Matematik B HTX – Skriftlig eksamen – 15. december 2010
1
HTX Matematik B 15. december 2010
htx103-MAT/B-
Alle opgaver er for så vidt muligt regnet med WordMat, da vores erfaring viser, at det er langt det hurtigste
værktøj at anvende. Husk at skrive nedenstående kommentar om at beregningerne er foretaget ved hjælp
HTX 2. år
NB: Mange af de anvendte formler i opgaven kan findes og indsættes direkte fra WordMats egen
formelsamling, som findes øverst til venstre. Der er store tidsbesparelser at hente ved at bruge
formelsamlingen!
Opgave 1
a)
Centervinklen i en regulær polygon beregnes vha. følgende formel:
Hvor n er antallet af sider.
Vi kan nu opstille følgende udtryk for u ud fra vinkelsummen i en trekant:
Ligningen løses for u vha. CAS-værktøjet WordMat.
Vinkel u er lig 135
o
.
b)
Vi bestemmer arealet af rektanglet:
Vi bestemmer arealet af udestuen. Arealet af den manglende del af ottekanten opdeles i to trekanter:
Matematik B HTX – Skriftlig eksamen – 15. december 2010
2
Længden AC bestemmes vha. WordMats trekantløser:
WordMat's trekantsløser anvendes med input: B = 135°, a = 2, c = 2.
A = 22,5°
C = 22,5°
B = 135°
a = 2
c = 2
b = 3,695518
Længden af siden b findes vha. en cosinusrelation
:
:
Længden AC er lig 3,7m. Arealet af trekant ABC bestemmes:
Vinkel W bestemmes:
A
C
B
a
c
b
Matematik B HTX – Skriftlig eksamen – 15. december 2010
3
Arealet af trekant ACD bestemmes:
Arealet af udestuen beregnes:
Grundplanens areal er derved:
Arealet af grundplanen er 174,5 m
2
.
c)
Vi danner en trekant på tagets endeflader:
Vi kan derved danne en retvinklet trekant, hvor vi kender længden af de to kateter:
Matematik B HTX – Skriftlig eksamen – 15. december 2010
4
Vi benytter tangens til at bestemme v:
Ligningen løses for v vha. CAS-værktøjet WordMat.
Vinkel v er 43,23
o
.
d)
For at bestemme arealet af det grønne område opstiller vi den retvinklet trekant ABC, som vist på skitsen
nedenfor:
Vi bestemmer vinkel A:
Vi bestemmer længden AB vha. WordMats trekantløser:
G
Matematik B HTX – Skriftlig eksamen – 15. december 2010
5
WordMat's trekantsløser anvendes med input: A = 46,77147°, B = 90°, BC = 2,6
B = 90°
C = 43,22853°
A = 46,77147°
AC = 3,568352
AB = 2,444
BC = 2,6
Længden af siden AB findes vha. tangens
Vi kan nu bestemme længden DB:
Vi danner en retvinklet trekant med kateterne DB og DE. Vi bestemmer længden af DE:
Vi kan nu bestemme længden af hypotenusen BE vha. Pythagoras:
Ligningen løses for BE vha. CAS-værktøjet WordMat.
En længde kan nu være positiv, så vi benytter det positive resultat.
B
A
C
AC
BC
AB
Matematik B HTX – Skriftlig eksamen – 15. december 2010
6
Vi bestemmer nu længden af EF ved at opstille den retvinklede trekant, som danner siden på
tagudbygningen. Vi benytter WordMats trekantløser:
WordMat's trekantsløser anvendes med input: E = 90°, G = 46,77147°, EG = 1,3
E = 90°
F = 43,22853°
G = 46,77147°
FG = 1,89806
EG = 1,3
EF = 1,382979
Længden af siden EF findes vha. tangens
Vi kender nu alle størrelser, som skal benyttes til at beregne arealet af trapezen BCEF. Vi benytter følgende
formel:
Hvor a og c er de parallelle sider og h er højden imellem.
Arealet af det grønne område er 2,37m
2
.
Vi bestemmer nu arealet af det røde område. For at bestemme højden i trekanten opstilles en trapez, hvor
trekantens højde er trapezens ikke-parallelle side.
E
F
G
FG
EG
EF
Matematik B HTX – Skriftlig eksamen – 15. december 2010
7
Som vist på skitsen opstiller vi en retvinklet trekant i trapezen. Længden af den korte katete bestemmes:
Vi bestemmer h vha. Pythagoras:
Ligningen løses for h vha. CAS-værktøjet WordMat.
En længde kan kun være positiv og h er derved 2,9 m. Vi kender nu højden og grundlinjen i trekanten, som
danner det røde område:
Arealet af trekanten bestemmes:
Hvor g er grundlinjen:
Arealet af det røde område er 5,29 m
2
.
Matematik B HTX – Skriftlig eksamen – 15. december 2010
8
e)
Vi indtegner indgangspartiet i et koordinatsystem:
Ved hjælp Geogebra funktioner er det muligt at tegne en linje, som står vinkelret på a og går igennem
cirklens centrum. Herefter kan vi måle længden af linjestykket fra cirkelperiferien til linjen a:
Den mindste afstand er 35 cm.
I dette tilfælde er den hurtigste og letteste løsningsmetode at benytte tegnefunktionerne i Geogebra. Det
er dog også muligt at løse opgaven vha. differentialregning eller trigonometri.
Matematik B HTX – Skriftlig eksamen – 15. december 2010
9
f)
Arealet af et cirkelafsnit bestemmes vha. følgende formel:
Hvor er cirklens radius og v er centervinklen. Vha. formlen for pilhøjde og kordelængde kan vi opstille to
ligninger med to ubekendte, som er radius og centervinkel . Pilhøjden er givet ved:
Kordelængde er givet ved:
k bestemmes:
De to ligninger opstilles og konstanterne og bnestemmes:
Ligningssystemet løses for r,v vha. CAS-værktøjet WordMat's 'Løs Ligninger' funktion,
Vi indsætter værdierne for og i formlen for arealet af et cirkelafsnit:
Arealet af cirkelafsnittet er 0,43m
2
.
g)
Vi indsætter cirklen i et koordinatsystem med centrum i origo. Vi kender derved radius og centrums
koordinater og kan opstille en ligning for cirklen:
Vi opstiller ligeledes en ligning for linjen b på følgende form:
Matematik B HTX – Skriftlig eksamen – 15. december 2010
10
b-værdien er skæringen med y-aksen og er derved:
Da linjen b har en hældning med vandret på 45
o
, kan vi udlede, at hældningen a er lig 1. Vi har derved
følgende forskrift for linjen b:
Vi bestemmer skæringen mellem cirklen og linjen b:
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Vi er udelukkende interesseret i den positive x-værdi, da det er den værdi som angiver b’s endepunkt. Vi
bestemmer y-koordinatet til endepunktet:
Ligningen løses for y vha. CAS-værktøjet WordMat.
b skærer cirklen i punktet P:
b har startkoordinat i punktet Q:
Vi bestemmer afstanden mellem de to punkter vha. afstandsformlen:
Længden af linjestykket b er 0,46.
Matematik B HTX – Skriftlig eksamen – 15. december 2010
11
h)
i)
Vi danner en polygon gennem punkterne:
Matematik B HTX – Skriftlig eksamen – 15. december 2010
12
Geogebra bestemmer følgende areal af polygonen:
j)
Forskrifterne bestemmes på følgende form:
Hvor a er hældningskoefficienten og b er skæring med y-aksen.
Linjen gennem A og B er placeret på y-aksen og har derfor følgende forskrift:
Linjen gælder for følgende interval:
Vi bestemmer konstanterne a og b for linjen gennem B og C ved at opstille to ligninger med to ubekendte:
Ligningssystemet løses for a,b vha. CAS-værktøjet WordMat's 'Løs Ligninger' funktion,
Linjen har følgende forskrift:
Funktionen gælder for følgende interval:
Forskriften for linjen gennem C og D bestemmes:
Ligningssystemet løses for a,b vha. CAS-værktøjet WordMat's 'Løs Ligninger' funktion,
Matematik B HTX – Skriftlig eksamen – 15. december 2010
13
Linjen har følgende forskrift:
Funktionen gælder for følgende interval:
Linjen gennem D og A ligger på x-asken og har derfor følgende forskrift:
Linjen gælder for følgende interval:
k)
a er skæringen mellem f og linjen gennem A og B. Da linjen gennem A og B ligger på y-aksen har a følgende
værdi:
b er skæringen mellem f og linjen gennem C og D.
Vi definerer funktionerne og sætter dem lig hinanden:
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Vi kender nu b:
c er skæringen mellem g og linjen gennem A og B:
d er skæringen mellem g og linjen gennem C og D. Vi definerer g og sætter funktionerne lig hinanden:
Matematik B HTX – Skriftlig eksamen – 15. december 2010
14
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Vi kender nu d:
l)
m)
Vi benytter følgende formel for arealet under en funktion afgrænset af x-aksen og grænseværdierne a og b:
Hvor f(x) er den største funktion.
Vi beregner arealet afgrænset af f og
:
Matematik B HTX – Skriftlig eksamen – 15. december 2010
15
Vi beregner arealet afgrænset af g og
:
Vi bestemmer arealet af vandoverfladen:
Vi beregner hvor stor en procentdel åen udgør af grunden:
Åens vandoverflade udgør 2,43 % af grundens areal.
n)
Vi benytter os af følgende formel til at bestemme en funktion for afstanden mellem
og f:
Hvor (x
1
, y
1
) er et punkt.
Vi indsætter størrelserne:
Vi definerer funktionen:
Vi bestemmer funktionens minimum:
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Matematik B HTX – Skriftlig eksamen – 15. december 2010
16
Vi har nu fundet x-værdierne til minimum og maksimum. Ud fra grafen for f kan vi aflæse at den laveste x-
værdi er minimum for afstanden:
Vi bestemmer den tilhørende funktionsværdi:
Den mindste afstand er 1,4 meter.
Matematik B HTX – Skriftlig eksamen – 15. december 2010
17
Opgave 2
Vi ønsker at designe en have, som vist på skitesen nedenfor:
Huset er placereret, således at facaden følger linjen x=4. Vi bestemmer linjens slutgrænseværdi idet, at
facaden ligger 8 meter fra åens bred.
Facadens slutgrænseværdi bestemmes:
Huset har et areal på 300 m
2
og er placeret 4 meter fra x-aksen. Vi bestemmer husets bredde:
Ligningen løses for b vha. CAS-værktøjet WordMat.
Huset er 18 meter bredt.
Gennem haven er der en sti, som følger en cirkelbue omkring et træ med centrum i (35;18). Fra træets
centrum til stiens ydre grænse er der 5 meter. Stien er 1 meter bred.
Stiens ydre kant er derved afgrænset af følgende funktioner:
Vandret linje:
Matematik B HTX – Skriftlig eksamen – 15. december 2010
18
Cirkelbue:
Ligningen løses for y vha. CAS-værktøjet WordMat.
Lodret linje:
Stiens indre grænse er afgrænset af følgende funktioner:
Vandret linje:
Cirkelbue:
Ligningen løses for y vha. CAS-værktøjet WordMat.
Lodret linje:
Vi bestemmer arealet af stien vha. integralregning
Arealet af stien er 80 m
2
.
I hjørnet af grunden er der placeret en hundegård. Gården afgrænset af følgende linje:
Vi bestemmer arealet af hundegården, som er afgrænset af h, linjen gennem A og D og linjen gennem C og
D. Arealet er givet ved følgende formel:
Matematik B HTX – Skriftlig eksamen – 15. december 2010
19
Vi bestemmer vinkel A
1
som er h’s vinkel med vandret:
Ligningen løses for v vha. CAS-værktøjet WordMat.
Vi bestemmer h’s skæring med linjen gennem A og D, som vi kalder J og linjen gennem C og D, som vi
kalder
:
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
h skærer J i x=45.
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
H skærer j
2
(x) i x=48,8.
Vi bestemmer længden af b:
Vi bestemmer længden af c vha. afstandsformlen:
Vi bestemmer arealet af hundegården:
Hundegården er 19,4 m
2
. Vi kan nu indtegne haveplanen i Geogebra.
Matematik B HTX – Skriftlig eksamen – 15. december 2010
20