Matematik B HTX – Skriftlig eksamen – 11. April 2016
1
HTX Matematik B 11. april 2016
“Spejderlejr”
htx161-MAT/B-
Alle opgaver er for så vidt muligt regnet med WordMat, da vores erfaring viser, at det er langt det hurtigste
værktøj at anvende. Husk at skrive nedenstående kommentar om at beregningerne er foretaget ved hjælp
HTX 2. år
NB: Mange af de anvendte formler i opgaven kan findes og indsættes direkte fra WordMats egen
formelsamling, som findes øverst til venstre. Der er store tidsbesparelser at hente ved at bruge
formelsamlingen!
Opgave 1
a)
Vi angiver fødselsdato:
Dag: 1, Måned: 1
Vi angiver værdier for parametre:
b)
Vi bestemmer størrelsesforholdet mellem trekant ADE og trekant ABC:
Ligningen løses for h vha. CAS-værktøjet WordMat.
Højden h af gangbroen er bestemt til 5,81 m (afrundet til 2 decimaler).
Matematik B HTX – Skriftlig eksamen – 11. April 2016
2
c)
Vi bestemmer vinkel v med WordMats trekantsløser:
WordMats trekantsløser anvendes med input: C = 90°, BC = 2,35, AC = 4,66
v = 26,761437°
B = 63,238563°
C = 90°
BC = 2,35
AC = 4,66
AB = 5,2190133
Vinkel A findes vha. tangens.
Ligningen løses for v vha. CAS-værktøjet WordMat.
Vinklen v mellem gangbroen og vandret er bestemt til 26,76° (afrundet til 2 decimaler).
d)
Vi bestemmer, hvor langt der er at gå over broen fra A til H ved summen af længden af linjestykkerne:
Du kan bestemme |AD|, |DF| og |FH| ved at indtegne punkterne A, D, F og H på billedet i GeoGebra™ og
derefter tegne linjestykkerne mellem punkterne. I GeoGebra får du oplyst længden af linjestykkerne.
Vi bestemmer distancen:
A
B
C
BC
AC
AB
Matematik B HTX – Skriftlig eksamen – 11. April 2016
3
Afstanden fra A til H over broen er bestemt til 38,1 m (afrundet til 1 decimal).
e)
Du kan bestemme forskriften i GeoGebra vha. regression for polynomium. Indsæt en række punkter, der
ligger på tovet og brug kommandoen: FitPoly[liste m. punkter, 2].
Forskriften som tilnærmelsesvis beskriver tovet, er bestemt til udtrykket herover.
f)
Længden af torvet kan vurderes som kurvelængden af grafen for f i intervallet [I
x
; J
x
] = [8,69; 21,92].
Du kan aflæse x-koordinaten til punkt I og J i GeoGebra.
Vi definerer forskriften for f:
Vi bestemmer længden af tovet ved:
Længden af tovet er bestemt til 18,9 meter (afrunde til 1 decimal).
g)
Vi skal bestemme x
1
og x
2
. Vi bestemmer x
1
og x
2
hhv. som skæringerne mellem grafen for f i intervallet -3,38
x x
1
og grafen for f i intervallet x
1
x < x
2
dvs.:
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Vi har bestemt x
1
til -1,41 (afrundet til 2 decimaler), og x
2
er bestemt til 1,41 (afrundet til 2 decimaler).
Matematik B HTX – Skriftlig eksamen – 11. April 2016
4
h)
Vi bestemmer teltets højde h ved at bestemme f(1,4142136) dvs.:
Teltets højde er bestemt til 6,6 m.
i)
Vi bestemmer arealet af det gråtonede område som arealet af området under grafen for f i intervallet [-3,38;
3,38]:
For [-3,38; -1,4142136]:
For [-1,4142136; 1,4142136]:
For ]1,4142136; 3,38]:
Det samlede areal er lig:
Arealet af det gråtonede område er bestemt til 25,9 m
2
(afrundet til 2 decimaler).
j)
Vi antager at teltet består af to sider, to endeflader samt toppen af teltet. Desuden antager vi, at teltet i hele
teltets dybde har formen som er opgivet på figur 2. Dette er reelt ikke tilfældet, hvis man sammenligner med
fotografiet i opgaveformuleringen.
Arealet af teltets to sider bestemmes som kurvelængden af grafen for f i intervallet [1,4142136; 3,38] gange
med dybden af teltet. Da teltet har to sider ganges der med 2.
Først bestemmer vi den afledede funktion f’ af f i intervallet [1,4142136; 3,38] ved:
Matematik B HTX – Skriftlig eksamen – 11. April 2016
5
Vi bestemmer arealet af de to sider ved:
Arealet af teltets to endeflader er lig to gange arealet af det gråtonede området bestemt opg i) dvs.:
Arealet af teltets top bestemmes som kurvelængden af grafen for f i intervallet [-1,4142136; 1,4142136]
gange med dybden af teltet.
Først bestemmer vi den afledede funktion for f i intervallet [-1,4142136; 1,4142136]:
Vi bestemmer arealet af toppen:
Det samlede overfladeareal af teltet er givet ved:
Mængden af stof, der skal benyttes til teltet er vurderet til 306,0 m
2
stof (afrundet til 1 decimal).
Matematik B HTX – Skriftlig eksamen – 11. April 2016
6
Opgave 2
a)
Vi bestemmer længden af siden |OP| med WordMats trekantsløser:
WordMats trekantsløser anvendes med input: O = 90°, d = 230,00, OR = 116
O = 90°
P = 30,288069°
R = 59,711931°
d = 230
OR = 116
OP = 198,60514
Længden af siden OP findes vha. Pythagoras:
Længden af siden |OP| er bestemt til 199 m (afrundet til helt tal).
b)
Den samlede længde af indhegningen består af siderne |OR|, |OP|, |PQ| og |QR|.
I a) findes vinkel P i trekant ROP vha. sinus.
Vi bestemmer vinkel ∠P i trekant RPQ vha. differensen mellem vinkel P i firkant OPQR og vinkel P i trekant
ROP:
O
P
R
d
OR
OP
Matematik B HTX – Skriftlig eksamen – 11. April 2016
7
WordMats trekantsløser anvendes med input: P = 66,71193°, Q = 53,4°, d = 230
P = 66,71193°
Q = 53,4°
R = 59,88807°
QR = 263,1502
d = 230
PQ = 247,8282
Længden af siderne QR og PQ findes vha. sinusrelationer.
Vi kender nu længden af alle sider i firkant OPQR og beregne omkredsen:
Den samlede længde af indhegningen er bestemt til 825,58 m (afrundet til 2 decimaler).
P
Q
R
QR
d
PQ
Matematik B HTX – Skriftlig eksamen – 11. April 2016
8
c)
Vi bestemmer arealet af firkant OPQR som summen af arealet af trekant ROP og trekant RPQ. Arealet af
begge trekanter bestemmes med en sinusrelation.
Arealet af trekant ROP:
Arealet af trekant RPQ:
Arealet af firkant OPQR:
Arealet af område B er bestemt til 37697,4 m
2
(afrunde til 1 decimal).
Matematik B HTX – Skriftlig eksamen – 11. April 2016
9
Opgave 3
a)
Vi opstiller tabel med data, og indtegner data i et passende koordinatsystem:
Årstal
2006
2008
2009
2010
2011
2012
2013
2014
År efter
år 2000
6
8
9
10
11
12
13
14
Antal
KFUM
spejdere
22952
23479
24000
24144
24749
24754
25699
b)
Ser vi på plottet bestemt i opg a) ser det nogenlunde ud som om, at antallet af nye KFUM-spejdere stiger
med et fast antal om året, hvilket er kendetegnet ved en lineær model. Skulle udviklingen have været
potentiel, skulle antallet af nye spejdere vokse for hvert år, hvilket plottet ikke kendetegner. Derfor kan vi
konkludere, at den lineære model umiddelbart vil være den bedste model til at beskrive sammenhængen
mellem antal år efter år 2000 og antal KFUM-spejdere.
Matematik B HTX – Skriftlig eksamen – 11. April 2016
10
c)
Vi opskriver forskriften for begge modeller ved hhv. at foretag lineær- potens regression på datasættet.
Lineær
Lineær regression udført vha. CAS-værktøjet WordMat: R
2
= 0,
Vi opskriver forskriften for den lineære model:
Vi bestemmer, hvor mange spejdere der var i år 2013 ved at bestemme l(13):
Ifølge modellen for den lineære funktion er antallet af KFUM-spejdere i år 2013 bestemt til 25274 (afrundet
ned til hel spejder).
Potens
Potens regression udført vha. CAS-værktøjet WordMat: R
2
= 0,
Vi opskriver forskriften for potensmodellen:
Vi bestemmer, hvor mange spejdere der var i år 2013 ved at bestemme p(13):
Ifølge modellen for potens funktionen er antallet af KFUM-spejdere i år 2013 bestemt til 25192 (afrundet op
til hel spejder).
Vi kommenterer resultatet
Ifølge den lineære model er antallet af KFUM-spejdere i år 2013 bestemt til 25274, sammenligner vi med
potensmodellens resultat på 25192 står det klart, at resultaterne næsten er ens. Vi ser dog, at efter en
årrække vil potensmodellen flade ud, da 0 < 0,< 1, og nærme sig en asymptote, det vil dog være
usandsynlig at udviklingen vil følge potensmodellen, da det vil betyde, at antallet af KFUM-spejdere på et
tidspunkt vil forblive konstant.
Matematik B HTX – Skriftlig eksamen – 11. April 2016
11
d)
Endefladen af teltet består af et rektangel og en ligebenet trekant dvs.
Arealet af rektanglet er givet ved:
Arealet af trekanten er givet ved, hvor højden h beregnes med Pythagoras læresætning, som modstående
katete til den retvinklede trekant som siden x og siden med længden 1,8 udgør med højden h:
Vi har så, at arealet af teltets endeflade er givet ved:
Udtrykket for arealet af teltets endeflade er identisk med udtrykket i opgaveformuleringen, vi har dermed
gjort rede.
e)
Vi definerer udtrykket for arealet af teltets endefladeareal som funktion af x samt definitionsmængden for
x:
Vi bestemmer x, således at endefladearealet bliver størst muligt ved at optimerer A(x). Vi bestemmer
nulpunkter til den afledede funktion A’, hvor x > 0:
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Vi undersøger fortegnet for differentialkvotienten på begge sider af nulpunktet for den afledede funktion:
Matematik B HTX – Skriftlig eksamen – 11. April 2016
12
Vi kan konkludere, at x = 1,4640888 er et maksimum.
Værdien for x, så endefladearealet bliver størst muligt er bestemt til 1,46 m (afrundet til 2 decimaler).
f)
Vi bestemmer volumen af teltet, når arealet af teltets endeflade er størst ved at gange A(1,4640888) med
teltets dybde på 2,5 m dvs.:
Volumen af teltet, når teltets endefladeareal er størst, er bestemt til 7,5 m
3
(afrundet til 1 decimal).
g)
Vi har:
Vi bestemmer komposanterne til hhv. de to vektorer, med udgangspunkt i at pløkken udgør Origo (0, 0).
Komposanterne bestemmes med trigonometri.
For
:
Ligningen løses for F_1x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Ligningen løses for F_1y vha. CAS-værktøjet WordMat.
Dvs. at vi har, at vektor
er givet ved (vi definerer desuden vektoren til senere brug):
For
:
Matematik B HTX – Skriftlig eksamen – 11. April 2016
13
Ligningen løses for F_2x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Ligningen løses for F_2y vha. CAS-værktøjet WordMat.
Dvs. at vi har, at vektor
er givet ved (vi definerer desuden vektoren til senere brug):
Vi bestemmer længden af sumvektoren
ved:
Længden af sumvektoren
er bestemt til 158,4 N (afrundet til 1 decimal).
h)
Vi bestemmer sumvektoren
:
Vi bestemmer vinklen mellem sumvektoren og vandre vha. trigonometri:
Ligningen løses for α vha. CAS-værktøjet WordMat.
Vinklen mellem sumvektoren
og vandret er bestemt til 38,64° (afrundet til 2 decimaler).