Studiekompasset.dkKlasse: STX 2.g · Fag: SRO, Matematik A, Musik B
Iterationer, fraktaler og Per Nørgård
Opgavetype: SRO
Fag: Musik og Matematik
STX 2.g
Skolens navn: Århus Katedralskole
Vejleder
STX 2.g
Abstract
The study investigates the connection between music and mathematic in a musical composi-
tion named “Voyage Into the Golden Screen” 2
nd
mov. This modern construction of music
combined with structures from the mathematic world, provokes the listener and such ways that
the listener might want to leave the concert hall before the music has ended. Why make mu-
sic, which purpose, is to inflame the persons sitting willingly to listen to the ideas that you have
come up with? What might have run through Per Nørgård’s head when he constructed this
creative deserted music? In this study I have used musically based techniques to analyse and
comment on the composition made from an infinite amount of tones, mathematically based
observations and proves to give an answer to the disposition, which this study is based upon.
There is a significant relationship between Per Nørgård’s composition and the audience, which
he has set the target for. Nørgård seeks the limits of the humans understanding of music and
tries to make the listeners accept the experimenting music. The result of this study is hopefully
discussable, because that’s the meaning with this kind of music, which floats in the abyss
seeking the way into our everyday.
Indholdsfortegnelse
Matematikken i musikken - kunst eller kattejammer? .......................................................... 1
Per Nørgårds fascinerende musikfremstilling ...................................................................... 2
Indgangsbøn ....................................................................................................................................................................... 2
De matematiske begreber: Iteration og fraktaler ................................................................................................................. 3
Kochs Snefnug ............................................................................................................................................................... 3
Per Nørgårds uendelighedsrække ...................................................................................................................................... 7
Analyse af ”Voyage Into The Golden Screen” ...................................................................... 8
”Voyage Into the Golden Screen” - Musik eller matematik? .............................................. 11
SRO 2e, AR og SV jan 2011
Musik og matematik
Musik og matematik Århus Katedralskole
1
Matematikken i musikken - kunst eller kattejammer?
I tiden efter 1900 tallet har musikken og matematikken udviklet sig i mangfoldige retninger, og
de har blandet sig i tværfagligt udviklende projekter og idéer. Imidlertid er dette ikke en
underlig tanke, eftersom menneskets idéer har været udforsket og videreudviklet i tusindvis af
år. Men efterhånden som tiden går, bliver musikken mere og mere avantgarde og mindre og
mindre lyttervenligt. Derfor bliver en analyse og forklaring på nyere tids kompositionsmusik
relevant, således at det almindelige menneske kan sætte sig ind i komponisternes tankegang.
Med udgangspunkt i idéerne bag 2. sats i ”Voyage into The Golden Screen” af Per Nørgård, vil
nogle af de aspekter, som inspirerer ham undersøges. Vil musikken kunne forstås af en
almindelig lytter, som ingen baggrundsviden har? Vil lytteren kunne nyde et musiknummer,
som udfordrer den musikalske forståelse vi har, og tilmed tilføjer et sådant system, så
musikken virker mekanisk og dog tilfældig, uden at vi afviser musikken inden nummeret er
færdigt? I sammenhæng med dette spørgsmål vil forståelsen af musikken så ændre sig ved at
kende til de tanker, som Per Nørgård har gjort sig?
Hovedkilden, som jeg benytter til undersøgelsen af Per Nørgårds tanker og idéer, er
Kompendiet ”Åbne Ører, Åbne Døre.” Til forklaring af nogle af de matematiske aspekter, som
træder ind i billedet, benyttes kompendiet ”Kvantespring I Det 20. Århundrede” af Michael
Cramer Andersen.
SRO 2e, AR og SV 11 feb 2011
Musik og matematik Århus Katedralskole
2
Per Nørgårds fascinerende musikfremstilling
Indgangsbøn
Som en reaktion på den romantiske musik i 1800 tallet, trådte Arnold Schönberg på scenen i
1906-07 med nogle af de første atonalt komponerede ekspressionistiske musikstykker. Den
ekspressionistiske musik bærer præg af et atonalt grundlag, hvor ingen toner, eller akkorder
har større betydning end de andre. Dette betyder, at Arnold Schönberg bevæger sig væk fra
den funktionsharmoniske musiklære, som har præget kompositionsmusikken i århundrede, til
en musiktype, der bæger præg af andre regelsæt og matematiske strukturer, altså et
paradigmeskift, som får stor betydning for den klassiske musiks udvikling.
1
I efterkrigstiden
bæres Schönbergs tanker videre af hans elever, og den serielle musik og dodekafonien
udvikles efterhånden ud fra de tanker og opdagelser, som Schönberg og hans elever gjorde
sig. Per Nørgård kommer ind i billedet, som en reaktion på den serielle musik og
dodekafonien. Denne periode i hans musiske karriere kaldes “Det Nordiske Sinds Univers”.
Her tager han afstand til serialismen og den avantgarde musik, det var altså de mere radikale
strømninger i den internationale modernisme, som han tog afstand til, men senere fandt han
tilbage til den diatoniske musik. Efterhånden begynder Per Nørgård at gøre brug af
metamorfoseprincippet
2
, hvorfor Nørgård lader sin musik inspirere af det naturlige og
organiske. Han udvikler sin musik fra hans opdagelser, som er af allerede eksisterende
naturlige forekomster, og er derfor ikke selv skaberen af hans musiske principper, men
opdageren
3
.
I 1966 begynder en ny epoke i Per Nørgårds kompositions stil, den såkaldte ”Psykedeliske
periode”
4
, hvor Per Nørgård især er inspireret af matematikkens verden, og efterhånden
begynder at lade sig inspirere af serialismen. Iterationer og fraktaler inspirerer ham meget, da
disse matematiske konstruktioner danner grundlag for hans musik. I sidste ende opdager Per
Nørgård da også sin egen uendelighedsrække.
1
http://www.marierosenberg.dk/mdu/ekspressionisme/musik.html
2
Betydning og ”opfinder”
3
side 227 i kompendiet Per Nørgård.
4
http://www.pernoergaard.dk/da/stil/stilperioder.html
SRO 2e, AR og SV 11 feb 2011
Musik og matematik Århus Katedralskole
3
De matematiske begreber: Iteration
5
og fraktaler
En funktion f itereres ved at lade funktionen virke på en startværdi x
0
og derefter gentagene gange
at lade funktionen virke på den værdi, som funktionen giver.
Altså har vi en funktion f og et tal x
0
.
Ved iteration fås følgen:
f x
0
( )
= x
1
, f f x
0
( )
( )
f x
1
( )
= x
2
,... , f f x
n-1
( )
( )
= f x
n
( )
= x
n+1
For at give et billede på denne process, kan processen sammenligens med den som forgår i banken,
når man sætter et beløb ind på sin konto. Det indsatte beløb vil efterhånden, som tiden går, begynde
at trække renter. Iterationsprocessen tager form i at beløbet begynder at trække renters rente, altså
fortages der en gentangen handling på startbeløbet.
Når der itereres hænder det at et tal bliver sig selv efter funktionen har virket på det.
En sådant tal kaldes et fikspunkt og ser således ud: f x
0
( )
= x
0
, altså er iterationens forløb lagt fast.
Der findes også præfikspunkter, forløbet for et sådant se således ud:f f x
0
( )
( )
= f x
1
( )
= x
1
,
altså virker funktionen på punktet x
0
, hvorefter funktionen virker på outputtet , som giver sig selv.
Et tredje forløb for iteration kaldes cykliske perioder. Forløbet kaldes således, når en række af tal
funktionen har virket på gentager sig, en således talrække kunne fx. være: x
0
® x
1
® x
2
® x
3
®
x
0
® x
1
® x
2
, osv.
En iteration kan også ende i kaos, og med kaoes mener jeg, at iterationen gå mod uendeligt. Dvs. at
en rækken af tal aldrig ender i cykler eller fikspunkter. iterationen kan også gå mod 0.
Kochs Snefnug
6
Kochs Snefnug er et godt eksempel på en fraktal dannet ved iteration.
En fraktal er en figur
eller afbildning, som er dannet af iteration.
Det gælder blandt andet for et fraktal, at det enten skal være selvsimilær, have detaljer på
vilkårligt små skalaer, have en fraktal dimension forskellig fra et heltal
7
.
5
Afsnit baseret på ( http://www.denstoredanske.dk/It,_teknik_og_naturvidenskab
/Matematik_og_statistik/It_og_numerisk_analyse/iteration kl. 13:10 d. 7/2 2011).
6
Frandsen, Jesper. ”Komplekse tal og fraktaler” Side 62-63 udleveret af SV.
SRO 2e, AR og SV 11 feb 2011
Musik og matematik Århus Katedralskole
4
Snefnugget konstrueres således, at en ligesidet modertrekant
8
,
lægges ”en spids” til på hver af trekantens sider. Hver af trekantens
sider opdeles i tre lige store dele, hvor den midterste fjernes, og to
linjer med længden 1/3 af den foregående linje placeres på siden,
som vist på tegningen. Ligesådan gentages denne handling i det
uendelige, og derfor er snefnugget konstrueret ved en geometrisk
iteration. Ved at betragte den sidst konstrueret side på billedet til
højre og derefter trinvist se på hver af de konstruerede sider i
snefnugget, ses det at snefnugget indeholder selvsimilaritet.
Trekantens areal viser sig at være endeligt stort, hvorimod
sidelængden af snefnugget er uendeligt stort. Dette vil jeg
forsøge at bevise matematisk.
Bevis for, at Kochs snefnug har en uendelig lang omkreds:
Ved at se på billedet ser vi at der er én linje på første trin og 4
linjer på 2. trin. Af konstruktionsprocessen ses det derfor, at
hver linje i figuren deles i 3 lige store stykker, hvor der på hver
gammel side vil komme 4 nye sider
der er 1/3 af den gamle.
Omkredsen findes ved at gange
antallet af sider med længden af
dem. Længden af siderne er altid en
1/3 af den gamle side, og derfor kan
skemaet højre for opstilles:
Ved at lade n gå mod det uendelige
ses det at omkredsen vil blive
uendelig stor:
7
http://da.wikipedia.org/wiki/Fraktal
8
Den øverste linje på billedet til højre illustrere en af modertrekantens
sider. Nedefter vises opdelingen og konstruktionen af siderne i trekanten når den itereres.
Trin
Antal sider
Sidernes længde
Omkreds
1
3
1
3
2
3
n-1




n
SRO 2e, AR og SV 11 feb 2011
Musik og matematik Århus Katedralskole
5
Beviset for at arealet er endeligt stort:
Arealet af snefnugget er arealet af alle de trekanterne, som findes i snefnugget. Altså fx i trin
to er summen af modertrekanten og arealet af de tre ny trekanter, som bliver lagt til
modertrekanten, lig snefnuggets areal.
forholdet mellem den gammele og nye trekant.
Gammel :
h × g
2
Ny :
h
3
×
g
3
2
=
hg
18
Forhold :
h × g
2
/
h × g
18
=
h × g
2
18
hg
= 9
altså er moderen (den store trekant) 9 gange større end den lille/næste.
Antallet af trekanter der bliver sat på i næste trin er antallet af sider i figuren trinnet før, da der
bliver lagt en trekant til på hver side i den tidligere figur, når man konstruerer den næste. Dvs.
at er antallet af trekanter i den nye

Vi får at arealet af trekanterne er :
SRO 2e, AR og SV 11 feb 2011
Musik og matematik Århus Katedralskole
6
Moder: A
0
A
1
= A
0
+A
0
1
9
×3
A
2
= A
0
+ A
0
3
9
+A
0
3× 4
9×9
= A
0
+ A
0
3
9
+A
0
3× 4
1
9
2
Der ganges med fire i tælleren da der kommer 4 nye sider på hver side i den gamle trekant.
A
3
= A
0
+ A
0
3
9
+A
0
3× 4
1
9
2
+ A
0
3× 4
2
9
3
A
n+1
= A
n
+ A
0
3× 4
n-1
9
n
Altså
A
n+1
= A
0
4
3
+ A
0
3× 4
k-1
9
k
k=2
n
å
A
n+1
= A
0
4
3
+ A
0
3× 4
k-1
9
k
k=2
n
å
= A
0
4
3
+
3× 4
k-1
9
k
k=2
n
å
æ
è
ç
ö
ø
÷
= A
0
4
3
+
1
3
9× 4
k-1
9
k
k=2
n
å
æ
è
ç
ö
ø
÷
= A
0
4
3
+
1
3
4
k-1
9
k-1
k=2
n
å
æ
è
ç
ö
ø
÷
= A
0
4
3
+
1
3
4
k
9
k
k=0
n-2
å
æ
è
ç
ö
ø
÷
= A
0
4
3
+
1
3
4
9
æ
è
ç
ö
ø
÷
k
k=0
n-2
å
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
Det viser sig at sætningen for en kvotientrække kan benyttes.
a
( )
i
=
a
i
-1
a -1
i=0
n
å
Istedet for a indsættes
4
9
.
4
9
æ
è
ç
ö
ø
÷
i
=
4
9
( )
i
-1
4
9
-1
i=1
n-1
å
-1
i®¥
¾ ®¾¾
-1
-
5
9
-1=
9- 5
5
=
4
5
hvilket kan sættes ind i A
n+1
= A
0
4
3
+
1
3
4
9
æ
è
ç
ö
ø
÷
k
k=0
n-2
å
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
, og derfor får man at
A
n+1
= A
0
4
3
+
1
3
×
4
5
æ
è
ç
ö
ø
÷
= A
0
20
15
+
4
15
æ
è
ç
ö
ø
÷
= A
0
8
5
Da modertrekantens A
0
( )
sider er 1, får vi at trekantens areal er endeligt stort.
Modertrekantens areal:
højden (pythagoras): h = 1
2
-
1
2
æ
è
ç
ö
ø
÷
22
=
3
2
Ar =
1
2
×1×
3
2
=
3
4
SRO 2e, AR og SV 11 feb 2011
Musik og matematik Århus Katedralskole
7
Snefnuggets areal bliver altså
A =
3
4
×
8
5
=
8 3
20
=
2 3
5
Det vil oftest for mennesker opfattes som et paradoks, at en figur med uendelig stor omkreds
kan have et endeligt stort areal, men som bevist er dette dog tilfældet for Kochs snefnug. Den
fraktale dimension for snefnugget viser sig da også at være en anden end den umiddelbart
tænkelige. Figurer med en længde og en bredde befinder sig i den anden dimension, men hvis
vi opfatter dimension, som matematikeren Hausdorff, viser det sig, at snefnuggets dimension
er en dimension mellem den første og den anden.
Dimensionen for et fraktal findes på følgende måde vha. Hausdorffs formel
9
.
Den fraktale dimension:
dim =
log antal kopier
( )
log Forstørrelsen
( )
,
10
dim =
log 4
( )
log 3
( )
»1.262
dvs. at snefnugget bevæger sig mellem den første og den anden dimension.
10
Per Nørgårds uendelighedsrække
11
En af Per Nørgårds store værker er ”Voyage Into The Golden Screen”. I denne komposition
dannes tonegrundlaget ud fra en Iteration. Grundlaget for uendelighedsrækken er en tone, et
interval og to regler, som tilsammen konstruerer en uendelig række af toner.
Hvis man tager udgangspunkt i fløjtens stemme i ”Voyage Into The Golden Screen”, er g
tonegrundlaget og intervallet er en halvtone op.
Reglerne for konstruktionen af uendelighedsrækken, er som følger:
9
Side 163 i ”kvantespring i det 20. Århundrede” af Michael Cramer Andersen.
10
Forstørrelsen er den faktor, som sidelængden i n’te trin i figuren skal ganges med for at længden i trin (n-1), og ”antal kopier” er
det antal af sider, som der kommer af ud af én side i figuren i næste trin.
11
Afsnit baseret på:http://www.pernoergaard.dk/da/strukturer/uendelig/ukonstruktion01.html
SRO 2e, AR og SV 11 feb 2011
Musik og matematik Århus Katedralskole
8
• Tone 3 og 4 dannes ud fra interval 1 til 2 (½):
Tone 3 omvendt interval (-½) ud fra tone 1: fis
Tone 4 retvending af interval ud fra tone 2: a
• Tone 5 og 6 dannes ud fra intervallet 2 til 3: (-1 tone)
Tone 5 dannes ved at omvende ud fra tone 3: as
Tone 6 retvending ud fra tone 4: g
• Osv.
Med retvending menes der at intervallet vendes endnu en gang og derefter afsættes tonen,
som man er nået til.
12
Efterhånden som man får kæmpet sig igennem en del af konstruktionen af
uendelighedsrækken, viser det sig, som forventet, at tonaliteten tydeligvis bliver atonal og
kromatisk anlagt.
Analyse af ”Voyage Into The Golden Screen”
I musikkens verden kulminerer matematikkens bestræbelser på at beskrive det uendelige i en
eksperimenterende komposition af Per Nørgård. Musikstykket sætter i den grad lytternes og
musikernes normer og musikforståelse på prøve.
Per Nørgård bruger i kompositionens 2. sats ”Voyage Into the Golden Screen” et spektrum af
farver, bestående af forskellige instrumentgrupper, som megen anden klassisk musik gør det.
Opsætningen består af både træ- og messingblæsere, strygere i form af violiner, et klaver og
et klokkespil. Musikstykket er, ved første øjekast, meget svært at formopdele, som man gør
det med nutidens pop/rockmusik, jazzmusik, sågar klassisk musik, pga. den noget
utraditionelle konstruktion af musikstykket. Musikstykket er meget konstrueret og fastlagt, før
det overhovedet bliver spillet, hvilket tydeligt viser sig ved konstruktionen af
uendelighedsrækken. En mulig indgangsvinkel på en formopdeling er at lægge mærke til
nogle af de valg, som Nørgård har pålagt kompositionen.
12
http://web10.flora-cms.dk/flora/user/webimages/209/pn_kromatisk.gif
SRO 2e, AR og SV 11 feb 2011
Musik og matematik Århus Katedralskole
9
En af de overvejelser, som har betydet meget for Per Nørgårds kompositioner er det, som han
kalder ”det åbne hierarki”
13
. Et sådant hierarki findes også i ”Voyage Into the Golden Screen” ,
hvor intet instrument har større betydning eller er mere værd end de andre. Ethvert instrument
er en del af den samlede enhed, og skaber et højere niveau af musisk oplevelse. Hierarkiet i
”Voyage Into the Golden Screen” skaber en inddeling af musikken således at hvert instrument
har hver deres aktivitet og rytme, men i sidste ende kun fungerer sammensat med de andre.
14
De første 7 takter i stykket fungerer som en intro til 2. satsen, men det må formodes at denne
også binder 1. og 2. sats sammen. Dirigenten har i indledningen en væsentlig rolle ift. tempo
og dirigering af de forskellige instrumenter, hvilket kan ses af tempoet ”lento poco rubato”.
Musikken flyder i en strøm, hvor holdepunktet i tempoet ikke kan fornemmes på indspilningen,
dog kan det alligevel fornemmes at instrumenternes dynamik udvikler sig, og at tempoet
langsomt bliver hurtigere og mere fast.
Efter introen kommer hoveddelen (romertal 2 i nodearket takt 1-128), som er en del
vanskeligere at forklare. Det føromtalte hierarki træder nu for alvor i kraft og tager form i nogle
rytmisk baserede valg fra Per Nørgårds side.
Fløjten er det instrument, hvis aktivitet er allerhøjest. Fløjten spiller enhver 8’del
15
, baseret på
uendelighedsrækken, dog er fløjten delt op i en første og anden fløjte. Hver stemme mødes i
hver anden takt på et-slaget
16
, som begge stemmer markerer og derfor sammenklinger på.
Oboen fungerer som et modrytmisk instrument i kompositionen. Oboen synkoperer første og
tredje slaget, altså en markering af 2og og 4og
17
. Tonerne, som Oboen spiller, er identiske
med de toner, som fløjten spiller på de givende slag, hvormed selvsimilariteten i
uendelighedsrækken dukker op, fordi tonematerialet er uendelighedsrækken i sig selv, dog
med den forskel, at der tages udgangspunkt i tonen a.
13
”Åbne Dører åbne døre” side, 235-237 udleveret af AK
14
Afsnit baseret på: http://www.pernoergaard.dk/da/ideer/hierarkisk.html
15
Første takt i hoveddelen ses som repræsentant for hele hoveddelen
16
jf. II) takt 3 og 5, som repræsenterer hele hoveddelen
17
Ligesom fløjten repræsenterer 1 takt dette.
Instrument
opdelt efter
aktivitetsniveau
Markeringer
SRO 2e, AR og SV 11 feb 2011
Musik og matematik Århus Katedralskole
10
Klarinetten er instrumentet, som har den anden
højeste aktivitet, og som Per Nørgård har valgt
skulle være synkoperet og dermed modrytmisk.
Klarinetten markerer alle offbeats men med legato i
hver takt. Dette skaber en hvis ynde og lethed over
instrumentets melodi. Ligesom det gælder for oboen
og resten af instrumenterne, dukker
uendelighedsrækken også op i Klarinettens
stemme, med udgangspunkt i as. Jeg har tilladt mig
at lave et skema over de resterende instrumenters
rytmiske inddelinger, da reglerne og opdagelserne
er ens for alle instrumenter.
Hver for sig kan en sådan konstruktion af
instrumenternes tonemateriale og rytmer føles kedeligt og uinteressant, men i samme øjeblik
instrumenterne bliver sammensat, får stykket en niveauændring, hvilket er Nørgårds intention
bag ”det åbne hierarki”. 5 ud af 9 instrumenter er modrytmiske, og får hurtigt lytteren til at
miste fornemmelsen af, hvilket slag der bliver spillet. Pulsfornemmelsen kommer derfor til at
ligge offbeats’ne. Disse modrytmiske elementer skaber en inddeling i musikken, som sjældent
opleves. Lytteren får en fornemmelse af og en forventning til, hvilke instrument der skal spille,
og lytterens rytmiske fornemmelse bliver derfor instrumentbaseret. De 5 modrytmiske
instrumenter er inddelt således, at der i hver fjerde takt sker en kulmination af harpen, oboen
og klarinetten, hver ottende takt kulminerer de førnævnte instrumenter og trompeten, og hver
32. takt eksploderer alle instrumenterne på nær violiner, fagotter og kornetter i en synkope
spillet med ” forte fortissimo”, som opleves som et ”brag”
22
. ”Braget”, som kommer hver 32.
takt, bliver for stykket en inddeling af hoveddelen, som vers og omkvæd er for et popnummer.
”Braget” skaber et klimaks, som omkvædet gør det, hvorefter ”verset” (uendelighedsrækken)
ubekymret tager over.
18
Jf. II) takt 2
19
Jf. II) takt 4
20
jf. II) takt 8
21
Jf. II) takt 32
22
jf. II) takt 32
Fløjte
alle ottendedele
Klarinet
alle off-beat (1og, 2og 3og
og 4og)
Obo
2og og 4og.
Kornet
på 2 og 4.
Harpe
4og i hver takt. (se takt 1)
Fagot
4. slaget hver anden takt.
18
Violiner
2. slaget i hver fjerde
takt.
19
Trompeter
4og i hver ottende takt.
20
Chime, klaver
trombone
4og slaget i hver 32. takt.
21
SRO 2e, AR og SV 11 feb 2011
Musik og matematik Århus Katedralskole
11
Et resume af analysen giver os en inddeling af ”Voyage Into the Golden Screen”, hvor introen
skaber sammenhæng mellem 1. og 2. sats i et flydende roligt tempo ( I) takter: 1-7) efterfulgt
af hoveddelen, som inddeles i 4 dele pga. kulmination af instrumenterne. Hoveddelen deles i
1. del fra II) takt 1-32, 2. del takt 33-64, 3. del takt 65-96, 4. del takt 97-128, hvorefter outroen
kommer ved III). I outroen, lader Per Nørgård instrumenterne klinge ud på den tone, som de
spillede i det sidste brag (takt 128). Det sidst brag bliver indledt af at de spillende instrumenter
får mere aktivitet gennem de sidste 4 takter, hvilket får braget til at stå som klimakset for
kompositionen.
”Voyage Into the Golden Screen” - Musik eller matematik?
Oftest vil den traditionelle klassiske tilskuer, en ungdommelig festmusiker og de fleste andre,
som hører lyttervenligt musik, stille spørgsmål ved om musik, der er konstrueret på så
matematisk og struktureret bestemt grundlag, i virkeligheden kan kaldes musik. I første
omgang opleves nummeret som en række tilfældigheder, men efterhånden som stykket
forløber sig, fornemmes en klar struktur i musikken, således at kompositionen føles som
matematik med lyd på, hvilket i realiteten også er tilfældet.
Matematik er et struktureret fag, hvor sætninger undersøges, bevises og udregnes, og som
oftest findes der kun ét indiskutabelt facit. Matematikken kan beregne ting, som er for
abstrakte til, at hjernen kan forestille sig, og den kreative del, som findes i matematikken er
som regel et spørgsmål om idéer til løsninger, snilde i beviserne og farvelægning af fraktaler.
Musikken er derimod en kreativ lydkilde, som oftest sættes i forbindelse med at behage et
publikum, og som ligger op til, at det er lytteren, som bestemmer betydningen, svarene og
billederne, som musikken skaber.
Kombinationen af så vidt forskellige faglige områder provokerer lytteren og sætter individets
musikforståelse på prøve. Det spændende er dog, at uanset om man er musikkyndig eller ej,
danner kompositionen formodninger og skaber genkendelse af den mekaniske konstruktion,
som ligger til baggrund for nummeret. Dette ændrer dog ikke faktummet, at en Ikke
musikkyndig, vant til populært musik, har brug for god baggrundsviden for ikke at få følelsen
af, at musikken er den rene kattejammer. Kun vante avantgarde musikkendere, som har viden
med i bagagen vil få fornemmelsen af mening bag og i musikken.
SRO 2e, AR og SV 11 feb 2011
Musik og matematik Århus Katedralskole
12
Men af hvilke grunde vælger en dygtig og kendt musiker som Per Nørgård, at lave musik som
henvender sig til et yderst begrænset publikum? Jeg forestiller mig, at Per Nørgård har
udforsket musiske grænser, for at udvide den musikforståelse, som mennesket besidder i dag.
Han åbner nye døre for musikkens mangfoldige veje ved at kombinere matematikkens
bestræbelse på at udforske det uendelige og de rytmiske forhold han tillægger
musikinstrumenterne. Per Nørgård jager nogle sanseoplevelser, som ikke kan opnås ved den
kreative popmusik, hvor hver enkel tone nøjsomt udvælges for lytterens tilfredsstillelse, men
nogle sanseoplevelser, som skal få lytterens hjerne til at koge i en gryde af provokation,
omtanke og en ophøjelse, som for lytteren viser sig at være en accept af den musik, som
endnu er eksperimenterende for det musiske samfund.
SRO 2e, AR og SV 11 feb 2011
Musik og matematik Århus Katedralskole
13
Litteraturliste
Andersen, Michael Cramer. ”Kvantespring i det 20. Århundrede” af M. udleveret af SV.
”Åbne Dører, åbne Døre” side, udleveret af AK.
Frandsen, Jesper. ”Komplekse tal og fraktaler” udleveret af SV.
http://www.denstoredanske.dk/It,_teknik_og_naturvidenskab
/Matematik_og_statistik/It_og_numerisk_analyse/iteration kl. 13:10 d. 6/2 2011.
http://www.denstoredanske.dk/Kunst_og_kultur/Billedkunst/Ekspressionisme,_kubisme,_symbolisme_og_f
uturisme_mv./Ekspressionisme/ekspressionisme_(Musik) kl. 16:00 8/2 2011.
http://www.marierosenberg.dk/mdu/ekspressionisme/musik.html. (senest hentet eller vist den 5. 2 16:45).
http://www.pernoergaard.dk/da/stil/stilperioder.html kl. 19:00 d. 3/2 2011 .
http://www.pernoergaard.dk/da/strukturer/uendelig/ukonstruktion01.html.