Matematik B HTX – Skriftlig eksamen – 2. december 2015
1
HTX Matematik B 2. december 2015
htx153-MAT/B-
Alle opgaver er for så vidt muligt regnet med WordMat, da vores erfaring viser, at det er langt det hurtigste
værktøj at anvende. Husk at skrive nedenstående kommentar om at beregningerne er foretaget ved hjælp
HTX 2. år
NB: Mange af de anvendte formler i opgaven kan findes og indsættes direkte fra WordMats egen
formelsamling, som findes øverst til venstre. Der er store tidsbesparelser at hente ved at bruge
formelsamlingen!
Opgave 1
a)
b)
Vi foretager en lineær regression af sammenhængen mellem årstal og passagerer og undersøger om
sammenhængen kan beskrives med en lineær model:
10
10,5
11
11,5
12
12,5
13
13,5
2 3 4 5 6 7 8
Antal passagerer i mio.
År efter 2000
Matematik B HTX – Skriftlig eksamen – 2. december 2015
2
Den lineære tendenslinje stemmer godt overens med sammenhængen, da punkterne følger linjen
nogenlunde. Desuden ligger den kvadrerede R-værdi meget tæt på tallet 1, hvilket også er et udtryk for at
punktserien kan beskrives med en lineær model.
c)
Forskriften for modellen er følgende:
d)
Tallet 0,608 er forskriftens a-værdi. a-værdien er lig forskriftens hældningstal, som viser hvor meget y
vokser for hvert x. I dette tilfælde ses det, at for hvert år så vokser antallet af passagerer med 0,608
millioner ifølge modellen. Tallet 8,938 er forskriftens b-værdi, som er modellens skæring med y-aksen og
viser derved y-værdien for x=0. Da vi har ladet vores x-akse starte i år 2000, betyder det derved, at der
ifølge modellen var 8,938 millioner passagerer i år 2000.
e)
Vi definerer funktionen:
Vi sætter x-værdien til 9:
y = 0,608x + 8,938
R² = 0,9908
10
10,5
11
11,5
12
12,5
13
13,5
2 3 4 5 6 7 8
Antal passagerer i mio.
År efter 2000
Matematik B HTX – Skriftlig eksamen – 2. december 2015
3
Ifølge modellen rejste der 14,41 mio. passagerer fra danske lufthavne i 2009.
f)
Vi beregner afvigelsen:
Modellens forudsigelse afviger med 2,21 millioner fra det faktiske tal. Dette viser, at modellen stiger mere,
end hvad der stemmer overens med den faktiske situation. Det kunne tyde på, at sammenhængen kan
beskrives mere præcist med en eksponentielt stigende model.
Matematik B HTX – Skriftlig eksamen – 2. december 2015
4
Opgave 2
a)
Vi bestemmer hældningskoefficienten ud fra følgende formel:
Vi indsætter punkt C’s koordinater i den lineære model for at bestemmer b-værdien:
Ligningen løses for b vha. CAS-værktøjet WordMat.
Vi opstiller forskriften for l:
b)
Vi bestemmer hældningskoefficienten for linjen gennem punkterne D og E:
Vi bestemmer vinklen mellem linjen l og linjen gennem punkterne D og E vha. følgende formel:
Vi indsætter størrelserne:
Den spidse vinkel mellem linjerne er lig 44
o
. Vi beregner den stumpe vinkel:
Matematik B HTX – Skriftlig eksamen – 2. december 2015
5
Vinkel CED er lig med 135,9
o
.
c)
Vi opdeler arealområdet i tre trapezer og én firkant.
Vi beregner arealet af trapez
ud fra følgende formel:
Hvor a og b er de parallelle sider og h er afstanden mellem de parallelle sider.
Vi beregner arealet af trapez
Matematik B HTX – Skriftlig eksamen – 2. december 2015
6
Vi beregner arealet af trapez
:
Vi beregner arealet af rektanglet
:
Vi bestemmer det samlede areal af butiksområdet:
Butiksområdet har et areal på
d)
Følgende skitse viser gangarealet
Matematik B HTX – Skriftlig eksamen – 2. december 2015
7
e)
Vi opdeler trapezen i to vilkårlige trekanter:
Hvor H og I har følgende koordinater:
Matematik B HTX – Skriftlig eksamen – 2. december 2015
8
Og punkt J ligger midt på linjestykket BC.
Vi bestemmer arealet af trekant BHI. Længden af linjestykket HI bestemmes:
Længden af linjestykket HB bestemmes vha. afstandsformlen:
Hældningskoefficienten for linjen HB bestemmes:
Vinkel H bestemmes:
Den spidse vinkel er lig -31,16
o
. Vi beregner den stumpe vinkel:
Vinkel H er 149
o
. Vi bestemmer arealet af trekant BHI vha. følgende formel:
Vi bestemmer arealet af trekant BJI. Punktet J er placeret midt på linjestykket BC. Vi bestemmer derfor
længden af linjestykket BC vha. afstandsformlen og deler resultatet med 2:
Matematik B HTX – Skriftlig eksamen – 2. december 2015
9
Vi bestemmer længden af linjestykket BI:
Vi bestemmer størrelsen af vinkel B.
Hældningskoefficienten for linjen gennem punkterne B og C bestemmes:
Hældningskoefficienten for linjen gennem punkterne B og I bestemmes:
Vi bestemmer vinklen mellem de to linjer vha. følgende formel:
Vi indsætter størrelserne:
Vinklen B lig 72
o
. Vi bestemmer arealet af trekant BCI:
Det samlede areal af gangområdet bestemmes:
Vi beregnet hvor mange procent af butiksområdet, som gangarealet udgør:
Matematik B HTX – Skriftlig eksamen – 2. december 2015
10
Gangarealet udgør 24,91 % af butiksområdet.
Matematik B HTX – Skriftlig eksamen – 2. december 2015
11
Opgave 3
a)
b)
Farten er lig længden af vektor v, som bestemmes:
Flyets fart er 805 km/h.
Vi bestemmer retningsvinklen vha. følgende formel.
Retningsvinklen er 64,23
o
c)
Den samlede hastighedsvektor bestemmes:
Matematik B HTX – Skriftlig eksamen – 2. december 2015
12
Flyets nye fart bestemmes:
Flyets nye fart er 765 km/h
d)
Vi benytter følgende formel:
Ligningen løses for v vha. CAS-værktøjet WordMat.
Vinklen mellem vektorerne er 2,3
o
.
Matematik B HTX – Skriftlig eksamen – 2. december 2015
13
Opgave 4
a)
Den sorte kurve er funktionen f og den grønne kurve er funktionen g.
b)
Højden h er lig funktionernes skæring med hinanden. Vi sætter funktionerne lig hinanden og løser ligningen
for f.
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Højden h er lig 12,5 meter.
Matematik B HTX – Skriftlig eksamen – 2. december 2015
14
c)
Vi bestemmer en funktion b for den lodret afstand mellem funktionerne:
Vi bestemmer b’s maksimum:
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Vi tjekker, at der er tale om et maksimum:
Da hældningen er positiv lige før den fundne x-værdi og negativ lige efter, er der tale om et maksimum. Vi
bestemmer den maksimale bredde:
Bygningens maksimale bredde er 6,35 meter.
d)
Vi benytter følgende formel til at beregne arealet mellem to funktioner afgrænser af grænseværdierne a og
b:
Hvor f(x) er den øverste funktion og g(x) er den nederste funktion. Da tværsnittet afgrænses af y-aksen, har
vi følgende grænseværdier:
Vi indsætter størrelserne i formlen:
Matematik B HTX – Skriftlig eksamen – 2. december 2015
15
Tværsnitsarealet er lig 60,3 m
2
e)
Vi bestemmer afstanden mellem metalprofilerne:
Den samlede længde metalprofil bestemmes ved at opstille en funktion. Vi antager, at afstanden mellem
metalprofilerne er konstant.
Den samlede længde metalprofil er 94,09 meter.