Komplekse tal og vekselstrøm
Komplekse tal og vekselstrøm
1
Komplekse tal og vekselstrøm
Indholdsfortegnelse:
Indledning: ..................................................................................................................................................... 2
Indledning til komplekse tal: ......................................................................................................................... 2
Legemer og deres regneregler:....................................................................................................................... 3
Det komplekse tals legeme: ........................................................................................................................... 4
Rektangulær repræsentation af de komplekse tal: ......................................................................................... 6
Tallet i:....................................................................................................................................................... 6
R
⊆
C: ..................................................................................................................................................... 6
Regning med rektangulært præsenterede komplekse tal: .......................................................................... 7
Komplekse tal i planen: ................................................................................................................................. 7
Geometrisk fortolkning af addition og subtraktion:................................................................................... 8
Modulus og argument: ............................................................................................................................... 8
Multiplikation og division af komplekse tal vha. modulus og argument: ............................................. 9
Den komplekse naturlige eksponentialfunktion: ......................................................................................... 10
Komplekse funktioner:............................................................................................................................. 10
Den reelle naturlige eksponentialfunktion:.............................................................................................. 10
Den komplekse eksponentialfunktion med imaginært argument: ........................................................... 11
Den komplekse eksponentialfunktion:..................................................................................................... 12
Polær repræsentation af komplekse tal: ................................................................................................... 12
Den komplekse naturlige logaritme:........................................................................................................ 13
Generelt om vekselstrøm: ............................................................................................................................ 13
Kredskomponenter:...................................................................................................................................... 15
Resistor: ................................................................................................................................................... 16
Induktor:................................................................................................................................................... 16
Kapacitor:................................................................................................................................................. 17
Seriel og parallel kobling af komponenter:.................................................................................................. 19
RL- og RC-kreds.......................................................................................................................................... 20
Rapport om eksperimentel undersøgelse af faseforskydning i RL- og RC-kredse:................................. 20
RLC-kreds:................................................................................................................................................... 23
Rapport om eksperimentel undersøgelse af resonans i RLC-kreds: ........................................................ 24
Konklusion:.................................................................................................................................................. 25
Litteraturliste:............................................................................................................................................... 25
Complex numbers and alternating current, mathematics and physics
This paper introduces the complex numbers and examines the usefulness of them in different AC-
circuits. Quantities of AC voltage and current must reflect both phase shift and amplitude.
Mathematical operations of these quantities must therefore be suited for this task of representing
amplitude and phase.
This paper is prepared by the use of experimental mathematics and empirical experiments which is
available for reproduction. The paper describes the aspects of complex numbers which is necessary to
introduce complex numbers in polar form. The polar form is afterwards used to represent quantities of
AC voltage and current. By using these quantities, formulas of phase shift and impedance are
deduced. Trough experiments it is shown that those statements are true.
Therefore it is found that complex numbers are useful in calculations in AC circuits.
Komplekse tal og vekselstrøm
2
Indledning:
Denne opgave omhandler indførslen af de komplekse tal med henblik på at kunne bruge dem til at forklare
vekselstrømsbegrebet.
Indledning til komplekse tal:
Talmængden er gennem tiden blevet udvidet et par gange som følge af et behov for større omfang af
beregningsmuligheder (se figur 1). I det gamle jægersamlersamfund brugte man tallene til fx at tælle
antallet af bytte, man havde fanget. Man havde derfor ikke brug for andet end de hele positive tal. Dette
kalder vi de naturlige tal N. Senere indførte man de negative tal og tallet nul, så man nu havde
talmængden de hele tal Z. De hele tal kunne dog ikke bruges til at udregne alt, og derfor indførte man de
rationelle tal Q, senere det reelle tal R og nu er tiden kommet til, at vi vil indføre de komplekse tal C. Hvis
vi kun havde de reelle tal til rådighed, ville man ikke kunne løse ligninger, hvori kvadratroden af et
negativt tal indgik. ”Ifølge Algebraens fundamentalsætning har vi med indførelsen af C ingen uløselige
ligninger”
1
.
D
a de hele tal var indført, kunne tal, der stod alene pludselig indeholde minustegn. Med de rationelle tal
kunne de også indeholde brøkstreger, med de reelle tal potenser og uendelige decimaler. I de komplekse
tal, kan tallene også indeholde et
i
, hvilket vi kommer til at kigge nærmere på. De komplekse tal kan
forstås som en slags todimensionale tal. De kan engang imellem minde om vektorer, men ligger andre
gange langt fra dem. Pga. komplekse tals todimensionale størrelse, er de ideelle til anvendelse indenfor
vekselstrøm, hvilket vi vil
komme til at erfare.
1
Bog 7
Figur 1: Talmængder
Komplekse tal og vekselstrøm
3
Legemer og deres regneregler:
En regneregel kaldes også en komposition og er en metode til at behandle to elementer i en talmængde på
indbyrdes – man komponerer de to tal. Multiplikation er fx en komposition, og man kan komponere to tal
ved at multiplicere dem. Jeg vil i det følgende bruge tegnet * når to tal komponeres. De to kompositioner
bruges til at definere et legeme:
Definition 1:
En talmængde, M organiseret ved de to kompositioner, addition (+) og multiplikation (·) er et
legeme, hvilket skrives: (
M,+,·). Ved organisering forstås, at følgende udsagn skal gælde:
1. Den kommutative lov: abbaMba **:,
=
∈
∀
(gælder både for addition og multiplikation)
(Fx gælder det ved multiplikation at 2·3 = 3·2. man siger at faktorernes orden er ligegyldig)
2. Den associative lov: )*(**)*(:,, cbacbaMcba
=
∈
∀
(gælder både for addition og multiplikation)
3. De to kompositioner forbindes således:
Den distributive lov: cabacbaMcba
⋅
+
⋅
=
+
⋅
∈
∀
)(:,,
4. For de to kompositioner findes et neutralt element, hvilket betyder at:
aeaMae
=
∈
∀
∃
*:! (gælder både for addition og multiplikation)
For multiplikation er det neutrale element 1, dvs.: a·1 = a. For addition er det neutrale element 0.
5. I de to kompositioner findes der desuden for tallet a et tilhørende inverst element, a’, således at a
komponeret med a’ er lig det neutrale element, e:
eaaMaa
=
∈
∃
∀
'*:'! (gælder både for addition og multiplikation)
For multiplikation er det inverse element
a
1
fordi 1
1
=⋅ a
a
. Man siger også at den reciprokke værdi af
a
er
1−
a . Det skal her bemærkes at
a
skal være forskellige fra 0, da man ikke må dividere med 0.
For addition er det inverse element
a
−
fordi 0
=
+
−
aa . Ved addition kaldes det inverse element også
for det omvendte tal.
Der er altså kun tale om et legeme, hvis udsagn 1-9 er opfyldt for begge kompositioner. Eksempler på
legemer er (R,+.
·
) og (Q,+.
·
), mens (Z,+.
·
) ikke er et legeme, da hele tal ikke har en reciprok inden for de
hele tal (på nær det hele tal 1).
Figur 2: Forklaring af matematiske
tegn
∀
≈ for alle elementer
∈
≈ tilhørende
:
≈ gælder det at
!
∃
≈ der eksisterer netop et element
Komplekse tal og vekselstrøm
4
Det komplekse tals legeme:
Jeg vil nu gøre rede for at de komplekse tal kan organiseres ved addition og multiplikation, så disse to
regneregler opfyldes, og der derfor dannes et legeme. For at gøre dette skal vi først definere multiplikation
og addition med de komplekse tal. Ifølge definitionen af et komplekst tal kan dette betragtes som et talpar
bestående af to reelle tal, (x
1
,x
2
):
Definition 2
1
:
Addition af komplekse tal defineres ved:
),(),(),(
yxyxyyxx ++=+
Multiplikation defineres ved:
),(),(),(
2121
yxyxyxyxyyxx ⋅+⋅⋅−⋅=⋅
Sætning 1:
(C,
+
,
·
) er et legeme bestående af de komplekse tal organiseret ved addition og
multiplikation.
Bevis: For at (C,
+
,
·
) kan være et legeme skal udsagn 1-9 fra definition 1 være gyldige.
1. Det er tydeligt at den kommutative lov er opfyldt for begge kompositioner, da både addendernes og
faktorernes orden er ligegyldig
)(
1111
xyyx +=+
og
)(
1111
xyyx ⋅=⋅
.
2. At den associative lov opfyldes for addition kan vises således:
[
]
),(),(
),(),(),(),(
),()],().[(),(),(),(
2111
1121
2121
zyxzyxzyxzyx
zzyxyxzyzyxx
zzyyxxzzyyxx
++++=++++⇔
+++=+++⇔
+
+
=
+
+
At den associative lov ligeledes opfyldes for multiplikation kan vises således:
),(
),(
])()(,)()[(
)]()(),()([
),)(,(),)(,(
),)](,)(,[()],)(,)[(,(
2211
2111
1121
212
zyxzyxzyxzyxzyxzyxzyxzyx
zyxzyxzyxzyxzyxzyxzyxzyx
zyxyxzyxyxzyxyxzyxyx
zyzyxzyzyxzyzyxzyzyx
zzyxyxyxyxzyzyzyzyxx
zzyyxxzzyyxx
−+−−−−=
−++−−−⇔
++−+−−=
−+++−−⇔
+−=+−⇔
=
D
et nederste udtryk i de to afsnit er ens, og den associative lov er derfor opfyldt for begge
kompositionerne.
1
Følgende definition er taget fra bog 1 side 10.
Komplekse tal og vekselstrøm
5
Den distributive lov kan vises gyldig på følgende måde:
),(
),(
),(
))()(),()((
),(),(),)(,(
),)(,(),)(,()],(),)[(,(
2111
221121
212121
zxzxyxyxzxzxyxyx
zxyxzxyxzxyxzxyx
zxzxyxyxzxzxyxyx
zyxzyxzyxzyx
zxzxzxzxyxyxyxyxzyzyxx
zzxxyyxxzzyyxx
+++−+−=
+++−−+⇔
+++−+−=
++++−+⇔
+−++−=++⇔
+
=
+
D
et neutrale element for addition er )0,0( :
),()0,0()0,0(),(
212121
xxxxxx =++=+
Det ses, at når man adderer et vilkårligt komplekst tal med )0,0( bliver resultatet det samme komplekse tal
Ligeledes kan man vise at det neutrale element for multiplikation er )0,1( :
),()10,01()0,1)(,(
xxxxxxxx =⋅+⋅⋅−⋅=
Som det sidste skal man for de to kompositioner vise, at der til alle komplekse tal findes netop ét inverst
element.
Ved addition er
),(
21
xx
’s inverse element lig med
),(
21
xx −−
fordi:
)0,0(),(),(),(
=−−=−−+ xxxxxxxx
D
et inverse element for multiplikation kan også findes. Vi ved, at det neutrale element for multiplikation
var )0,1( , og derfor skal det gælde at et vilkårligt komplekst tal multipliceret med dets reciprokke
),(
21
yy
er lig med )0,1( :
)0,1(),)(,(
2121
=yyxx
)0,1(),(
=+−⇔ yxyxyxyx
Ved at dele denne ligning op i første- og andenkoordinaterne har vi to ligninger med to ubekendte:
0
1
1221
2211
=+
=−
yxyx
yxyx
Herefter gælder det blot om at isolere y
1
og y
2
:
1
12
1
0
x
yx
yyxyxyxyx
−
=⇔−=⇔=+
D
ette sætter vi ind i den første ligning:
2
2
2
1
1
11
2
2
2
111
2
21
2
1
1
1
2
2
11
1
12
211
)(11
xx
x
yxxxyxyxyx
x
yx
yx
x
yx
xyx
+
=⇔=+⇔=+⇔=+⇔=
−
−
Komplekse tal og vekselstrøm
6
Hermed har man fundet den reciprokke værdi af ),(
21
xx til
−
+
1
12
2
2
2
1
1
,
x
yx
xx
x
. Q.E.D.
Vi har nu bevist at definitionen af addition og multiplikation indenfor de komplekse tal følger
regnereglerne for addition og multiplikation, og dermed gjort rede for at de komplekse tals legeme.
Rektangulær repræsentation af de komplekse tal:
Rektangulær repræsentation er en måde at skrive komplekse tal. Introduktionen af denne kræver, at vi
først indfører i.
Tallet i:
Behovet for at regne med kvadratrødder af negative tal kan ikke indfries så længe man kun har de reelle
tal til rådighed. Man har derfor indført det komplekse tal i, kaldet den imaginære enhed, som er lig 1− ,
således at i
2
= -1. Grunden til at kvadratet på et komplekst tal giver et reelt tal er, at de reelle tal er en
delmængde af de komplekse tal (R
⊆
C), hvilket vi nu vil vise:
R
⊆
C:
Vi betegner delmængden R’ af C som
}
{
Rxx ∈|)0,( . Vi har altså en delmængde af de komplekse tal, som
er de talpar, hvor andenkomponenten er 0. Vi vil nu vise, at R’ overholder definition 1:
)0,()00,()0,()0,( yxyxyx
+
=
+
+
=
+
og
)0,()00,00()0,)(0,( xyyxxyyx
=
⋅
+
⋅
⋅
−
=
Som det ses overholder R’ definitionen og vi identificerer fremover elementerne i R’ med de reelle tal, og
vi skriver fremover x i stedet for (x,0). Når man siger at i
2
= -1, er det altså fordi, at tallets
andenkomponent er nul.
i kan også skrives som det komplekse tal )1,0( , hvilket er fornuftigt, da kvadratet på dette element er lig
-1:
(0,1)(0,1) = (0·0 – 1·1 , 0·1 + 1·0) = (-1,0)
Ved at udnytte at det reelle tal x kan skrives som (x,0), og ved at udnytte at i kan skrives som (0,1), kan vi
vise, at et komplekst tals andenkomponent kan skrives som ix:
ix = (0,1)·(x,0) = (0·x - 1·0 , 0·0 + 1·x) = (0,x)
Dermed kan vi skrive et komplekst tal som:
(x,y) = (x,0) + (0,y) = (x,0) + iy = x + iy
Denne fremstilling af et komplekst tal kaldes rektangulær repræsentation.
Komplekse tal og vekselstrøm
7
Definition 3
1
:
Hvis z = x + iy tilhører de komplekse tal, kaldes x for realdelen af z og y for imaginærdelen
af z. Vi skriver kort:
x = Re z , y = Im z og z = Re z + i · Im z
Vi kalder z et rent imaginært tal hvis Re z = 0 og hvis Im z = 0 kaldes z reelt. i altså er et rent
imaginært tal.
Regning med rektangulært præsenterede komplekse tal:
Vi vil nu se eksempler på komponering af to komplekse tal. Beregningerne vil både foregå med tal skrevet
som talpar og med tal skrevet på vores nydefinerede skrivemåde.
Addition af tallene 5 + i3 og 2 + i2:
Som talpar: (5,3) + (2,2) = (5 + 2 , 3 + 2) = (7,5)
Ved rektangulær repræsentation: (5 + i3) + (2 + i2) = 5 + i3 + 2 + i2 = 7 + i5
Addition er altså enkel, da kompositionen benyttes ligesom inden for de reelle tal når det gælder regning
med parenteser. Det samme ses ved subtraktion her eksemplificeret ved tallene 3 + i4 og 2 + i:
Som talpar: (3,4) – (2,1) = (3 – 2 , 4 – 1) = (1,3)
Ved rektangulær repræsentation: (3 + i4) – (2 + i) = 3 + i4 – 2 – i = 1 + i3
Når vi kigger på multiplikation, ses det, at denne komposition ligeledes benyttes på samme måde ved
vores nye skrivemåde som inden for de reelle tal i forhold til parenteser:
Som talpar: (4,1)·(3,3) = (4·3 - 1·3 , 4·3 + 1·3) = (12 – 3 , 12 + 3) = (9,15)
Ved rektangulær repræsentation: (4 + i)·(3 + i3) = 4·3 + 4·i3 + i·3 + i·i3 = 12 – 3 + i12 + i3 = 9 + i15
Bemærk at vi benytter at i
2
= -1
Det tyder altså på, at komplekse tal på formen z = x + iy kan beregnes ligesom reelle tal. Til sidst vil vi
prøve at dividere to komplekse tal. For at gøre dette vil konjugering først blive defineret:
Definition 4
2
:
Hvis z = x + iy er et komplekst tal, kaldes tallet
iyxz −=
for det konjugerede tal til z.
Vi kan dividere to komplekse tal ved at forlænge tæller og nævner med det konjugerede tal til nævneren:
i
i
iii
iii
ii
ii
i
i
13
9
13
19
13
919
9664
915610
)32()32(
)32()35(
32
35
2
2
+−=
−
=
−+−
−−+
=
−++
−⋅+
=
+
+
Komplekse tal i planen:
1
Følgende definition er taget fra bog 1 side 13
2
Følgende definition er taget fra bog 1 side 14
Komplekse tal og vekselstrøm
8
Vi har indtil videre set på de komplekse tal beskrevet som et talpar, (x
1
,x
2
) og som et tal med en reel og
imaginær del, z = x +
i
y. De komplekse tal kan herudover også betragtes som et punkt i en todimensionel
plan. Her vil tallet z = x +
i
y logisk nok svare til punktet (x,y) i et retvinklet koordinatsystem, hvor
førsteaksen kaldes den reelle akse og andenaksen kaldes den imaginære akse.
Geometrisk fortolkning af addition og subtraktion:
Vi vil nu se på addition og subtraktion af to komplekse tal mens vi
betragter tallene som stedvektorer.
Tallene vi vil komponere er z = 4 +
i
og w = 1 +
i
3:
(4 +
i
) + (1 +
i
3) = 5 +
i
4
(4 +
i
) - (1 +
i
3) = 3 –
i
2
Som det ses af figur 3, er addition og subtraktion af komplekse tal
ligesom addition og subtraktion af vektorer, hvor summen og
differensen er lig de to diagonaler i vektorernes parallelogram.
Geometrien hos multiplikation af komplekse tal kan ikke ligesom
addition og subtraktion perspektiveres til vektorregning, da produktet af to vektorer som bekendt ikke
resulterer i en vektor, men i et såkaldt prikprodukt. Multiplikation og divisions geometri er ikke noget, der
er nødvendigt for hverken at forklare vekselstrøm eller eksponentialfunktioner, og vi vil derfor ikke
komme nærmere ind på det. To størrelser, der til gengæld har stor fordel at kende til, når vi skal beregne
vekselstrømskredse, er længde og retningsvinkel af den stedvektor, der svarer til et komplekst tal.
Modulus og argument:
Disse to størrelser er defineret på følgende måde:
Definition 5
1
:
Ved den numeriske værdi at det komplekse tal z = x +
i
y forstås længden af den stedvektor,
der svarer til z, altså:
22
yxiyxz +=+=
Man kalder også den numeriske værdi for modulus til z.
Retningsvinklen for den stedvektor, der svarer til det komplekse tal z, kaldes argumentet for
z og betegnes argz. Tallet 0 har intet argument.
Vi ved fra trigonometrien at ”tangens til en vinkel i en retvinklet
trekant er lig med modstående katete delt med hosliggende katete”
2
.
Derfor kan argumentet af tallet z = x +
i
y udregnes som
=
−
x
y
z
1
tan)arg(
(se figur 4).
1
Følgende definition er taget fra bog 1 side 17
2
Bog 2 side 242
1 2 3 4 5
i
2i
3i
4i
5i
z
w
z
–
w
= 3
–
i
2
(w)
(z)
w + z
= 5 +
i
4
Figur 3
2 3 4 5
i
2i
3i
y = 0
x = 3
v = 45
o
Figur 4:
Komplekse tal og vekselstrøm
9
Figur 1: Additionsformlerne. Kilde:
Figur 6: Additionsformlerne. Kilde:
http://ga.randers-hf-
sin(u – v) = sin(u) cos(v) – cos(u) sin(v)
sin(u + v) = sin(u) cos(v) + cos(u) sin(v)
cos(u + v) = cos(u) cos(v) – sin(u) sin(v)
cos(u – v) = cos(u) cos(v) + sin(u) sin(v)
Hvis vinklen v er argument for z, så er alle vinkler v + 2πk, hvor k tilhører de hele tal, også argumenter for
z, idet stedvektoren roteres præcis en ekstra omgang
(360
o
= 2π (rad)) omkring origo. Den værdi af argz der
ligger i intervallet [-π,π[ kaldes for hovedargumentet
for z, hvilket skrives Argz. Vi vil fremover kalde
modulus til et komplekst tal for r og hovedargumentet
for et komplekst tal for v.
På figur 5 ses fire komplekse tal, hvor to af dem ligger
på den imaginære akse, og de to andre ligger på den
reelle akse. Som vi kan se, har alle positive reelle tal
argumentet v = - π, og alle negative reelle tal har
argumentet v = 0.
Man kan ikke bruge formlen
=
−
x
y
z
1
tan)arg(
for rent imaginære tal, da man ikke må gange med nul,
men man kan i stedet bruge figur 5. Her ses, at rent imaginære negative tal har argumentet v =
2
π
− , og
rent imaginære positive tal har argumentet v =
2
π
.
Som vi ved fra vektorregning kan en vektor
a
fastlægges ved sin længde og sin retningsvinkel:
⋅
⋅
=
va
va
a
sin
cos
. En stedvektors koordinater kan derfor skrives (r·cos(v) , r·sin(v)), og det komplekse tal z
kan skrives: )sin(cos vivriyxz
+
=
+
=
Multiplikation og division af komplekse tal vha. modulus og argument:
Vi vil nu prøve at multiplicere to komplekse tal, som er fastlagt ved deres længder og retningsvinkler. Vi
har de to komplekse tal
)sin(cos
111
vivrz +=
og
)sin(cos
222
vivrw +=
som vi først vil gange med
hinanden:
)sincoscossinsinsincos(cos
)sin(cos)sin(cos
21
222111
vvivvivvvvrr
vivrvivrzw
++−=
++=
Dette kan vi vha. af de trigonometriske additionsformler (se figur 6) omskrive til:
))sin()(cos(
212121
vvvvrr +++=
D
et ses at
wzrrzw ⋅==
21
og at
)arg()arg()arg(
21
wzvvzw +=+=
Figur 5: Reelle
og rent
imaginære tal
Komplekse tal og vekselstrøm
10
Før vi kan dividere skal vi først se på multiplikation i det tilfælde, hvor
w
er
z
’s reciprokke værdi
z
w
1
= :
zzz
z
z
z
z
zzw
11
1
1
1
1
1
1
=⇔=⋅⇔=⋅⇔=⋅=
z
zz
z
z
z
z
zzw arg
1
arg0
1
argarg1arg
1
arg1
1
−=⇔=+⇔=
⋅⇔=⋅=
Vha. ovenstående kan vi nu dividere:
w
z
w
z
w
z
w
z
w
z
w
z
w
z
=⇔⋅=⋅=⇔⋅=
111
wz
w
z
w
z
w
z
argargarg
1
−=⇔⋅=
Den komplekse naturlige eksponentialfunktion:
Komplekse funktioner:
Inden for de komplekse tal kan vi ligesom for de reelle tal definere funktioner, hvor den uafhængige
variabel er et komplekst tal, og hvor den afhængige variabel ligeledes er et komplekst tal. Man kan få et
godt overblik over en reel funktion ved at tegne dens graf i et koordinatsystem. Da komplekse tal til
forskel for reelle tal, ikke kan placeres på en endimensional akse, men har brug for en hel plan, er det ikke
muligt at tegne en kompleks funktion i ét koordinatsystem. For at kunne overskue en eksponentiel
funktion bliver man er i stedet nødt til at angive sin definitionsmængde i ét koordinatsystem og
værdimængden i et andet.
Inden for de reelle tal støder man ofte på den naturlige eksponentialfunktion, e
x
. Vi vil nu udvide denne
funktion til at være funktionen af det komplekse tal z = x + iy. Vi vil altså definere funktionen e
z
:
Definition 6
1
:
Den naturlige eksponentialfunktion defineres for ethvert
∈
z
C ved:
e
z
= e
x+iy
= e
x
·e
iy
= e
x
·(cosy + siny)
En definition er ikke til diskussion, men vi vil alligevel vise, hvorfor denne definition er fornuftig.
Den reelle naturlige eksponentialfunktion:
Vi starter med at kigge på en sætning for e
x
:
Sætning 2
2
:
1
Følgende definition er taget fra bog 1 side 64
2
Følgende sætning er taget fra bog 1 side 61
Komplekse tal og vekselstrøm
11
Hvis f er en reel funktion, der opfylder
1)0(
=
f og )()( xfaxf
⋅
=
′
,
hvor 0
≠
a , så er
ax
exf =)(
Bevis: For at løse differentialligningen )()( xfaxf
⋅
=
′
kan vi bruge separation af variable:
caxxdf
xf
dxaxdf
xf
xfa
dx
xdf
+=⇔=⇔⋅=
∫∫∫
)(
)(
1
)(
)(
1
)(
)(
Da vi ved at
∫
+= cxdx
x
ln
1
kan vi skrive:
axccax
eeexfcaxxfcaxxdf
xf
⋅==⇔+=⇔+=
+
∫
)()(ln)(
)(
1
Bemærk at vi ovenfor bruger ln(x), som er den omvendte funktion til e
x
. Dette vil sige at ln(e
x
) = x og e
ln(x)
= x.
”Vi kan fjerne numerisktegnet ved at erstatte e
c
med en vilkårlig konstant k ≠ 0”
1
. Vi kan finde
konstanten k ved at udnytte, at f(0) = 1:
11)0(
0
=⇔=⋅= kekf
Nu har vi at:
ax
exf =)( Q.E.D.
Den komplekse eksponentialfunktion med imaginært argument:
Vi vil nu se på en funktion
g
, hvor det gælder, at
g
er en funktion fra de reelle tal til de komplekse tal
CRg
→
: . Dette betyder at funktionens definitionsmængde er
R
og dens sekundærmængde er
C (værdimængden er en delmængde af sekundærmængden). Den funktion vi vil se på, er defineret ved:
tittgz sincos)(
+
=
=
Hvis man lader
t
gennemløbe alle mulige reelle tal, vil punktet (t,g(t)) gennemløbe enhedscirklen i den
komplekse plan.
Hvis vi differentierer )(tg får vi:
tittg cossin)(
+
−
=
′
Da i
2
= -1 kan vi flytte i uden for parentes:
)()cossin()(cossin)( tgittiitgtittg
⋅
=
+
=
′
⇔
+
−
=
′
Hvis
a
i
=
, så opfylder )(tg det ene krav fra sætning 1, som lød på, at )()( tgatg
⋅
=
′
.
Det andet krav var, at 1)0(
=
g . Vi vil nu udregne )0(g :
1
http://ga.randers-hf-vuc.dk/matlex/difflign.html#ky
Komplekse tal og vekselstrøm
12
1010sin0cos)0(
=
⋅
+
=
+
=
iig
Funktionen opfylder altså også det andet krav. Ifølge sætning 1 er funktionen
ax
exf =)( den eneste reelle
funktion, der opfylder disse to krav. Det er derfor logisk at vedtage, at denne funktion også er den eneste
komplekse funktion, der opfylder disse to krav – det er altså nærliggende at vedtage, at vores to funktioner
f og
g
er identiske. Vi indfører følgende definition på den rent imaginære del af den komplekse
eksponentialfunktion:
Definition 7
1
:
Den naturlige eksponentialfunktion med imaginært argument defineres ved:
yiye
iy
sincos +=
Den komplekse eksponentialfunktion:
For at komme fra definition 7 til definition 6 mangler vi kun at vise, hvordan man adderer komplekse
eksponenter. Vi kan vha. definition 7 vise, at der gælder de samme regler for addition af eksponenter ved
imaginære tal som ved reelle tal:
iviu
ee ⋅ )sin(cos)sin(cos vivuiu
+
⋅
+
=
)cossincos(sinsinsincoscos
2
uvvuivuivu ⋅+⋅+⋅+⋅=
Dette kan vha. af en af additionsformlerne (se figur 6) omskrives til:
iviu
ee ⋅ )(sinsinsincoscos
2
vuivuivu ++⋅+⋅=
)(sinsinsincoscos vuivuvu
+
+
⋅
−
⋅
=
)(sin)cos(
vuivu
+
+
+
=
)( vui
e
+
=
Da reglen for addition af eksponenter både gælder for den reelle og den imaginære del af et komplekst tal,
vedtager vi, at reglen også gælder delene imellem, hvilket ses i definition 6.
Polær repræsentation af komplekse tal:
Vi vil nu gøre rede for en sidste skrivemåde for de komplekse tal. Det er før nævnt, at et kompleks tal kan
fastlægges ved modulus og argument:
)sin(cos vivriyxz
+
=
+
=
Vha. eksponentialfunktionen kan vi omskrive dette til:
iv
ervivrz ⋅=+= )sin(cos
1
Følgende definition er taget fra bog 1 side 63
Komplekse tal og vekselstrøm
13
Denne skrivemåde for komplekse tal hedder polær repræsentation. Når vi kommer til vekselstrøm, er
denne skrivemåde meget praktisk.
Den komplekse naturlige logaritme:
Ligesom den reelle eksponentialfunktion har den komplekse eksponentialfunktion også en omvendt
funktion. Denne er defineret som:
Definition 8
1
:
Den omvendte funktion )(
1
wfz
−
= til den naturlige komplekse eksponentialfunktion
z
ezfw == )( kaldes den naturlige komplekse logaritmefunktion og betegnes Log, altså:
Logwzezfw
z
=⇔== )(
Regneforskriften for Logw kan bestemmes som
2
: ArgwiwLogw ⋅+= ln
Generelt om vekselstrøm:
Når vi fører et stik ind i stikkontakten, tilslutter vi stikkets kreds til en vekselstrømsgenerator, som
påtrykker en sinusformet vekselspænding. Grunden til brugen af vekselstrøm frem for jævnstrøm er bl.a.,
at vekselspænding kan transformeres op og ned uden de store energitab. Vekselstrøm bruges også indenfor
lyd og andre slags kommunikationssignaler fx i delefiltre.
Vekselspændingens momentanværdi målt i volt kan udtrykkes som funktion af tiden ved følgende formel
3
:
)sin()(
tutu
m
ω
⋅=
Her er:
m
u = maksimalspændingen eller amplituden målt i volt
ω
= vinkelfrekvensen, defineret som f
⋅
π
2 , hvor frekvensen er målt i hertz.
Sammenhængen mellem spændingen og tiden kan anskueliggøres i et koordinatsystem eller et såkaldt
vektordiagram. I koordinatsystemet har vi hen ad x-aksen enten
t
eller
t
ω
. Op ad y-aksen har vi
spændingen (se figur 7).
I vektordiagrammet er spændingen repræsenteret ved en stedvektor. Vektorens længde er lig
maksimalspændingen, vinklen mellem x-akse og vektor er lig
t
ω
, og momentanspændingen er lig
vektorens projicering på y-aksen (se figur 7).
1
Følgende definition er taget fra bog 1 side 70
2
Følgende regneforskrift er taget fra bog 1 side 70
3
Følgende formel er taget fra bog 4 side 70
Komplekse tal og vekselstrøm
14
S
trømmen
i
kan ligeledes udtrykkes som funktion af tiden ved følgende formel:
)sin()(
ϕω
−⋅= titi
m
Da strøm skrives som
i
, betegner man den imaginære enhed
i
som
j
indenfor vekselstrøm, hvilket vi
derfor vil gøre fremover.
ϕ
betegner faseforskydningen mellem strøm og spænding. Altså forskellen mellem fx toppunkt af
spændingen og toppunkt af fx strømmen (se figur 8). Faseforskydningen kan måles i grader eller radianer.
Da frekvensen er den samme for de to ovenstående sinuskurver, er faseforskydningen konstant.
Fasefoskydningen er med til at gøre vekselstrømsberegninger mere komplicerede end
jævnstrømsberegninger. Når størrelsen af en vekselstrøm eller vekselspænding skal beregnes, er vi nødt til
at medtage faseforskydning og amplituden i kalkulationerne. Det er her, komplekse tal kommer ind i
billedet, da det er tal, der har kapacitet til at repræsentere både faseforskydning og amplitude. Vi vil derfor
definere momentanspændingen som et komplekst tal, der har amplitude som modulus og
t
ω
som
argument. Vi vil ligeledes definere momentanstrømmen som komplekst tal med amplitude som modulus
og
ϕ
ω
−
t
som argument.
Definition 9
1
: Ved den komplekse spænding og den komplekse strøm forstås tallene:
tj
m
euU
ω
⋅=
1
Følgende definition er taget fra bog 4 side 71
Figur 8: To sinuskurver med en
faseforskel på 45
o
. Kilde:
http://www.allaboutcircuits.com-
/vol_2/chpt_1/5.html
Figur 7: Til venstre: Vektordiagram.
Til højre: Koordinatsystem med
)(tu . Kilde: Bog 5
Komplekse tal og vekselstrøm
15
)(
ϕω
−
⋅=
tj
m
eiI
Ved at gøre tiden til en variabel, vil tallene blive til to komplekse naturlige eksponentialfunktioner, hvis
værdimængdepunkter ligger på to cirkler med origo i centrum og radius lig maksimalværdierne
m
u og
m
i .
Disse cirkler vil være identiske til spændingen og strømmens respektive vektordiagrammers cirkler. U og
I
er altså de komplekse tal, som har samme koordinater, som stedvektorerne i vektordiagrammet.
Kredskomponenter:
I svingningskredse bruger man de tre forskellige elektroniske komponenter resistor, induktor og kapacitor.
Disse tre yder alle en slags ”modstand” på vekselstrømmen, kaldet henholdsvis resistans induktiv
impedans og kapacitiv impedans. Når komponenterne forbindes en vekselstrømsgenerator, har denne
”modstand” vidt forskellige egenskaber for de tre komponenter. Da modstanden agerer forskelligt i de tre
komponenter, er det ikke muligt at bruge Ohms lov, som det er i jævnstrømskredse. Man indfører i stedet
en ny betegnelse for forholdet mellem strøm og spænding, som er en fællesbetegnelse for resistans,
induktiv impedans og kapacitiv impedans. Denne kaldes for impedans og defineres som:
Definition 10
1
:
Forholdet
m
m
i
u
, hvor
m
u og
m
i er maksimalværdien af spændingen over og strømstyrken
gennem en komponent, kaldes komponentens impedans og betegnes
reel
Z . Impedans måles i
ohm.
Impedansen vil vi også lade indgå i et komplekst tal
Z
, som er forholdet mellem kompleks spænding og
strøm:
I
U
. Vi ved, at man kan dividerer to komplekse tal, vha. deres modulus og argument på følgende
måde:
w
z
w
z
= og wz
w
z
argargarg −= .
Vi kan herudfra beregne modulus og argument til
I
U
reel
m
m
Z
i
u
I
U
I
U
===
ϕϕωω
=−−=−= )(argargarg tjtjIU
I
U
Dette leder os til følgende definition af kompleks impedans:
1
Følgende definition er taget fra bog 5 side 14
Komplekse tal og vekselstrøm
16
Figur 9: Resistorkreds
Kilde: Bog 6
Definition 11: Ved den komplekse impedans
Z
forstås tallet med reel impedans som
modulus og strømmens faseforskydning som argument:
ϕ
j
reel
eZ
I
U
Z ⋅==
Resistor:
En resistor, også kaldt ohmsk modstand, er en komponent hvis resistans er uafhængig af den
gennemgående strøms frekvens, retning og størrelse. En resistor omsætter elektrisk energi til varme og
evt. lys. Når resistoren tilsluttes en vekselstrømsgenerator modsætter den sig direkte og med konstant
størrelse strømmen af elektroner jf. ohms lov:
)()(
tiRtu
⋅
=
Vi kan bruge vores komplekse tal U ,
I
og
Z
til at vise at en resistorkreds’
impedans er lig resistansen, og at en resistorkreds’ strøms faseforskydning er nul:
RZReZR
e
i
u
R
e
i
u
R
ee
e
i
u
R
e
e
i
u
eRe
i
u
eiReuIRU
tiRtu
R
j
j
m
m
j
m
m
jtj
tj
m
m
tj
tj
m
m
tjtj
m
m
tj
m
tj
m
=⇔=⋅⇔=⋅⇔=⋅⇔=
⋅
⋅⇔
=⋅⇔⋅=⋅⇔⋅⋅=⋅⇔⋅=⇔
⋅
=
−−
−
−−
ϕ
ϕ
ϕϕω
ω
ϕω
ω
ϕωωϕωω
1
11
)()(
)(
)()(
S
om det ses er resistorens impedans lig resistansen. Da
R
Z er lig det reelle tal
R
, må
R
Z også være et
reelt tal, og det forhenværende komplekse tals imaginære del
ϕ
j
e må derfor være 0, hvilket må betyder at
0
=
ϕ
(se figur 10).
I
nduktor:
En induktor er det samme som en spole. Vi vil i det følgende beskrive den ideelle induktor, som ingen
resistans har. Dette er dog svært at fremstille. En induktor er en elektrisk leder, som har en markant
selvinduktion. Selvinduktion er det fænomen, at en leder afsætter elektromagnetisk energi og danner et
Figur 10: Vekselstrøm og spænding i
fase
Komplekse tal og vekselstrøm
17
Figur 11: Induktorkreds
Kilde: Bog 6
magnetfelt, når der går en strøm gennem den. Når strømmen afbrydes vil den
elektromagnetiske energi induceres til elektrisk potentiel energi med modsat
polaritet i ledningen.
Pga. spolens høje selvinduktion opfører spolen sig ikke på samme måde som
resistansen. Mens den ohmske modstand modsatte sig strømmen af elektroner
gennem den, modsætter induktoren sig ændringer i strømmen gennem den. Denne modarbejdelse mod
strømmen kaldes induktorens reaktans eller den induktive impedans. Den skrives
L
X , og i den ideelle
induktor er
Lreel
XZ = . At spolens reaktans afhænger af ændringsfarten i strømretning, gør at vi kan
udtrykke sammenhængen mellem spænding og strøm i en induktorkreds ved følgende formel:
dt
tdi
Ltu
)(
)( ⋅=
Her er
L
en positiv konstant, der kaldes for induktansen, og måles i henry (H).
Vi kan for induktoren ligeledes finde faseforskydning og impedans ved brug af komplekse tal:
ωω
ωω
ω
ϕ
ϕω
ω
ϕωω
ϕωϕωω
jLZLjeX
jL
e
e
i
u
jeLe
i
u
jeiLei
dt
d
Leu
dt
tdi
Ltu
L
j
L
tj
tj
m
m
tjtj
m
m
tj
m
tj
m
tj
m
=⇔⋅=⋅⇔
⋅⋅=⋅⇔⋅⋅⋅=⋅⇔
⋅⋅⋅⋅=⋅⋅=⋅⇔⋅=
−
−
−−
)(
)(
)()(
)(
)(
)(
Som det ses, er induktorens komplekse impedans rektangulært repræsenteret. Vi kan udregne modulus til
L
Z :
LL
XLLyxZ ==+=+=
ωω
2222
0
Da
L
Z er et rent imaginært positivt tal, er argumentet til
L
Z :
ϕ
π
==
2
)(
L
ZArg , hvilket vil sige at
strømmen er
2
π
efter spændingen (se figur 12)
Kapacitor:
Figur 12: Vekselstrøm og spænding i en induktorkreds. Faseforskydningen = 90
o
Komplekse tal og vekselstrøm
18
Figur 10: Kapacitorkreds
Kilde: Bog 6
En kapacitor, også kaldt kondensator er en elektronisk komponent, der har
kapacitet til, på kort sigt at opbevare elektrisk potentiel energi. Dennes opbygning
består at to elektrisk ledende plader adskilt af et elektrisk isolerende stof som fx
vakuum. Ved at påtrykke de to plader en jævnspænding, vil elektroner fjernes fra
den ene plade og opfyldes på den anden plade. Dette sker kun ganske kort og
strømmen vil hurtigt falde til meget tæt på nul. Hvis man derefter forbinder de
to plader, vil elektroner strømme fra den en plade til den anden for at udligne
spændingsforskellen. Hvis kapacitoren forbindes til en vekselstrømsgenerator, vil de to plader skiftes til at
blive fyldt op med elektroner for derefter at blive tømt for elektroner igen.
En kondensator modsætter sig ændringer i spændingsforskel, og har ligesom induktoren en reaktans.
Kapacitorens reaktans opfører sig omvendt af induktorens, da strømstyrken er ligefrem proportional med
spændingens ændringshastighed:
dt
tdu
Cti
)(
)( ⋅=
Her er C en positiv konstant, der kaldes for kapacitansen. Denne måles i farad (F).
Vi kan for kapacitoren ligeledes finde faseforskydning og impedans ved brug af komplekse tal:
ωωω
ωωω
ω
ϕ
ϕ
ϕω
ω
ωϕω
ωωϕω
C
jZ
C
j
j
jC
eX
jC
eX
jC
e
e
i
u
e
i
u
e
jC
jeuCeu
dt
d
Cei
dt
tdu
Cti
C
j
C
j
C
tj
tj
m
m
tj
m
m
tj
tj
m
tj
m
tj
m
11
1
1
111
)(
)(
)(
2
)(
)(
)(
−=⇔−=
−
⋅=⋅⇔
=⋅⇔=⋅⇔⋅=⋅⇔
⋅⋅⋅⋅=⋅⋅=⋅⇔⋅=
−
−
−
K
apacitorens komplekse impedans er rektangulært repræsenteret, og vi kan udregne modulus til
C
Z :
CC
X
CC
yxZ ==+=+=
ωω
11
0
2
222
Da
C
Z er et rent imaginært negativt tal, er argumentet til
C
Z :
ϕ
π
=−=
2
)(
C
ZArg , hvilket vil sige at
strømmen er
2
π
foran spændingen (se figur 13)
Komplekse tal og vekselstrøm
19
Seriel og parallel kobling af komponenter:
Vi vil nu udlede formler for sammensætning af impedanser for serielt og parallelt koblede komponenter.
For at udlede disse får vi brug for Kirchoffs love
1
, ”som gælder for vekselstrømme og vekselspændingers
momentanværdier”
2
:
1. Summen af strømmene til et knudepunkt er lig nul
(
21
iii +=
).
2. Summen af spændingsfald og spændingsstigninger i et
lukket kredsløb er lig nul (
21
uuu +=
).
Kirchoffs love gælder også for kompleks strøm og spænding, da
disse som sagt har samme koordinater, som stedvektorerne i
vektordiagrammet (se figur 14). Som de ses på figuren, er
projiceringen af den grønne vektor lig med summen at
projiceringerne af
1
U
og
2
U
, hvilket er bevist under den normale vektorregning.
For to serielt koblede komponenter gælder det, at strømstyrken i hvert øjeblik jo er den samme overalt i
kredsen, og derfor kan vi ifølge definition 11 skrive de to komponenters impedanser som:
I
U
Z
1
1
= og
I
UU
ZZ
I
U
I
U
ZZ
I
U
Z
21
21
21
21
2
2
+
=+⇔+=+⇔=
Da
21
UUU +=
kan vi omskrive til:
2121
ZZZ
I
U
ZZ +=⇔=+
For to serielt koblede komponenter er impedansen over dem begge altså summen af komponenternes
impedanser.
1
Lovene er taget fra bog 5
2
Bog 5
Figur 13: Vekselstrøm og spænding i en kapacitorkreds. Faseforskydningen = - 90
o
Figur 14: Summen af to komplekse
spændinger
Komplekse tal og vekselstrøm
20
Figur 15: Forsøgsopstilling 1
For to parallelt koblede komponenter gælder det, at spændingen i hvert øjeblik jo er den samme over
begge komponenter, og derfor kan vi ifølge definition 11 skrive de to komponenters impedanser som:
U
I
ZI
U
Z
1
11
1
1
=⇔= og
U
I
ZI
U
Z
1
12
2
1
=⇔=
U
II
U
I
U
I
ZZ
2121
21
11
+
=+=+⇔
Da
21
III += kan vi omskrive til:
2121
11111
ZZZU
I
ZZ
+=⇔=+
For to parallelt koblede komponenter er den reciprokke værdi til deres totale impedans altså lig summen af
den reciprokke værdi til komponenternes impedanser. Som det ses minder reglerne for sammensætning af
impedanser altså meget om reglerne for sammensætning af resistanser i jævnstrøm.
RL- og RC-kreds
Vi vil nu kigge nærmere på en kreds med en resistor, der er serielt koblet til henholdsvis en induktor og en
kapacitor.
Vi kan finde de to kredses impedanser ud fra vores regel om sammensætning af serielt forbundne
komponenters impedanser:
LjRZZZ
LRRL
ω
+=+=
C
jRZZZ
LRRC
ω
1
−=+=
Da faseforskydningen ifølge definition 10 er argumentet til impedansen kan vi finde faseforskydningen i
de to kredse:
R
L
Z
RLRL
ω
ϕ
1.
tanarg
−
==
CR
Z
RLRC
ω
ϕ
1
tanarg
1.
−
==
−
Rapport om eksperimentel undersøgelse af faseforskydning i RL- og RC-kredse:
Vi vil nu rapportere et forsøg, der har til formål, at eftervise at
faseforskydningen i en RL- og RC-kreds er henholdsvis
R
L
RL
ω
ϕ
1.
tan
−
=
og
CR
RC
ω
ϕ
1
tan
1.
−
=
−
Teori: I vores forsøg vil vi iagttage faseforskydningen vha. af en
dobbeltstråleoscillograf, der kan lave grafiske fremstillinger af
vekselspændinger. Vi kan få et billede af strømkurven vha. kurven for
spændingen over resistoren, da denne jo er i fase med strømmen.
Komplekse tal og vekselstrøm
21
Fremgangsmåde: Til forsøget brugte vi en induktor med induktans på 15,0 mH og resistans på 3,0 ohm.
For at induktorens impedans skulle være overvejende induktans og ikke resistans, havde
vekselstrømsgeneratoren en høj frekvens på 500,3 hertz. Ved denne frekvens vil induktorens impedans
blive:
(
)
ohmHHzZ
reelL
47100,153,50020,3
2
32
.
=⋅⋅⋅+=
−
π
- Resistansen er altså lille i forhold til impedansen.
Vi koblede induktoren og resistoren til vekselstrømsgeneratoren. Derefter
koblede vi denne kreds til en dobbeltstråleoscillograf. Forsøgsopstillingen
er vist på figur 15.
CH1 og CH2 er dobbeltstråleoscillografens to indgange og den
nedadvendende stiplede pil er tegnet for jordkobling. Resistoren kunne
ændres i resistans. Vi tog billeder af oscillografens to sinuskurver ved forskellig resistans (se figur 17).
Billederne og kredsens tilhørende resistanser kan ses i bilag 1.
Derefter udskiftede vi induktoren med en kapacitor med kapacitans på 10,0 µF (se figur 16), og tog igen
billeder af sinuskurverne ved forskellig resistans. Disse resultater kan ligeledes ses i bilag 1.
Beregninger:
Da faseforskydningen er en relativ størrelse skal vi først finde en reference for denne. Dette gør vi ved at
finde det antal enheder på
oscillografskærmens display, der går på
spændingskurvens kvarte periode
2
π
- altså
fra skæring med x-aksen og hen til første
ekstremum (se figur 18).
eeeeee
Figur 17: Eksempel på dobbeltstråleoscillografens display ved en RL-kreds med forskellig resistans
Figur 16: Forsøgsopstilling 2
Figur 18: Måling af
en kvart periode i
RL-kredesn
Komplekse tal og vekselstrøm
22
Som det ses, gælder det for RL-kredsen, at der er en kvart periode per 3,5 enheder, hvilket vil sige:
enhedper radianer ,450
5,3
2
=
enheder
radianer
π
Vi kan på bilag 1 aflæse det antal enheder fasen er forskudt ved forskellig resistans.
Derudfra kan vi nu beregne faseforskydningen og sammenligne den med en teoretisk beregnet
faseforskydning:
enheder
ϕ
(enheder)
ϕ
(radianer)
enheder
45.0
ϕϕ
⋅=
enhed
radianer
R (ohm):
teoretisk
ϕ
⋅⋅
−
R
HHz 015,03,5002
tan
1
π
afv.:
3,5
1,6
10
1,4
-21
%
2,2
1,0
30
1,0
-2,7
%
1,8
0,84
40
0,9
2,7
%
1,6
0,75
50
0,8
0,8
%
1,4
0,66
60
0,7
1,4
%
1,3
0,61
70
0,6
-2,8
%
1,2
0,56
80
0,5
-5,6
%
1,0
0,47
90
0,5
2,8
%
1,0
0,47
100
0,4
-6,4
%
Tabel 1: Resultater for RL- kreds
Gns.:
-3,4
%
For RC-kredsen kan man se, at der er en kvart periode per 3,6 enheder
= 0,44 radianer per enhed (se figur 19)
Ud fra bilag 1 kan vi ligeledes aflæse fasefoskydning og lave en tabel:
enheder
ϕ
(enheder)
ϕ
(radianer)
enheder
44.0
ϕϕ
⋅=
enhed
radianer
R (ohm):
teoretisk
ϕ
⋅⋅⋅
−
−
−
RFHz
5
1
13,5002
1
tan
π
afv.:
-2,60
-1,1
10
-1,3
15
%
-1,95
-0,81
20
-1,0
20
%
-1,80
-0,74
30
-0,82
8,7
%
-1,60
-0,66
40
-0,67
1,6
%
-1,20
-0,50
50
-0,57
13
%
-1,10
-0,45
60
-0,49
6,8
%
-1,00
-0,41
70
-0,43
3,1
%
-0,85
-0,35
80
-0,38
7,2
%
-0,80
-0,33
90
-0,34
2,7
%
-0,70
-0,29
100
-0,31
6,1
%
Tabel 2: Resultater for RC-
kreds
Gns.:
8,4
%
Diskussion:
Figur 19: Måling af
en kvart periode i
RL-kredesn
Komplekse tal og vekselstrøm
23
RL-kredsen: Som det ses af tabel 1, har vi eftervist vores teori om faseforskydning med afvigelse fra
teorien på 3,4 %. Afvigelsen skyldes to ting: 1) Når man aflæser faseforskydningen på en oscillografs lille
display, kan resultatet aldrig blive særlig nøjagtigt. 2) Spolen havde som sagt også en hvis resistans,
hvilket påvirker resultatet.
RC-kredsen: I tabel 2, kan man se at den teoretiske og målte faseforskydning generelt ligger tæt på
hinanden. Afvigelsen fra teorien ligger på 8,4 %, hvilket er noget højere end ved RL-kredsen. Som det ses
af tabel 2 er den målte faseforskydning konstant lavere end de teoretiske, så der er altså tale om en eller
anden fejlkilde.
Konklusion: Vi har eftervist at faseforskydningen i en RL- og RC-kreds er henholdsvis
R
L
RL
ω
ϕ
1.
tan
−
=
og
CR
RC
ω
ϕ
1
tan
1.
−
=
−
RLC-kreds:
En RLC-kreds er en svingningskreds, fordi der i kredsen foregår elektromagnetisk svingning som er:
Definition 11
1
:
Ved en elektromagnetisk svingning sker der en periodisk omdannelse mellem elektrisk
potentiel energi og elektromagnetisk energi.
I RLC-kredsen opsamler kapacitoren elektrisk potentiel energi, som så afgives til spolen, som afsætter den
til elektromagnetisk energi i form at dennes magnetfelt. Derefter forsvinder magnetfeltet og energien
omdannes til elektrisk potentiel energi i kapacitoren igen osv. Dette er altså elektromagnetisk svingning.
Da kredsens resistans gør, at noget energi går tabt til varme, indeholder kredsen en generator til at genere
spænding, og dermed tilføre mere potentiel energi.
Vi kan finde impedans og faseforskydning for kredsen analogt til RL- og RC-kredsen:
−+=−+=++=
C
LjR
C
jLjRZZZZ
CLRRLC
ω
ω
ω
ω
11
R
C
L
Z
RLRLC
ω
ω
ϕ
1
tanarg
1.
−
==
−
Ved en bestemt frekvens er faseforskydningen nul. Strøm og spænding vil her være i fase, og der vil opstå
serieresonans. Ved denne frekvens vil impedansen nå sit minimum, da den er ren ohmsk, fordi
induktorens og kapacitorens reaktans udligner hinanden se figur. Resonansfrekvensen
r
f finder vi som:
1
Følgende definition er taget fra bog 5 side 26
Komplekse tal og vekselstrøm
24
( )
π
ππ
π
π
ω
ω
2
1
1
2
1
20
2
1
2
1
2
CL
f
CL
f
CL
f
Cf
Lf
C
L
rrr
r
r
=⇔=⇔=⇔=−=−
Da
m
m
reel
i
u
Z = , vil strømstyrken være højest ved denne resonansfrekvens, fordi den her opnår højest
amplitude. Serieresonansfænomenet udnyttes i delefiltre til at udskille resonansfrekvensen.
Rapport om eksperimentel undersøgelse af resonans i RLC-kreds:
Vi vil nu rapportere et forsøg, der har til formål at eftervise, at strømstyrken i en svingningskreds er
afhængig af frekvensen således, at strømstyrken er højest ved resonansfrekvensen
π
2
1
CL
f
r
= .
Teori: Til forsøget vil vi måle effektivværdien af strømstyrken med et amperemeter. Effektivværdien af en
vekselstrøm svarer til den jævnstrøm, som giver samme effektafgivelse i en resistor som vekselstrømmen.
Fremgangsmåde: Til forsøget brugte vi en induktor med induktans på 15,0 mH og resistans på 3 ohm, en
kapacitor med kapacitans på 10,0 µF og en resistor med resistans på henholdsvis 40,0 og 80,0 ohm. Disse,
et amperemeter og en vekselstrømsgenerator koblede vi sammen serielt. Vi målte sammenhørende værdier
af strømstyrkens effektivværdi og frekvensen ved henholdsvis 40,0 og 80,0 ohm. Resultaterne kan ses i
bilag 2.
Beregninger: Teoretisk beregning af resonansfrekvensen:
Hz
HF
CL
f
r
411
2
100,1500,1
1
2
1
35
=
⋅⋅
==
−−
ππ
Diskussion:
Som det ses af graf 1, er strømmen højest lige omkring 400 Hz, hvilket stemmer godt overens med vores
forventede 411 Hz. Det viser sig altså, at strømmen er højest ved den frekvens, som udligner induktorens
og kapacitorens reaktans, hvilket giver en faseforskydning på nul og en minimal og ren ohmsk impedans.
Konklusion: Vi har eftervist, at strømstyrken i en svingningskreds er afhængig af frekvensen således, at
strømstyrken er højest ved resonansfrekvensen
π
2
1
CL
f
r
= , hvilket i vores tilfælde var 411 Hz.
Komplekse tal og vekselstrøm
25
Konklusion:
Vi har i løbet af denne opgave erfaret, at man indfører de komplekse tal ved at bruge de samme
regneregler, som bruges indenfor de reelle tal. Vi har behandlet forskellige egenskaber ved de komplekse
tal, som vi derefter har brugt i argumenteringen for definitionen af den komplekse naturlige
eksponentialfunktion, hvilken vi fandt fornuftig. Vi har vha. den naturlige eksponentialfunktion indført
den polære repræsentation af komplekse tal. Denne har vi brugt til at beskrive vekselstrømsbegrebet og
udledt formler for forskellige kredses impedans og faseforskydning. Vi har vha. forsøg eftervist disse
formler og dermed vist, hvordan man enkelt kan beregne vekselstrømskredse vha. komplekse tal.
Litteraturliste:
Bog 1: Carstensen, Jens: Komplekse tal, Forlaget Systime A/S 2. oplag 1996
Bog 2: Nielsen, Knud Erik og Fogh, Esper: Vejen til Matematik AB1, Forlaget HAX 1. udgave 2005
Bog 3: Nielsen, Knud Erik og Fogh, Esper: Vejen til Matematik AB2, Forlaget HAX 1. udgave 2006
Bog 4: Hansen, Sten: Komplekse tal, Sten Hansen forlag 1994
Bog 5: Staffanson, Eve og Anderson, Bengt og Johanson, Karl-Erik (bearbejdet af Fabricius, Otto og
Nielsen, Ralf): Fysik i Grundtræk, 3A Vekselstrøm – elektronik, Munksgaard 1. udgave 2. oplag 1976
Bog 6: Amtrup, Torben: Katten om den varme grød, Matematiklærerforeningen 2007
Bog 7: Agermose Jensen, Michael og Timm, Uwe: Komplekse tal, Forlag Maling Beck 1. udgave 1. oplag
2007
http://ga.randers-hf-vuc.dk/matlex
www.allaboutcircuits.com
http://planetmath.org/encyclopedia/Function.html
http://104/search?q=cache:zRulHz6gUIwJ:www.imada.sdu.dk/~lenem/Teaching/DM11/Trans
late/dm11_fo1.ps+codomain&hl=da&ct=clnk&cd=3&gl=dk&lr=lang_da&client=firefox-a
Komplekse tal og vekselstrøm
26
Tabeller over sammenhørende værdier af resistans og fasefoskydning i RL- og RC-kredsforsøget.
RCKreds
R
ϕ
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
RL-Kreds
R
ϕ
10
20
Billede forsvundet
30
40
50
60
70
80
90
100
Bilag 1 til side 22
Komplekse tal og vekselstrøm
27
I(mA) f(Hz)
Tabel over
I(mA)
f(Hz)
3,64
57,33
sammenhørende
6,72
57,25
4,91
77,08
værdier af
11,48
108,2
6,77
105,7
Strømmens
14,69
150,9
8,52
132,4
effektivværdi og
17,43
200,8
10,03
155,7
frekvens.
19,32
255,3
11,17
173
Resistorens
20,33
305,8
12,71
197,1
resistans = 40
20,81
352,3
14,01
217,9
ohm
20,96
402,5
14,92
233,1
20,88
450,7
15,94
251,1
20,59
506
16,82
267,7
20,26
550
17,99
292,8
19,77
602,3
19,03
319,9
19,26
654,3
19,29
328,3
18,7
707
18,33
301
17,74
793,6
18,55
306,5
16,55
904,4
16,35
258,6
15,6
996,4
16,62
263,9
14,55
1106
17,97
292,2
Samme som forrige
17,75
287,2
tabel bortset fra,
17,24
276,3
at resistansen
19,41
332,3
her er på 80 ohm
19,57
338,1
19,67
342,1
19,88
351,3
19,97
355,6
20,02
358,9
20,1
363,8
20,17
368,3
20,22
371,8
20,44
399,3
20,46
411
20,44
420,8
20,46
406,7
20,4
391
20,36
385
20,4
430,6
20,34
440,9
20,22
451
20,12
461
19,98
470
19,85
481
19,66
491,1
19,5
500,5
18,92
531,3
18,2
564,6
17,51
596
16,65
634,9
15,98
666,3
14,96
716,4
14,45
743,6
13,7
785,8
13,04
825,6
Bilag 2 til side 24
I(f)
0
5
10
15
20
25
0 1200
f (Hz)
I (mA)
R=40 ohm
R=80 ohm
Graf 1: De to tabeller sat ind i koordinatsystem
Komplekse tal og vekselstrøm
28
12,39
868,7
10,69
1001
9,48
1120