[navn fjernet] SRP 09
3. z nr. 04 Stive legemers mekanik Svendborg Gymnasium og HF
Side 1 af 87
1 Abstract
This study investigates and sets out the theory behind the mechanics of rotating flywheels with particular
reference to flywheel energy storage. Among technical terms, it specially focuses on moments of inertia,
torque, angular momentum, and centre of mass. By using integral calculus the moments of inertia will be
defined and demonstrated for a bar, a cylinder, a ring and a ball.
Through empirical experiments with different rotating systems the moments of inertia will be defined, and
compared with the ability to store rotational energy from a falling weight. The study searches to verify the
experimental moments of inertia by comparing the results to the mathematical deduced moments of
inertia. Thus the scientific method is hypothetical deduction.
The results of the experiments show that there is a significant relationship between the moments of inertia
and the ability to store rotational energy (proportionality). The experimental moments of inertia are
approximately verified however the experimental results differs a little from theoretic moments of inertia
in some of the cases.
[navn fjernet] SRP 09
3. z nr. 04 Stive legemers mekanik Svendborg Gymnasium og HF
Side 2 af 87
2 Indholdsfortegnelse
1 Abstract ..................................................................................................................................................... 1
3 Indledning .................................................................................................................................................. 4
4 Teoriafsnit .................................................................................................................................................. 5
4.1 Rotationsenergi i roterende legeme ............................................................................................. 5
4.1.1 Om begrebet inerti .................................................................................................................... 6
4.2 Kraftmoment ................................................................................................................................. 7
4.3 Impulsmoment .............................................................................................................................. 8
4.3.1 Impulsmomentsætningen – relation mellem impulsmoment og kraftmoment. ...................... 9
4.4 Massemidtpunktet og massemidtpunktssætningen ................................................................... 10
4.4.1 Massemidtpunkt ...................................................................................................................... 10
4.4.2 Massemidtpunktssætningen: .................................................................................................. 11
4.4.3 Massemidtpunktssætningen for sammensat legeme ............................................................. 13
4.5 Inertimomenter ........................................................................................................................... 13
4.5.1 Inertimoment for en homogen stang ...................................................................................... 13
4.5.2 Parallel-akse-teromet (Steiners sætning) ................................................................................ 14
4.5.3 Brug af Steiners sætning: Inertimoment for homogen stang omkring kant. .......................... 16
4.5.4 Inertimoment for kugle ........................................................................................................... 16
5 Praktisk anvendelse/reflektion ................................................................................................................ 18
6 Forsøg ...................................................................................................................................................... 19
6.1 Præsentation og formål ............................................................................................................... 19
6.2 Teori bag udregninger ................................................................................................................. 20
6.2.1 Kraftbetragtning ...................................................................................................................... 20
6.2.2 Energibetragtning .................................................................................................................... 20
6.2.3 Beregning af rotationsenergi ................................................................................................... 21
6.2.4 Evne til at ophobe kinetisk energi ........................................................................................... 21
6.2.5 Beregning af gnidningsmodstand ............................................................................................ 21
6.3 Forsøg med homogen stang med rotationsakse gennem massemidtpunkt ............................... 22
6.3.1 Matematisk/teoretisk bestemmelse af I ................................................................................. 22
6.3.2 Eksperimentel bestemmelse ................................................................................................... 22
6.4 Homogen stang med rotationsakse gennem enden ................................................................... 22
6.4.1 Matematisk/teoretisk bestemmelse af I ................................................................................. 22
6.4.2 Eksperimentel bestemmelse af I ............................................................................................. 23
6.5 Svinghjul med rotationsakse gennem massemidtpunkt og vinkelret på diameter ..................... 23
[navn fjernet] SRP 09
3. z nr. 04 Stive legemers mekanik Svendborg Gymnasium og HF
Side 3 af 87
6.5.1 Matematisk/teoretisk bestemmelse af I ................................................................................. 23
6.5.2 Eksperimentel bestemmelse ................................................................................................... 23
6.6 Cykelhjul med rotation gennem massemidtpunkt og vinkelret på diameter ............................. 23
6.6.1 Eksperimentel bestemmelse af I ............................................................................................. 23
6.7 Cykelhjul + stang med samme rotationsakse som ved cykelhjulet ............................................. 23
6.7.1 Matematisk/teoretisk bestemmelse af I for stang alene ........................................................ 24
6.7.2 Eksperimentel bestemmelse af I ............................................................................................. 24
6.8 Energilagring og ophobning af kinetisk energi ............................................................................ 24
7 Vurdering og opsummering af forsøg...................................................................................................... 24
8 Konklusion ............................................................................................................................................... 25
9 Litteraturliste ........................................................................................................................................... 26
10 Bilag ......................................................................................................................................................... 27
10.1 Bilag 1 – Systematisk gennemgang af inertimoment for kugle ................................................... 27
10.2 Bilag 2. Stang med rotationsakse omkring massemidtpunkt ...................................................... 28
10.3 Bilag 3 – stang med rotationsakse gennem enden ..................................................................... 38
10.4 Bilag 4 – Svinghjul ........................................................................................................................ 47
10.5 Bilag 5 – Cykelhjul ........................................................................................................................ 59
10.6 Bilag 6 – Cykelhjul + stang ........................................................................................................... 69
10.7 Bilag 7 - Forsøgsgennemgang ...................................................................................................... 79
10.7.1 Princip i forsøg ......................................................................................................................... 79
10.7.2 Udstyr ...................................................................................................................................... 79
10.7.3 Forsøgsopstilling ...................................................................................................................... 79
10.7.4 Indstillinger i LoggerPro ........................................................................................................... 80
10.7.5 Manuelle målinger ................................................................................................................... 80
10.8 Bilag 8 – Udregning af svinghjuls inertimoment.......................................................................... 81
10.9 Bilag 9 – figur 1 - Kraftmoment ................................................................................................... 84
10.10 Bilag 10 – figur 2 - Impulsmoment .............................................................................................. 84
10.11 Bilag 11 – figur 3 - Massemidtpunkt ............................................................................................ 85
10.12 Bilag 12 – figur 4 – Steiners sætning ........................................................................................... 85
10.13 Bilag 13 – figur 5 – kugles inertimoment ..................................................................................... 86
10.14 Bilag 14 – Tabel 1 – om energilagringsevne ................................................................................ 86
[navn fjernet] SRP 09
3. z nr. 04 Stive legemers mekanik Svendborg Gymnasium og HF
Side 4 af 87
3 Indledning
En af de nyest tænkte måder at lagre energi fra elnettet på er at udnytte svinghjuls evne til at ophobe
kinetisk energi som rotationsenergi. Den videnskabelige udvikling har gjort, at man i dag er i stand til at
have svinghjul kørende næsten friktionsløst. Ved at lade forbrugere tappe energi fra svinghjulsbatterier,
som bliver opladet af kraftværker, kan man opnå en mere konstant energiproduktion, selvom forbruget
skifter periodisk. Et friktionsløst svinghjuls anvendeligheder strækker sig helt fra oplagring af energi i busser
under opbremsning til stationære svinghjulsanlæg.
I denne opgave undersøges roterende systemers evne til at oplagre energi. I den forbindelse bestemmes
forskellige systemers inertimomenter ved brug af integralregning samt ved forsøg, hvorefter teori
sammenlignes med praksis. I forbindelse med teorien redegøres der for stive legemers mekanik i
forbindelse med ren rotation.
Opgaven lægger ud med et teoriafsnit, hvor der udledes grundlæggende formler til behandling af stive
legemers rotation. Her belyses massemidtpunkt, inertimoment samt kraftmoment og impulsmoment.
Herefter bestemmes inertimomenter for forskellige roterende systemer ved hjælp af integralregning. Den
præsenterede teori til behandling af stive legemers rotation peger hen imod praktisk anvendelse af formler
i forbindelse med eksperimentel bestemmelse af inertimomenter samt bestemmelse af systemers evne til
at ophobe kinetisk energi.
[navn fjernet] SRP 09
3. z nr. 04 Stive legemers mekanik Svendborg Gymnasium og HF
Side 5 af 87
4 Teoriafsnit
I dette afsnit defineres først rotationsenergi, som medfører en forklaring af begrebet, inerti. Herefter
udledes kraftmoment og impulsmoment, herunder vigtige definitioner, som bruges senere til beregninger
af rotationsenergi i afsnit 6.2. Definition af massemidtpunktet samt massemidtpunktssætningen for et
sammensat legeme vises med det henblik, at belyse vigtige træk i opfattelsen af partikelsystemers mekanik.
Afsnittet rundes af med udledning af inertimomenter for en række legemer ved hjælp af integralregning.
Herunder vises Steiners sætning.
4.1 Rotationsenergi i roterende legeme
Der forestilles et stift objekt som roterer i positiv retning (mod uret) omkring z-aksen. Et stift legeme er
defineret som et legeme, der ikke ændrer form ved krafpåvirkning. Hver eneste lille massedel, m
i
, i objektet
foretager da jævne cirkelbevægelser omkring omdrejningsaksen. Alle massedelene tilbagelægger således
samme vinkel pr. tid og har derfor samme vinkelhastighed, ω –, men hverken samme fart (da denne er
betinget af afstanden, r, fra omdrejningsaksen) eller hastighed (som både varierer med hensyn til længde
og retning).
Stedet, s
i
, for et delobjekt kan da beskrives ved radius, r
i
, og den tilbagelagte vinkel, , målt i radianer:
Farten, v
i
, for et delobjekt kan beskrives som den tidsafledte af stedet:
Accelerationen, a, for et delobjekt kan på samme måde beskrives som den tidsafledte af farten eller den
dobbelt-tidsafledte af stedet:
Her er vinkelaccelerationen.
Der ses nu på delobjektets kinetiske energi, T
i
som er:
Idet det bruges, at v=r*ω kan den kinetiske energi udtrykkes:
Objektets samlede kinetiske energi, T, regnes som summen af alle massedeles kinetiske energier:
D
ette kan skrives som summation:
[navn fjernet] SRP 09
3. z nr. 04 Stive legemers mekanik Svendborg Gymnasium og HF
Side 6 af 87
Da vinkelhastigheden er konstant kan udtrykket reduceres:
D
et ses, at den kinetiske energi afhænger dels af legemets form og masse, som ligger i variablene, m og r og
dels vinkelhastigheden. Legemets form og masse er konstant og udtrykkes samlet som inertimomentet, I.
Den samlede kinetiske energi, rotationsenergien, for det roterende objekt skrives da som:
Der ses her en parallel til den kinetiske energi, E
kin
, gældende for et legemes translation:
4.1.1 Om begrebet inerti
Af kinetisk, E
kin
, energi kan man se, at man med den samme energi vil få to forskellige hastigheder for to
forskellige masser. En tung lastbil vil bevæge sig langsommere end en lille personbil selvom de to køretøjer
har samme energi. Man siger at lastbilen er mere træg eller inert end den lille personbil på grund af sin
masse. Den energimængde, der skal til for at sætte et legeme i translatorisk bevægelse er altså betinget af
legemets træghed eller inerti.
På samme måde kan man opfatte et roterende legeme. Dog er den energi, T, der skal til for at nå en
bestemt hastighed betinget af både massen, m og (kvadratet på) massens afstand til rotationsaksen, r. Et
svinghjul, som har al sin masse fordelt perifert, er således mere træg eller inert end f.eks. en stang med
samme masse, fordi svinghjulets masse er fordelt længere væk fra rotationsaksen end stangens masse er.
Den energimængde, der skal til for at sætte et legeme i roterende bevægelse er altså betinget af legemets
inertimoment omkring en rotationsakse.
Af newtons 1. lov, inertiloven, er givet:
”En fri partikel bevæger sig med konstant hastighed”
1
Dette vil sige, at hvis den resulterende kraft på et legeme er 0, så vil det ikke ændre sin hastighed (fart
og/eller retning. Alle legemer har inerti. Hvis et legeme ikke havde nogen inerti ville ligningen
ikke give nogen mening. At et legeme har inerti kan altså forstås sådan, at der skal en kraft til for at
sætte det i bevægelse. Dette kæder de to begreber inerti og kraft sammen. For hvis ikke man kan tale om
1
Christiansen: ”Mekanik” – pp. 3-2
[navn fjernet] SRP 09
3. z nr. 04 Stive legemers mekanik Svendborg Gymnasium og HF
Side 7 af 87
kraft, kan man heller ikke tale om inerti og omvendt. Inerti er altså den egenskab ved et legeme, at en kraft
kan virke på dette.
2
For at kende rotationsenergien for et udstrakt legeme skal man kende det samlede inertimomentet for hele
partikelsystemet samt vinkelhastigheden. For et system bestående af kun én partikel er det nemt at finde
inertimomentet ved at måle den vinkelrette afstanden til omdrejningsaksen og massen af partiklen. F.eks.
kan man udregne et acceptabelt inertimoment for roterende planeter, fordi forskellen på de enkelte
massedeles afstand til omdrejningslegemet (solen) varierer så lidt, at man kan opfatte hele planeten som
én partikel. For andre partikelsystemer, hvor drejningsaksen f.eks. går gennem systemets massemidtpunkt,
er det nødvendigt at summere inertimomenterne for hver enkelt lille partikel for at få ét samlet
inertimoment. Denne metode benyttes senere til bestemmelse af forskellige partikelsystemers
inertimomenter.
4.2 Kraftmoment
Kraftmoment – eller drejningsmoment – er et begreb, som anvendes til at beskrive en kraft, som får et
legeme til at rotere om en omdrejningsakse.
Der ses på en kraft, F, som virker i angrebspunktet, A (se figur 1, bilag 9). Kraften bevirker en rotation
omkring omdrejningsaksen, O. Når en kraft bevirker translation, kan man direkte overføre kraftens retning
til translationens retning, men når der er tale om rotation, kan man ikke umiddelbart overføre kraftens
retning til rotationen. En rotation er nemlig kendetegnet ved, at hver enkelt massedels hastighedsvektorer
ændrer retning hele tiden. Dog kan man tale om en øjeblikkelig eller momentan retning for en massedel.
Den kraft, F, som virker i angrebspunktet, A, er altså en momentan kraft med en længde og en retning.
Denne kraft sætter legemet i rotation, ved at ændre vinkelhastigheden, ligesom når en kraft ændrer
hastigheden for en translation. Det er ikke kun kraftens størrelse og retning der har betydning, men også
armens længde, a. Man kalder denne særlige kraft – som afhænger dels af armens længde, dels af kraftens
størrelse, og som ændrer vinkelhastigheden for roterende legemer – drejningsmomentet, eller
kraftmomentet. I denne opgave forkortes dette med H.
Kraftmomentet afhænger som sagt af armens længde. Armen, a, er den vinkelrette afstand fra
omdrejningsaksen til angrebslinjen (stiplet på figur 1 bilag 1.). Angrebslinjens, l, parameterfremstilling fås
altid af ligningen:
, hvor t er en konstant og A er angrebspunktet. F er kraftens
retningsvektor.
Armens længde, a, kan udtrykkes ved hjælp af sinusrelationer ved afstanden fra omdrejningsaksen til
angrebspunkt, r, og vinklen mellem r og F (se evt. figur 1 bilag 9):
Kraftmomentet, H, er defineret som kraft gange arm, og kan skrives sådan:
2
Tychsen: ”Om begrebet, træghed”
3
Staffansson: ”Fysik i grundtræk” – pp. 110
[navn fjernet] SRP 09
3. z nr. 04 Stive legemers mekanik Svendborg Gymnasium og HF
Side 8 af 87
Her er ikke regnet med vektorer. Skulle vi indføre vektorer ses det, at kraftmomentet kan skrives som et
krydsprodukt. Dette er også vist i afsnit 4.3.
Med denne definition, fås kraftmomentet, som pegende i vinkelhastighedens retning, altså ind i papiret på
tegningen. Det skal understrejes, at der ikke er tale om en kraft i denne retning. Metoden er dog smart og
enkel til at finde kraftmomentets størrelse. At kraftmomentet peger i vinkelhastighedens retning stemmer i
øvrigt også overens med den påstand, at kraftmomentet bevirker en rotation, ligesom en almindelig kraft
ved translation er i hastighedens retning.
Man kan formulerer en lov om roterende legemer, som er analog til Newtons 1. lov (inertiens lov):
Momentsætningen:
4
Et stift legeme, der kan dreje om en akse, kan kun være i hvile, hvis summen af kraftmomenterne med
hensyn til aksen er nul.
Heraf følger det at, hvis flere kraftmomenter virker på samme legeme, vil det resulterende kraftmoment
være summen af disse:
Som omskrives til summation:
I
næste afsnit (4.3.1) vil impulsmomentet blive defineret mere præcist til H=I*.
4.3 Impulsmoment
5
En partikels impuls, p, er defineret som produktet af dets masse, m og dets hastighed, v: . Ved
rotation omkring en omdrejningsakse gennem punktet, O, bruges impulsmoment, L, som er defineret som
produktet af impuls og arm. Dette kan omformuleres ved at bruge sinus (se evt. figur 2 bilag 10):
Definitionen er netop definitionen på krydsproduktet af r og v som vektorer:
Ved en jævn cirkelbevægelse (rotation i ét plan om fast akse) er hastigheden vinkelret på radius og
hvilket giver
. Det totale impulsmoment kan da skrives som summen af alle massedeles, m
i
,
impulsmomenter:
4
Fogh: ”Stive legemers bevægelse” – pp. 7
5
Staffansson: ”Fysik i grundtræk” – pp. 110-111
[navn fjernet] SRP 09
3. z nr. 04 Stive legemers mekanik Svendborg Gymnasium og HF
Side 9 af 87
Det bruges at . Dermed fås:
Impulsmoment kan altså defineres som produktet af vinkelhastigheden og inertimomentet.
4.3.1 Impulsmomentsætningen – relation mellem impulsmoment og kraftmoment.
6
Ved differentiation af impulsmomentet, L, fås:
Her er anvendt, at produktreglen
7
også gælder for differentiation af vektorprodukter. Ifølge newtons 2. lov
er
. Yderligere er
og . Ved at indsætte dette i ligningen fås:
Det ses herved, at første led giver 0 da på grund af parallelitet (m er en konstant, og forlænger
blot vektor v, men ændrer ikke dens retning).
er netop definitionen på kraftmomentet. Hermed kan
impulsmomentsætningen udtrykkes:
Ved at bruge at fås følgende, idet inertimomentet er konstant:
Kraftmomentet kan altså udtrykkes ved produktet af vinkelaccelerationen og inertimomentet. Dette vil
blive brugt i afsnit 6.2 til beregning af inertimomenter ud fra forsøgs data samt til udledning af
massemidtpunktets stedvektor i afsnit 4.4.1.
Sætningen er analog til newtons 2. lov. Ifølge newtons 2. lov er . Altså kraften er lig produktet af
træghed (inerti) og acceleration. Det ses, at det samme gælder for rotation, hvor I er trægheden og er
(vinkel)accelerationen. M for rotation svarer dermed til F for translation.
6
Christiansen: ”Mekanik” – pp. 5-2
7
Clausen: ”Gyldendals gymnasiematematik, Grundbog A” – pp. 15
[navn fjernet] SRP 09
3. z nr. 04 Stive legemers mekanik Svendborg Gymnasium og HF
Side 10 af 87
4.4 Massemidtpunktet og massemidtpunktssætningen
8
Newtons anden lov beskriver bl.a. kraften, F, som skal til for at accelerere en partikel med massen, m, til
accelerationen, a:
Denne lov er defineret for partikler, hvor man ikke tager hensyn til udstrækningen. For roterende legemer
er det vigtigt at tage højde for udstrækningen. Newtons anden lov omskrives matematisk til
massemidtpunktssætningen, som viser, hvordan kraft og acceleration hænger sammen for et udstrakt
legeme. Massemidtpunktssætningen udledes ved at tage udgangspunkt i massemidtpunktet.
4.4.1 M
assemidtpunkt
Hvis en akse går gennem et legemes massemidtpunkt, vil der altid være ligevægt omkring denne akse.
Dette bruges i følgende udledning af stedvektoren til massemidtpunktet. Der forestilles nu et legeme (se
figur 3 bilag 11), der påvirkes af tyngdekraften, g , og som kan rotere om en akse, der går ind i papiret og
gennem massemidtpunktet, C. Koordinatsystemet er lagt således, at tyngdekraften er parallel med y-aksen
og nedadrettet. Legemet består af en række masser, m
1
, m
2
,… m
n
. m
1
og m
2
samt massemidtpunktet, C, er
indtegnet i figur 3 bilag 11.
Når tyngdekraften virker på m
1
yder tyngdekraften kraftmomentet defineret som kraft gange arm. Da
tyngdekraften er vinkelret på x-aksen findes armen som forskellen på m
1
og C’s x-komposanter:
Da legemet er i hvile omkring omdrejningsaksen gennem C (ifølge definitionen på massemidtpunktet),
gælder, at det samlede kraftmoment på alle masser (med massen m
i
) er 0:
Her er konstanten, g, sat uden for summation. Herefter ses, at fordi g ikke er 0, må summationen give 0 for
at ligningen opfyldes. Der kan dermed skrives:
Her er det brugt, at summen af alle masser, m
i
, er den samlede masse, M. x
C
blev sat uden for
summationen, da denne er konstant.
Hermed er massemidtpunktets x-koordinat fundet. De analoge værdier gælder for de andre komposanter.
For 3 dimensioner fås:
8
Christiansen: ”Mekanik” – pp. 3-22 til 3-25 og Fogh: ”Stive legemers bevægleser” – pp. 11-12
[navn fjernet] SRP 09
3. z nr. 04 Stive legemers mekanik Svendborg Gymnasium og HF
Side 11 af 87
Her er r
C
stedvektoren til massemidtpunktet, og r
i
er stedvektoren til den i’te massedel. Dette er
definitionen på massemidtpunktets placering udtrykt ved stedvektorer taget fra O i et koordinatsystem.
Definitionen af massemidtpunktet omformes til:
Normalt vil partikelsystemer bestå af uendeligt mange partikler, hvis masse, dm, er uendelig lille. Ved at gå
ud fra dette, kan summationen erstattes af integration og der fås:
Hvor der integreres over hele massen.
4.4.2 Massemidtpunktssætningen:
I det følgende udledes massemidtpunktssætningen som er analog til newtons 2. lov, og gældende for
udstrakte legemer.
Man kan beskrive massemidtpunktets hastighed ved at differentiere r
C
med hensyn til tiden:
v
i
er her den i’te partikkels hastighed. Dette udtryk bruges og indsættes i sidste formel på denne side.
Partikelsystemets samlede impuls, P, findes som summen af alle partiklers impulser:
Divideres med M på begge sider kan følgende omformning foretages:
Dette udtryk for et legemes totale impuls indsættes i sidste bruges i sidste formel i denne udledning.
Systemets samlede impulsændring pr. tid kan skrives som den tidsafledte af P og er derfor summen af alle
enkelte massedeles impulsændring pr. tid:
[navn fjernet] SRP 09
3. z nr. 04 Stive legemers mekanik Svendborg Gymnasium og HF
Side 12 af 87
Her er F
i
kraften på den enkelte partikel.
Den samlede kraft på partikelsystemet kan deles op i indre kræfter og ydre kræfter. Ifølge newtons 3. lov
om aktion og reaktion gælder, at to ”partiklerne påvirker hinanden med lige store men modsatrettede
kræfter”
9
– de i legemet bundne partiklers kræfter på hinanden ophæves således. Tilbage er kun de ydre
kræfter. Altså er massemidtpunktets samlede impulsændring pr. tid lig med summen af alle ydre kræfter på
alle de enkelte partikler. Netop skrevne ligning kan da skrives som:
Dette gælder for ikke-relativistiske hastigheder, hvor M er konstant. Sidste ligning i rækken udtrykker
massemidtpunktssætningen:
Massemidtpunktets acceleration gange partikelsystemets masse er summen af de ydre kræfter.
10
Denne sætning er analog til newtons anden lov, m*a=F
res
, og gælder for udstrakte legemer. Det er hermed
bevist, at der kan tages udgangspunkt i massemidtpunktets bevægelse for at bestemme den resulterende
ydre kraft på et udstrakt legeme.
Man kan også se af udtrykket, at hvis man erstatter et partikelsystem med én enkelt partikel,
massemidtpunktspartiklen, med samme masse, M, så vil denne partikel bevæge sig nøjagtigt på samme
måde som hele partikelsystemet, fordi man kan tolke alle de ydre kræfter som virkende netop i
massemidtpunktet. Derfor kan man bruge Newtons love på partikelsystemer, selvom de egentligt er lavet
for enkelte partikler.
11
Eksempel: Hvis man kaster en hammer, påvirker man den med en (ydre) kraft så længe kastet udføres.
Mens hammeren flyver i luften vil en iagttager som regel se at den roterer og derfor har en mærkelig
bevægelse. Selv om hammeren har en speciel form og ikke-kontinuer massefordeling, kan man også her
opfatte hele hammerens masse samlet i én massemidtpunkspartikel. Denne partikel er således blevet
påvirket med den samme (ydre) kraft fra kastet, som hele hammeren er. Hammerens massemidtpunkt vil
da bevæge sig efter en almindelig kasteparabel.
Når man kan beskrive bevægelser ved blot at reducere alle partikler til én massemidtpunkspartikler, ville
det være logisk at tro, at man kunne gøre det samme med kinetisk energi. Dette er dog ikke tilfældet. F.eks.
kan et svinghjul sagtens have et massemidtpunkt, som ikke bevæger sig og samtidig oplagrer kinetisk energi
i form af rotation. Dette blev matematisk udledt i afsnittet, ”Rotationsenergi i roterende legeme” (4.1).
9
Christiansen: ”Mekanik” – pp. 3-3
10
Staffansson: ”Fysik i grundtræk” – pp. 108
11
Staffansson: ”Fysik i grundtræk” – pp. 108
[navn fjernet] SRP 09
3. z nr. 04 Stive legemers mekanik Svendborg Gymnasium og HF
Side 13 af 87
4.4.3 Massemidtpunktssætningen for sammensat legeme
12
Det blev tidligere beskrevet, at stedvektoren, r
c
, til massemidtpunktet kan tages som integralet af hver
enkelt partikels stedvektor taget over hele massen:
Man forestiller sig nu en masse med massemidtpunktet, C, som splittes op i to legemer, 1 og 2, med hver
deres massemidtpunkt, C
1
og C
2
. Man kan da skrive stedvektoren til hele legemet C som summen af de to
stedvektorer som peger på massemidtpunktet af hver af de to dele af legemet:
Her er
opsplittet ved at bruge indskudsreglen for bestemte integraler
13
.
Der omskrives ved at forlænge med
i første led og
i andet led:
Ifølge definitionen af massemidtpunktet kan det bruges, at
og
. Det ses også, at
rumintegralet af dm taget over legeme 1 må være legeme 1’s totale masse, m
1
. Det analoge udtryk gælder
for legeme 2. Der fås dermed:
Heraf fås dekompositionssætningen:
”Tyngdepunktet af et sammensat legeme kan bestemmes som tyngdepunktet af et partikelsystem, idet
hvert dellegeme erstattes med en partikel med samme masse anbragt i dets tyngdepunkt.”
14
4.5 Inertimomenter
I det følgende vil der ved hjælp af integralregning blive udledt formler til beregning af inertimomentet af
henholdsvis en homogen stang, en ring, en massiv cylinder og en kugle. Steiners sætning vises og anvendes
til at bestemme inertimoment omkring enden for en homogen stang. Den generelle metode er, at finde
hver enkelt partikels bidrag til det samlede inertimoment og så integrere over hele legemet.
4.5.1 Inertimoment for en homogen stang
15
Der regnes på inertimomentet for en homogen stang (kontinuer massefordeling) som roterer omkring
akse gennem sit massemidtpunkt og vinkelret på sin længdeakse. Stangens tykkelse og bredde er så relativt
små, at det regnes med, at stangens udstrækning kun er i længden.
12
Knudsen: “Mekanik, 2. del” – pp. 47-48
13
Clausen: ”Gyldendals Gymnsasiematematik, Grundbog A” – pp. 20
14
Knudsen: “Mekanik, 2. del” – pp. 47-48
[navn fjernet] SRP 09
3. z nr. 04 Stive legemers mekanik Svendborg Gymnasium og HF
Side 14 af 87
Stangen deles op i uendeligt mange skiver parallelt med rotationsaksen og med hver uendeligt små masser,
m
i
. Hver massedel, har længden dx på stangen og befinder sig i afstande x
i
fra omdrejningsaksen.
Inertimomentet, I
i
, for en sådan lille massedel er dermed givet ved den definition, der blev udledt i
afsnittet, ”rotationsenergi i roterende legeme”(4.1):
Hvis massefylden for stangen overalt er M/L, kan m
i
udtrykkes ved dx og massefylden:
Stangens samlede inertimoment, I, omkring massemidtpunktet bliver da summen af hver enkelt massedels
inertimoment:
Idet stangen deles op i uendeligt mange massedele, går summationen mod integralet. Integralet tages over
hele stangens længde – dvs. fra minus ½L til plus ½L:
Dette gælder for tynde stænger, hvis tykkelse ikke har stor betydning. Man kan også betragte en tynd lang
cylinder. For tykke stænger holder definitionen ikke helt.
4.5.2 Parallel-akse-teromet (Steiners sætning)
Steiners sætning er en måde at finde inertimomentet for et legeme, som roterer omkring en akse, der er
parallel med en akse gennem massemidtpunktet i afstanden, d, fra denne. Den siger:
I er inertimomentet omkring den parallelle akse til aksen gennem massemidtpunktet. M er den samlede
masse for legemet og I
C
er inertimomentet omkring akse gennem massemidtpunktet.
Sætningen bevises
16
Et udstrakt legeme roterer omkring sit massemidtpunkt som i koordinatsystemet er placeret i origo. z-
aksen udgør således omdrejningsaksen (se tegning af gråt cirkulært rotationslegeme, figur 4 bilag 12).
15
Fogh: ”Stive legemers bevægelser” – pp. 26
16
Af egne noter fra foredrag om inertimomenter på KU i brobygning, september.
[navn fjernet] SRP 09
3. z nr. 04 Stive legemers mekanik Svendborg Gymnasium og HF
Side 15 af 87
Inertimomentet omkring akse gennem massemidtpunktet er
Her er r
i
betragtet som en stedvektoren til m
i.
Det skal her understrejes, at for 3D-legemer, er længden af r
i
den vinkelrette afstand til omdrejningsaksen, og ikke nødvendigvis afstanden til origo.
Afstanden af r
i
kan nu splittes op i 2 komposanter, x
i
og y
i
(z
i
=0). Afstanden kan da omskrives til:
Der ses nu på en parallel akse til omdrejningsaksen, som går gennem punktet, P (se figur 4 bilag 12).
Afstanden mellem C og P er |CP|= d. Stedvektoren til P er (a,b).
Inertimomentet omkring P er da:
r
i,P
, som er vektoren fra P til den i’te masse, m
i
, kan ud fra indskydningsregelen om vektorer udtrykkes som
stedvektoren til m
i
(x,y) minus stedvektoren til P (a,b). Ved at indsætte dette i ligningen fås:
Her blev vektorerne hver opsplittet til deres komposanter.
Summen af kvadratet på de to differencer skrives ud, så der fås:
Der ses nu på ét led ad gangen. Første led er ifølge tidligere definition det samme som I
C
.
I andet led er a
2
+b
2
ifølge pytagoras det samme som d
2
(figur 4 bilag 12). Denne er konstant og kan sættes
uden for summationen. Summationen af alle massedelene, m
i
, giver den samlede masse, M. Andet led kan
da skrives som M*d
2
.
3. og 4. led: Da origo er placeret i massemidtpunktet, er stedvektoren til massemidtpunktet lig med 0-
vektoren. Ligningen for stedvektoren til massemidtpunktet skal altså give 0:
Dette opfyldes kun idet tælleren er 0. Dvs. både summationen af (m*x) og (m*y) 0. Altså giver 3. og 4. led 0
og går derfor ud. Ligningen kan altså reduceres til:
Hermed er Steiners sætning bevist.
[navn fjernet] SRP 09
3. z nr. 04 Stive legemers mekanik Svendborg Gymnasium og HF
Side 16 af 87
4.5.3 Brug af Steiners sætning: Inertimoment for homogen stang omkring kant.
Inertimomentet for en stang, som roterer omkring sit massemidtpunk blev tidligere
17
bevist at være:
For at understrege, at inertimomentet er omkring stangens centrum, kaldes inertimomentet her I
C
Ifølge Steiners sætning, kan inertimomentet, I
p
, omkring stangens ende nu findes idet, afstanden, d, fra
massemidtpunktet til stangens ende sættes til L/2:
Hermed er stangens inertimoment omkring aksen gennem enden og vinkelret på længdeaksen fundet.
4.5.4 Inertimoment for kugle
18
Kuglens inertimoment udregnes ved rotation om en diameter parallel med x-aksen. For nemhedens skyld
placeres koordinatsystemet, så origo er i cirklens centrum. Rotationsaksen bliver dermed x aksen.
Kuglen inddeles først i cirkulære skiver vinkelret på x-aksen. En sådan skive er illustreret med rød på
tegningen (figur 5 bilag 13):
Hver skive har som vist på tegningen radius r. Tykkelsen for en sådan skive er dx. For at finde kuglens
inertimoment findes først hver enkelt skives inertimoment, hvorefter der integreres over hele kuglen.
Skivens inertimoment
Skiven med radius, r, inddeles i ringe med radius x og tykkelsen dx. Da alle massedele, m
i
i en ring har
samme radius, x
i
, er summen af alle massedelenes inertimomenter i samme ring givet ved:
Hvor m er hele ringens masse og I
ring
er ringens inertimoment.
Det antages, at skivens massefordeling er kontinuer. Ringens masse kan derfor udtrykkes ved hele skivens
massetæthed, som findes som kvotienten af skivens masse, M
s
og dens rumfang, V
s
:
Ringens rumfang, V
r
, kan udtrykkes som et rektangel:
Ringens masse, m, kan derfor udtrykkes som produktet af massefylde og rumfang:
17
Se afsnit 4.5.1, “Inertimoment for en homogen stang”
18
Christiansen: ”Mekanik” – pp. 7-29 til 7-30 og Fogh ”Stive legemers bevægelse” – pp. 27-28
[navn fjernet] SRP 09
3. z nr. 04 Stive legemers mekanik Svendborg Gymnasium og HF
Side 17 af 87
Ringens inertimoment kan da skrives som:
Hele skivens inertimoment I
s
findes da ved at summere alle ringenes inertimomenter. Ved en uendelig
findeling går summationen over i et integral. Der integreres fra x=0 til x=r
Konstanten sættes uden for integralet og der integreres og omformes:
En homogen, massiv, cirkulær cylinder med rotationsakse som længdeaksen gennem massemidtpunktet
har samme inertimoment da denne blot betragtes som en meget tyk skive.
Kuglens inertimoment findes
Kvadratet på skivens radius, r, udtrykkes ved x og R (se figur 5 bilag 13) ifølge pytagoras:
Hver skives bidrag til inertimoment bliver dermed:
Skivens masse, M
s
, skrives som funktion af massetætheden (som antages at være kontinuert fordelt i
kuglen):
Her er det brugt, at kuglens radius er er
. M er hele kuglens masse og V er kuglens rumfang.
Skivens bidrag til inertimomentet bliver da:
Kuglens inertimoment, I, findes nu ved at summere alle skivers inertimomenter. Ved en uendelig findeling
af dx går summen over i et integral fra –R til R (se evt figur 5 bilag 13):
[navn fjernet] SRP 09
3. z nr. 04 Stive legemers mekanik Svendborg Gymnasium og HF
Side 18 af 87
(Her er sprunget en del led over. I bilag 1 er den systematiske udledning gennemgået).
5 Praktisk anvendelse/reflektion
Svinghjulet er næppe en ny opfindelse. Alligevel finder man i dag stadig nye måder at anvende det på.
Svinghjulet er praktisk til at stabilisere periodiske bevægelser – der kan være tale om lange eller korte
perioder – til en mere stabil bevægelse. F.eks. var svinghjulet anvendeligt i dampmaskinen, som yder et
ustabilt arbejde, hvor stemplet arbejder kraftigt i kort tid for herefter at blive trykket tilbage af den i
svinghjulet oplagrede energi. Den energi der tappedes til forbrug fra dampmaskinen tappedes således fra
svinghjulet.
Det praktiske ved et svinghjul er at det kan lagre bevægelsesenergi som ren rotationsenergi – dvs. uden at
massemidtpunktet (og dermed hele hjulet) flytter sig. Et svinghjul har altså samme egenskaber som et
batteri og kan installeres næsten, hvor som helst, hvor der er brug at stabilisere periodisk energi.
Et eksempel på periodisk energi i dag er vindmøller eller solceller, som er afhængig af vejret. Her kunne
man anvende svinghjul således, at når der var meget vind (eller sol), så kunne den overskydende energi
oplagres i svinghjul for så at blive tappet senere når der skulle blive mangel. Også kraftværker er i dag
tvunget til at yde et ukontinuert arbejde – dels fordi strømforbruget er forskelligt på forskellige tider af
døgnet, og dels fordi kraftværket skal kompensere for den energi , der produceres af vedvarende
energikilder f.eks. vind- og solenergi. Hvis pludselig forbrugernes energiforbrug stiger drastisk, er
kraftværkerne tvunget til at accelerere deres energiproduktion. En sådan acceleration
betyder stort energitab. Hvis man havde svinghjul stående, var det muligt, at
kraftværket producerede konstant energi døgnet rundt, året rundt, som så blev
oplagret i svinghjulene. Dette ville give mindre energibehov og dermed mindre
miljøbelastning.
19
Noget af det nyeste er, at et amerikansk firma, Beacon Power, vil realisere denne teori
om at lagre energi fra elnettet i svinghjulsanlæg bestående af mange svinghjul. Ifølge
comOn.dk kan hvert svinghjul lagre op til 25 kWh, hvilket giver 16000 omdrejninger pr.
minut. Der arbejdes i øjeblikket på at få sat det første anlæg af svinghjulslagre op i USA.
For at optimere sådanne svinghjul har man fundet ud af, at have en forholdsvis lille masse, men til gengæld
stor rotationshastighed. Dette giver mening, da rotationsenergien er givet ved:
, hvor parentesen er inertimomentet for en massiv cylinder, som er det
anvendte system. Det ses, at energien er proportional med kvadratet på
vinkelhastigheden, men også kvadratet på radius. Så stor vinkelhastighed og stor
radius er det optimale. En anden grund til at reducere massen kunne være
19
Risønyt
Sv
inghjulsbatteri fra
Beacon Power
Eksempel på et
svinghjulsbatteri til bil
[navn fjernet] SRP 09
3. z nr. 04 Stive legemers mekanik Svendborg Gymnasium og HF
Side 19 af 87
praktiske grunde samt sikkerhed i tilfældet af, at et sådant hjul river sig løs.
Grunden til at man anvender cylindre er, at de har den geometriske form, hvor massen er fordelt længst
muligt væk fra centrum. Man kunne da overveje at bruge hule cylindre med samme masse for at få endnu
højere inertimoment. Men man kan jo lige så godt fylde tomrummet op med masse, da dette vil give et
højere inertimoment. I øvrigt skal svinghjulet også kunne holde til at dreje 16000 omdrejninger pr. minut.
Man taler også om, at lagre rotationsenergi i biler. Særligt i storbyer, hvor kørslen typisk er præget af
meget opbremsning og acceleration ville det være praktisk, at bremse biler ved at tappe hjulenes energi til
et svinghjul, som så kunne aflevere energien igen til accelerationen. Fordelen ved at anvende et svinghjul
er, at man kan oplagre og tappe energi relativt hurtigt i forhold til andre (kemiske) batterier. En anden
fordel er, at man sparer energi ved at bevare energien som kinetisk i stedet for at energien går fra mekanisk
til elektrisk til kemisk, og så tilbage igen ,når den skal tappes.
20
Netop dette princip blev forsøgt for nogle år
siden i nogle busser i København.
Billedet ovenfor viser en model af et svinghjulsbatteri til biler. Her bruges to svinghjul som drejer hver sin
vej, for at undgå gyroskopiske effekter når bilen bevæger sig. Sådanne effekter kunne resultere i, at en bil
ville have svært ved at dreje.
En af grundene til at svinghjulsbatteriet er begyndt at blive interessant, er udviklingen af superledere, som
gør, at der kan fremstilles magnetlejer, så hjulet mister minimal energi til gnidning. Svinghjulets
anvendelighed er hermed i gang med at blive indført i den videnskabelige tankegang og man vil nok se en
række anvendelser med svinghjul i fremtiden.
6 Forsøg
Afsnittet indledes med en kort præsentation af forsøg. Se i den forbindelse forsøgsopstillingen i bilag 7.
Herefter vises de brugte udregninger i et separat teoriafsnit. Til sidst opsummeres alle resultater. Der vil i
hvert for hvert forsøg blive henvist til bilag med forsøgsdata.
6.1 Præsentation og formål
Formålet med forsøget er for det første at beregne forskellige roterende systemers inertimomenter,
hvorefter disse sammenlignes med de teoretisk udledte inertimomenter – der arbejdes således hypotetisk
deduktivt. Den målte evne til at oplagre kinetisk energi sammenlignes med det målte inertimomentet for at
undersøge en proportionalitet.
Der er udført forsøg med følgende systemer:
• Homogen stang med rotationsakse gennem massemidtpunktet.
• Homogen stang med rotationsakse gennem enden.
• Svinghjul med rotation gennem massemidtpunkt.
• Cykelhjul med rotation gennem massemidtpunkt.
• Cykelhjul + cylindrisk stang med rotation gennem massemidtpunkt.
20
Ingenøren
[navn fjernet] SRP 09
3. z nr. 04 Stive legemers mekanik Svendborg Gymnasium og HF
Side 20 af 87
Yderligere er der udført 3 forsøg for hvert system med henblik på at måle energi tabt til gnidning. Dette
uddybes i afsnit 6.2.5.
Forsøgsopstillingen samt forsøgets princip er at finde i bilag 7.
6.2 Teori bag udregninger
Til beregning af inertimomentet blev der set på 2 forskellige beregninger som tog udgangspunkt i
henholdsvis energibetragtninger og kraftbetragtninger. Der er ikke tale om egentligt forskellige
udregninger, da de to metoder hænger sammen via matematikkens tautologier. Da der alligevel er valgt 2
forskellige måder skyldes det, at beregningerne hver i sær anvender forskellige variable. F.eks. anvendes
loddets acceleration, a, kun i kraftbetragtningerne mens loddets faldhøjde, h, kun anvendes i
energibetragtningerne. På den måde kommer de to variable til at ”kontrollere hinanden”. Det skal
understrejes, at der ikke er lagt vægt på at få så mange variable som muligt, da dette er kilde til fejl, men
derimod er tale om to forskellige udregninger på samme forsøg, som tager udgangspunkt i hver deres
variable.
6.2.1 Kraftbetragtning
21
Det blev udledt under ”Impulsmoment”, at . Yderligere blev det under ”Kraftmoment” vist, at
. Dermed fås:
Forsøget er designet sådan (se bilag 7), at snorens kraft, S, er vinkelret på radius så
.
Snorens kraft omdøbes fra F til S (snorkraft) så S*r bliver snorens kraftmoment med hensyn til
omdrejningsaksen. Der kan dermed skrives:
Ifølge Newtons 2. lov er den resulterende kraft på loddet lig med summen af alle kræfter. På loddet virker
dels snorkraften, S (opad) og gravitationskraften, F
t
(nedad). Da loddet falder nedad er den resulterende
kraft på loddet m*a. Dette udtrykkes hvorefter S isoleres:
Udtrykket for S sættes ind i foregående ligning og I isoleres:
6.2.2 Energibetragtning
22
Her tages der udgangspunkt i, at loddets potentielle energi udelukkende omdannes til kinetisk energi i
loddet og rotationsenergi i rotationssystemet. Der ses imidlertid bort fra friktion i lejer og vindmodstand
mod lod. Det blev tidligere vist, at rotationsenergi er
. Dermed kan situationen udtrykkes:
21
Fogh: ”Stive legemers bevægelse” pp. 47-48
22
Fogh: ”Stive legemers bevægelse” – pp. 24-25
[navn fjernet] SRP 09
3. z nr. 04 Stive legemers mekanik Svendborg Gymnasium og HF
Side 21 af 87
Det bruges, at og der omformes:
6.2.3 Beregning af rotationsenergi
Det blev tidligere vist, at rotationsenergi for et legeme er givet ved produktet af inertimomentet og
kvadratet på vinkelhastigheden:
Dette anvendes til beregning af rotationsenergi.
6.2.4 Evne til at ophobe kinetisk energi
Forsøget er lavet sådan, at loddets og akseperiferiens hastighed, v, er den samme. Ved at se på
rotationsenergien og loddets kinetiske energi ses, at det legeme af loddet og rotationssystemet, som har
størst inerti, får størst energi:
. Evnen til at ophobe
kinetisk energi er altså proportional med inertimomentet. Det ses i øvrigt, at akseradius, r, også er en
variabel. En sammenligning af den omtalte evne kræver altså konstant akse radius, hvilket er nogenlunde
tilnærmet i forsøget.
I dette forsøg sammenlignes evnen til at ophobe loddets kinetiske energi ved at finde forholdet mellem
rotationsenergi og potentiel energi
Altså hvor stor en del af al energien der er gået til rotation.
6.2.5 B
eregning af gnidningsmodstand
23
Ifølge ovenstående bliver loddets potentielle energi omdannet udelukkende til rotationsenergi og kinetisk
energi, men da der ikke arbejdes med et fuldkommen isoleret system, spiller ydre kræfter ind – heriblandt
gnidning i lejer og luftmodstand (kun ved roterende stang). Derfor indføres den energi, som går til gnidning,
E
gnid
, på følgende måde:
Det antages, at
udelukkende tappes fra rotationsenergien. Den energi, som er tilført hjulet er
. Denne energi går altså dels til rotation og dels til gnidning. Fra forsøget startes
og til rotationssystemet er gået i stå på grund af gnidningsmodstanden må altså være den tid, hvor al
rotationsenergien er gået til gnidning. Ved at tælle, hvor mange omgange, N, rotationssystemet drejer
findes, hvor meget energi, der går til gnidning pr. omgang. Dette kan udtrykkes:
23
Fogh: ”Stive legemers bevægelse” – pp. 25
[navn fjernet] SRP 09
3. z nr. 04 Stive legemers mekanik Svendborg Gymnasium og HF
Side 22 af 87
Den energi, som går til gnidning under forsøget findes ved at tælle hvor mange omgange, n, systemet
drejer under accelerationen og så gange det antal med gnidningsenergi pr. omgang:
Gnidningsmodstanden er kun afhængig af normalkraften og gnidningskoefficienten, som begge bevaret
uanset loddets masse (=rotationshastighed). Jo større rotationsenergi systemet får, jo mindre brøkdel vil
altså gives til gnidning, da gnidningen er den samme pr. tid. Kun ved stangen, hvor der også er
luftmodstand, vil der være en usikkerhed fordi luftmodstanden er proportional med kvadratet på farten.
Gnidningsmodstanden er regnet fra i alle forsøg og vil være at finde forsøgenes respektive bilag.
6.3 Forsøg med homogen stang med rotationsakse gennem massemidtpunkt
Formålet med dette forsøg er at eftervise en stangs inertimoment som det tidligere blev udledt.
6.3.1 Matematisk/teoretisk bestemmelse af I
Inertimomentet for en homogen stang med rotationsakse gennem massemidtpunktet blev tidligere vist at
være
.
Stangens masse, M, måles til 293.55 g og dens længde, L, måles til 31 cm. Dermed fås:
6.3.2 Eksperimentel bestemmelse
Forsøgsdata og resultater findes i bilag 2. Udregningsmetoderne er vist i afsnit 6.2.1 og 6.2.2.
Det gennemsnitlige inertimoment blev beregnet til
.
Den procentmæssige forskel bliver dermed:
Dette er den relative usikkerhed, som er risikabel at vise, da der arbejdes med så små tal. Den absolutte
forskel er 0.0004. Resultatet passer med teorien.
6.4 Homogen stang med rotationsakse gennem enden
Formålet med dette forsøg er at vise Steiners sætning ved at finde inertimomentet for samme stang som
foregående forsøg men med rotationsaksen parallelforskudt til enden (1.97 cm fra enden).
6.4.1 Matematisk/teoretisk bestemmelse af I
Ifølge Steiners sætning gælder:
Rotationsaksen på stangen var ikke placeret helt i enden af stangen, men 0.097 m fra enden og dermed
m fra rotationsaksen. Inertimomentet om den omtalte akse bliver dermed:
[navn fjernet] SRP 09
3. z nr. 04 Stive legemers mekanik Svendborg Gymnasium og HF
Side 23 af 87
6.4.2 Eksperimentel bestemmelse af I
Forsøgsdata og resultater findes i bilag 3. Udregningsmetoderne er vist i afsnit 6.2.1 og 6.2.2..
Det gennemsnitlige inertimoment blev beregnet til
.
Den procentmæssige forskel bliver da:
Det er imponerende, at dette resultat er så nøjagtigt fordi under forsøget vibrerede hele opstillingen, fordi
rotationsaksen ikke var igennem stangens massemidtpunkt og der opstod der ved svingninger.
6.5 Svinghjul med rotationsakse gennem massemidtpunkt og vinkelret på
diameter
Formålet med dette forsøg er at vise eftervise et svinghjuls inertimoment i overensstemmelse med
teoretiske beregninger heraf. Systemet er valgt med den interesse, at anvende et rigtigt svinghjul, som
kunne anvendes i virkeligheden.
6.5.1 Matematisk/teoretisk bestemmelse af I
Svinghjulet blev opmålt med skydelære og lineal for teoretisk at bestemme dets inertimoment.
Udregningerne er lagt i bilag 8. Inertimomentet blev beregnet til:
.
6.5.2 Eksperimentel bestemmelse
Forsøgsdata og resultater findes i bilag 4. Udregningsmetoderne er vist i afsnit 6.2.1 og 6.2.2..
Det gennemsnitlige inertimoment blev beregnet til
.
Den procentmæssige forskel bliver da:
Absolut forskel: 0.00521 kg*m
2
. Resultatet passer til teorien. Den relative forskel kan virke misvisende.
6.6 Cykelhjul med rotation gennem massemidtpunkt og vinkelret på diameter
Dette forsøg giver særlig mening i sammenhæng med næste forsøg, hvor der adderes en cylindrisk stang til
hjulet. Herved vises, at de to systemers inertimomenter kan adderes.
6.6.1 Eksperimentel bestemmelse af I
Forsøgsdata og resultater findes i bilag 5. Udregningsmetoderne er vist i afsnit 6.2.1 og 6.2.2..
Det gennemsnitlige inertimoment blev beregnet til
.
6.7 Cykelhjul + stang med samme rotationsakse som ved cykelhjulet
Formålet er gennemgået under forsøget med cykelhjul.
[navn fjernet] SRP 09
3. z nr. 04 Stive legemers mekanik Svendborg Gymnasium og HF
Side 24 af 87
6.7.1 Matematisk/teoretisk bestemmelse af I for stang alene
Stangen er 89 cm lang og vejer 9 kg. Inertimomentet beregnes dermed til:
6.7.2 Eksperimentel bestemmelse af I
Forsøgsdata og resultater findes i bilag 6. Udregningsmetoderne er vist i afsnit 6.2.1 og 6.2.2..
Det gennemsnitlige inertimoment blev beregnet til
Stangens inertimoment findes ved at trække cykelhjulets inertimoment fra dette det samlede
inertimoment:
Den procentvise forskel i forhold til det teoretisk bestemte inertimoment bliver da:
Dette er et godt resultat, som passer godt til teorien.
6.8 Energilagring og ophobning af kinetisk energi
Den lagrede energi i rotationen beregnes jf. afsnit 6.2.3. Denne størrelse vises ikke her men kan findes i
forsøgenes bilag. Tabel 1 (bilag 14) viser evnen til at ophobe kinetisk energi som forholdet mellem
rotationsenergi og kinetisk energi. Dette er sammenlignet med inertimomentet.
7 Vurdering og opsummering af forsøg
Det blev tydeligt vist, at stangens inertimoment steg, når stangens rotationsakse blev forskudt fra centrum
til stangens kant, jf. Steiners sætning (4.5.2). Dette giver mening, da stangens masse bliver flyttet længere
fra rotationsaksen. I forsøget med cykelhjul + stang, blev det vist at man kan opfatte et sammensat legeme
som et partikelsystem bestående af 2 partikler, og dermed finde det samlede inertimoment ved at addere
hver partikels inertimoment. Denne metode blev også brugt til udledning af teoretisk inertimoment (se
afsnittet, ”inertimomenter” 4.5).
Legemernes akseradius var forholdsvis ens, bortset fra svinghjulets, som var noget større. Evnen til at lagre
energi (vist i tabel 1 bilag 14) kan derfor ikke helt sammenlignes. Hvis ikke r er konstant, yder loddet
forskellige kraftmomenter på systemet og omvendt. I øvrigt indgår r i definitionen på rotationsenergien
(ω=v/r). Tendensen, at inertimomentet og energilagringsevnen er proportional ses dog tydeligt i tabel 1
bilag 14 på trods af den forskellige akseradius.
I afsnittet ”om begrebet inerti” 4.1.1 blev det forklaret, hvorfor en stang burde have lavere inertimoment
end en ring med samme masse. Dette blev eftervist i forsøget. Det skal dog understrejes, at svinghjulet og
cykelhjulet (ringe) havde større masse en stangen. Derfor kan det ikke alene af forsøget konkluderes, at
ringen som geometrisk form skulle have større inertimoment ind stangen. Teorien beviser dog dette (se
afsnit: ”inertimomenter” 4.5.)
[navn fjernet] SRP 09
3. z nr. 04 Stive legemers mekanik Svendborg Gymnasium og HF
Side 25 af 87
Forsøgets svaghed i forhold til at sammenligne inertimomenter og evne til at ophobe kinetisk energi ligger i,
at der er for mange variable der er forskellige fra forsøg til forsøg. I naturvidenskab søger man gerne, at
isolere én variabel, og så holde alle de andre konstante hver gang. Variabler som systemets masse og
aksens radius har afgørende betydning for systemets energilagringsevnen for. Jo større akseradius, jo større
bliver loddets kraftmoment på hjulet, dermed bliver vinkelaccelerationen større fordi H=I*
. Jo tungere
systemet er, jo større bliver dets inertimoment fordi
.
Den eneste variabel man burde ændre var loddets vægt. Faldhøjden burde også have været holdt konstant.
Således kunne man finde frem til den geometriske form, som bedst kunne lagre energi og havde størst
inertimoment.
På trods af den store mængde empiri, afveg en del af forsøgsresultaterne alligevel procentuelt fra de
teoretisk bestemte resultater. Stangens inertimoment har været forholdsvis let at bestemme teoretisk.
Alligevel afveg praksis fra teori for stangen. Forsøget må altså have indeholdt en række fejlkilder.
Fejlkilderne i forsøget var bl.a. gnidningsmodstanden, som det dog forsøgtes at tage højde for ved
korrektion (6.2.5). Også målingerne gav vanskeligheder, da der ofte var forskel mellem værdier i LoggerPro
og så manuelle målinger. Sådanne fejlkilder kunne reduceres superledere til magnetiske lejer, og ultra-
præcise måleredskaber. Set i forhold til udstyret gav forsøget acceptable resultater. Det skal igen
understrejes, at de procentuelle forskelle kan give indtryk af større usikkerhed end der virkelig er.
8 Konklusion
Man kan opfatte roterende partikelsystemer som bestående af mange partikler, som hver har deres
inertimomenter i forhold til en rotationsakse. Det samlede inertimoment omkring samme rotationsakse
findes da ved at summere eller integrere over hele systemet. Denne opfattelse gælder også, for
massemidtpunkter, at man opfatter systemet som bestående af mange massemidtpunkter, som tilsammen
har ét samlet massemidtpunkt givet ved massemidtpunktssætningen for et sammensat legeme. Ved brug af
denne sætning, kan newtons 2. lov også bruges for partikelsystemer. Her forestiller man sig at de kræfter
der virker på legemets partikler alle kan samles i massemidtpunktspartiklen. Et partikelsystems samlede
impuls (ikke impulsmoment!) er da givet ved
, hvor v
c
er massemidtpunktets hastighed og m er
legemets totale masse.
Inertimoment er et udtryk for et roterende systems inerti. Der er sammenhæng mellem inertimoment og
vinkelhastighed i forbindelse med rotationsenergi,
. Inertimoment viste sig, at være det
samme for roterende systemer, som masse er for tranlaterende systemer – altså systemets træghed eller
inerti. Det blev eksperimentelt eftervist, at inertimomentet er proportionalt med systemernes evne til at
ophobe kinetisk energi. Et system med højt inertimoment viste sig altså, at være god til at ophobe kinetisk
energi fra et faldende lod. Opgaven har dermed vist svinghjulets anvendelighed som energilager samt
belyst, at højt inertimoment giver stor rotationsenergi.
Denne egenskab ved svinghjul gør dem egnede som batterier til at lagre energi fra elnettet. Fordelen ved at
lagre energi er, at elproduktionen bliver mere kontinuer, og at man dermed kan spare energi og skåne
miljøet. Der blev også givet eksempler på brug af svinghjulsbatteriet i køretøjer. Måske bliver svinghjul
mere udbredt som energilagrer i fremtiden.
[navn fjernet] SRP 09
3. z nr. 04 Stive legemers mekanik Svendborg Gymnasium og HF
Side 26 af 87
9 Litteraturliste
Christiansen, G., Both, E., & Sørensen, P. Ø. (2002). Kapitel 7. Plan bevægelse af stive legemer. I G.
Christiansen, E. Both, & P. Ø. Sørensen, Mekanik (s. 7-1,7-42). Lyngby: Institut for Fysik, Danmarks Tekniske
Institut.
Clausen, F., Schomacker, G., & Tolnø, J. (2008). 1.2 Regneregler for differentiation: Produkt og sammensat
funktion. I F. Clausen, G. Schomacker, & J. Tolnø, Gyldendals Gymnasiematematik, Grundbog A (s. 15 og
20). København: Gyldendalske Boghandel, Nordisk Forlag A/S.
Clausen, R. A. (11. 1 2009). Svinghjul kan gøre elbiler meget bedre. Hentede fra Ingenøren:
http://ing.dk/artikel/94734-svinghjul-kan-goere-elbiler-meget-bedre
comon.dk. (). Om praktisk anvendelse af svinghjul. Hentede fra comon.dk:
http://www.comon.dk/nyheder/Svinghjul-skal-lagre-energi-1.246989.html
Fogh, E., & Nielsen, K. E. (1995). Stive Legemers Bevægelse. Silkeborg: Silkeborg Bogtrykkeri.
Inertimomenter. (). Hentede 7. 12 2009 fra Wikipidia:
http://da.wikipedia.org/wiki/Inertimoment
Knudsen, O., & Pedersen, O. (1972). Kapitel 7, Stive legemers bevægelse. I O. Knudsen, & O. Pedersen,
Lærebog i mekanik 2. del (s. 34-112). Akedemisk forlag.
Risø. (marts 1999). Risønyt. Hentede fra Risø nyt 99:
www.risoe.dtu.dk/rispubl/Risnyt/risnytpdf/riso-1-99.pdf
Staffansson, E., Andersson, B., & Johansson, K.-E. (1973). Kapitel 9, Partikelsysteer. I E. Staffansson, B.
Andersson, & K.-E. Johansson, Fysik i grundtræk (2A mekanik) 2. udgave (s. 106-119). København:
Munksgaard.
Tychsen, C. (August 1861). Om begrebet, træghed. Matematisk Tidsskift , s. 1-8.
[navn fjernet] SRP 09
3. z nr. 04 Stive legemers mekanik Svendborg Gymnasium og HF
Side 27 af 87
10 Bilag
Med hensyn til forsøgsdata er der vist alle nødvendige forsøgsdata samt én graf for hver lodvægt for hvert
forsøg. Loddets vægt, vil for graferne være at finde i vinduets navn i det blå felt over menulinjen. Hvert
bilag med forsøgsdata indledes med et gennemsnit og resultat af alle målinger.
10.1 Bilag 1 – Systematisk gennemgang af inertimoment for kugle
Inertimomentet blev i opgaven hurtigt udregnet som følger.
Her gennemgås systematisk, hvordan der kommes til dette resultat:
Både R
4
og R
2
er konstanter, da kuglens radius er konstant. Derfor integreres disse som konstanter:
Der skrives ud:
Der reduceres med hensyn til fortegn:
Potenser med ens rod ganges ud:
Det bruges, at fællesnævneren er 15:
Brøkerne lægges sammen:
Der ganges ud:
[navn fjernet] SRP 09
3. z nr. 04 Stive legemers mekanik Svendborg Gymnasium og HF
Side 28 af 87
10.2 Bilag 2. Stang med rotationsakse omkring massemidtpunkt
Gennemsnit for forsøgsdata
Gennemsnitligt inertimoment ved kraftbetragtninger Gennemsnitligt inertimoment ved energibetragtninger
0.1998 kg 79 kg*m^2
0.1998 kg 1 kg*m^2
0.0530kg 97 kg*m^2
0.0530kg 4 kg*m^2
Gennemsnitlig energilagring (0.5*I*ω^2) Total gennemsnit Inertimoment
0.1998 kg 56 Joule 06 kg*m^2
0.0530kg 32 Joule
Gennemsnitlig rotationsenergitab pr. omgang
96 Joule
Energilagring korrigeret for tab
0.1998 kg 61 Joule
0.0530kg 36 Joule
Gennemsnitlig potentiel energi for lod (mgh)
0.1998 kg Joule
0.0530kg 98 Joule
Procent rotationsenergi i forhold til potentiel (Erot/Epot)
0.1998 kg 66 procent
0.0530kg 66 procent
Middelværdi 16 procent
[navn fjernet] SRP 09
3. z nr. 04 Stive legemers mekanik Svendborg Gymnasium og HF
Side 29 af 87
Kraftbetragtninger Energibetragtninger
Stang C 1 Stang C 1
Loddets masse m 0.1998 kg Loddets masse m 0.1998 kg
Tyngdeaccelerationen g 9.80665 m/s^2 Tyngdeaccelerationen g 9.80665 m/s^2
Aksels radius r 0.0177 m Aksels radius r 0.0177 m
Lods acceleration a 0.3154 m/s^2 Faldhøjde h 1.605 m
Sluthastighed v 0.986 m/s
Tophastighed for
svinghjuls kant v 0.986 m/s
Vinkelhasighed ω v/r
55.7062
1469 rad/s Vinkelhastighed ω v/r
55.70621
469 rad/s
Inertimoment
eksperimentelt I
(m*g*r^2
-
m*a*r^2)/a
0.00188
3665 kg*m^2
Inertimoment
eksperimentelt I
((2*m*g*h)/(ω^
2))-m*r^2
0.001964
219 kg*m^2
Rotationsenergi max E 0.5*I*ω^2
2.92267
8481 Joule Rotationsenergi E (0.5*I*ω^2)
3.047664
335 Joule
Gnidningsmodstand Gnidningsmodstand
Antal omdrejninger start
til stop N 175.8
Antal omdrejninger start
til stop N
Antal omdrejninger
under acceleration n 13
Antal omdrejninger
under acceleration n
Energi tabt pr. omgang E(1)
(m*g*h
-
0.5*m*v^2)/N
0.01093
2877
Joule/O
mgang Energi tabt pr. omgang E(1)
(m*g*h
-
0.5*m*v^2)/N
#REFEREN
CE!
Joule/Omga
ng
Energi tabt under forsøg
E(ta
b) E(1)*n
0.14212
7398 Joule Energi tabt under forsøg
E(ta
b) E(1)*n
#REFEREN
CE! Joule
[navn fjernet] SRP 09
3. z nr. 04 Stive legemers mekanik Svendborg Gymnasium og HF
Side 30 af 87
Stang C 2 Stang C 2
Loddets masse m 0.1998 kg Loddets masse m 0.1998 kg
Tyngdeaccelerationen g 9.80665 m/s^2 Tyngdeaccelerationen g 9.80665 m/s^2
Aksels radius r 0.0177 m Aksels radius r 0.0177 m
Lods acceleration a 0.3115 m/s^2 Faldhøjde h 1.62 m
Sluthastighed v 0.996 m/s
Tophastighed for
svinghjuls kant v 0.987 m/s
Vinkelhasighed ω v/r
56.2711
8644 rad/s Vinkelhastighed ω v/r
55.7627
1186 rad/s
Ine
rtimoment
eksperimentelt I
(m*g*r^2
-
m*r^2)/a
0.00190
8033 kg*m^2
Inertimoment
eksperimentelt I
((2*m*g*h)/(ω^2
))-m*r^2
0.001979
018 kg*m^2
Rotationsenergi max E 0.5*I*ω^2
3.02084
1535 Joule Rotationsenergi E (0.5*I*ω^2)
3.07685
7762 Joule
Gnidningsmodstand Gnidningsmodstand
Antal omdrejninger start
til stop N 178.5
Antal omdrejninger start
til stop N
Antal omdrejninger under
acceleration n 13
Antal omdrejninger under
acceleration n
Energi tabt pr. omgang E(1)
(m*g*h
-
0.5*m*v^2)/N
0.
01087
8642
Joule/Om
gang Energi tabt pr. omgang E(1)
(m*g*h
-
0.5*m*v^2)/N
#REFERE
NCE!
Joule/Om
gang
Energi tabt under forsøg
E(ta
b) E(1)*n
0.14142
2352 Joule Energi tabt under forsøg
E(ta
b) E(1)*n
#REFERE
NCE! Joule
[navn fjernet] SRP 09
3. z nr. 04 Stive legemers mekanik Svendborg Gymnasium og HF
Side 31 af 87
Stang C 3 Stang C 3
Loddets masse m 0.1998 kg Loddets masse m 0.1998 kg
Tyngdeaccelerationen g 9.80665 m/s^2 Tyngdeaccelerationen g 9.80665 m/s^2
Aksels radius r 0.0177 m Aksels radius r 0.0177 m
Lods acceleration a 0.3333 m/s^2 Faldhøjde h 1.605 m
Sluthastighed v 1.009 m/s
Tophastighed for
svinghjuls kant v 1.009 m/s
Vinkelhasighed ω v/r
57.0056
4972 rad/s Vinkelhastighed ω v/r
57.0056
4972 rad/s
Inertimoment
eksperimentelt I
(m*g*r^2
-
m*r^2)/a
0.00177
9141 kg*m^2
Inertimoment
eksperimentelt I
((2*m*g*h)/(ω^2
))-m*r^2
0.001872
87 kg*m^2
Rotationsenergi max E 0.5*I*ω^2
2.89078
698 Joule Rotationsenergi E (0.5*I*ω^2)
3.04308
0423 Joule
Gnidningsmodstand Gnidningsmodstand
Antal omdrejninger start
til stop N 167
Antal omdrejninger start
til stop N
Antal omdrejninger under
acceleration n 13
Antal omdrejninger under
acceleration n
Energi tabt pr. omgang E(1)
(m*g*h
-
0.5*m*v^2)/N
0.01177
1887
Joule/Om
gang Energi tabt pr. omgang E(1)
(m*g*h
-
0.5*m*v^2)/N
#REFERE
NCE!
Joule/Om
gang
Energi tabt under forsøg
E(ta
b) E(1)*n
0.15303
4537 Joule Energi tabt under forsøg
E(ta
b) E(1)*n
#REFERE
NCE! Joule
[navn fjernet] SRP 09
3. z nr. 04 Stive legemers mekanik Svendborg Gymnasium og HF
Side 32 af 87
Stang C 4 Stang C 4
Loddets masse m
0.1998 kg Loddets masse m
0.1998 kg
Tyngdeaccelerationen g 9.80665 m/s^2 Tyngdeaccelerationen g 9.80665 m/s^2
Aksels radius r 0.0177 m Aksels radius r 0.0177 m
Lods acceleration a 0.3299 m/s^2 Faldhøjde h 1.602 m
Sluthastighed v 0.987 m/s
Tophastighed for svinghjuls
kant v 0.987 m/s
Vinkelhasighed ω
v/r
86 rad/s Vinkelhastighed ω
v/r
55.76271
186 rad/s
Inertimo
ment
eksperimentelt I
(m*g*r^2
-
m*r^2)/a
22
kg*m^
2
Inertimoment
eksperimentelt I
((2*m*g*h)/(ω^2))
-
m*r^2
33
kg*m^
2
Rotationsenergi max E 0.5*I*ω^2
38 Joule Rotationsenergi E (0.5*I*ω^2)
3.041589
126 Joule
Stang C 5 Stang C 5
Loddets masse m
0.1998 kg Loddets masse m
0.1998 kg
Tyngdeaccelerationen g 9.80665 m/s^2 Tyngdeaccelerationen g 9.80665 m/s^2
Aksels radius r 0.0177 m Aksels radius r 0.0177 m
Lods acceleration a 0.3112 m/s^2 Faldhøjde h 1.605 m
Sluthastighed v 0.98 m/s
Tophastighed for svinghjuls
kant v 0.98 m/s
Vinkelhasighed ω
v/r
64 rad/s Vinkelhastighed ω
v/r
55.36723
164 rad/s
Inertimoment
eksperimentelt I
(m*g*r^2
-
m*r^2)/a
32
kg*m^
2
Inertimoment
eksperimentelt I
((2*m*g*h)/(ω^2))
-
m*r^2
13
kg*m^
2
Rotationsenergi max E 0.5*I*ω^2
47 Joule Rotationsenergi E (0.5*I*ω^2)
3.048842
755 Joule
[navn fjernet] SRP 09
3. z nr. 04 Stive legemers mekanik Svendborg Gymnasium og HF
Side 33 af 87
Stang C 6 Stang C 6
Loddets masse m 0.053 kg Loddets masse m 0.053 kg
Tyngdeacceleratione
n g 9.80665
m/s^
2 Tyngdeaccelerationen g 9.80665
m/s^
2
Aksels radius r 0.0177 m Aksels radius r 0.0177 m
Lods acceleration a 0.07576
m/s^
2 Faldhøjde h 1.62 m
Sluthastighed v 0.495 m/s
Tophastighed for
svinghjuls kant v 0.495 m/s
Vinkelhasighed ω v/r 69 rad/s Vinkelhastighed ω v/r
27.96610
169 rad/s
Inertim
oment
eksperimentelt I
(m*g*r^2
-
m*r^2)/a 26
kg*m
^2
Inertimoment
eksperimentelt I
((2*m*g*h)/(ω^2))
-
m*r^2
0.002136
563
kg*m
^2
Rotationsenergi max
E 0.5*I*ω^412 Joule Rotationsenergi E (0.5*I*ω^2)
0.835505
807 Joule
Stang C 7 Stang C 7
Loddets masse m 0.053 kg Loddets masse m 0.053 kg
Tyngdeaccelerationen g 9.80665 m/s^2 Tyngdeaccelerationen g 9.80665 m/s^2
Aksels radius r 0.0177 m Aksels radius r 0.0177 m
Lods acceleration a 0.07187 m/s^2 Faldhøjde h 1.635 m
Sluthastighed v 0.47 m/s
Tophastighed for
svinghjuls kant v 0.47 m/s
Vinkelhasighed ω v/r
26.55367
232 rad/s Vinkelhastighed ω v/r
26.55367
232 rad/s
Inertimoment
eksperimentelt I
(m*g*r^2
-
m*r^2)/a
0.002249
059 kg*m^2
Inertimoment
eksperimentelt I
((2*m*g*h)/(ω^2)
)-m*r^2
0.002393
829 kg*m^2
Rotationsenergi max E 0.5*I*ω^2
0.792903
046 Joule Rotationsenergi E (0.5*I*ω^2)
0.843941
406 Joule
[navn fjernet] SRP 09
3. z nr. 04 Stive legemers mekanik Svendborg Gymnasium og HF
Side 34 af 87
Stang C 8
Stang C 8
Loddets masse m 0.053 kg
Loddets masse m 0.053 kg
Tyngdeaccelerationen g 9.80665 m/s^2
Tyngdeaccelerationen g 9.80665 m/s^2
Aksels radius r 0.0177 m
Aksels radius r 0.0177 m
Lods acceleration a 0.07469 m/s^2
Faldhøjde h 1.635 m
Sluthastighed v 0.487 m/s
Tophastighed for
svinghjuls kant v 0.487 m/s
Vinkelhasighed ω v/r
27.51412
429 rad/s
Vinkelhastighed ω v/r
27.51412
429 rad/s
Inerti
moment
eksperimentelt I
(m*g*r^2
-
m*r^2)/a
0.002163
517 kg*m^2
Inertimoment
eksperimentelt I
((2*m*g*h)/(ω^2)
)-m*r^2
0.002228
481 kg*m^2
Rotationsenergi max E 0.5*I*ω^2
0.818920
329 Joule
Rotationsenergi E (0.5*I*ω^2)
0.843510
277 Joule
Stang C 9
Stang C 9
Loddets masse m 0.053 kg
Loddets masse m 0.053 kg
Tyngdeaccelerationen g 9.80665 m/s^2
Tyngdeaccelerationen g 9.80665 m/s^2
Aksels radius r 0.0177 m
Aksels radius r 0.0177 m
Lods acceleration a 0.08244 m/s^2
Faldhøjde h 1.635 m
Sluthastighed v 0.488 m/s
Tophastighed for
svinghjuls kant v 0.488 m/s
Vinkelhasighed ω v/r
27.57062
147 rad/s
Vinkelhastighed ω v/r
27.57062
147 rad/s
Inertimoment
eksperimentelt I
(m*g*r^2
-
m*r^2)/a
0.001958
568 kg*m^2
Inertimoment
eksperimentelt I
((2*m*g*h)/(ω^2)
)-m*r^2
0.002219
29 kg*m^2
Rotationsenergi max E 0.5*I*ω^2
0.744392
286 Joule
Rotationsenergi E (0.5*I*ω^2)
0.843484
44 Joule
[navn fjernet] SRP 09
3. z nr. 04 Stive legemers mekanik Svendborg Gymnasium og HF
Side 35 af 87
Stang C 10 Stang C 10
Loddets masse m
0.053 kg Loddets masse m
0.053 kg
Tyngdeaccelerationen g 9.80665 m/s^2 Tyngdeaccelerationen g 9.80665 m/s^2
Aksels radius r 0.0177 m Aksels radius r 0.0177 m
Lods acceleration a 0.7858 m/s^2 Faldhøjde h
1.635 m
Sluthastighed v 0.485 m/s
Tophastighed for svinghjuls
kant v 0.485 m/s
Vinkelhasighed ω
v/r
94 rad/s Vinkelhastighed ω
v/r
94 rad/s
Inertimoment
eksperimentelt I
(m*g*r^2
-
m*r^2)/a
15
kg*m^
2
Inertimoment
eksperimentelt I
((2*m*g*h)/(ω^2))
-
m*r^2
36
kg*m^
2
Rotationsenergi max E
0.5*I*ω^2
87 Joule Rotationsenergi E
(0.5*I*ω^2)
93 Joule
[navn fjernet] SRP 09
3. z nr. 04 Stive legemers mekanik Svendborg Gymnasium og HF
Side 36 af 87
[navn fjernet] SRP 09
3. z nr. 04 Stive legemers mekanik Svendborg Gymnasium og HF
Side 37 af 87
[navn fjernet] SRP 09
3. z nr. 04 Stive legemers mekanik Svendborg Gymnasium og HF
Side 38 af 87
10.3 Bilag 3 – stang med rotationsakse gennem enden
Gennemsnit af forsøgsdata
Gennemsnitligt inertimoment ved kraftmetragtninger Gennemsnitligt inertimoment ved energibetragtninger
0.0530kg 87 kg*m^2
0.0530kg 99 kg*m^2
0.1998 kg 05 kg*m^2
0.1998 kg 3 kg*m^2
Gennemsnitlig energilagring Total gennemsnitligt Inertimoment
0.0530kg 82 Joule 8 kg*m^2
0.1998 kg 76 Joule
Gennemsnitlig rotationsenergitab pr. omgang
96 Joule
Energilagring korrigeret for tab
0.0530kg 86 Joule
0.1998 kg 8 Joule
Gennemsnitlig potentiel energi
0.0530kg 13 Joule
0.1998 kg 42 Joule
Procent rotationsenergi i forhold til potentiel
0.0530kg 31 procent
0.1998 kg 55 procent
Middelværdi 93 procnet
[navn fjernet] SRP 09
3. z nr. 04 Stive legemers mekanik Svendborg Gymnasium og HF
Side 39 af 87
Kraftbetragtninger
Energibetragtninger
Stang k 11
Stang k 11
Loddets masse m
0.053 kg
Loddets masse m
0.053 kg
Tyngdeaccelerationen g 9.80665 m/s^2
Tyngdeaccelerationen g 9.80665 m/s^2
Aksels radius r 0.0177 m
Aksels radius r 0.0177 m
Lods acceleration a 0.02031 m/s^2
Faldhøjde h
1.65 m
Sluthastighed v 0.254 m/s
Tophastighed for svinghjuls
kant v 0.254 m/s
Vinkelhasighed ω
v/r
49 rad/s
Vinkelhastighed ω
v/r
49 rad/s
Inertimoment
eksperimentelt I
(m*g*r^2
-
m*a*r^2)/a
88
kg*m^
2
Inertimoment
eksperimentelt I
((2*m*g*h)/(ω^2))
-
m*r^2
33
kg*m^
2
Rotationsenergi max E
0.5*I*ω^2
97 Joule
Rotationsenergi E
(0.5*I*ω^2)
69 Joule
Stang k 12
Stang k 12
Loddets masse m
0.053 kg
Loddets masse m
0.053 kg
Tyngdeaccelerationen g 9.80665 m/s^2
Tyngdeaccelerationen g 9.80665 m/s^2
Aksels radius r 0.0177 m
Aksels radius r 0.0177 m
Lods acceleration a 0.02061 m/s^2
Faldhøjde h
1.635 m
Sluthastighed v 0.252 m/s
Tophastighed for svinghjuls
kant v 0.252 m/s
Vinkelhasighed ω
v/r
14 rad/s
Vinkelhastighed ω
v/r
14 rad/s
Inertimoment
eksperimentelt I
(m*g*r^2
-
m*r^2)/a
87
kg*m^
2
Inertimoment
eksperimentelt I
((2*m*g*h)/(ω^2))
-
m*r^2
39
kg*m^
2
Rotationsenergi max E
0.5*I*ω^2
7 Joule
Rotationsenergi E
(0.5*I*ω^2) Joule
[navn fjernet] SRP 09
3. z nr. 04 Stive legemers mekanik Svendborg Gymnasium og HF
Side 40 af 87
Stang k 13
Stang k 13
Loddets masse m
0.053 kg
Loddets masse m
0.053 kg
Tyngdeaccelerationen g 9.80665 m/s^2
Tyngdeaccelerationen g 9.80665 m/s^2
Aksels radius r 0.0177 m
Aksels radius r 0.0177 m
Lods acceleration a 0.0216 m/s^2
Faldhøjde h
1.635 m
Sluthastighed v 0.255 m/s
Tophastighed for svinghjuls
kant v 0.255 m/s
Vinkelhasighed ω
v/r
66 rad/s
Vinkelhastighed ω
v/r
66 rad/s
Inertimoment
eksperimentelt I
(m*g*r^2
-
m*r^2)/a
72
kg*m^
2
Inertimoment
eksperimentelt I
((2*m*g*h)/(ω^2))
-
m*r^2
11
kg*m^
2
Rotationsenergi max E
0.5*I*ω^2
57 Joule
Rotationsenergi E
(0.5*I*ω^2)
93 Joule
Stang k 14
Stang k 14
Loddets masse m
0.053 kg
Loddets masse m
0.053 kg
Tyngdeaccelerationen g 9.80665 m/s^2
Tyngdeaccelerationen g 9.80665 m/s^2
Aksels radius r 0.0177 m
Aksels radius r 0.0177 m
Lods acceleration a 0.02116 m/s^2
Faldhøjde h
1.635 m
Sluthastighed v 0.254 m/s
Tophastighed for svinghjuls
kant v 0.254 m/s
Vinkelhasighed ω
v/r
49 rad/s
Vinkelhastighed ω
v/r
49 rad/s
Inertimoment
eksperimentelt I
(m*g*r^2
-
m*r^2)/a
29
kg*m^
2
Inertimoment
eksperimentelt I
((2*m*g*h)/(ω^2))
-
m*r^2
15
kg*m^
2
Rotationsenergi max E
0.5*I*ω^2
2 Joule
Rotationsenergi E
(0.5*I*ω^2)
82 Joule
[navn fjernet] SRP 09
3. z nr. 04 Stive legemers mekanik Svendborg Gymnasium og HF
Side 41 af 87
Stang k 15
Stang k 15
Loddets masse m
0.053 kg
Loddets masse m
0.053 kg
Tyngdeaccelerationen g 9.80665 m/s^2
Tyngdeaccelerationen g 9.80665 m/s^2
Aksels radius r 0.0177 m
Aksels radius r 0.0177 m
Lods acceleration a 0.021 m/s^2
Faldhøjde h
1.635 m
Sluthastighed v 0.249 m/s
Tophastighed for svinghjuls
kant v 0.249 m/s
Vinkelhasighed ω
v/r
61 rad/s
Vinkelhastighed ω
v/r
61 rad/s
Inertimoment
eksperimentelt I
(m*g*r^2
-
m*r^2)/a
6
kg*m^
2
Inertimoment
eksperimentelt I
((2*m*g*h)/(ω^2))
-
m*r^2
98
kg*m^
2
Rotationsenergi max E
0.5*I*ω^2
65 Joule
Rotationsenergi E
(0.5*I*ω^2)
29 Joule
Stang k 16
Stang k 16
Loddets masse m
0.1998 kg
Loddets masse m
0.1998 kg
Tyngdeaccelerationen g 9.80665 m/s^2
Tyngdeaccelerationen g 9.80665 m/s^2
Aksels radius r 0.0177 m
Aksels radius r 0.0177 m
Lods acceleration a 0.09567 m/s^2
Faldhøjde h
1.62 m
Sluthastighed v 0.505 m/s
Tophastighed for svinghjuls
kant v 0.505 m/s
Vinkelhasighed ω
v/r
45 rad/s
Vinkelhastighed ω
v/r
45 rad/s
Inertimoment
eksperimentelt I
(m*g*r^2
-
m*r^2)/a
38
kg*m^
2
Inertimoment
eksperimentelt I
((2*m*g*h)/(ω^2))
-
m*r^2
54
kg*m^
2
Rotationsenergi max E
0.5*I*ω^2
39 Joule
Rotationsenergi E
(0.5*I*ω^2)
48 Joule
[navn fjernet] SRP 09
3. z nr. 04 Stive legemers mekanik Svendborg Gymnasium og HF
Side 42 af 87
Stang k 17
Stang k 17
Loddets masse m
0.1998 kg
Loddets masse m
0.1998 kg
Tyngdeaccelerationen g 9.80665 m/s^2
Tyngdeaccelerationen g 9.80665 m/s^2
Aksels radius r 0.0177 m
Aksels radius r 0.0177 m
Lods acceleration a 0.07187 m/s^2
Faldhøjde h
1.815 m
Sluthastighed v 0.518 m/s
Tophastighed for svinghjuls
kant v 0.518 m/s
Vinkelhasighed ω
v/r
72 rad/s
Vinkelhastighed ω
v/r
72 rad/s
Inertimoment
eksperimentelt I
(m*g*r^2
-
m*r^2)/a
29
kg*m^
2
Inertimoment
eksperimentelt I
((2*m*g*h)/(ω^2))
-
m*r^2
34
kg*m^
2
Rotationsenergi max E
0.5*I*ω^2
42 Joule
Rotationsenergi E
(0.5*I*ω^2)
68 Joule
[navn fjernet] SRP 09
3. z nr. 04 Stive legemers mekanik Svendborg Gymnasium og HF
Side 43 af 87
Stang k 18 Stang k 18
Loddets masse m
0.1998 kg Loddets masse m
0.1998 kg
Tyngdeaccelerationen g 9.80665 m/s^2 Tyngdeaccelerationen g 9.80665 m/s^2
Aksels radius r 0.0177 m Aksels radius r 0.0177 m
Lods acceleration a 0.08411 m/s^2 Faldhøjde h 1.635 m
Sluthastighed v 0.511 m/s
Tophastighed for
svinghjuls kant v 0.511 m/s
Vinkelhasighed ω
v/r
5 rad/s Vinkelhastighed ω
v/r
28.87005
6
5 rad/s
Inertimoment
eksperimentelt I
(m*g*r^2
-
m*r^2)/a
93
kg*m^
2
Inertimoment
eksperimentelt I
((2*m*g*h)/(ω^2))
-
m*r^2
13
kg*m
^2
Rotationsenergi max E 0.5*I*ω^2
6 Joule Rotationsenergi E (0.5*I*ω^2)
88 Joule
Stang k 19 Stang k 19
Loddets masse m
0.1998 kg Loddets masse m
0.1998 kg
Tyngdeaccelerationen g 9.80665 m/s^2 Tyngdeaccelerationen g 9.80665 m/s^2
Aksels radius r 0.0177 m Aksels radius r 0.0177 m
Lods acceleration a 0.08538 m/s^2 Faldhøjde h 1.635 m
Sluthastighed v 0.521 m/s
Tophastighed for
svinghjuls kant v 0.521 m/s
Vinkelhasighed ω
v/r
25 rad/s Vinkelhastighed ω
v/r
25 rad/s
Inertimoment
eksperimentelt I
(m*g*r^2
-
m*r^2)/a
35
kg*m^
2
Inertimoment
eksperimentelt I
((2*m*g*h)/(ω^2))
-
m*r^2
51 kg*m^2
Rotationsenergi max E 0.5*I*ω^2
55 Joule Rotationsenergi E (0.5*I*ω^2)
2 Joule
[navn fjernet] SRP 09
3. z nr. 04 Stive legemers mekanik Svendborg Gymnasium og HF
Side 44 af 87
Stang k 20
Stang k 20
Loddets masse m
0.1998 kg
Loddets masse m
0.1998 kg
Tyngdeaccelerationen g 9.80665 m/s^2
Tyngdeaccelerationen g 9.80665 m/s^2
Aksels radius r 0.0177 m
Aksels radius r 0.0177 m
Lods acceleration a 0.08134 m/s^2
Faldhøjde h 1.635 m
Sluthastighed v 0.493 m/s
Tophastighed for
svinghjuls kant v 0.493 m/s
Vinkelhasighed ω
v/r
34 rad/s
Vinkelhastighed ω
v/r
34 rad/s
Inertimoment
eksperimentelt I
(m*g*r^2
-
m*r^2)/a
3
kg*m^
2
Inertimoment
eksperimentelt I
((2*m*g*h)/(ω^2))
-
m*r^2
98 kg*m^2
Rotationsenergi max E 0.5*I*ω^2
83 Joule
Rotationsenergi E (0.5*I*ω^2)
8 Joule
[navn fjernet] SRP 09
3. z nr. 04 Stive legemers mekanik Svendborg Gymnasium og HF
Side 45 af 87
[navn fjernet] SRP 09
3. z nr. 04 Stive legemers mekanik Svendborg Gymnasium og HF
Side 46 af 87
[navn fjernet] SRP 09
3. z nr. 04 Stive legemers mekanik Svendborg Gymnasium og HF
Side 47 af 87
10.4 Bilag 4 – Svinghjul
Gennemsnit for forsøgsdata
Gennemsnitligt inertimoment for kraftbetragtninger
Gennemsnitligt inertimoment
for energibetragtninger
0.1998 kg
kg*m^2
0.1998 kg
16 kg*m^2
0.049 kg
88 kg*m^2
0.049 kg
16 kg*m^2
0.4984 kg
5 kg*m^2
0.4984 kg
64 kg*m^2
Gennemsnitlig energioplagring (0.5*I*ω^2)
Total gennemsnit Inertimoment
0.1998 kg
7 Joule
81 kg*m^2
0.049 kg
06 Joule
0.4984 kg
16 Joule
Gennemsnitlig rotationsenergitab pr. omgang 76 joule
Energilagring korrigeret for tab
0.1998 kg
94 joule
0.049 kg
31 joule
0.4984 kg
4 joule
Gennemsnitlig potentiel energi (mgh)
0.1998 kg
98 Joule
0.049 kg
67 Joule
0.4984 kg
21 Joule
Procent rotationsenergi i forhold til potentiel (Erot/Epot)
0.1998 kg
53 procent
0.049 kg
58 procent
0.4984 kg
59 procent
9 procent
[navn fjernet] SRP 09
3. z nr. 04 Stive legemers mekanik Svendborg Gymnasium og HF
Side 48 af 87
Kraftbetragtninger
Energibetragtninger
Svinghjul 1
Svinghjul 1
Loddets masse m 0.1998 kg
Loddets masse m 0.1998 kg
Tyngdeaccelerationen g 9.80665 m/s^2
Tyngdeaccelerationen g 9.80665 m/s^2
Aksels radius r 0.10823 m
Aksels radius r 0.10823 m
Lods acceleration a 0.8891 m/s^2
Faldhøjde h 1.755 m
Sluthastighed v 1.775 m/s
Tophastighed for
svinghjuls kant v 1.775 m/s
Vinkelhasighed ω v/r
16.4002
5871 rad/s
Vinkelhastighed ω v/r
16.4002
5871 rad/s
Inertimoment
eksperimentelt I
(m*g*r^2
-
m*a*r^2)/a
0.02347
3927 kg*m^2
Inertimoment
eksperimentelt I
((2*m*g*h)/ω^2
)-m*r^2
0.02322
9075 kg*m^2
Rotationsenergi max E 0.5*I*ω^2
3.15687
3255 Joule
Rotationsenergi E (0.5*I*ω^2)
3.12394
4578 Joule
Gnidningsmodstand
Gnidningsmodstand
Antal omdrejninger start
til stop N 194
Antal omdrejninger st
art
til stop N
Antal omdrejninger under
acceleration n 3
Antal omdrejninger under
acceleration n
Energi tabt pr. omgang E(1)
(m*g*h
-
0.5*m*v^2)/N
0.01752
0147
Joule/Om
gang
Energi tabt pr. omgang E(1)
(m*g*h
-
0.5*m*v^2)/N
#REFERE
NCE!
Joul
e/Om
gang
Energi tabt under forsøg
E(ta
b) E(1)*n
0.05256
0442 Joule
Energi tabt under forsøg
E(ta
b) E(1)*n
#REFERE
NCE! Joule
[navn fjernet] SRP 09
3. z nr. 04 Stive legemers mekanik Svendborg Gymnasium og HF
Side 49 af 87
Svinghjul 2 Svinghjul 2
Loddets masse m 0.1998 kg Loddets masse m 0.1998 kg
Tyngdeaccelerationen g 9.80665 m/s^2 Tyngdeaccelerationen g 9.80665 m/s^2
Aksels radius r 0.10823 m Aksels radius r 0.10823 m
Lods acceleration a 0.8921 m/s^2 Faldhøjde h 1.74 m
Sluthastighed v 1.765 m/s
Tophastighed for
svinghjuls kant v 1.765 m/s
Vinkelhasighed ω v/r
16.3078
6288 rad/s Vinkelhastighed ω v/r
16.3078
6288 rad/s
Inertimoment
eksperimentelt I
(m*g*r^2
-
m*a*r^2)/a
0.02338
7117 kg*m^2
Inertimoment
eksperimentelt I
((2*m*g*h)/ω^2
)-m*r^2
0.02329
8609 kg*m^2
Rotationsenergi max E 0.5*I*ω^2
3.10985
9679 Joule Rotationsenergi E (0.5*I*ω^2)
3.09809
0508 Joule
Gnidningsmodstand Gnidningsmodstand
Antal omdrejninger start
til stop N 203
Antal omdrejninger start
til stop N
Antal omdrejninger under
acceleration n 3
Antal omdrejninger under
acceleration n
Energi tabt pr. omgang E(1)
(m*g*h
-
0.5*m*v^2)/N
0.01664
4242
Joule/Om
gang Energi tabt pr. omgang E(1)
(m*g*h
-
0.5*m*v^2)/N
#REFERE
NCE!
Joule/Om
gang
Energi tabt under forsøg
E(ta
b) E(1)*n
0
.04993
2725 Joule Energi tabt under forsøg
E(ta
b) E(1)*n
#REFERE
NCE! Joule
[navn fjernet] SRP 09
3. z nr. 04 Stive legemers mekanik Svendborg Gymnasium og HF
Side 50 af 87
Svinghjul 3
Svinghjul 3
Loddets masse m 0.1998 kg
Loddets masse m 0.1998 kg
Tyngdeaccelerationen g 9.80665 m/s^2
Tyngdeaccelerationen g 9.80665 m/s^2
Aksels radius r 0.10823 m
Aksels radius r 0.10823 m
Lods acceleration a 0.8891 m/s^2
Faldhøjde h 1.71 m
Sluthastighed v 1.734 m/s
Tophastighed for
svinghjuls kant v 1.734 m/s
Vinkelhasighed ω v/r
16.0
214
3583 rad/s
Vinkelhastighed ω v/r
16.0214
3583 rad/s
Inertimoment
eksperimentelt I
(m*g*r^2
-
m*a*r^2)/a
0.02347
3927 kg*m^2
Inertimoment
eksperimentelt I
((2*m*g*h)/ω^2
)-m*r^2
0.02376
554 kg*m^2
Rotationsenergi max E 0.5*I*ω^2
3.01271
8937 Joule
Rotationsenergi E (0.5*I*ω^2)
3.05014
5501 Joule
Gnidningsmodstand
Gnidningsmodstand
Antal omdrejninger start
til stop N 201
Antal omdrejninger start
til stop N
Antal omdrejninger under
acceleration n 3
Antal omdrejninger under
acceleration n
Energi tabt pr. omgang E(1)
(m*g*h
-
0.5*m*v^2)/N
0.01651
0321
Joule/Om
gang
Energi tabt pr. omgang E(1)
(m*g*h
-
0.5*m*v^2)/N
#REFERE
NCE!
Joule/Om
gang
Energi tabt under forsøg
E(ta
b) E(1)*n
0.04953
0962 Joule
Energi tabt under forsøg
E(ta
b) E(1)*n
#REFERE
NCE! Joule
[navn fjernet] SRP 09
3. z nr. 04 Stive legemers mekanik Svendborg Gymnasium og HF
Side 51 af 87
Svinghjul 4
Svinghjul 4
Loddets masse m
0.1998 kg
Loddets masse m
0.1998 kg
Tyngdeaccelerationen g 9.80665 m/s^2
Tyngdeaccelerationen g 9.80665 m/s^2
Aksels radius r 0.10823 m
Aksels radius r 0.10823 m
Lods acceleration a
0.8913 m/s^2
Faldhøjde h
1.77 m
Sluthastighed v 1.775 m/s
Tophastighed for svinghjuls
kant v 1.775 m/s
Vinkelhasighed ω
v/r
71 rad/s
Vinkelhastighed ω
v/r
71 rad/s
Inertimoment
eksperimentelt I
(m*g*r^2
-
m*a*r^2)/a
09
kg*m^
2
Inertimoment
eksperimentelt I
((2*m*g*h)/ω^2)
-
m*r^2
18
kg*m^
2
Rotationsenergi max E
0.5*I*ω^2
38 Joule
Rotationsenergi E
(0.5*I*ω^2)
08 Joule
Svinghjul 5
Svinghjul 5
Loddets masse m
0.1998 kg
Loddets masse m
0.1998 kg
Tyngdeaccelerationen g 9.80665 m/s^2
Tyngdeaccelerationen g 9.80665 m/s^2
Aksels radius r 0.10823 m
Aksels radius r 0.10823 m
Lods acceleration a
0.8914 m/s^2
Faldhøjde h
1.755 m
Sluthastighed v 1.775 m/s
Tophastighed for svinghjuls
kant v 1.77 m/s
Vinkelhasighed ω
v/r
71 rad/s
Vinkelhastighed ω
v/r
8 rad/s
Inertimoment
eksperimentelt I
(m*g*r^2
-
m*a*r^2)/a
2
kg*m^
2
Inertimoment
eksperimentelt I
((2*m*g*h)/ω^2)
-
m*r^2
39
kg*m^
2
Rotationsenergi max E
0.5*I*ω^2
42 Joule
Rotationsenergi E
(0.5*I*ω^2)
06 Joule
[navn fjernet] SRP 09
3. z nr. 04 Stive legemers mekanik Svendborg Gymnasium og HF
Side 52 af 87
Svinghjul 6
Svinghjul 6
Loddets masse m
0.049 kg
Loddets masse m
0.049 kg
Tyngdeaccelerationen g 9.80665 m/s^2
Tyngdeaccelerationen g 9.80665 m/s^2
Aksels radius r 0.10823 m
Aksels radius r 0.10823 m
Lods acceleration a
0.2257 m/s^2
Faldhøjde h
1.74 m
Sluthastighed v 0.886 m/s
Tophastighed for svinghjuls
kant v 0.886 m/s
Vinkelhasighed ω
v/r
81 rad/s
Vinkelhastighed ω
v/r
81 rad/s
Inertimoment
eksperimentelt I
(m*g*r^2
-
m*a*r^2)/a
12
kg*m^
2
Inertimoment
eksperimentelt I
((2*m*g*h)/ω^2)
-
m*r^2
91
kg*m^
2
Rotationsenergi max E
0.5*I*ω^2
87 Joule
Rotationsenergi E
(0.5*I*ω^2)
77 Joule
Svinghjul 7
Svinghjul 7
Loddets masse m
0.049 kg
Loddets masse m
0.049 kg
Tyngdeaccelerationen g 9.80665 m/s^2
Tyngdeaccelerationen g 9.80665 m/s^2
Aksels radius r 0.10823 m
Aksels radius r 0.10823 m
Lods acceleration a
0.2257 m/s^2
Faldhøjde h
1.755 m
Sluthastighed v 0.892 m/s
Tophastighed for svinghjuls
kant v 0.892 m/s
Vinkelhasighed ω
v/r
75 rad/s
Vinkelhastighed ω
v/r
75 rad/s
Inertimoment
eksperimentelt I
(m*g*r^2
-
m*a*r^2)/a
12
kg*m^
2
Inertimoment
eksperimentelt I
((2*m*g*h)/ω^2)
-
m*r^2
0.02425
67
57
kg*m^
2
Rotationsenergi max E
0.5*I*ω^2
56 Joule
Rotationsenergi E
(0.5*I*ω^2)
99 Joule
[navn fjernet] SRP 09
3. z nr. 04 Stive legemers mekanik Svendborg Gymnasium og HF
Side 53 af 87
Svinghjul 8 Svinghjul 8
Loddets masse m
0.049 kg Loddets masse m
0.049 kg
Tyngdeaccelerationen g 9.80665 m/s^2
Tyngdeaccelerationen g 9.80665 m/s^2
Aksels radius r 0.10823 m Aksels radius r 0.10823 m
Lods acceleration a
0.2263 m/s^2
Faldhøjde h
1.77 m
Sluthastighed v 0.9 m/s
Tophastighed for svinghjuls
kant v 0.897 m/s
Vinkelhasighed ω
v/r
34 rad/s Vinkelhastighed ω
v/r
87 rad/s
Inertimoment
eksperimentelt I
(m*g*r^2
-
m*a*r^2)/a
9
kg*m^
2
Inertimoment
eksperimentelt I
((2*m*g*h)/ω^2)
-
m*r^2
78
kg*m^
2
Rotationsenergi max E
0.5*I*ω^2
7 Joule Rotationsenergi E
(0.5*I*ω^2)
34 Joule
Svinghjul 9 Svinghjul 9
Loddets masse m
0.049 kg Loddets masse m
0.049 kg
Tyngdeaccelerationen g 9.80665 m/s^2
Tyngdeaccelerationen g 9.80665 m/s^2
Aksels radius r 0.10823 m Aksels radius r 0.10823 m
Lods acceleration a
0.2273 m/s^2
Faldhøjde h
1.755 m
Sluthastighed v 0.89 m/s
Tophastighed for svinghjuls
kant v 0.89 m/s
Vinkelhasighed ω
v/r
1 rad/s Vinkelhastighed ω
v/r
1 rad/s
Inertimoment
eksperimentelt I
(m*g*r^2
-
m*a*r^2)/a
62
kg*m^
2
Inertimoment
eksperimentelt I
((2*m*g*h)/ω^2)
-
m*r^2
81
kg*m^
2
Rotationsenergi max E
0.5*I*ω^2
34 Joule Rotationsenergi E
(0.5*I*ω^2)
17 Joule
[navn fjernet] SRP 09
3. z nr. 04 Stive legemers mekanik Svendborg Gymnasium og HF
Side 54 af 87
Svinghjul 10
Svinghjul 10
Loddets masse m
0.049 kg
Loddets masse m
0.049 kg
Tyngdeaccelerationen g 9.80665 m/s^2
Tyngdeaccelerationen g 9.80665 m/s^2
Aksels radius r 0.10823 m
Aksels radius r 0.10823 m
Lods acceleration a
0.2256 m/s^2
Faldhøjde h
1.755 m
Sluthastighed v 0.893 m/s
Tophastighed for svinghjuls
kant v 0.893 m/s
Vinkelhasighed ω
v/r
57 rad/s
Vinkelhastighed ω
v/r
57 rad/s
Inertimome
nt
eksperimentelt I
(m*g*r^2
-
m*a*r^2)/a
67
kg*m^
2
Inertimoment
eksperimentelt I
((2*m*g*h)/ω^2)
-
m*r^2
76
kg*m^
2
Rotationsenergi max E
0.5*I*ω^2
85 Joule
Rotationsenergi E
(0.5*I*ω^2)
66 Joule
Svinghjul 12
Svinghjul 12
Loddets masse m
0.4984 kg
Loddets masse m
0.4984 kg
Tyngdeaccelerationen g 9.80665 m/s^2
Tyngdeaccelerationen g 9.80665 m/s^2
Aksels radius r 0.10823 m
Aksels radius r 0.10823 m
Lods acceleration a
1.971 m/s^2
Faldhøjde h
1.515 m
Sluthastighed v 2.428 m/s
Tophastighed for svinghjuls
kant v 2.428 m/s
Vinkelhasighed ω
v/r rad/s
Vinkelhastighed ω
v/r rad/s
Inertimoment
eksperimentelt I
(m*g*r^2
-
m*a*r^2)/a
85
kg*m^
2
Inertimoment
eksperimentelt I
((2*m*g*h)/ω^2)
-
m*r^2
22
kg*m^
2
Rotationsenergi max E
0.5*I*ω^2
61 Joule
Rotationsenergi E
(0.5*I*ω^2)
03 Joule
[navn fjernet] SRP 09
3. z nr. 04 Stive legemers mekanik Svendborg Gymnasium og HF
Side 55 af 87
Svinghjul 13
Svinghjul 13
Loddets masse m
0.4984 kg
Loddets masse m
0.4984 kg
Tyngdeaccelerationen g 9.80665 m/s^2
Tyngdeaccelerationen g 9.80665 m/s^2
Aksels radius r 0.10823 m
Aksels radius r 0.10823 m
Lods acceleration a
1.953 m/s^2
Faldhøjde h
1.74 m
Sluthastighed v 2.625 m/s
Tophas
tighed for svinghjuls
kant v 2.625 m/s
Vinkelhasighed ω
v/r
72 rad/s
Vinkelhastighed ω
v/r
72 rad/s
Inertimoment
eksperimentelt I
(m*g*r^2
-
m*a*r^2)/a
16
kg*m^
2
Inertimoment
eksperimentelt I
((2*m*g*
h)/ω^2)
-
m*r^2
07
kg*m^
2
Rotationsenergi max E
0.5*I*ω^2
7 Joule
Rotationsenergi E
(0.5*I*ω^2)
36 Joule
[navn fjernet] SRP 09
3. z nr. 04 Stive legemers mekanik Svendborg Gymnasium og HF
Side 56 af 87
[navn fjernet] SRP 09
3. z nr. 04 Stive legemers mekanik Svendborg Gymnasium og HF
Side 57 af 87
[navn fjernet] SRP 09
3. z nr. 04 Stive legemers mekanik Svendborg Gymnasium og HF
Side 58 af 87
[navn fjernet] SRP 09
3. z nr. 04 Stive legemers mekanik Svendborg Gymnasium og HF
Side 59 af 87
10.5 Bilag 5 – Cykelhjul
Gennemsnit for forsøgsdata
Gennemsnitligt inertimoment ved kraftbetragtninger Gennemsnitligt inertimoment ved energibetragtninger
0.1998 kg 94 kg*m^2
0.1998 kg 51 kg*m^2
0.4989kg 96 kg*m^2
0.4989kg 2 kg*m^2
Gennemsnitlig energilagring (0.5*I*ω^2) Total gennemsnit for Inertimoment
0.1998 kg 75 Joule 4 kg*m^2
0.4989kg 95 Joule
Gennemsnitligt energitab pr. omgang 68 Joule
Energilagring korrigeret for tab
0.1998 kg 07 Joule
0.4989kg
27 Joule
Gennemsnitlig potentiel energi (mgh)
0.1998 kg 93 Joule
0.4989kg
25 Joule
Procent rotationsenergi i forhold til potentiel (Erot/Epot)
68 procent
58 procent
13 procent
[navn fjernet] SRP 09
3. z nr. 04 Stive legemers mekanik Svendborg Gymnasium og HF
Side 60 af 87
Kraftbetragtninger
Energibetragtninger
Cykelhjul 1
Cykelhjul 1
Loddets masse m 0.1998 kg
Loddets masse m 0.1998 kg
Tyngdeaccelerationen g 9.80665 m/s^2
Tyngdeaccelerationen g 9.80665 m/s^2
Aksels radius r 0.025 m
Aksels radius r 0.025 m
Lods acceleration a
0.00963
1 m/s^2
Faldhøjde h 1.725 m
Sluthastighed v 0.182 m/s
Tophastighed for
svinghjuls kant v 0.182 m/s
Faldtid t h/v
9.47802
1978 s
Vinkelhasighed ω v/r 7.28 rad/s
Vinkelhastighed ω v/r 7.28 rad/s
Inertimoment
eksperimentelt I
(m*g*r^2
-
m*a*r^2)/a
0.12702
7593 kg*m^2
Inertimoment
eksperimentelt I
((2*m*g*h)/(ω^2
))-m*r^2
0.127422
785 kg*m^2
Rotationsenergi max E 0.5*I*ω^2
3.36612
9591 Joule
Rotationsenergi E (0.5*I*ω^2)
3.37660
1868 Joule
Gnidningsmodstand
Gnidningsmodstand
Antal omdrejninger start
til stop N 219
Antal omdrejninger start
til stop N
Antal omdrejninger under
acceleration n 23.5
Antal omd
rejninger under
acceleration n
Energi tabt pr. omgang E(1)
(m*g*h
-
0.5*m*v^2)/N
0.00162
8291
Joule/Om
gang
Energi tabt pr. omgang E(1)
(m*g*h
-
0.5*m*v^2)/N
#REFERE
NCE!
Joule/Om
gang
Energi tabt under forsøg
E(ta
b) E(1)*n
0.03826
485 Joule
Energi tabt under forsøg
E(ta
b) E(1)*n
#REFERE
NCE! Joule
[navn fjernet] SRP 09
3. z nr. 04 Stive legemers mekanik Svendborg Gymnasium og HF
Side 61 af 87
Cykelhjul 2
Cykelhjul 2
Loddets masse m 0.1998 kg
Loddets masse m 0.1998 kg
Tyngdeaccelerationen g 9.80665 m/s^2
Tyngdeaccelerationen g 9.80665 m/s^2
Aksels radius r 0.025 m
Aksels radius r 0.025 m
Lods acceleration a
0.00956
2 m/s^2
Faldhøjde h 1.78 m
Sluthastighed v 0.18 m/s
Tophastighed for
svinghjuls kant v 0.18 m/s
Faldtid t h/v
9.88888
8889 s
Vinkelhasighed ω v/r 7.2 rad/s
Vinkelhastighed ω v/r 7.2 rad/s
Inertimoment
eksperimentelt I
(m*g*r^2
-
m*r^2)/a
0.11501
0502 kg*m^2
Inertimoment
eksperimentelt I
((2*m*g*h)/(ω^2
))-m*r^2
0.134430
535 kg*m^2
Rotationsenergi max E 0.5*I*ω^2
2.98107
2208 Joule
Rotationsenergi E (0.5*I*ω^2)
3.48443
9473 Joule
Gnidningsmodstand
Gnidningsmodstand
Antal omdrejninger start
til stop N 222
Antal omdrejninger start
til stop N
Antal omdrejninger under
acceleration n 23.5
Antal omdrejninger under
acceleration n
Energi tabt pr. omgang E(1)
(m
*g*h
-
0.5*m*v^2)/N
0.00158
8636
Joule/Om
gang
Energi tabt pr. omgang E(1)
(m*g*h
-
0.5*m*v^2)/N
#REFERE
NCE!
Joule/Om
gang
Energi tabt under forsøg
E(ta
b) E(1)*n
0.03733
295 Joule
Energi tabt under forsøg
E(ta
b) E(1)*n
#REFERE
NCE! Joule
[navn fjernet] SRP 09
3. z nr. 04 Stive legemers mekanik Svendborg Gymnasium og HF
Side 62 af 87
Cykelhjul 3
Cykelhjul 3
Loddets masse m 0.1998 kg
Loddets masse m 0.1998 kg
Tyngdeaccelerationen g 9.80665 m/s^2
Tyngdeaccelerationen g 9.80665 m/s^2
Aksels radius r 0.025 m
Aksels radius r 0.025 m
Lods acceleration a
0.00970
9 m/s^2
Faldhøjde h 1.71 m
Sluthastighed v 0.181 m/s
Tophastighed for
svinghjuls kant v 0.181 m/s
Faldtid t h/v
9.44751
3812 s
Vinkelhasighed ω v/r 7.24 rad/s
Vinkelhastighed ω v/r 7.24 rad/s
Inertimoment
eksperimentelt I
(m*g*r^2
-
m*r^2)/a
0.1
2600
6078 kg*m^2
Inertimoment
eksperimentelt I
((2*m*g*h)/(ω^2
))-m*r^2
0.127714
646 kg*m^2
Rotationsenergi max E 0.5*I*ω^2
3.30246
8086 Joule
Rotationsenergi E (0.5*I*ω^2)
3.34724
7602 Joule
Gnidningsmodstand
Gnidningsmodstand
Antal omdrejninger start
til stop N 220
Antal omdrejninger start
til stop N
Antal omdrejninger under
acceleration n 23.5
Antal omdrejninger under
acceleration n
Energi tabt pr. omgang E(1)
(m*g*h
-
0.5*m*v^2)/N
0.00161
1983
Joule/Om
gang
Energi tabt pr. omgang E(1)
(m*g*h
-
0.5*m*v^2)/N
#REFERE
NCE!
Joule/Om
gang
Energi tabt under forsøg
E(ta
b) E(1)*n
0.03788
1606 Joule
Energi tabt under forsøg
E(ta
b) E(1)*n
#REFERE
NCE! Joule
[navn fjernet] SRP 09
3. z nr. 04 Stive legemers mekanik Svendborg Gymnasium og HF
Side 63 af 87
Cykelhjul 4
Cykelhjul 4
Loddets masse m
0.1998 kg
Loddets masse m
0.1998 kg
Tyngdeaccelerationen g 9.80665 m/s^2
Tyngdeaccelerationen g 9.80665 m/s^2
Aksels radius r 0.025 m
Aksels radius r 0.025 m
Lods acceleration a 0.009695 m/s^2
Faldhøjde h
1.71 m
Sluthastighed v 0.181 m/s
Tophastighed
for svinghjuls
kant v 0.181 m/s
Faldtid t h/v
12 s
Vinkelhasighed ω
v/r 7.24 rad/s
Vinkelhastighed ω
v/r 7.24 rad/s
Inertimoment
eksperimentelt I
(m*g*r^2
-
m*r^2)/a
16
kg*m^
2
Inertimoment
eksperimentelt I
((2*m*g*h)/(ω^2)
)
-
m*r^2
46
kg*m^
2
Rotationsenergi max E
0.5*I*ω^2
2 Joule
Rotationsenergi E
(0.5*I*ω^2)
02 Joule
Cykelhjul 5
Cykelhjul 5
Loddets masse m
0.1998 kg
Loddets masse m
0.1998 kg
Tyngdeaccelerationen g 9.80665 m/s^2
Tyngdeaccelerationen g 9.80665 m/s^2
Aksels radius r 0.025 m
Aksels radius r 0.025 m
Lods acceleration a 0.009686 m/s^2
Faldhøjde h
1.71 m
Sluthastighed v 0.181 m/s
Tophastighed for svinghjuls
kant v 0.181 m/s
Faldtid t h/v
12 s
Vinkelhasighed ω
v/r 7.24 rad/s
Vinkelhastighed ω
v/r 7.24 rad/s
Inertimoment
eksperimentelt I
(m*g*r^2
-
m*r^2)/a
83
kg*m^
2
Inertimoment
eksperimentelt I
((2*m*g*h)/(ω^2))
-
m*r^2
46
kg*m^
2
Rotationsenergi max E
0.5*I*ω^2
71 Joule
Rotationsenergi E
(0.5*I*ω^2)
02 Joule
[navn fjernet] SRP 09
3. z nr. 04 Stive legemers mekanik Svendborg Gymnasium og HF
Side 64 af 87
Cykelhjul 6 Cykelhjul 6
Loddets masse m
0.4984 kg Loddets masse m
0.4984 kg
Tyngdeaccelerationen g 9.80665 m/s^2 Tyngdeaccelerationen g 9.80665 m/s^2
Aksels radius r 0.025 m Aksels radius r 0.025 m
Lods acceleration a 0.0252 m/s^2 Faldhøjde h
1.695 m
Sluthastighed v 0.294 m/s
Tophastighed for svinghjuls
kant v 0.294 m/s
Faldtid t h/v
22 s
Vinkelhasighed ω
v/r 11.76 rad/s Vinkelhastighed ω
v/r 11.76 rad/s
Inertimoment
eksperimentelt I
(m*g*r^2
-
m*r^2)/a
9
kg*m^
2
Inertimoment
eksperimentelt I
((2*m*g*h)/(ω^2))
-
m*r^2
33
kg*m^
2
Rotationsenergi max E
0.5*I*ω^2
76 Joule Rotationsenergi E
(0.5*I*ω^2)
89 Joule
Cykelhjul 7 Cykelhjul 7
Loddets masse m
0.4984 kg Loddets masse m
0.4984 kg
Tyngdeaccelerationen g 9.80665 m/s^2 Tyngdeaccelerationen g 9.80665 m/s^2
Aksels radius r 0.025 m Aksels radius r 0.025 m
Lods acceleration a 0.02521 m/s^2 Faldhøjde h
1.68 m
Sluthastighed v 0.291 m/s
Tophastighed for svinghjuls
kant v 0.291 m/s
Faldtid t h/v
76 s
Vinkelhasighed ω
v/r 11.64 rad/s Vinkelhastighed ω
v/r 11.64 rad/s
Inertimoment
eksperimentelt I
(m*g*r^2
-
m*r^2)/a
06
kg*m^
2
Inertimoment
eksperimentelt I
((2*m*g*h)/(ω^2))
-
m*r^2
07
kg*m^
2
Rotationsenergi max E
0.5*I*ω^2
35 Joule Rotationsenergi E
(0.5*I*ω^2)
2 Joule
[navn fjernet] SRP 09
3. z nr. 04 Stive legemers mekanik Svendborg Gymnasium og HF
Side 65 af 87
Cykelhjul 8
Cykelhjul 8
Loddets masse m
0.4984 kg
Loddets masse m
0.4984 kg
Tyngdeaccelerationen g 9.80665 m/s^2
Tyngdeaccelerationen g 9.80665 m/s^2
Aksels radius r 0.025 m
Aksels radius r 0.025 m
Lods acceleration a 0.02561 m/s^2
Faldhøjde h
1.665 m
Sluthastighed v 0.292 m/s
Tophastighed for svinghjuls
kant v 0.292 m/s
Faldtid t h/v
95 s
Vinkelhasighed ω
v/r 11.68 rad/s
Vinkelhastighed ω
v/r 11.68 rad/s
Inertimoment
eksperimentelt I
(m*g*r^2
-
m*r^2)/a
17
kg*
m^
2
Inertimoment
eksperimentelt I
((2*m*g*h)/(ω^2))
-
m*r^2
19
kg*m^
2
Rotationsenergi max E
0.5*I*ω^2
8 Joule
Rotationsenergi E
(0.5*I*ω^2)
21 Joule
Cykelhjul 9
Cykelhjul 9
Loddets masse m
0.4984 kg
Loddets masse m
0.4984 kg
Tyngdeaccelerationen g 9.80665 m/s^2
Tyngdeaccelerationen g 9.80665 m/s^2
Aksels radius r 0.025 m
Aksels radius r 0.025 m
Lods acceleration a 0.02546 m/s^2
Faldhøjde h
1.68 m
Sluthastighed v 0.293 m/s
Tophastighed for
svinghjuls
kant v 0.293 m/s
Faldtid t h/v
96 s
Vinkelhasighed ω
v/r 11.72 rad/s
Vinkelhastighed ω
v/r 11.72 rad/s
Inertimoment
eksperimentelt I
(m*g*r^2
-
m*r^2)/a
69
kg*m^
2
Inertimoment
eksperimentelt I
((2*m*g*h)/(ω^2))
-
m*r^2
35
kg*m^
2
Rotationsenergi max E
0.5*I*ω^2
69 Joule
Rotationsenergi E
(0.5*I*ω^2)
54 Joule
[navn fjernet] SRP 09
3. z nr. 04 Stive legemers mekanik Svendborg Gymnasium og HF
Side 66 af 87
Cykelhjul 10
Cykelhjul 10
Loddets masse m
0.4984 kg
Loddets masse m
0.4984 kg
Tyngdeaccelerationen g 9.80665 m/s^2
Tyngdeaccelerationen g 9.80665 m/s^2
Aksels radius r 0.025 m
Aksels radius r 0.025 m
Lods acceleration a 0.02527 m/s^2
Faldhøjde h
1.68 m
Sluthastighed v 0.291 m/s
Tophastighed for svinghjuls
kant v 0.291 m/s
Faldtid t h/v
76 s
Vinkelhasighed ω
v/r 11.64 rad/s
Vinkelhastighed ω
v/r 11.64 rad/s
Inertimoment
eksperimentelt I
(m*g*r^2
-
m*r^2)/a
98
kg*m^
2
Inertimoment
eksperimentelt I
((2*m*g*h)/(ω^2))
-
m*r^2
07
kg*m^
2
Rotationsenergi max E
0.5*I*ω^2
16 Joule
Rotationsenergi E
(0.5*I*ω^2)
2 Joule
[navn fjernet] SRP 09
3. z nr. 04 Stive legemers mekanik Svendborg Gymnasium og HF
Side 67 af 87
[navn fjernet] SRP 09
3. z nr. 04 Stive legemers mekanik Svendborg Gymnasium og HF
Side 68 af 87
[navn fjernet] SRP 09
3. z nr. 04 Stive legemers mekanik Svendborg Gymnasium og HF
Side 69 af 87
10.6 Bilag 6 – Cykelhjul + stang
Gennemsnit for måledata
Gennemsnitligt inertimoment ved kraftbetragtninger
Gennemsnitligt inertimoment ved energibetragtninger
0.1998 kg
6
0.1998 kg
03
0.4989kg
84
0.4984kg
19
Gennemsnitlig energilagring (0.5*I*ω^2)
Total gennemsnit Inertimoment
0.1998 kg
69 Joule
66
0.4989kg 16 Joule
Gennemsnitligt rotationsenergitab pr. omgang:
84 Joule
Energilagring korrigeret for tab
0.1998 kg
85 Joule
0.4989kg 31 Joule
Gennemsnitlig potentiel energi (mgh)
0.1998 kg
23 Joule
0.4989kg 56 Joule
Procent rotationsenergi i forhold til potentiel (Erot/Epot)
0.1998 kg
31 procent
0.4989kg
13 procent
Middelværdi 22 procnet
[navn fjernet] SRP 09
3. z nr. 04 Stive legemers mekanik Svendborg Gymnasium og HF
Side 70 af 87
Kraftbetragtninger Energibetragtninger
Cykelhjul + stang 1 Cykelhjul + stang 1
Loddets masse m 0.1998 kg Loddets masse m 0.1998 kg
Tyngdeaccelerationen g 9.80665 m/s^2 Tyngdeaccelerationen g 9.80665 m/s^2
Aksels radius r 0.025 m Aksels radius r 0.025 m
Lods acceleration a
0.00156
3 m/s^2 Faldhøjde h 1.74 m
Sluthastighed v 0.073 m/s
Tophastighed for
svinghjuls kant v 0.073 m/s
Vinkelhasighed ω v/r 2.92 rad/s Vinkelhastighed ω v/r 2.92 rad/s
Inertimoment
eksperimentelt I
(m*g*r^2
-
m*a*r^2)/a
0.78337
1874 kg*m^2
Inertimoment
eksperimentelt I
((2*m*g*h)/(ω^2
))-m*r^2
0.799579
921 kg*m^2
Rotationsenergi max E 0.5*I*ω^2
3.33967
0973 Joule Rotationsenergi E (0.5*I*ω^2)
3.40876
9119 Joule
Gnidningsmodstand Gnidningsmodstand
Antal omdrejninger start
til stop N 149.5
Antal omdrejninger start
til stop N
Antal omdrejninger under
acceleration n 11
Antal omdrejninger under
acceleration n
Energi tabt pr. omgang E(1)
(m*g
*h
-
0.5*m*v^2)/N
0.00095
6747
Joule/Om
gang Energi tabt pr. omgang E(1)
(m*g*h
-
0.5*m*v^2)/N
#REFERE
NCE!
Joule/Om
gang
Energi tabt under forsøg
E(ta
b) E(1)*n
0.01052
4216 Joule Energi tabt under forsøg
E(ta
b) E(1)*n
#REFERE
NCE! Joule
[navn fjernet] SRP 09
3. z nr. 04 Stive legemers mekanik Svendborg Gymnasium og HF
Side 71 af 87
Cykelhjul + stang 2
Cykelhjul + stang 2
Loddets masse m 0.1998 kg
Loddets masse m 0.1998 kg
Tyngdeaccelerationen g 9.80665 m/s^2
Tyngdeaccelerationen g 9.80665 m/s^2
Aksels radius r 0.025 m
Aksels radius r 0.025 m
Lods acceleration a
0.00157
2 m/s^2
Faldhøjde h 1.74 m
Sluthastighed v 0.073 m/s
Tophastighed for
svinghjuls kant v 0.073 m/s
Vinkelhasighed ω v/r 2.92 rad/s
Vinkelhastighed ω v/r 2.92 rad/s
Inertimoment
eksperimentelt I
(m*g*r^2
-
m*r^2)/a
0.
77888
6206 kg*m^2
Inertimoment
eksperimentelt I
((2*m*g*h)/(ω^2
))-m*r^2
0.799579
921 kg*m^2
Rotationsenergi max E 0.5*I*ω^2
3.32054
7672 Joule
Rotationsenergi E (0.5*I*ω^2)
3.40876
9119 Joule
Gnidningsmodstand
Gnidningsmodstand
Antal omdrejninger start
til stop N 154.5
Antal omdrejninger start
til stop N
Antal omdrejninger under
acceleration n 11
Antal omdrejninger under
acceleration n
Energi tabt pr. omgang E(1)
(m*g*h
-
0.5*m*v^2)/N
0.00092
5784
Joule/Om
gang
Energi tabt pr. omgang E(1)
(m*g*h
-
0.5*m*v^2)/N
#REFERE
NCE!
Joule/Om
gang
Energi tabt under forsøg
E(ta
b) E(1)*n
0.01018
3627 Joule
Energi tabt under forsøg
E(ta
b) E(1)*n
#REFERE
NCE! Joule
[navn fjernet] SRP 09
3. z nr. 04 Stive legemers mekanik Svendborg Gymnasium og HF
Side 72 af 87
Cykelhjul + stang 3 Cykelhjul + stang 3
Loddets masse m 0.1998 kg Loddets masse m 0.1998 kg
Tyngdeaccelerationen g 9.80665 m/s^2 Tyngdeaccelerationen g 9.80665 m/s^2
Aksels radius r 0.025 m Aksels radius r 0.025 m
Lods acceleration a
0.00155
8 m/s^2 Faldhøjde h 1.75 m
Sluthastighed v 0.075 m/s
Tophastighed for
svinghjuls kant v 0.075 m/s
Vinkelhasighed ω v/r 3 rad/s Vinkelhastighed ω v/r 3 rad/s
Inertimoment
eksperimentelt I
(m*g*r^2
-
m*r^2)/a
0.78588
6305 kg*m^2
Inertimoment
eksperimentelt I
((2*m*g*h)/(ω^2
))-m*r^2
0.7
61851
83 kg*m^2
Rotationsenergi max E 0.5*I*ω^2
3.53648
8373 Joule Rotationsenergi E (0.5*I*ω^2)
3.42833
3235 Joule
Gnidningsmodstand Gnidningsmodstand
Antal omdrejninger start
til stop N 150
Antal omdrejninger start
til stop N
Antal omdrejni
nger under
acceleration n 11
Antal omdrejninger under
acceleration n
Energi tabt pr. omgang E(1)
(m*g*h
-
0.5*m*v^2)/N
0.00097
9683
Joule/Om
gang Energi tabt pr. omgang E(1)
(m*g*h
-
0.5*m*v^2)/N
#REFERE
NCE!
Joule/Om
gang
Energi tabt under forsøg
E(
ta
b) E(1)*n
0.01077
651 Joule Energi tabt under forsøg
E(ta
b) E(1)*n
#REFERE
NCE! Joule
[navn fjernet] SRP 09
3. z nr. 04 Stive legemers mekanik Svendborg Gymnasium og HF
Side 73 af 87
Cykelhjul + stang 4
Cykelhjul + stang 4
Loddets masse m
0.1998 kg
Loddets masse m
0.1998 kg
Tyngdeaccelerationen g 9.80665 m/s^2
Tyngdeaccelerationen g 9.80665 m/s^2
Aksels radius r 0.025 m
Aksels radius r 0.025 m
Lods acceleration a 0.001549 m/s^2
Faldhøjde h
1.74 m
Sluthastighed v 0.073 m/s
Tophastighed for svinghjuls
kant v 0.073 m/s
Vinkelhasighed ω
v/r 2.92 rad/s
Vinkelhastighed ω
v/r 2.92 rad/s
Inertimoment
eksperimentelt I
(m*g*r^2
-
m*r^2)/a
87
kg*m^
2
Inertimoment
eksperimentelt I
((2*m*g*h)/(ω^2))
-
m*r^2
21
kg*m^
2
Rotationsenergi max E
0.5*I*ω^2
29 Joule
Rotationsenergi E
(0.5*I*ω^2)
19 Joule
Cykelhjul + stang 5
Cykelhjul + stang 5
Loddets masse m
0.1998 kg
Loddets masse m
0.1998 kg
Tyngdeaccelerationen g 9.80665 m/s^2
Tyngdeaccelerationen g 9.80665 m/s^2
Aksels radius r 0.025 m
Aksels radius r 0.025 m
Lods acceleration a 0.001555 m/s^2
Faldhøjde h
1.74 m
Sluthastighed v 0.073 m/s
Tophastighed for svinghjuls
kant v 0.073 m/s
Vinkelhasighed ω
v/r 2.92 rad/s
Vinkelhastighed ω
v/r 2.92 rad/s
Inertimoment
eksperimentelt I
(m*g*r^2
-
m*r^2)/a
25
kg*m^
2
Inertimoment
eksperimentelt I
((2*m*g*h)/(ω^2))
-
m*r^2
21
kg*m^
2
Rotationsenergi max E
0.5*I*ω^2
99 Joule
Rotationsenergi E
(0.5*I*ω^2)
19 Joule
[navn fjernet] SRP 09
3. z nr. 04 Stive legemers mekanik Svendborg Gymnasium og HF
Side 74 af 87
Cykelhjul + stang 6 Cykelhjul + stang 6
Loddets masse m
0.4984 kg Loddets masse m
0.4984 kg
Tyngdeaccelerationen g 9.80665 m/s^2 Tyngdeaccelerationen g 9.80665 m/s^2
Aksels radius r 0.025 m Aksels radius r 0.025 m
Lods acceleration a 0.004068 m/s^2 Faldhøjde h
1.71 m
Sluthastighed v 0.117 m/s
Tophastighed for svinghjuls
kant v 0.117 m/s
Vinkelhasighed ω
v/r 4.68 rad/s Vinkelhastighed ω
v/r 4.68 rad/s
Inertimoment
eksperimentelt I
(m*g*r^2
-
m*r^2)/a
08
kg*m^
2
Inertimoment
eksperimentelt I
((2*m*g*h)/(ω^2))
-
m*r^2
7
kg*m^
2
Rotationsenergi max E
0.5*I*ω^2
45 Joule Rotationsenergi E
(0.5*I*ω^2)
57 Joule
Cykelhjul + stang 7 Cykelhjul + stang 7
Loddets masse m
0.4984 kg Loddets masse m
0.4984 kg
Tyngdeaccelerationen g 9.80665 m/s^2 Tyngdeaccelerationen g 9.80665 m/s^2
Aksels radius r 0.025 m Aksels radius r 0.025 m
Lods acceleration a 0.004068 m/s^2 Faldhøjde h
1.71 m
Sluthastighed v 0.117 m/s
Tophastighed for svinghjuls
kant v 0.117 m/s
Vinkelhasighed ω
v/r 4.68 rad/s Vinkelhastighed ω
v/r 4.68 rad/s
Inertimoment
eksperimentelt I
(m*g*r^2
-
m*r^2)/a
08
kg*m^
2
Inertimoment
eksperimentelt I
(
(2*m*g*h)/(ω^2))
-
m*r^2
7
kg*m^
2
Rotationsenergi max E
0.5*I*ω^2
45 Joule Rotationsenergi E
(0.5*I*ω^2)
57 Joule
[navn fjernet] SRP 09
3. z nr. 04 Stive legemers mekanik Svendborg Gymnasium og HF
Side 75 af 87
Cykelhjul + stang 8
Cykelhjul + stang 8
Loddets masse m
0.4984 kg
Loddets masse m
0.4984 kg
Tyngdeaccelerationen g 9.80665 m/s^2
Tyngdeaccelerationen g 9.80665 m/s^2
Aksels radius r 0.025 m
Aksels radius r 0.025 m
Lods acceleration a 0.004086 m/s^2
Faldhøjde h
1.71 m
Sluthastighed v 0.118 m/s
Tophastighed for svinghjuls
kant v 0.118 m/s
Vinkelhasighed ω
v/r 4.72 rad/s
Vinkelhastighed ω
v/r 4.72 rad/s
Inertimoment
eksperimentelt I
(m*g*r^2
-
m*r^2)/a
59
kg*m^
2
Inertimoment
eksperimentelt I
((2*m*g*h)/(ω^2))
-
m*r^2
44
kg*m^
2
Rotationsenergi max E
0.5*I*ω^2
61 Joule
Rotationsenergi E
(0.5*I*ω^2)
95 Joule
Cykelhjul + stang 9
Cykelhjul + stang 9
Loddets masse m
0.4984 kg
Loddets masse m
0.4984 kg
Tyngdeaccelerationen g 9.80665 m/s^2
Tyngdeaccelerationen g 9.80665 m/s^2
Aksels radius r 0.025 m
Aksels radius r 0.025 m
Lods acceleration a 0.004132 m/s^2
Faldhøjde h
1.71 m
Sluthastighed v 0.118 m/s
Tophastighed for svinghjuls
kant v 0.118 m/s
Vinkelhasighed ω
v/r 4.72 rad/s
Vinkelhastighed ω
v/r 4.72 rad/s
Inertimoment
eksperimentelt I
(m*g*r^2
-
m*r^2)/a
98
kg*m^
2
Inertimoment
eksperimentelt I
((2*m*g*h)/(ω^2))
-
m*r^2
44
kg*m^
2
Rotationsenergi max E
0.5*I*ω^2
29 Joule
Rotationsenergi E
(0.5*I*ω^2)
95 Joule
[navn fjernet] SRP 09
3. z nr. 04 Stive legemers mekanik Svendborg Gymnasium og HF
Side 76 af 87
Cykelhjul + stang 10
Cykelhjul + stang 10
Loddets masse m
0.4984 kg
Loddets masse m
0.4984 kg
Tyngdeaccelerationen g 9.80665 m/s^2
Tyngdeaccelerationen g 9.80665 m/s^2
Aksels radius r 0.025 m
Aksels radius r 0.025 m
Lods acceleration a 0.004089 m/s^2
Faldhøjde h
1.71 m
Sluthastighed v 0.117 m/s
Tophastighed for svinghjuls
kant v 0.117 m/s
Vinkelhasighed ω
v/r 4.68 rad/s
Vinkelhastighed ω
v/r 4.68 rad/s
Inertimoment
eksperimentelt I
(m*g*r^2
-
m*r^2)/a
49
kg*m^
2
Inertimoment
eksperimentelt I
((2*m*g*h)/(ω^2))
-
m*r^2
7
kg*m^
2
Rotationsenergi max E
0.5*I*ω^2
98 Joule
Rotationsenergi E
(0.5*I*ω^2)
57 Joule
[navn fjernet] SRP 09
3. z nr. 04 Stive legemers mekanik Svendborg Gymnasium og HF
Side 77 af 87
[navn fjernet] SRP 09
3. z nr. 04 Stive legemers mekanik Svendborg Gymnasium og HF
Side 78 af 87
[navn fjernet] SRP 09
3. z nr. 04 Stive legemers mekanik Svendborg Gymnasium og HF
Side 79 af 87
10.7 Bilag 7 - Forsøgsgennemgang
10.7.1 Princip i forsøg
Princippet i alle forsøgene er det samme: Tyngdekraften trækker i et lod, som via en snor og en trisse
igangsætter en rotation af et legeme, fordi snoren er viklet rundt om en akse på legemet.
Billederne viser henholdsvis den rigtige opstilling (med stang) og den skematiske opstilling:
10.7.2 Udstyr
Der blev anvendt følgende udstyr til forsøgene:
• Vernier photogate
• Vernier photogate wheel (trisse) – Ultra Pulley (10 spoke) In Groove O= 0.15 m
• LobPro
• Compulter med Loggerpro (software)
• 4 stativer (1 til photogate og 1 til photogate wheel og evt. to til opstilling af rotationssystem)
• Fiskesnor (3-4 m)
• Skruetvinger
• Skydelære
• Lineal
• Vægt
10.7.3 Forsøgsopstilling
Alle systemer blev placeret på et bord, som stod på et kateder, så at loddets faldhøjde blev længst mulig.
Systemet, trissen og photogaten sættes på stativer som fastspændes med skruetvinger (særligt vigtigt ved
stang med rotation om ende). Fiskesnoren vikles rundt om aksen (uden at binde den fast til aksen) og føres
videre hen over trissen som er en photogate wheel. Det er vigtigt, at snoren er vinkelret på systemets
rotationsakse og parallel med trissens periferihastighed for at mindske gnidninger. Loddet sættes fast på
enden af fiskesnoren og hænges hen over trissen således at loddet ikke rører trissen, men hænger frit.
Systemet er sat i spænd, så at loddet ikke falder før man når at sætte målingen i gang. Photogaten placeres,
så den registrerer antal omgange for systemet. Trissen og Photogaten sluttes til Labpro’en som er sluttet til
computeren med LoggerPro. I Labproen vælges porte, DIG/SONIC 1 og DIG/SONIC2.
[navn fjernet] SRP 09
3. z nr. 04 Stive legemers mekanik Svendborg Gymnasium og HF
Side 80 af 87
10.7.4 Indstillinger i LoggerPro
Først opsættes de to enheder under menuen, ”Labpro”, som findes ad følgende sti:
Experiment Set Up Sensors Show All Interfaces
I listen til højre (Digital Sensors) trækkes ikonet med ”photogat VPG-BTD” op til først DIG/SONIC1 og
derefter DIG/SONIC2. Nu er de to enheder tilsluttet. Det DIG/SONIC nummer, hvori trissen er tilsluttet
indstilles til ”Motion timing” og under ”Set Distance or Lenght” vælges ”Ultra Pulley (10 spoke) In Groove”.
Det DIG/SONIC nummer, hvori photogaten er tilsluttet indstilles til ”Photogate Timing”.
For trissen fås nu 3 grafer (Distance(m), Velocity(m/s), acc(m/s
2
)) og for photogaten fås 1 graf (GateState).
Måletiden indstilles under ”Data Collection” til mode: ”Timebased” og ”Sampling rate” sættes til 10
”samples pr. second”. For forsøg, hvor der måles på gnidningen og hvor photogaten bruges, vælges ”lengt”
til rigelig tid (1000 seconds). For forsøg kun med trisse er det nok med 15 seconds.
Programmet er nu klart til at tælle. Ved forsøg trykkes ”collect” og ved ”Waiting for data” slippes så loddet.
De indtegnede grafer autoskaleres med ”Autoscale Graph”.
Aflæsning
• Loddets accelerationen måles ved at markerer det første lineære stykke af hastighedsgrafen og
derefter vælge ”Linear Fit”. Grafens hældning er da loddets acceleration.
• Loddets tophastighed findes ved at aflæse hastighedsgrafens toppunkt.
• Faldhøjden findes ved at vælge ”Examine” og derefter holde musen på hastighedsgrafens toppunkt.
Faldhøjden aflæses nu på stedgrafen ud for ”Distance” (for at ”examine” virker på alle grafer sikres
det, at der ikke er markeret nogen graf separat).
• Antal omdrejninger
aflæses ved at tælle 1-taller i data boksen til venstre i kolonnen ”State” og
herefter dividere med antal gange photogaten registrerer ændring pr. omgang. (f.eks. ved
svinghjulet er der 3 eger, som photgaten reagerer på. Der divideres her med 3).
10.7.5 Manuelle målinger
• Som kontrol overfor LoggerPro opmåles loddets faldhøjde, trissens omkreds med lineal og
skydelære og faldtiden måles med stopur (tilnærmelse).
• Diameteren på aksen hvorom fiskesnoren er viklet opmåles.
• Loddets vægt måles på vægt
• Systemers (stang, svinghjul og stang til cykelhjul) dimensioner og masse måles med skydelære,
lineal og vægt.
[navn fjernet] SRP 09
3. z nr. 04 Stive legemers mekanik Svendborg Gymnasium og HF
Side 81 af 87
10.8 Bilag 8 – Udregning af svinghjuls inertimoment
Totale masse: 2.8868 kg
Massefylde 7880 kg/m^3
Svinghjulets form er så kompliceret, at der ikke er tegnet en model af den.
Svinghjulet inddeles i 5 dele, hvis inertimomenter til sidst lægges sammen:
* Trekantede riller på ydre ring
* Ydre ring
* Indre ring, som sidder på indersiden af ydre ring
* Indre cylinder
* Eger (3 stk)
Trekantede riller på på ydre ring:
Højde: m
Grundlinje(bredde) m
Længde (omkreds) m
Masse:
Afstand fra centrum: m
Inertimoment:
Ydre ring
Tykkelse (i radius retnint) m
Bredde (vinkelret på radius) m
Længde (omkreds) m
Masse:
Afstand fra centrum: m
Inertimoment:
0.01
.01
0.00725
.00725
0.67
.67
V
⋅ρ
= 4
⋅
1
2
⋅
0.00725
⋅
m
⋅
0.01
⋅
m
⋅
0.67
⋅
m
⋅
7880
⋅
kg
3
m
ρ⋅
v = .76554
⋅
kg
0.1084
.1084
.76554
⋅
kg
⋅
2
0.1084
⋅
m
.009
⋅
2
m
⋅
kg
0.0032
.0032
0.0333
.0333
0.65
.65
V
⋅ρ
=
0.0032
⋅
m
⋅
0.0333
⋅
m
⋅
0.65
⋅
m
⋅
7880
⋅
kg
3
m
ρ⋅
v = .5458
⋅
kg
0.65
2
⋅π
.10345
.5458
⋅
kg
⋅
2
.10345
.00584
⋅
kg
[navn fjernet] SRP 09
3. z nr. 04 Stive legemers mekanik Svendborg Gymnasium og HF
Side 82 af 87
Indre cylinder
Bredde (vinkelret på radius) m
Tykkelse (i radius retnint) m
Længde (omkreds) m
Masse
Afstand fra centrum: m
Inertimoment:
Eger
Tykkelse (i omdrejningsakses retning) m
Tykkelse (tværs af omdreningsakse) m
Længde m
Masse for en stang:
Inertimoment for en stang:
Steiners sætning
Inertimoment for alle 3 stænger:
Indre cylinder
radius: m
Tykkelse m
Indre tomrum (cylinderformet)
radius: m
0.005
.005
0.005
.005
0.20
⋅π
.62832
V
⋅ρ
=
0.005
⋅
m
⋅
0.005
⋅
m
⋅
0.62832
⋅
m
⋅
7880
⋅
kg
3
m
ρ⋅
v = .12378
⋅
kg
0.1
.1
.12378
⋅
kg
⋅
2
0.1
⋅
m
.00124
⋅
2
m
⋅
kg
0.0143
.0143
0.0274
.0274
0.07
.07
V
⋅ρ
=
0.0143
⋅
m
⋅
.0274
⋅
m
⋅
0.07
⋅
m
⋅
7880
⋅
kg
3
m
ρ⋅
v = .21613
⋅
kg
I
=
1
12
⋅
M
⋅
2
r + M
⋅
2
d
i = .08333
⋅
m
⋅
2
r +
2
d
⋅
m
I
=
1
12
⋅
0.21613
⋅
kg
⋅
2
0.07
2
⋅
m
+ 0.21613
⋅
kg
⋅
2
0.058
⋅
m
i = .00075
⋅
2
m
⋅
kg
3
⋅
.00075
⋅
2
m
⋅
kg
.00225
⋅
2
m
⋅
kg
0.05855
2
.02927
0.04
.04
0.0277
2
.01385
[navn fjernet] SRP 09
3. z nr. 04 Stive legemers mekanik Svendborg Gymnasium og HF
Side 83 af 87
Tykkelse
Masse:
Inertimoment
Samlet inertimoment for svinghjul:
0.04
⋅
m
.04
⋅
m
V
⋅ρ
=
2
.02927
⋅
m
⋅π ⋅
0.04
⋅
m
-
2
.01385
⋅
m
⋅π ⋅
0.04
⋅
m
⋅
7880
⋅
kg
3
m
ρ⋅
v = .65841
⋅
kg
I
=
1
2
⋅
m
⋅
2
R +
2
r
i = m
⋅
2
r
I
=
1
2
⋅
.65841
⋅
kg
⋅
2
.02927
⋅
m
+
2
.01385
⋅
m
i = .00035
⋅
2
m
⋅
kg
0.009 + 0.00584 + 0.00124 + 0.00225 + 0.00035
.01868
[navn fjernet] SRP 09
3. z nr. 04 Stive legemers mekanik Svendborg Gymnasium og HF
Side 84 af 87
10.9 Bilag 9 – figur 1 - Kraftmoment
Figur 1. En kraft, F, virker i angrebspunktet, A, så det grå legeme roterer med uret. Kraftmomentet peger således ind i papiret.
Man kan forskyde angrebspunktet og dermed kraftvektoren langs hele den stiplede linje parallel med F.
10.10 Bilag 10 – figur 2 - Impulsmoment
Figur 2. Massen, m
i
, har en hastighed i retningen af v
i
. Impulsmomentet regnes i forhold til armen, a. Man kan forskyde massens
beliggenhed og dermed impulsvektoren langs hele den stiplede linje parallel med v
i
.
[navn fjernet] SRP 09
3. z nr. 04 Stive legemers mekanik Svendborg Gymnasium og HF
Side 85 af 87
10.11 Bilag 11 – figur 3 - Massemidtpunkt
Figur 3
24
. Det grå legeme kan rotere omkring sit massemidtpunkt, C. Masserne i legemet, m
1
og m
2
bliver påvirket af
tyngdekraften. Den samlede kraft på disse masser, kan samles i massemidtpunktetspartiklen.
10.12 Bilag 12 – figur 4 – Steiners sætning
Figur 4. Det cirkulære legemes massemidtpunkt, C, og rotationsakse er placeret i origo. Hvis rotationsaksen paralelforskydes, så
den går igennem P, findes legemet inertimoment om denne akse ved steiners sætning.
24
Tegningen er inspireret af Fogh: ”Stive legemers bevægelser” pp. 11
[navn fjernet] SRP 09
3. z nr. 04 Stive legemers mekanik Svendborg Gymnasium og HF
Side 86 af 87
10.13 Bilag 13 – figur 5 – kugles inertimoment
Figur 5. Kuglen med radius, R, indeles i skiver vinkelret på x-aksen. Skiverne har tykkelsen dx, radius, r, og afstanden, x, fra
cirklens centrum.
10.14 Bilag 14 – Tabel 1 – om energilagringsevne
Tabel 1. Sammenligning mellem inertimoment og evne til at ophobe kinetisk energi.