Keopspyramiden
- Et matematik A projekt
Udarbejdet af:
STX 3.g
Titelblad
Titel: Keopspyramiden
Fag: Matematik A
Emne: Vektorer, flader og figurer i 3 plan (x,y,z)
Vejleder:
Antal sider: 17
STX 3.g
Udarbejdet af:
______________________________________
Resumé: I dette projekt er der udelukkende regnet med vektor
regning og vektorer i rummet. Herunder også forskellige
regnings-metoder der knytter sig til dette emne, bl.a.
parameterfremstilling. Selve opgaven har været at beregne
på den gamle keops-pyramide, herunder længder, arealer
og koordinater.
Indledning/historie
Egypternes pyramider har længe fascineret menneskerne. Et ofte stillet spørgsmål
er, hvordan bar de sig af med at bygge disse kolossale stenmonomenter og
hvorfor? Dette spørgsmål er den dag i dag stadig ikke afklaret, dog har man
formodninger om hvordan de blev bygget. De mest berømte af alle pyramider er
de 3 pyramider i Giza, nær Cairo. Den største af disse pyramider er
keopspyramiden. Keopspyramiden blev bygget ca. 2460 fvt. farao Keops.
Pyramiden dækker et areal på mere end 5,3 hektar og er af sten hele vejen
igennem. I alt ca. 2,3 millioner stenblokke med en gennemsnitsvægt på 2,5 tons.
Legenden fortæller at 100.000 arbejdere var 20 år om at bygge pyramiden. Dog
har vor tids eksperter regnet sig frem til, at langt færre mennesker kunne have
gjort det på den samme tid.
Opgaverne
a) Koordinaterne til pyramidens oprindelige toppunkt.
b) Ligning og parameterfremstilling for de to nabo-sideflader, der har
hhv. x-aksens og y-aksens sammenfaldende med
grundfladekanten.
c) Vinklen mellem de to ovennævnte sideflader.
d) Parameterfremstilling for sidekanten mellem ovennævnte
sideflader.
e) Afstanden fra en sidekant til den modstående grundfladekant.
f) Afstanden fra en sideflade til den modstående grundfladekant.
g) Beregn pyramidens overfladeareal.
h) Beregn parameterfremstillingen for den nordlige ”sjæle undslippe
skakt” (s), som fører ud af kongekammeret 80 meter over jorden.
Man antager, at skakten ligger parallelt med højden i den sydlige
sideflade.
a) Koordinaterne til pyramidens oprindelige toppunkt.
Denne opgave kan løses ved at lægge pyramiden ind i et koordinatsystem (x,y,z)
og derefter bestemme toppunktet grafisk. I dette tilfælde vil det dog være langt
hurtigere, at regne koordinatet ud. Dette kan gøres da pyramidens længde,
bredde samt højde er opgivet. Hvis man betragter pyramiden fra oven kan man
se, at bunden er kvadratisk. Derfor vil man kunne finde pyramidens midtpunkt
ved at tegne to diagonaler mellem de fire hjørner. Dette kan jeg bruge til at
beregne toppunktets koordinatsæt.
T’s x-koordinat - T
x
:
115
2
230
T’s y-koordinat - T
y
:
115
2
230
T’s z-koordinat - T
z
: = 146,6
T
x,y,z
= (115;115;146,6)
b) Ligning og parameterfremstilling for de to nabo-sideflader, der har
hhv. x-aksens og y-aksens sammenfaldende med
grundfladekanten.
Først vil jeg lave parameterfremstillingen. Denne del af opgaven kan jeg regne
ved, at betragte siderne som stedvektorer. Dette kan jeg, fordi jeg allerede har
koordinaterne til disse vektorer. Koordinaterne ligger i samme plan og derfor
bruger jeg formlen for parameterfremstilling i et plan. Herefter sætter jeg
koordinaterne ind i formlen. Denne procedure bruges både til vest- og sydsiden.
Anden del af opgaven var, at finde ligningen for de to planer. Dette gøres ved at
krydse de to vektorkoordinater. Dette vil give os normalvektoren (
n
). Denne vil
altid stå vinkelret på planet (vist på figuren). Efter vi har fundet normalvektoren,
skal dennes koordinater indsættes i planets ligning. (x,y,z) vil i dette tilfælde være
vilkårlige punkt på planet, mens (x
0
,y
0
,z
0
) er givne punkter. Herefter skal
krydsproduktet findes. Dette gøres hurtigst med lommeregneren, men kan også
sagtens gøres uden. Jeg har valgt at vise begge metoder.
Koordinaterne til stedvektorerne:
0
0
230
:
1
OAX
6,146
115
115
:
2
OTX
0
0
0
:
0
OX
Grundformlen for parameterfremstilling:
02
02
02
01
01
01
0
0
0
zz
yy
xx
t
zz
yy
xx
s
z
y
x
z
y
x
Koordinaterne indsættes og vi får parameterfremstillingen for sydsiden:
6,146
115
115
0
0
230
0
0
0
ts
z
y
x
(s og t er alle reelle tal)
Herefter laves parameterfremstillingen for vest-siden:
Jeg har følgende koordinater:
0
230
0
:
1
OCX
6,146
115
115
:
2
OTX
Igen bruger jeg grundformlen for parameterfremstilling (se evt. forrige side):
6,146
115
115
0
230
0
0
0
0
ts
z
y
x
(s og t er alle reelle tal)
Herefter krydses de to vektor-koordinater og vi får normal-vektoren:
Normalvektoren:
c
b
a
n
Planets ligning på normalform:
0 dczbyax
0
000
dzzcyybxxa
Herefter skal krydsproduktet findes. Dette kan, som tidligere nævnt, gøres både
på lommeregner og på almindeligvis.
Lommeregner-metoden:
Man indtaster ligningen
]]][][[[ zyx
og gemmer den som et bogstav, (eks. a). Dette
gøres ved at bruge ”sto” knappen (
a
). x, y, z er den givne vektors koordinater.
Når man har gemt de to vektor-koordinatsæt, skriver man krydsp(a,b) (Det sorte
komma), og lommeregneren kommer ud med normalvektoren.
Jeg krydser:
0
230
0
:
1
OCX
og
6,146
115
115
:
2
OTX
Dette giver følgende resultat:
26450
0
33718
n
Resultatet indsættes i ligningen:
718:
0033718
0
000
zx
dzyx
dzzcyybxxa
Almindelig metode:
26450
33718
0
30
6,50
6,
6,146
115
115
6,146
115
115
0
0
230
0
0
230
c
b
a
OTOA
Herefter kan man lave ligningen:
718:
3371800
0
000
zy
dzyx
dzzcyybxxa
c) Vinklen mellem de to ovennævnte sideflader
Jeg har de to nedenstående normalvektorer. Disse skal jeg bruge for at kunne
finde vinklen, da vinklen mellem disse er identisk med vinklen mellem de to plan,
hvorfra jeg har normalvektoren. Vinklerne er lige store da vektoren står vinkelret
på planet.
26450
0
33718
:
26450
33718
0
:
nn
Normalvektorer prikket med hinanden er lig med vinklen, når man isolerer cos(v):
39,11261,67180
61,67
337180
337180
cos
2
2
22
22
1
v
Man skal trække resultatet fra 180 grader, da det altid er den spidse vinkel man
bruger når der regnes vinkler mellem planer.
d) Parameterfremstilling for sidekanten mellem ovennævnte
sideflader.
Denne opgave laves i bund og grund på samme måde som opgave B. Eneste
forskel er, at der her kun er to punkter/led og ikke tre. Dette skyldes at det kun
er en side der skal beregnes og ikke et plan.
Jeg har koordinaterne til Origo og Toppunktet, og sidekanten som en ret linje:
0
0
0
O
6,146
115
115
T
Først findes retningsvektoren:
6,146
115
115
06,146
0115
0115
6,146
115
115
0
0
0
z
y
x
z
y
x
r
r
r
Herefter bestemmes parameterfremstillingen:
6,146
115
115
0
0
0
t
z
y
x
(t er alle reelle tal)
e) Afstanden fra en sidekant til det modstående hjørne i
grundfladen.
I denne opgave skal jeg bruge den fundne parameterfremstilling fra forrige
opgave. Denne udtrykker en linie. Herudover bruger jeg punktet (230,230,0)=(p
0
)
P = (0,0,0)
K:
6,146
115
115
0
0
0
t
z
y
x
Koordinaterne til henholdsvis
0
PP
og retningsvektoren
r
findes:
00
0230
0230
0
PP
6,146
115
115
r
Jeg krydser
0
PP
og
r
og får normalvektoren:
0
33718
33718
n
På lommeregneren bruges funktionen ”norm
n
”, og dermed får jeg længden på
vektoren:
5,47684
0
33718
33718
nn
Samme procedure gentages for retningsvektoren:
956,218
6,146
115
115
rr
Grundformlen for afstanden mellem punkt og linie bruges:
r
PPXr
e
0
.78,217
956,218
5,47684
me
f) Afstanden fra en sideflade til den modstående grundfladekant.
Afstanden mellem en sideflade og en modstående grundfladekant, er faktisk
det samme som afstand mellem et punkt og et plan. Vi har, fra opgave b, plan
’s ligning og punkt B’s koordinater. Derfor kan vi bruge samme formel som
tidligere, nemlig formlen for afstanden mellem et punkt og et plan:
222
000
cba
dzcybxa
e
Punktets koordinater: (115;230;0)
Ligningen for planet er:
718 zy
965,180
718
50
22
2
e
g) Beregn pyramidens overfladeareal
Pyramiden består, som der fremgår af tegningen, af fire ens trekanter og en bund.
Da de 4 trekanterne/planer er fuldstændig identiske er det kun nødvendigt at
regne det ene plans areal og herefter gange med fire.
Arealet findes via formlen
2
ba
A
.
For at kunne bruge denne formel skal jeg finde koordinaterne til to af vektorerne i
trekanten/planet.
Koordinaterne til to af vektorerne i plan
:
0
230
0
00
0230
00
6,146
115
115
06,146
0115
0115
DCDE
Krydsproduktet udregnes:
26450
0
33718
15:
011506,146:
2306,1460115:
:
z
y
x
nDCDE
Resultaterne sættes ind i formlen:
2
22
2
2,21427
2
718
m
Resultatet ganges med 4 for at få det samlede areal:
2
9,857082,214274 m
Opgaven kunne desuden regnes ved at bruge phytagoras. Dette kan man gøre ved
at tegne en retvinklet trekant, hvor højden og den halve bund er kateter og
overfladen hypotenusen. Jeg har dog valgt ikke at bruge denne model, da kravet
var at vi skulle bruge vektor-regning.
h) Beregn parameterfremstillingen for den nordlige ”sjæle undslippe
skakt” (s), som fører ud af kongekammeret 80 meter under
jorden. Man antager, at skakten ligger parallelt med højden i den
sydlige sideflade.
Idet skakten ligger parallelt med planet alfa, kan jeg finde koordinaterne til
udmundingen af skakten. Det vil jeg gøre ved hjælp af den ligning til alfa, som jeg
fandt i en af de forrige opgaver.
Ligningen for:
718: zy
Jeg har nemlig mit z-koordinat – z=80, og ved hjælp af det kan jeg finde y-
koordinatet.
76,62
33718
718
y
y
zy
Nu skal jeg bare huske på det er mit y-koordinat i alfa-planet, og det skal flyttes
over på det modsatte plan. Men det er heller ikke noget problem. Jeg skal nemlig
bare trække koordinatet fra pyramidens totale længde:
24,167:
76,62230:
y
y
Mit totale koordinatsæt til udmundingen bliver, når x=115:
80
24,167
115
:
z
y
x
s
Nu skal retningsvektoren findes. Den finder jeg også i alfaplanet, da (s) som sagt
er parallel med planet, og en retningsvektor er en definition på hvilken retning en
vektor har, og altså ikke størrelse og placering.
Vektor:
6,146
115
115
0
0
115
T
B
Retningsvektor:
6,146
115
0
06,146
0115
115115
BT
Nu har jeg alt hvad der skal bruges til parameterfremstillingen:
Parameterfremstilling af
6,146
115
0
80
24,167
115
: t
z
y
x
s
Konklusion
Hvis jeg lige kort skal sige lidt om projektet, så syntes jeg, at det generelt har
været fint. Gennem arbejdet har jeg fået afprøvet nogle af de ”metoder” og teorier,
som vi har lært på klassen. Selve den færdige rapport er jeg okay tilfreds med.
Eneste rigtige minus for mig er, at jeg mangler nogle flere ilustrationer og
tegninger. Disse mangler primært pga. manglende kompetence i at bruge de
”smarte programmer”. Til sidst bør det nok nævnes, at dele af opgaven er lavet i
samarbejde med Tonni Kristensen og Martin Mikkelsen.