007
2
Vi vil nu forsøge, at bestemme
Der gælder, at:
Hvor er længden af diagonalen i kvadratet
. Vi ser, at der må gælde, at (Pythagoras):
Vi får så:
Vi vil nu bestemme
vha. WordMats trekantsberegner, hvorefter vi kan bestemme i ovenstående
ligning.
WordMats trekantsløser anvendes med input: C = 45°, R1 = 90°, A = 45°, CA = 10
C = 45°
R1 = 90°
A = 45°
R1A = 7,071068
CA = 10
CR1 = 7,071068
Længden af siden CR1 findes vha. sinus
Vi kan nu løse ligningen fra før:
Dvs.:
Ligningen løses for r vha. CAS-værktøjet WordMat.
C
R1
A
R1A
CA
CR1
Matematik A HTX – Vejledende opgaver 2007
3
har således koordinatsættet:
b)
Da er lodret, kan en retningsvektor skrives som:
Desuden går gennem punktet
En parameterfremstilling kan da skrives som:
c)
Vi søger at bestemme en ligning for planen vha. den generelle formel for ligningen for en plan:
Her er
en normalvektor til planen, mens
er et punkt i planen.
En normalvektor til planen kan bestemmes som krydsproduktet mellem to ikke-parallelle vektorer i planen.
To sådanne vektorer defineres:
Vi definerer nu normalvektoren som et krydsprodukt af ovenstående to vektorer:
Vi definerer nu koordinatsættet til et udvalgt punkt i planen. Vi vælger punktet :
Formlen anvendes:
Matematik A HTX – Vejledende opgaver 2007
4
Udtrykket udvides vha. CAS-værktøjet WordMat.
Udtrykket skal sættes lig med 0 ifølge formlen. Vi ganger desuden begge sider med og får da:
d)
Afstanden fra et punkt til en plan kan bestemmes vha. formlen:
Hvor
er et punkt i planen og
er det punkt, hvis afstand fra planen man søger at
bestemme. Vi definerer koordinatsættet for punktet , som er en lodret projektion af punktet og derfor
har samme første- og andenkoordinat som
Vi anvender afstandsformlen:
Afstanden fra punktet til planen er således
Matematik A HTX – Vejledende opgaver 2007
5
Opgave 2
a)
Linjens ligning er på formen:
Hældningen kan da bestemmes som
Hældningen er således
Vinklen med -aksen kan bestemmes som invers tangens af hældningen:
Vi sikrer os, at WordMat finder den spidse vinkel:
Vinklen med -aksen og vinklen med -aksen er komplementære. Det vil sige:
Ligningen løses for v_y vha. CAS-værktøjet WordMat.
Vinklen mellem grafen for og -aksen er altså .
b)
Til parameterfremstillingen skal vi bruge et punkt på linjen og en retningsvektor for linjen.
Da linjens ligning er på formen kan en normalvektor bestemmes som:
En retningsvektor kan findes som tværvektoren af normalvektoren:
Retningsvektoren kan skaleres med et hvilket som helst reelt tal og stadig være retningsvektor. Vi skalerer
med og får så:
Matematik A HTX – Vejledende opgaver 2007
6
Vi skal nu bruge et punkt på linjen. Vi ser, at den angivne parameterfremstilling vælger et punkt med
førstekoordinaten . Vi indsætter dette i linjens ligning og isolerer :
Ligningen løses for y vha. CAS-værktøjet WordMat.
Punktet ligger således på linjen. En parameterfremstilling kan nu opskrives:
Vi ser, at denne er identisk med den i opgave angivne.
c)
Når tangenten er lodret, vil der gælde, at
Vi definerer
Vi løser nu:
Ligningen løses for t vha. CAS-værktøjet WordMat.
Vi definerer
Vi definerer vektorfunktionen:
Vi bestemmer nu koordinatsættet:
Koordinatsættet til det punkt, hvor banekurven for
har en lodret tangent er således .
Matematik A HTX – Vejledende opgaver 2007
7
d)
I skæringspunkterne vil linjens koordinatfunktioner være lig med banekurvens koordinatfunktioner.
Parameteren i linjens koordinatfunktioner benævnes nu i stedet for . Vi løser så:
Ligningen løses for t vha. CAS-værktøjet WordMat.
Vi bestemmer koordinatsættene for begge skæringspunkter:
Vi ser, at det sidst beregnede skæringspunkt svarer til , hvorfor det første skæringspunkt altså svarer til .
har således koordinatsættet:
Matematik A HTX – Vejledende opgaver 2007
8
Opgave 3
a)
Vi opskriver data i en tabel og anvender potensregression:
1,00
1,25
1,50
1,75
2,00
2,25
2,50
2,10
2,38
2,56
2,84
3,04
3,27
3,41
Potens regression udført vha. CAS-værktøjet WordMat: R
2
= 0,9973294
Da potensregressionen giver os en forskrift med en forklaringsgrad på
, kan data med god
tilnærmelse beskrives ved en potensfunktion.
b)
Vi aflæser forskriften og skriver den op med en passende notation, idet og
c)
Udtrykket omskrives:
Vi har altså, at:
Vi sætter nu
og
Da får vi:
Matematik A HTX – Vejledende opgaver 2007
9
Vi har, at:
Da får vi:
Vi får altså, at:
:
:
Her anvendes, at
, da der er tale om en enhed, som altså ikke i sig selv kan tildeles en størrelse,
hvorfor numerisktegnet er ubetydeligt. Desuden anvendes, at:
I denne omskrivning har vi udover anvendt regnereglen
Matematik A HTX – Vejledende opgaver 2007
10
Opgave 4
Opgaver 4.b, 4.c og 4.d relaterer sig til forberedelsesmaterialet og er således udenfor pensum.
a)
Vi definerer de to funktioner:
Vi bestemmer de to funktionsværdier, der skal bruges i forbindelsespunkterne:
Linjen, der forbinder med kan beskrives som en lineær funktion
. Vi
har så, at:
Ligningssystemet løses for a,b vha. CAS-værktøjet WordMat's 'Løs Ligninger' funktion,
Det vil sige, at:
Linjen, der forbinder med kan beskrives som en lineær funktion
. Vi har
så, at:
Ligningssystemet løses for a,b vha. CAS-værktøjet WordMat's 'Løs Ligninger' funktion,
Det vil sige, at:
Hjertets areal kan nu bestemmes som summen af to arealer:
Matematik A HTX – Vejledende opgaver 2007
11
Det første areal afgrænses af graferne for og i intervallet , hvor i hele intervallet.
Det andet areal afgrænses af graferne for og i intervallet , hvor i hele intervallet.
Det vil sige, at arealet af hjertet er givet ved:
Hjertets areal er ca.
: Husk at indstille vinkelenheden til radianer!
b)
Taylorpolynomiet af k’te grad med udviklingspunkt i
for en uendeligt ofte differentiabel funktion
kan bestemmes som:
I vores tilfælde er og
Vi definerer
Taylorpolynomiet opskrives og beregnes vha. WordMat:
Vi opskriver og definerer fundne funktionsforskrift:
Bemærk, at de enkelte led i polynomiet skal opskrives manuelt i WordMat. Hvis du har et andet CAS-
program som Maple eller TI-nSpire, kan du finde taylorpolynomiet direkte ved at angive funktion, der skal
approksimeres, graden af polynomiet samt udviklingspunktet.
Matematik A HTX – Vejledende opgaver 2007
12
c)
Graferne tegnes i WordMat i intervallet
Graferne ligger så tæt på hinanden, at vi nærmest ikke kan se, at de er adskilt, hvilket er et udtryk for en
god approksimation. Adskillelsen bliver tydeligere, desto fjernere vi kommer fra udviklingspunktet
d)
Vi definerer begrænsningen af :
Fejlfunktionen
defineres som:
Vi tegner grafen i intervallet :
Matematik A HTX – Vejledende opgaver 2007
13
Vi ser, at fejlen er størst i . Vi bestemmer funktionsværdien her:
Den øvre grænse for fejlen, man begår ved at anvende
i stedet for i intervallet , er således på
.
Det grafiske ræsonnement er ikke helt matematisk stringent, men hvis opgaven skal løses analytisk, kræves
der nogle ræsonnementer, som højst sandsynligt ikke forventes på gymnasieniveau. Herunder ses en mere
korrekt løsning:
Vi definerer begrænsningen af :
Fejlfunktionen
skrives som:
Matematik A HTX – Vejledende opgaver 2007
14
Numerisktegnet giver nogle problemer i forhold til at bestemme ekstrema, da funktionen ikke er
differentiabel i hele definitionsmængden. Vi regner med fortegn og bestemmer stationære punkter.
Numerisktegnet genindføres ved bestemmelsen af funktionsværdierne:
Ligningen løses numerisk for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Vi bestemmer den numeriske værdi af funktionsværdien i intervalendepunkterne samt det ene stationære
punkt i intervallet:
Den øvre grænse for fejlen, man begår ved at anvende
i stedet for i intervallet , er således på
.
Matematik A HTX – Vejledende opgaver 2007
15
Opgave 5
a)
Vi tegner en skitse af situationen. Trapezen er ligebenet, så vinklerne er parvist ens:
Længden af siden kan da beregnes vha. Pythagoras:
Siden forekommer 2 gange i omkredsen. Dertil skal vi lægge omkredsen af topstykket, som svarer til den
halve omkreds af en cirkel med radius :
Dertil skal vi lægge længden af det nederste stykke. Vi får så:
Matematik A HTX – Vejledende opgaver 2007
16
Vi anvender, at
, samt at
. Desuden trækkes udenfor en parentes.
Vi anvender, at
og ganger så 4 ind i parentesen i kvadratroden. Vi bytter rundt på stillingen af nogle
led og faktorer, så de står som angivet i opgaven:
Det vil sige, at:
b)
Vi definerer:
Vi bestemmer omkredsen:
Pladens omkreds er således , når og
c)
og er stadig defineret.
Arealet af pladen er lig med arealet af en trapez med højden og de parallelle sider og plus arealet af
en halvcirkel med radius . Det vil sige:
Pladens areal er således , når og
Matematik A HTX – Vejledende opgaver 2007
17
d)
Både og skal være positive:
For gælder, at:
Ligningen løses for r vha. CAS-værktøjet WordMat.
Vi definerer dette udtryk for og beregner så arealet alene udtrykt ved :
Vi definerer nu arealet som funktion af :
Vi bestemmer stationære punkter:
Ligningen løses for h vha. CAS-værktøjet WordMat.
De komplicerede beregninger blev udført numerisk, og i den forbindelse ”glemte” WordMat, at .
Vi bortkaster første løsning. Vi undersøger nu fortegnet for på begge sider af det eneste nulpunkt i
definitionsmængden:
Matematik A HTX – Vejledende opgaver 2007
18
går fra at være positiv til at være negativ, så funktionen går fra at vokse til at aftage. Der er således tale
om et lokalt maksimum. Da der ikke er andre ekstrema i definitionsmængden (), er der desuden tale
om et globalt maksimum.
Vi bestemmer radius vha. det tidligere fundne udtryk:
De værdier af og , så pladen får størst muligt areal for er således:
e)
Arealet bestemmes vha. den definerede funktion :
Størrelsen af arealet er således
.
Matematik A HTX – Vejledende opgaver 2007
19
Opgave 6
Opgaver 6 relaterer sig til forberedelsesmaterialet og er således udenfor pensum.
a)
For hver af de fire funktioner og deres tilhørende taylorpolynomium af 2. grad, skal der gælde, at:
Vi definerer de fire taylorpolynomier og bestemmer deres funktionsværdier, afledede og
differentialkvotienter i
. Hvis differentialkvotienten er 0, er der tale om et stationært punkt. Vi
bestemmer så differentialkvotientens fortegn på begge sider af det stationære punkt med henblik på
bestemmelse af typen af det stationære punkt.
Matematik A HTX – Vejledende opgaver 2007
20
Vi vurderer nu de tilsvarende størrelse for funktionerne ved at kigge på grafisk beliggenhed og
tangenthældning (voksende/aftagende/stationær). Hvis funktionen har et stationært punkt i
, skal der
være et stationært punkt af samme type i
på grafen for Taylorpolynomiet, da Taylorpolynomiets
afledede vil være approksimativt lig med funktionens afledede i et lille interval omkring
. Der gælder for
alle fire grafer og alle fire Taylorpolynomier, at for . Vi nøjes derfor med at vurdere
tangenthældning og krumning.
Vi vurderer, at:
. Det vil sige, at
hører til .
Det vil sige, at
hører til .
. Det stationære punkt angiver et lokalt minimum. Dette gælder også
, i det
går fra at være
negativ (
er aftagende) til at være positiv
er voksende). Det vil sige, at
hører til .
. Det stationære punkt angiver et lokalt maksimum. Dette gælder også
. Det vil sige, at
hører
til .