Studiekompasset.dkKlasse: HTX 3. år · Fag: Matematik A
[navn fjernet] - Matematik A - Aalborg Tekniske Gymnasium - [navn fjernet]
Side 1 af 16
Matematik projekt
Keopspyramiden
Et projekt om vektorer i rummet
Matematik A – [navn fjernet]
Oktober 2006
[navn fjernet] - Matematik A - Aalborg Tekniske Gymnasium - [navn fjernet]
Side 2 af 16
Indledning
Vi præsenteres, for informationer, skitser, og mål, for Den Store Pyramide, også kaldet Keops-
pyramiden. Her præsenteres vi bl.a. for både for den oprindelige og nuværende højde- Vi vil
gennem hele projektet, benytte os af den gamle, oprindelige højde.
Efter en kort beskrivelse af pyramiden og dens historie, stilles vi over for en række opgaver, seks
plus én ekstra opgave, der naturligvis, skal løses.
Formål
Formålet med rapporten er selvfølgelig at beregne de givne opgaver. Derudover er hensigten at vise
forskellige måde de enkelte opgaver kan regnes på, og på den måde vise ens matematiske
egenskaber. Dispositionen for opgaven ligger således:
- Analyse af opgaverne
- Løsningsforslag til opgaverne
- Begrundelse til det valgte løsningsforslag
- Dokumentation
- Vurdering af resultat
Analyse & løsningsforslag til opgaverne
Vi vælger at ligge disse to kategorier sammen, idet projektet her, ikke overlader os med så mange
alternative løsningsmetoder
- Opgave 1
I opgaven ønskes pyramidens toppunkt bestemt. Altså punktet, hvor pyramiden er højest, hvilket
altid vil være punktet i grundfladens centrum, blot med en ”højde-koordinat” ganget på. Idet vi
allerede kender denne højde, der er oplyst i teksten, vil det altså blot være nødvendigt at bestemme
grundfladens centrumskoordinat. Denne findes også nemt idet vi oplyses pyramidens sidelængder.
Tegningen her viser tankegangen:
[navn fjernet] - Matematik A - Aalborg Tekniske Gymnasium - [navn fjernet]
Side 3 af 16
- Opgave 2
Her ønskes to forskellige planer bestemt, nærmere betegnet, planet der er sammenfaldende med x-
aksen, og planet sammenfaldende med y-aksen. Begge indeholder de punktet origo;
0; 0; 0
, og
samtidig, må de ligeledes begge indeholde pyramidens toppunkt. Således kan vi altså bestemme en
retningsvektor, der gør sig gældende for begge planer. Derudover, må hvert plan have en anden
retningsvektor, nemlig den vektor, der ligger i forlængelse af planets sammenfaldende akse, altså
hhv. x-aksen og y-aksen. Et fælles begyndelsespunkt, kunne passende være origo.
Således har vi altså en metode til at finde alle gældende informationer, for at kunne opstille en
parameterfremstilling for de to planer.
Når parameterfremstillingerne er fundet, findes ligningerne nemt, ved krydsproduktet af de to
retningsvektorer i hvert plan.
Det er disse to planer der er tale om:
[navn fjernet] - Matematik A - Aalborg Tekniske Gymnasium - [navn fjernet]
Side 4 af 16
- Opgave 3
Vinklen mellem de to planer, må ganske enkelt kunne bestemmes som vinklen mellem de samme
planers normalvektorer, idet disse altid står lodret ud fra det korresponderende plan. Idet opgaven
forinden kræver at vi netop finder normalvektorerne for planerne, genbruger vi blot dette resultat.
Når først, de to vektorer er fundet, benytter vi os blot at prikproduktet, for at bestemme vinklen
imellem dem.
- Opgave 4
Her ønskes en parameterfremstilling opstillet, for den linie, der er en del af begge førnævnte flade.
Altså linien der går fra origo, og til pyramidens toppunkt. For at kunne opstille en
parameterfremstilling for en sådan linie, skal to ting ligge fast; et startpunkt, og en retningsvektor.
Begge dele kan meget nem udledes i denne opgave. Som det ses på figuren starter linien netop i
origo, og bevæger sig derefter opad til pyramiden toppunkt. Vi må altså derfor også kunne opstille
en retningsvektor, der må være differensen af toppunktet og origo, og da origo jo er nul, har vi altså
en retningsvektor i toppunktet selv. Herefter kan vi opstille parameterfremstillingen.
Her ses linien der er tale om:
- Opgave 5
Afstanden mellem en vilkårlig sidekant, og det modstående sidehjørne skal bestemmes. Altså med
andre ord skal vi bestemme længden fra en linie, nemlig en sidekant og et punkt, nemlig det
modstående sidehjørne. Som løsning kan vi altså bruge formel for afstand mellem punkt og linie.
Denne kræver tre ting opfyldt; at man kender punktet hvortil længden skal måles, at man kender et
punkt på linien, der måles fra, og at man kender liniens retningsvektor.
Da vi i en tidligere opgave har beregnet en parameterfremstilling for en sådan sidekant, kan vi snildt
benytte denne, da der heri er implementeret er punkt på linien, og liniens retningsvektor.
[navn fjernet] - Matematik A - Aalborg Tekniske Gymnasium - [navn fjernet]
Side 5 af 16
Det er nu blot at bestemme en vektor, fra punktet på linien til punktet hvortil længden skal måles,
og så ellers bare indsætte i den kendte formel.
Her ses opstillingen, længden er betegnet e:
- Opgave 6
Vi skal her finde længden mellem et sideplan og den modstående grundfladekant. Altså skal vi reelt
set finde længden mellem et plan og en linie. Men da linien ligger parallelt med y-aksen, må det
altså være tilstrækkeligt at bestemme længden fra plan til et punkt på linien, idet dette ikke ændre på
den afstand mellem plan og linie. Derfor skal vi altså finde afstanden mellem plan og punkt.
Til løsning af en sådan opgave hører en formel, der netop beregner det ønskede. Denne kræver blot
følgende; punktet hvortil der skal findes en længde, og en ligning for planet hvorfra der måles.
Planets ligning kender vi fra en tidligere opgave, og et punkt på linien, bestemmes blot ved den
halve længde af pyramidens bredde.
Det er denne længde vi er ude efter:
[navn fjernet] - Matematik A - Aalborg Tekniske Gymnasium - [navn fjernet]
Side 6 af 16
Dokumentation
På baggrund af ovenstående analyse, vil vi nu beregne opgaverne, dels for at nå til resultat, men
også for at påvise de opstillede påstande.
Opgave 1
Bestem koordinaterne til pyramidens toppunkt.
Vi bestemmer grundfladens centrumskoordinat:
230,362
115,181
2
230,362
115,181
2
115,181;115,181
C
x
y
P


Herefter ligger vi blot den sidste dimension til, nemlig højden opgivet i opgavesættet, og har
dermed vores toppunkt:
115,181;115,181;146,6
T
P
Opgave 2
Bestem parameterfremstillinger og ligning for de to flader, der er sammenfaldende med hhv.
x- og y-aksen.
Vi bestemmer først parameterfremstilling for plan sammenfaldende med x-aksen, kaldet
:
Bestemmer planets retningsvektorer:
Først
1
r
:
[navn fjernet] - Matematik A - Aalborg Tekniske Gymnasium - [navn fjernet]
Side 7 af 16
1
1
1
115,181 0
115,181 0
146, 600 0
115,181
115,181
146, 600
T
r OP
r
r











Den anden retningsvektor bestemmer vi som:
2
1
0
0
x
r





Vi vælger nu et punkt på planet, og da planet starter i origo, er dette punkt nærliggende, derfor:
0
0
0
0
P





Herved kan vi opstille parameterfremstillingen for plan
ved:
Ligningen for dette plan findes:
Generelt lyder planets ligning:
0 0 0
0a x x b y y c z z
Her er
;;abc
, planets retningsvektorer, krydset med hinanden, mens
0 0 0
;;x y z
, er et punkt i
planet.
Vi kender allerede et punkt, nemlig origo, og skal derfor blot finde krydsproduktet af planets
retningsvektorer:
[navn fjernet] - Matematik A - Aalborg Tekniske Gymnasium - [navn fjernet]
Side 8 af 16
12
12
12
115,181 1
115,181 0
146, 600 0
( , )
0
146, 6
115,181
x
x
x
rr
crossp r r
rr






Vi har altså nu alt hvad vi skal bruge for at kunne opstille plan
’s ligning:
146, 6 0 115,181 0 0
146, 6 115,181 0
yz
yz
Vi bestemmer nu parameterfremstilling for det andet plan, plan
.
Dette plan må have samme retningsvektorer som plan
, bortset fra, at dette flugter y-aksen og
ikke x-aksen, derfor bliver dette plans anden retningsvektor altså:
2
0
1
0
y
r





Begyndelsespunktet i dette plan kan ligeledes være origo, altså kan vi nu opstille
parameterfremstillingen for plan
som:
Ligningen bestemmes:
Vi benytter os af samme metode som før, altså finder vi først krydsproduktet:
[navn fjernet] - Matematik A - Aalborg Tekniske Gymnasium - [navn fjernet]
Side 9 af 16
12
12
12
115,181 0
115,181 1
146, 600 0
( , )
146, 6
0
115,181
y
y
y
rr
crossp r r
rr






Begyndelsespunktet er for dette plan, er det samme, altså må ligningen være:
: 146, 6 0 115,181 0 0
: 146, 6 115,181 0
xz
xz
Opgave 3
Bestem vinklen mellem de to ovennævnte sideflader.
Vinklen, må være vinklen mellem de to fladers normalvektorer, od da disse blev bestemt i opgaven
før, indsætter vi blot i denne formel:
-1
1 2 1 2 1 2
2 2 2 2 2 2
-1
2 2 2 2 2 2
cos
0 146, 6 146, 6 0 115,181 115,181
cos
0 146, 6 115,181 115,181 0 146, 6
112, 438
a a a b b b
x x y y z z
v
x y z x y z
v
v










Vi skal huske på at denne vinkel er den ”ydre” vinkel så at sige, altså vinklen udenpå pyramiden.
Ønsker vi at finde den indvendige, substitueres 180 blot med vort fundne udvendige vinkel, altså vil
den indvendige eller spidse vinkel være:
180 112, 438
67, 562
indre
indre
v
v


[navn fjernet] - Matematik A - Aalborg Tekniske Gymnasium - [navn fjernet]
Side 10 af 16
Opgave 4
Bestem parameterfremstillingen for sidekanten mellem de førnævnte planer.
For at kunne bestemme en parameterfremstilling, skal vi først finde en retningsvektor og et
begyndelsespunkt. Linien begynder i origo, altså:
0
0
0
0
P





Retningsvektoren bestemmes ved:
115,181
115,181
146, 600
T
r OP
r





Vi opstiller parameterfremstilling:
0 115,181
: 0 115,181
0 146, 600
x
l y t
z

Opgave 5
Bestem afstanden fra en sidekant til det modstående hjørne i grundfladen.
Til løsning af denne opgave benytter vi os af formlen mellem punkt og linie, der lyder:
0
r PP
e
r
Altså skal vi kende visse oplysninger. Lad os først bestemme, at vi vælger linien, fundet i opgave 4,
som vores sidekant. Herved bliver længden der skal måles, altså længden fra linien l, vinkelret ned
til punktet
0
230, 362; 230, 362; 0P
0
PP
bestemmes:
Idet
[navn fjernet] - Matematik A - Aalborg Tekniske Gymnasium - [navn fjernet]
Side 11 af 16
0
0
0
P





Bliver
0
PP
:
0
230,362
230,362
0
PP





Vi kender allerede liniens retningsvektor, fra opgaven før, og mangler altså nu blot at indsætte i
vores formel:
2 2 2
0
115,181 230,362
115,181 230,362
146, 600 0
115,181 115,181 146, 6
( (( , )) /( ( ))
217,935
e
norm crossp r P norm r
em

[navn fjernet] - Matematik A - Aalborg Tekniske Gymnasium - [navn fjernet]
Side 12 af 16
Opgave 6
Bestem afstanden fra en sideflade til den modstående grundfladekant
Opgaven her åbner op for brugen af formlen for afstand mellem punkt og plan, idet vi kender et
punkt lige midt på grundfladekanten, nemlig
0
230, 326
115,181
0
P





. Formlen lyder:
0 0 0
2 2 2
ax by cz d
e
abc

Denne formel kræver altså at man har planets ligning, og samtidig punktets koordinater. VI er i
besiddelse af begge, i det vi regnede begge planers ligning tidligere. Vi vælger at måle længden fra
plan
, til punkt
0
230, 326
115,181
0
P





:
2 2 2
2
2
146, 6 230,326 115,181 0
146, 6 0 115,181
146, 6 230,326
146, 6 115,181
181,112
e
e
em


[navn fjernet] - Matematik A - Aalborg Tekniske Gymnasium - [navn fjernet]
Side 13 af 16
Vurdering af resultat
Opgave 1:
Resultat:
115,181;115,181;146,6
T
P
Vurdering:
Vi oplyses pyramidens længder, dividerer med to, og ligger z-koordinaten til. Løsningen er så
simpel, og resultatet virker korrekt, selv for en udestående.
Opgave 2
Resultat:
Plan
Parameterfremstilling
Ligning
:146, 6 115,181 0yz
Plan
Parameterfremstilling
Ligning
: 146,6 115,181 0xz
Vurdering:
Sammenligner man ligningerne og parameterfremstillingerne, ses gentagende gange, at flere tal går
igen, hvilket, hvis begge er korrekte, gerne skulle være tilfældet – altså må i kunne vurdere at
resultatet er sandt, i hvert fald overfor hinanden. Der kan naturligvis være blevet brugt forkerte tal,
hvilket kan være svært at se, idet en parameterfremstilling ofte, grafisk, virker diffus og umiddelbar
uforklarlig.
[navn fjernet] - Matematik A - Aalborg Tekniske Gymnasium - [navn fjernet]
Side 14 af 16
Opgave 3
Resultat:
67, 562
indre
v 
Vurdering:
Lad os kigge på pyramidefiguren, i det aktuelle område:
Lad os antage at begge sidekanter, stod lodret op i luften, altså ikke skrånede overhovedet. Da ville
vinklen mellem de to flader være
90
. Som det ses på figuren skråner begge flader dog en anelse
indad, hvilket altså vil gøre vinklen mellem dem mindre end de
90
. De
67, 5
vi har fået som
resultat virker derfor realistiske rent visuelt.
[navn fjernet] - Matematik A - Aalborg Tekniske Gymnasium - [navn fjernet]
Side 15 af 16
Opgave 4
Resultat:
0 115,181
: 0 115,181
0 146, 600
x
l y t
z

Vurdering:
Igen stilles vi med en parameterfremstilling, der måske umiddelbart kan være svært at vurdere. Men
vi kan se, at både liniens begyndelsespunkt, og dens retningsvektor er repræsenteret, altså må vi gå
ud fra dette resultat er sandt.
Opgave 5
Resultat:
217, 935em
Vurdering:
Lad os igen kigge på det grafiske resultat:
Her ses længden e tydeligt. Med viden om pyramidens sidelængde 230,326, virker vores resultat
faktisk meget realistisk, hvis man kigger størrelsesforhold i billedet.
[navn fjernet] - Matematik A - Aalborg Tekniske Gymnasium - [navn fjernet]
Side 16 af 16
Opgave 6
Resultat:
181,112em
Vurdering:
Vi kigger grafisk:
Igen ser vi her hvordan liniens længde nemt kan sammenlignes med grundkantens længde på
230,326 meter. Igen virker vores resultat ganske fornuftigt.
Konklusion
I projektet fik vi, med Keops-pyramiden som udgangspunkt, vist hvordan vektorer i rummet kan
bruges praktisk.
Vi fik set hvorledes de forskellige formler, og metoder ser ud rent grafisk, samtidig med, at disse
grafiske input, blev taget op til revision, og brugt i opgaven.
Vores analyse blev gennem dokumentationen bekræftet, og det viste sig at analyse af alle opgaverne
holdt stik.