Matematik B HTX – Skriftlig eksamen – 12. december 2011
1
HTX Matematik B 12. december 2011
htx113-MAT/B-
Alle opgaver er for så vidt muligt regnet med WordMat, da vores erfaring viser, at det er langt det hurtigste
værktøj at anvende. Husk at skrive nedenstående kommentar om at beregningerne er foretaget ved hjælp
HTX 2. år
NB: Mange af de anvendte formler i opgaven kan findes og indsættes direkte fra WordMats egen
formelsamling, som findes øverst til venstre. Der er store tidsbesparelser at hente ved at bruge
formelsamlingen!
Opgave 1
a)
Det blå område.
Arealet af det blå område kan beregnes som arealet af de tre cirkeludsnit med radius på 50cm trukket fra
arealet af trekanten.
Arealet af cirkeludsnittene bestemmes vha. følgende formel:
Vi kender radius:
Og centervinklen:
Vi bestemmer arealet af trekanten:
Da trekanten er ligesidet er længden af a og b ens. Vi bestemmer sidelængden:
Matematik B HTX – Skriftlig eksamen – 12. december 2011
2
Trekantens vinkler er alle lig 60
o
. Vi bestemmer arealet:
Arealet af det blå område er derved:
Arealet af det blå område er 5815,8 cm
2
.
Det røde område.
Vi bestemmer arealet af cirkelafsnittet vha. følgende formel:
Hvor r er cirklens radius og v er centervinklen.
Vi bestemmer radius:
Vi bestemmer størrelsen af centervinklen ved at danne en trekant med radius og cirkelkorden som sider. Vi
kender alle sidelængder i trekanten og kan derved bestemme alle vinkler vha. WordMat:
WordMats trekantsløser anvendes med input: a = 50, b = 130, c = 130
A = 22,17498°
B = 78,91251°
C = 78,91251°
a = 50
b = 130
c = 130
Vinkel A findes vha. cosinusrelationer
A
B
C
a
b
c
Matematik B HTX – Skriftlig eksamen – 12. december 2011
3
Vi definerer centervinklen:
Vi bestemmer arealet af cirkelafsnittet:
Arealet af det røde område er 81,04 cm
2
.
Det gule område.
Arealet af det gule rektangel bestemmes:
Hvor l er længden og b er bredden. Vi kender bredden:
Længden l bestemmes. Vi opstiller en retvinklet i den store trekant og bestemmer længden af den korte
katete:
WordMats trekantsløser anvendes med input: A = 90°, C = 30°, b = 75
Længden af siden c findes vha. tangens
A
B
C
a
b
c
Matematik B HTX – Skriftlig eksamen – 12. december 2011
4
Vi bestemmer pilhøjden i cirkelafsnittet:
Længden af rektanglet bestemmes:
Arealet af rektanglet bestemmes:
Arealet af det gule område er 4213,6 cm
2
.
b)
Arealet cirkelringen bestemmes:
Hvor R er radius af den yderste cirkel og r er radius i den inderste cirkel.
Det samlede areal af aluminiumpladen bestemmes:
Det samlede areal af aluminiumpladen er 27182,04 cm
2
.
Matematik B HTX – Skriftlig eksamen – 12. december 2011
5
c)
Forskriften for ligningen afhænger af, hvor vi placerer centrum i koordinatsystemet. Vi placerer centrum i
(0,0):
Cirklens ligning bestemmes på følgende form:
Hvor (a,b) er centrums koordinater og r er radius.
Cirklens har følgende ligningen:
d)
Vi definerer funktionen:
Grænseværdierne a og b er givet i opgaven:
Matematik B HTX – Skriftlig eksamen – 12. december 2011
6
Vi bestemmer længden af banekurven:
Banekurven er 30,8 meter lang.
e)
Vi sætter x=6,32:
P’s y-koordinat er 8,43. P har derved følgende koordinatsæt:
f)
Hældningskoefficienten for tangenten i p bestemmes ved at differentiere f i p:
Tangents hældningskoefficient er lig 2,0.
g)
Vi har følgende sammenhæng mellem tangentens hældningskoefficient og vinklen mellem tangenten og x-
aksen:
Hvor a er hældningskoefficienten og v er vinklen til vandret.
Ligningen løses for v vha. CAS-værktøjet WordMat.
Tangenten danner en vinkel på 63,43
o
med vandret.
h)
Tangenten gennem punktet
er givet ved:
Matematik B HTX – Skriftlig eksamen – 12. december 2011
7
Vi indsætter p’s koordinater:
Tangentens ligning er følgende:
i)
Vi bestemmer koordinaterne til det punkt, hvor gokarten rammer banden:
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Gokarten rammer banden i punktet A:
Vi bestemmer afstanden mellem punkt A og P vha. afstandsformlen:
Gokarten kører 13,3 meter før den ramme banden.
j)
Tid / s
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
3,5
4,0
4,5
Hastighed
/ m/s
0,00
3,25
5,82
7,50
8,79
9,83
10,66
11,35
11,94
12,46
Matematik B HTX – Skriftlig eksamen – 12. december 2011
8
k)
Vi foretager en regression af punktserien:
Den regression som passer bedst på sammenhængen er et 6.gradspolynomium, da den kvadrerede R-værdi
giver 1. Vi opskriver forskriften for funktionen:
0
2
4
6
8
10
12
14
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5
Hastighed (m/s)
Tid (s)
y = 0,0088x
6
- 0,1209x
5
+ 0,5928x
4
- 1,0669x
3
- 0,7834x
2
+ 7,1465x - 0,0042
R² = 1
0
2
4
6
8
10
12
14
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5
Hastighed (m/s)
Tid (s)
Matematik B HTX – Skriftlig eksamen – 12. december 2011
9
Vi benytter følgende formel for arealet under funktionen afgrænset af x-aksen og grænseværdierne a og b:
Vi har følgende grænseværdier:
Vi bestemmer arealet:
Gokarten tilbagelægger en strækning på 37,6 meter.
l)
Vi definerer massen:
Vi definerer tyngdeaccelerationsvektoren:
Koordinaterne til tyngdekraften bestemmes:
Størrelsen af tyngdekraften fås ved at bestemme længden af vektoren:
Tyngdekraften er 1767,6 N.
m)
Da centripetalkraften er lig summen af reaktionskraften og tyngdekraften, kan vi opstille følgende trekant:
Matematik B HTX – Skriftlig eksamen – 12. december 2011
10
Vi bestemmer størrelsen af reaktionskraften vha. sinus:
Ligningen løses for
vha. CAS-værktøjet WordMat.
Reaktionskraften er 2243,1 N. Størrelsen af centripetalkraften bestemmes vha. Pythagoras:
Ligningen løses for
vha. CAS-værktøjet WordMat.
Centripetalkraften er positiv, da det er en længde på en vektor. da vi ved at alle vektorer er stedvektorer,
kan vi bestemme koordinaterne til reaktionskraften og centripetalkraften ud fra vektorernes størrelse.
Reaktionskraften har følgende koordinater:
Centripetalkraften har følgende koordinater:
Matematik B HTX – Skriftlig eksamen – 12. december 2011
11
n)
Arealet af området under de blå bander bestemmes.
Arealet af området under de røde bander bestemmes:
Arealet af pitområdet beregnes:
Arealet af pitområdet er lig 47,6.
Matematik B HTX – Skriftlig eksamen – 12. december 2011
12
Opgave 2
Vi udvider pitområdet ved at flytte de røde bander, således at pitområdet afgrænset af tre nye funktioner.
Den første funktion opskrives:
Derudover bestemmer vi forskriften for en halvcirkel ud fra følgende radius og koordinater til centrum:
Cirkelbuen har følgende forskrift:
Vi løser ligningen for y:
Ligningen løses for y vha. CAS-værktøjet WordMat.
Den sidste funktion er følgende rette linje:
Det nye pitområde ses på skitsen nedenfor:
Matematik B HTX – Skriftlig eksamen – 12. december 2011
13
Arealet under de røde grafer bestemmes:
Arealet af det nye pitområde er derved:
Hvis vi antager, at målene er angivet i meter, er arealet af det nye pitområde 66m
2
.
Vi beregner arealet af det område som en gokart fylder:
Vi kan nu bestemmer antallet af gokarts der kan være i gamle pitområdet og sammenligne det med antallet
af gokarts der kan være i det nye pitområde:
Der kan være 19 gokart i det gamle pitområde.
Matematik B HTX – Skriftlig eksamen – 12. december 2011
14
Der kan være 26 gokart i det nye pitområde. Vi har derved gjort plads til 7 flere gokarts ved at udvide
området.