[navn fjernet] SRP
STX 3.g
Komplekse tal og relativitetsteori
Side 1 af 21
Abstact
This paper deals with complex numbers and their applications within the physics.
Complex number’s field (C) is an extension to the real number’s fields (R) and it contains a pair of
real numbers:
RbRaba |),(
(a,b) is most commonly written as a + ib. These numbers are defined as organized by two
operations of addition and multiplication:
),(),(),( dbcadcba
or
ibbaaibaiba )()()()(
and
),(),(),( bcadbdacdcba
or
ibababbaaibaiba )()()(
2211
The numbers can also be considered as position vectors with the coordinate (a,b) in a two-
dimensional coordinate system which is called the complex plane, where the horizontal axis is
called the real axis, and the vertical axis is called the imaginary axis. The length of such a position
vector is called modulus and the angle between the position vector and the real axis is called the
argument. The number 0 has got no argument.
If r is the modulus and v is the argument the complex number can now be written as
)sin(cos vivr
. The different notations have different advantages. For instance involution is
easiest latter notation by using de Moivre’s formula:
))sin()(cos( nvinvrz
nn
where v is the argument, r is the modulus and z is the symbol of a complex number.
This paper also deals with the special theory of relativity, which is evolved by Albert Einstein. This
theory contains the definitions of relative movement, inertial systems, the ether and the
transformation of Lorentz.
In 1908 Hermann Minkowski expressed the special theory of relativity geometrically and added
time as a fourth dimension. As a fourth dimension the time is considered as an imaginary dimension
of space, where complex numbers are an advantage because of the imaginary dimension.
1 - Indledning
Normalt vil der umuligt kunne findes et tal, der kvadreret giver et negativt tal og dermed kan der
ikke findes kvadratrødder til negative tal, selvom negative tals kvadratrødder kan være nyttige. Ved
indførelse af de ”imaginære” tal er det gjort muligt at finde løsninger til ligninger, som ikke før
[navn fjernet] SRP
Komplekse tal og relativitetsteori
Side 2 af 21
kunne løses. Disse er grundlaget for indførelsen af de komplekse tal og har vist sig at være meget
nyttige and anvendelige indenfor både matematikken og fysikken.
2 – De komplekse tal
I det følgende gives der en introduktion til de komplekse tal og hvorfor de er indført samt en
præsentation af deres tallegeme.
2.1 – Indførelse af de komplekse tal
Normalt vil man ikke kunne finde et tal, der kvadreret giver et negativt tal eller regne kvadratroden
af et negativt tal. Derfor er der brug for at indføre en ny talmængde, hvor dette gøres muligt. Denne
talmængde kaldes de komplekse tals mængde og betegnes C. Denne talmængde er en udvidelse af
de i forvejen velkendte talmængder:
- De naturlige tal (N) er alle hele, positive tal: 1, 2, 3, 4, 5, …
- De hele tal (Z) er de naturlige tal samt nul og de negative tal: -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …
- De rationelle tal (Q) er alle tal, som kan skrives som brøker:
4
1
,
3
1
,
1
2
,
1
1
,
2
1
, …
- De reelle tal (R) er alle tal på tallinjen, dvs. alle ovenstående tal samt de irrationale.
Følgende ligning er et eksempel på en ligning, som kan løses vha. de naturlige tal:
Nxx ,32
Denne ligning er intet problem at løse indenfor de naturlige tal, men da der ikke indgår negative tal
i de naturlige tal, kræves der en indførelse af en ny talmængde, da det med naturlige tal ikke er
muligt at løse en ligning som følgende:
Nxx ,510
Ovenstående ligning vil derimod være mulig at løse indenfor talmængden Z, da negative tal indgår i
denne talmængde og vi vil dermed få løsningen
Zxx ,5
fra ovenstående ligning.
Endvidere kan ligning
Zxx ,123
løses indenfor Z, hvor løsningen bliver 4. Men til andre
ligninger af samme form, kræves der endnu en udvidelse, da der f.eks. indenfor Z ikke findes en
løsning til følgende ligning:
Zxx ,209
[navn fjernet] SRP
Komplekse tal og relativitetsteori
Side 3 af 21
Man ledes herved til at tilføje brøker til løsning af ligningen. Med denne udvidelse har vi nu indført
de rationale tals mængde, som betegnes Q, og vi vil dermed få løsningen
Qxx ,
9
20
.
Indenfor Q kan ligningerne
Qxx ,9
2
og
Qxx ,
25
16
2
også løses. Derimod kan ligningen
2
2
x
ikke løses, idet der ikke findes noget rationalt tal, der opløftet til anden giver 2. For at løse
sådan en ligning, skal vi indføre tal som f.eks.
2
3
,7,2
, osv. Denne udvidelse er imidlertid et
led i en mere vidtgående udvidelse, nemlig udvidelsen til de reelle tals mængde, som betegnes R.
Dette kan opfattes således, at hele tallinjen bliver fyldt ud.
De tal, der tilføjes ved udvidelsen fra Q til R, er ikke blot tal, der er rødder i ligninger som
0
2
ax
. Således tilføjes også tal som f.eks.
og e og uendeligt mange andre tal, der ikke er
algebraiske og dermed ikke rationale. Dette er de såkaldte transcendente tal.
Efterfølgende har det været nærlæggende at ville løse ligningen
1
2
x
. Denne ligning har ingen
løsning inden for de reelle tal, så her vil det være nødvendigt at tage kvadratroden af –1. Dette kan
også virke som en løsning, hvis man sætter det ind uden at tænke over betydningen:
11
2
11
Dette motiverede indførelsen af de komplekse tal, som betegnes C. Indenfor de komplekse tal
benytter man tegnet
i
som repræsentant for det imaginære tal
1
.
2.2 – De komplekse tals legeme
Definitionen af det komplekse tals legeme ser således ud:
1,,|
2
iRbaibaC
Leddet a kaldes realdelen og ib kaldes imaginærdelen. Et tallegeme er et talområde, der også er en
såkaldt ring. Et talområde er en mængde, der er organiseret ved to regneregler, nemlig addition og
multiplikation. De komplekse tal udgør med den nævnte addition og multiplikation et legeme, der
betegnes (C,
),
.
Komplekse tal er et talpar og kan skrives på formen (a+ib). Definitionerne for henholdsvis addition
og multiplikation er
addition:
ibbaaibaiba )()()()(
Multiplikationen foregår ved, at gange parenteserne ud på normal vis, da
1
2
i
:
[navn fjernet] SRP
Komplekse tal og relativitetsteori
Side 4 af 21
multiplikation:
ibababbaaibaiba )())((
2211
Talparet for et kompleks tal kan også skrives på formen (a,b), hvor definitionen er
RbRabaC |),(
og hermed bliver definitionerne for henholdsvis addition og multiplikation da:
addition:
),(),(),(
bbaababa
multiplikation:
),(),)(,(
2211
bababbaababa
Hvis
1
z
og
2
z
er komplekse tal, skal
21
zz
og
21
zz
også være det. Der er visse regler, som skal
opfyldes, for at C er et talområde. Disse regler kaldes henholdsvis den kommutative lov, den
associative lov og den distributive lov:
Addition:
Den kommutative lov for addition, hvor følgende gælder for to komplekse tal,
1
z
og
2
z
:
1221
zzzz
Den associative lov for addition, hvor følgende gælder for tre komplekse tal,
1
z
,
2
z
og
3
z
:
)()(
321321
zzzzzz
Multiplikation:
Den kommutative lov for multiplikation, hvor følgende gælder for to komplekse tal,
1
z
og
2
z
:
1221
zzzz
Den associative lov for multiplikation, hvor følgende gælder for tre komplekse tal,
1
z
,
2
z
og
3
z
:
)()(
321321
zzzzzz
Beviserne for ovenstående to love for både addition og multiplikation er undladt, da disse beviser er
simple og uinteressante. Herimod vil den distributive lov blive bevist, hvis vi siger, vi har tallene:
111
ibaz
,
222
ibaz
og
333
ibaz
Den distributive lov ser ud som følgende:
3121321
)( zzzzzzz
og denne lov vil blive bevist
for ovenstående tal:
Første regnes venstre side af lighedstegnet:
321
321
1321321
1
)(
)(
))()(()()()(
))()(()()(
ibaibaibaibabbbbaaaazzz
ibaibaibaibabbbbaaaazzz
iaabbbabbbaaazzz
ibaibaibazzz
[navn fjernet] SRP
Komplekse tal og relativitetsteori
Side 5 af 21
Sidst regnes højre side af lighedstegnet:
3121
3121
3121
3121
3121
)()(
)()()()(
ibaibaibaibabbbbaaaazzzz
ibaibabbaaibaibabbaazzzz
ibaibabbaaibaibabbaazzzz
ibababbaaibababbaazzzz
ibaibaibaibazzzz
Nu har vi regnet begge sider af lighedstegnet og mangler nu kun én ting, for at gøre beviset færdig,
nemlig at tjekke, om det stemmer overens med det, vi ønskede at bevise:
3121321
)( zzzzzzz
ibaibaibaibabbbbaaaa
ibaibaibaibabbbbaaaa
Vi kan nu se, at det ønskede er bevist - q.e.d.
Det er nu vist, at C er et talområde, men det skulle også være en såkaldt ring. Hvis C skal være en
ring, skal følgende gælde:
For addition findes et nul-element
)0( zz
og for multiplikation findes et ét-element
zz 1
. For
addition findes et omvendt tal
0)( zz
. C er et legeme, når der for multiplikation findes et
reciprokt tal, når
0z
:
1
1
z
z
z
z
.
2.3 – Konjugering
Hvis
ibaz
er et komplekst tal, kaldes tallet
ibaz
for det konjugerede tal til z.
For konjugerede tal gælder følgende regneregler, hvis
1
z
og
2
z
er to komplekse tal:
2121
zzzz
og
2121
zzzz
[navn fjernet] SRP
Komplekse tal og relativitetsteori
Side 6 af 21
For hvis vi siger, at
111
ibaz
og
222
ibaz
, hvor følgende gælder:
)(
212121
bbiaazz
og når de konjugerede tal er
111
ibaz
og
222
ibaz
, fås
2121
221121
212121
)(
zzzz
ibaibazz
bbiaazz
Hermed er reglen for addition med konjugerede tal vist – q.e.d.
Hvis vi igen bruge tallene
111
ibaz
og
222
ibaz
kan reglen for multiplikation med
konjugerede tal vises ved, at vi først regner venstre side af lighedstegnet og derefter højre side af
lighedstegnet:
Først regnes venstre side af lighedstegnet:
ibababbaazz
ibababbaazz
)(
)(
21
21
Sidst regnes højre side af lighedstegnet:
ibababbaazz
ibaibazz
)(
)()(
21
221121
Nu mangler vi bare at tjekke, om det ønskede er bevist:
ibababbaaibababbaa
zzzz
)()(
2121
Og der med er det ønskede bevist – q.e.d.
2.4 – Eksempler på udregninger
Der vil kort foretages nogle udregninger på hhv.
21
zz
,
21
zz
,
21
zz
,
z
1
og
2
z
, hvor vi tager
udgangspunkt i de to komplekse tal
iz 125
1
og
iz 27
2
:
addition:
)27()125(
21
iizz
izz 142
21
[navn fjernet] SRP
Komplekse tal og relativitetsteori
Side 7 af 21
subtraktion:
)27()125(
21
iizz
izz 1012
21
multiplikation:
)27()125(
21
iizz
izz 7459
21
det reciprokke talsæt til z: Det reciprokke tal til z er det tal, der ganget med z giver 1.
Derfor opstilles der nu en ligning med en ubekendt, nemlig x:
1)()(
1
2121
ixxizz
zx
Vi beregner nu
z
x
1
med skrivemåden (a,b):
2121
,)0,1(
),(),()0,1(
xzxzxzxz
xxzz
Som vi kan se, er der nu to ligninger med to ubekendte:
0
1
1221
2211
xzxz
xzxz
De kan nu skrives som følgende og dermed kan den endelige løsning beregnes:
169
12
,
169
5
),(
12)5(
12
,
12)5(
5
),(
,),(
21
2222
21
2
2
2
1
2
2
2
2
1
1
21
xx
xx
zz
z
zz
z
xx
opløftning til anden potens:
)125)(125(
2
1
iiz
iz 120119
2
1
3 – Geometrisk fortolkning
Det er ofte en fordel at anskueliggøre de tal, man arbejder med. Det gøres for de reelle tal R ved
hjælp af en tallinje. Hvis man så tænker på at definitionen af de komplekse tal C bygger på regning
med reelle talpar, er det meget nærlæggende at benytte et almindeligt koordinatsystem.
[navn fjernet] SRP
Komplekse tal og relativitetsteori
Side 8 af 21
3.1 – Det komplekse plan
De komplekse tal afsættes som punkter i det todimensionale koordinatsystem eller i det såkaldte
plan. Vi lader nu det komplekse tal
ibaz
svare til punktet eller stedvektoren med koordinatet
(a,b). De komplekse tal på formen
aia 0
ligger på x-aksen, mens det komplekse tal på formen
ibib 0
ligger på y-aksen.
Dette koordinatsystem kaldes ”den komplekse talplan”, hvor x-aksen, også kaldt førsteaksen, kaldes
den reelle akse, fordi a er et reelt tal, som det er vist fra formen
aia 0
og y-aksen, også kaldt
andenaksen, kaldes den imaginære akse, fordi ib er et imaginært tal, som det er vist fra formen
ibib 0
.
Hvis vi betragter de samme komplekse tal som før, nemlig
iz 125
1
og
iz 27
2
. Her
afbildes de som stedvoktorer i den komplekse talplan:
Skal man addere de komplekse tal a og b geometrisk, foregår det ved at tegne et parallelogram,
nemlig kræfternes parallelogram, der har stedvektorerne til a og b som de to sider og hvor summen
a+b har diagonalen fra 0 som stedvektor. Subtraktion kan også foretages geometrisk, idet
)( baba
. Dette er samme metode, som også bruges regning med almindelige vektorer, altså
har vi, at addition og subtraktion af komplekse tal svarer geometrisk til addition og subtraktion af
vektorer, mens konjugering svarer til en spejling i den reelle akse, altså x-aksen.
[navn fjernet] SRP
Komplekse tal og relativitetsteori
Side 9 af 21
3.2 – Modulus og argument
Det er praktisk at kende længden af den stedvektor, der svarer til et komplekst tal samt
retningsvinklen, der hører til vektoren, som er vinklen mellem den reelle akse, altså x-aksen, og
stedvektoren for det komplekse tal.
Symbolet for modulus er r og kan beregnes ved hjælp af den pythagoræiske sætning eller ved at
multiplicere det komplekse tal med dets konjugerede tal og tage kvadratroden af dette. Altså har vi,
at
22
bazr
eller
zzzr
Argumentet til z skrives argz og beregnes på følgende måde:
z
b
z
a
z
11
sincosarg
Som det kan ses fra ovenstående formel, vil 0 ikke have noget argument.
For kort at demonstrere, hvordan dette ser ud i et simpelt regnestykke, vil vi endnu engang tage
udgangspunkt i det komplekse tal
iz 125
1
og
iz 27
2
. Med disse komplekse tal kan vi nu
beregne hhv. modulus til
1
z
og
2
z
og derefter beregnes argumenterne (regnes i radianer) for
1
z
og
2
z
:
1312)5(
22
2
1
2
11
1
bazr
z
Zpp
z
b
z
a
z
,29656,1
13
12
sin
13
5
cossincosarg
11
1
1
1
1
1
1
1
5327
22
2
2
2
22
2
bazr
z
Zpp
z
b
z
a
z
,22783,0
53
2
sin
53
7
cossincosarg
11
2
2
1
2
2
1
2
Der findes uendeligt mange argumenter, men argumentet i intervallet
];]
kaldes for
hovedargumentet og et hovedargument betegnes ofte med v eller skrives med A og derfor vil
hovedargumentet til det komplekse tal z skrives Argz eller v, altså er
vArgz
. Ovenstående
argumenter er hovedargumenter når
0p
.
[navn fjernet] SRP
Komplekse tal og relativitetsteori
Side 10 af 21
Når både sinus og cosinus bestemmes, er det fordi, at hovedargumentet ellers ikke vil være entydigt
bestemt. Dog hvis man imidlertid afsætter tallet i den komplekse talplan, kan man nøjes med enten
sinus eller cosinus, da man så kan se hvilket hovedargument, der er tale om.
Jeg vil senere komme ind på nogle eksempler på udregning af modulus og argument, men det
kræver først, at vi har forstået de Moivres formel, som vises længere nede.
3.3 – En anden skrivemåde
Nu har vi set, at hvis
ibaz
og
vArgz
, er
z
b
v
z
a
v sincos
En vektor
z
med koordinaterne
),( ba
og retningsvinklen v kan findes udfra og retningsvinklen.
Denne viden hjælper os til at få følgende udfra ovenstående:
vzbvza sincos
og da vi i dette tilfælde har at
rz
, får vi
vrbvra sincos
Med dette kan vi nu komme frem til en anden skrivemåde for komplekse tal på formen
ibaz
.
Udfra ovenstående kan vi se, at komplekse på formen
ibaz
også kan skrives på følgende form:
ivrvrz
ibaz
sincos
hermed kan vi nu sætte r uden for parentes, så vi får
)sin(cos vivrz
Vi har nu fundet ud af, at modulus og argument er nok til at opskrive et komplekst tal. Vi vil nu vise
en anden opskrivning, som tager udgangspunkt i tallet
iz 125
1
:
)9656,1;13()arg,(
)arg,(
11
1
zrz
zrz
z
Denne form for opskrivning kaldes polarform.
3.4 – Multiplikation og de Moivres formel
Vi skal nu forsøge at benytte komplekse tal på formen
)sin(cos vivrz
som indledning til de
Moivres formel.
[navn fjernet] SRP
Komplekse tal og relativitetsteori
Side 11 af 21
Vi multiplicerer to komplekse tal
1
z
og
2
z
med hhv. modulus
1
z
r
og
2
z
r
og hhv. retningsvinklerne
1
z
v
og
2
z
v
. Dette opskrives på formen
)sin(cos vivrz
:
))sin()(cos(
))cossinsin(cos)sinsincos((cos
)sin(cos)sin(cos
212121
21
222111
21
21
21
ivvvvrrzz
ivvvvvvvvrrzz
vivrvivrzz
zzzzzz
zzzzzzzzzz
zzzzzz
Ved andet lighedstegn har vi benyttet additionsformlerne for sinus og cosinus:
212121
sinsincoscos)cos(
zzzszz
vvvvvv
og
212121
cossinsincos)sin(
zzzzzz
vvvvvv
formlen
))sin()(cos(
212121
21
ivvvvrrzz
zzzzzz
viser, at når man multiplicerer to
komplekse tal, bliver deres modulus multipliceret, mens deres argument bliver adderet. Dette kan
også skrives matematisk:
2121
zzzz
21
argarg)arg(
21 zz
zz
Hvis
1
z
og
2
z
havde været det samme, ville udregningen se ud som følgende:
2
2
zz
zz arg2arg
2
Ovenstående kan også betragtes generelt, hvor vi så ser, at
n
n
zz
znz
n
argarg
Det kan ses fra ovenstående, at ved potensopløftning af et komplekst tal opløftes modulus til samme
potens, mens argumentet bliver multipliceret med eksponenten. Dette blev vist af den franske
flygtning Abraham de Moivre (), som havde stor interesse for sandsynlighedsregning,
men som i dag huskes for indførelse af den imaginære enhed og bedst for nedenstående sætning
1
:
1
”komplekse tal og fraktaler” af Jesper Frandsen, systimes forlag A/S, side 24, midt.
[navn fjernet] SRP
Komplekse tal og relativitetsteori
Side 12 af 21
)sin(cos
)sin(cos
zz
nn
zz
nn
nvinvrz
nvinvzz
Denne formel kaldes de Moivres formel og kan bevises udfra den viden, vi allerede har erhvervet
os. Den kan nemlig bevises udfra ovenstående formler, altså
n
n
zz
og
znz
n
argarg
og når vi
i forvejen ved, at
z
vz arg
:
)sin(cos
)sin(arg)cos(arg(
)sin(arg)(cos(arg
zz
nn
nn
nnnn
nvinvrz
zniznzz
zizzz
Og med dette er det ønskede bevist – q.e.d.
I starten af kapitlet viste vi multiplikation med komplekse tal på formen
)sin(cos vivrz
, hvor
vi med additionsformlerne for sinus og cosinus fandt frem til følgende:
))sin()(cos(
212121
21
ivvvvrrzz
zzzzzz
Her kan det også prøves at sætte det reciprokke tal ind for
2
z
, altså
1
2
1
z
z
, ville vi kunne se, at
111
1
1
121
11
11
11
zzz
z
z
zzz
Det kan altså nu ses, at reciprokke tal har reciprokke moduler. Dog gælder der ikke det helt samme
ved argumentet. Hvis vi ser på vektoren (1,0). Denne vektor har retningsvinklen 0 og når komplekse
tal bliver multipliceret, adderes argumenterne, altså
z
zz
z
z
z arg
1
arg
1
argarg
1
arg0
Ovenfor ser vi altså, at reciprokke tal har modsatte argumenter.
Derfor kan vi nu lave en generel oversigt over dette:
zz
11
z
z
arg
1
arg
[navn fjernet] SRP
Komplekse tal og relativitetsteori
Side 13 af 21
3.5 – Forskellige eksempler på udregning af modulus og argument
Her bruges de samme eksempler som tidligere, hvor
iz 125
1
og
iz 27
2
.
addition:
iiizz 142)27()125(
21
210142
2222
21
bazz
4289,1
210
14
sin
210
2
cossincos)arg(
1111
21
z
b
z
a
zz
Til det næste eksempel skal vi bruge formlerne fra tidligere, nemlig
2121
zzzz
og
2121
argarg)arg( zzzz
Herudover skal vi også bruge vores modulus og argument, som vi også tidligere har beregnet for
hhv.
1
z
og
2
z
:
modulus og argument for
1
z
:
13
1
z
r
og
Zppz ,29656,1arg
1
modulus og argument for
2
z
:
53
2
z
r
og
Zppz ,22783,0arg
2
Nu har vi alt klar til at fremføre følgende eksempel:
multiplikation:
6414,945313
21
1121
zz
rrzzzz
2439,22783,09656,1argarg)arg(
2121
zzzz
Vi fandt ud af fra tidligere, at reciprokke tal har modsatte moduler. Dette vil vi nu give et eksempel
på udfra vi de formler vi også brugte tidligere, nemlig
zz
11
og
z
z
arg
1
arg
:
reciprokke tal:
13
111
11
zz
9656,1arg
1
arg
1
1
z
z
Til det sidste eksempel vil vi igen benytte modulus og argument for
1
z
, som vi tidligere viste. Til
dette eksempel vil der også bruges en del af de Moivres formel, nemlig
znz
n
argarg
:
potensopløftning:
16913
2
2
1
z
9312,39656,12arg2arg
1
2
1
zz
[navn fjernet] SRP
Komplekse tal og relativitetsteori
Side 14 af 21
4. – De forskellige skrivemåder
Her vil vi nu se kort på se på de forskellige skrivemåder, som vi igennem opgaven indtil nu været
igennem, hvor der bl.a. omtales fordele i praksis. Det kommer til at handle om følgende
skrivemåder:
),( ba
,
iba
,
))sin(arg)(cos(arg zizr
og
)arg,( zr
.
4.1 – Addition
Addition for skrivemåderne
iba
og
),( ba
følger definitionerne fra afsnit 3.2. Der adderes
komponentvist og disse skrivemåder er klart det mest fordelagtige for addition.
4.2 – Multiplikation
Komplekse tal beskrives bedst med modulus og argument, når det drejer sig om multiplikation. Vi
så tidligere, at modulerne multipliceres og argumenterne adderes. Hvis vi betragter komplekse tal
skrevet på polarform, som kort er beskrevet i afsnit 3.3. Her kan fordelen tydeligt ses, hvis f.eks.
tallene
)arg,(
1
1
zr
z
og
)arg,(
2
2
zr
z
multipliceres:
)argarg,()arg,()arg,(
2121
2121
zzrrzrzr
zzzz
Som det kan ses, er regnestykket ovenfor med tallene på polarform en direkte følge af det, som vi
har beskrevet længere oppe, nemlig
2121
zzzz
og
2121
argarg)arg( zzzz
.
Det kan også regnes på formen
))sin(arg)(cos(arg zizr
, men formen
)arg,( zr
er dog kortere
og mere praktisk.
4.3 – Reciprokke tal
Vi så i afsnit 2.4, hvordan man fandt det reciprokke tal til z, når det komplekse tal var skrevet på
formen
),( ba
. Det kan gøre på en meget mere simpel måde, hvis vi benytter formen
iba
, hvor
det reciprokke tal da kan findes ved hjælp af følgende formel:
2
1
z
z
z
Som vi kan se er dette fremkommet ved at multiplicere
ibaz
med
ibaz
. Dette kan også
vises kort:
2
2222
)( zbaibazz
[navn fjernet] SRP
Komplekse tal og relativitetsteori
Side 15 af 21
altså har vi, at
2
1
z
z
z
4.4 – Potensopløftning
Opløftning til anden potens så vi tidligere, da vi regnede følgende:
iiiz 120119)125)(125(
2
1
Der så vi, at det ikke var noget problem. Dog er foretrækkes skrivemåderne med modulus og
argument, hvis der opløftet til en højere potens, hvor vi så skal benytte de Moivres formel.
5 – Relativitetsteori
Relativitetsteorien er en af de mest grundlæggende teorier i fysikkens verden. Herunder er der bl.a.
den specielle relativitetsteori, hvis principper og antagelser er simple, men har enorme kon-
sekvenser for vores opfattelse af tidligere veldefinerede begreber, som f.eks. tid, længde og masse,
der alle bliver relative størrelser.
5.1 – Relativ bevægelse
Når f.eks. en mand bevæger sig på et skib, der er i fart, kan man dels tale om hans bevægelse i
forhold til skibet, altså den relative bevægelse, og hans bevægelse i forhold til havet, altså den
absolutte bevægelse. I denne forbindelse tales der også om medføringsbevægelse. Medførings-
bevægelsen er den bevægelse, som den ting der medfører ham, altså skibet, har i forhold til havet.
Vi skal kort se på definitionerne og betegnelserne for hhv. den relative hastighed, den absolutte
hastighed og medføringshastigheden:
Den relative hastighed bestegnes
r
v
og defineres som mandens hastighed i forhold til skibet, altså
antal længdeenheder,
s
, mellem to, i forhold til skibet, faste punkter divideret med den tid,
t
,
det tager ham at bevæge sig fra det ene punkt til det andet. Ved ujævn bevægelse:
t
s
r
t
0
lim
Den absolutte hastighed betegnes
a
v
og defineres som antallet af længdeenheder,
s
, mellem to, i
forhold til skibet, faste punkter divideret med den tid,
t
, det tager ham, som følge af skibets
[navn fjernet] SRP
Komplekse tal og relativitetsteori
Side 16 af 21
bevægelse plus hans egen gang, at bevæge sig fra det ene punkt til det andet. Ved ujævn bevægelse:
t
s
a
t
0
lim
Medføringshastigheden betegnes
m
v
og kan defineres i det tilfælde, at skibet til det betragtede
tidspunkt bevæger sig translatorisk i forhold til havet, og simpelthen er lig den fælles hastighed af
alle skibets punkter i forhold til havet:
s
s
v
m
t
m
0
lim
Disse tre størrelser er alle vektorer. I dette tilfælde, hvor alle vektorerne er ensrettede, er det således,
at den vejlængde, manden i tiden
t
gennemløber i forhold til havet, er lig med summen af den vej,
han bevæger sig i forhold til skibet og den vej, skibet bevæger sig i forhold til havet.
Selv om de tre vektorer ikke er ensrettede, fremkommer den absolutte hastighed ved geometrisk
addition af den relative hastighed og medføringshastigheden, da vi har, at
mra
sss
, hvoraf
vi ved, at division med
t
og grænseovergang får
mra
vvv
Lad os tænke os, at havet bliver erstattet med et treretvinklet koordinatsystem
)(xyzK
og skibet
med et andet
)'''(' zyxK
. x’-aksen er sammenfaldende med x-aksen, mens y’-aksen og z’-aksen
er parallelle med hhv. y-aksen og z-aksen. Las os nu tænke os, at det stjernede koordinatsystems
begyndelsespunkt bevæger sig med den konstante hastighed v i x-aksens retning, og at klokken er 0,
når de to begyndelsespunkter falder sammen. Hvis vi tænker os, at der anvendes samme tids- og
længdemålinger i de to systemer, vil det, idet t’ betegner den målte tid i K’, gælde:
ttzzyyvtxx ',',','
Ovenstående ligninger kaldes Galileitransformationen.
5.2 – Inertialsystemer
Grundlæggende for den klassiske mekanik er Newtons tre bevægelseslove, hvor den første, altså
inertiens lov, kan betragtes som et specialtilfælde af den anden:
Newtons 1. lov: Et legeme, der ikke påvirkes af nogen kraft, bevæger sig med konstant hastighed,
antkonst
dt
dr
vF 0
, hvor r er legemets stedvektor.
Newtons 2. lov: Et legemes acceleration,
dt
dv
a
, er proportional med kraften, F, der virker på
legemet,
dt
dv
mF
, hvor m er legemets inertielle masse.
[navn fjernet] SRP
Komplekse tal og relativitetsteori
Side 17 af 21
Newtons 3. lov: Hvis et legeme, A, påvirker et andet legeme, B, med en kraft,
AB
F
, så vil B påvirke
A med kraften
BA
F
, som er modsatrettet og af samme styrke:
BAAB
FF
.
Ved anvendelse af fysiske lovmæssigheder fastlægger man oftest et koordinatsystem, hvor man kan
bestemme fysiske størrelser, som position, hastighed osv. Da man ikke kan måle en partikels
stedvektor i forhold til et abstrakt matematisk punkt, men kun dets afstand fra et eller flere
materielle legemer, kan et koordinatsystem kun fastlægges ved at referere til et eller andet materielt
objekt. Et sådant stift referencelegeme og dets logiske udvidelse kaldes i fysikken et reference-
system. Et referencesystem, i hvilket Newtons 1. lov gælder, kaldes et inertialsystem. I sådanne
systemer har alle Newtons love gyldighed.
5.3 – Det Newtonske relativitetsprincip
I dette kapitel undlader vi yderligere forklaringer og går direkte til det sammenfattede: Det er ikke
muligt på grundlag af mekaniske fænomener at skelne mellem inertialsystemer eller at udpege et
særligt udmærket inertialsystem.
5.4 – Æteren
Maxwells ligninger, som danner basis for elektromagnetisme, viser, at lyshastigheden i det tomme
rum vil være den samme i forhold til et koordinatsystem, hvori Maxwells ligninger gælder, uanset
en antennes bevægelse i forhold til dette koordinatsystem. Noget tilsvarende har ser man i lydens
udbredelse. Derimod forholder det sig anderledes med en partikel, der kastes ud fra en vogn i
bevægelse. En sådan partikel får som bekendt en hastighed, der afhænger af vognens bevægelse
)(
mra
vvv
. Man tænkte sig derfor oprindeligt, at de elektromagnetiske bølger, f.eks.
lysbølgerne, forplantede sig i et medium, som man kaldte æteren, og som lå stille i det nævnte
koordinatsystem, hvori Maxwells ligninger gælder, og hvori lyshastigheden er c.
Æter antoges for at være et usynligt stof, der kunne opfylde hele verdensrummet.
5.5 – Lorentztransformation
Man må bryde med den forudsætning, at iagttagere i to koordinatsystemer, der bevæger sig i
forhold til hinanden, måler længder og tider ens. På den baggrund udkastede den berømte
hollandske fysiker Lorentz i 1904 den teori, at målestok og ure, der bevæges i forhold til æteren,
påvirkes på en sådan måde af ”ætervind”, at interferensstriberne i Michelsons forsøg ikke flytter sig
[navn fjernet] SRP
Komplekse tal og relativitetsteori
Side 18 af 21
som ventet. Lorentz kom ved flere forskellige overvejelser byggende på Michelsons og andre forsøg
til det resultat, at målestok skulle blive kortere og urenes gang skulle blive langsommere. På
grundlag af dette opstillede han den såkaldte Lorentztransformation, som ikke alene måler den
iagttager, der bevæger sig i forhold til æteren, samme lyshastighed som den, der er i hvile i æteren,
men den bevægende iagttager, hvis ure og målestokke jo er forkerte, tror også, at det er den
iagttager, der er i hvile, der har for korte målestokke og for langsomme ure. Det kan derfor ikke
afgøres, hvem der egentlig er i hvile i forhold til æteren. Udledelsen af Lorentztransformationen er
lang og rent matematisk, så vi udelader denne matematiske udledelse fra opgaven og går direkte til
at postulere resultatet:
Lad som før K være et koordinatsystem, som vi f.eks. har lagt med begyndelsespunkt i solen og tre
akser, der ligger fast i forhold til f.eks. stjernehimlen. Lad x, y, z, t være stedkoordinater
),,( zyx
og
tidskoordinaten t for en begivenhed, der finder sted i punktet i K
),,( zyx
, når klokken er t. Vi vil nu
lade
'K
være et andet koordinatsystem, der bevæger sig med jævn hastighed af størrelsen v i
forhold til K, således at
aksenx '
, altså førsteaksen til
'K
, glider i x-aksen, altså de er sammen-
faldende, men begyndelsespunktet til
'K
,
'0
, bevæger sig med hastigheden v i forhold til K’s
begyndelsespunkt, 0.
akseny '
er hele tiden parallel med y-aksen og
aksenz '
med z-aksen.
Lad nu
',',',' tzyx
være koordinaterne for den samme begivenhed, nu målt i
'K
. Da bliver
sammenhængen mellem sættet
),,,( tzyx
og
)',',','( tzyx
følgende transformation, nemlig
Lorentztransformationen:
2
2
2
2
2
2
1
',',',
1
'
c
v
tx
c
v
tzzyy
c
v
vtx
x
5.6 – Den specielle relativitetsteori
Året efter, i 1905, kom Albert Einstein frem til et lignende resultat som Lorentz, men finder, at det
er kunstigt at opretholde teorien om en æter, da det som nævnt ikke kan afgøres, hvem der er i hvile
i forhold til den. Det er aldrig lykkedes ved noget forsøg at iagttage en æter direkte. Mens Lorentz
opfatter den forlængede tid som en slags kunsttid, opfatter Einstein de forskellige tider som de
virkelige tider i de, i forhold til hinanden, bevægede inertialsystemer. Det samme gælder
længdemålingerne. Iagttagere i samme system har uanset deres indbyrdes afstand samme tids- og
længdeopfattelse. Einstein kommer frem til den samme transformation som Lorentz, bare bedre
[navn fjernet] SRP
Komplekse tal og relativitetsteori
Side 19 af 21
formuleret, men Einsteins tankegang fører alligevel et skridt videre. Einstein opstillede den
hypotese, at man heller ikke vha. ikke-mekaniske love kan kende forskel på inertialsystemer, altså,
det er ikke muligt ved iagttagelse af nogen naturlov at kende forskel på inertialsystemer.
Einstein drager den konsekvens af sit princip, ar Newtons love må laves om. Læren om
sammenhængen mellem kraft og bevægelse kaldes dynamik og når Newtons love modificeres, så de
bliver invariante over for Lorentztransformationen, opstår den såkaldte relativistiske dynamik, som
fuldender den teori, der kaldes den specielle relativitetsteori, hvor energi har masse. Einstein
påviser, at
2
cmE
, hvilket er den specielle relativitetsteoris resultat.
5.7 – Geometrisk formulering af relativitetsteorien
Den specielle relativitetsteori mødte stor modstand. I 1908 formulerede Hermann Minkowski den
specielle relativitetsteori geometrisk ved hjælp af en firedimensional rumtid. Altså tre år efter
Einstein var kommet frem til den specielle relativitetsteori, der var udviklet udfra Lorentzs teorier.
Man kan med god tilnærmelse sige, at Minkowski tilføjede tiden som den fjerde dimension ved at
gange lysets hastighed på.
Afstanden mellem to begivenheder i tid og rum kan indenfor differentialgeometrien opskrives i en
metrik,
2
ds
. Kvadraterne på de tre rumkoordinater adderes og herefter skal tidsleddet,
22
dtc
,
trækkes fra, da tiden opfører sig anderledes end rummet:
222222
dtcdzdydxds
Som man kan se, ser denne ligning meget enkel ud. Der er symmetri mellem de tre rumkoordinater,
der summeres. Pythagoras’ sætning siger, at kvadratet på længden af hypotenusen i en retvinklet
trekant er lig summen af kvadraterne på de enkelte sider. Dette kan udvides til tre dimensioner og
afstandene kan være vilkårligt små, men tiden falder udenfor: tiden kan opfattes som en imaginær
rumdimension, som vi kender fra de komplekse tal, idet
22222
dtcdtci
, da vi ved fra tidligere, at
1
2
i
.
Da Einstein havde lært differentialgeometrien erkendte han, at den nye geometriske beskrivelse af
rumtiden var et vigtigt skridt i retning mod at formulere en teori for tyngdekraften, nemlig den
almene relativitetsteori.
[navn fjernet] SRP
Komplekse tal og relativitetsteori
Side 20 af 21
6 – Konklusion
Sammenfattende kan det siges, at man vha. af komplekse tal er i stand til at gennemføre
beregninger, der med reelle tal havde været umulige. Et komplekst tal kan præsenteres med
rektangulære rødder på formen
ibaz
eller med polære koordinater på formen
),( vrz
, hvor r
er den numeriske værdi, altså modulus, og hvor v er retningsvinklen, altså argument. Tallene er
todimentionale og kan derfor vises geometrisk i et koordinatsystem, hvor x-aksen er den reelle akse
og afspejler reelle tallinje, mens y-aksen er den imaginære akse og har enheden i. Variablen i er et
andet udtryk for
1
.
Addition og subtraktion sker på rektangulær form ved at beregne den reelle del og den imaginære
del hver for sig. Multiplikation kan ske på polær form ved at multiplicere modulus og addere
argumenterne. Potensopløftning kan på tilsvarende vis ske i de polære koordinater vha. de Moivres
formel, hvor argumentet multipliceres med eksponenten og modulus opløftes til potensen.
De komplekse tal kan betragtes som den fuldendte talmængde, da de umulige operationer er
ekstremt indskrænket og den algebraiske fundamentalsætning opfyldes med netop disse tal.
Samtidigt er komplekse tal den sidste talrække, hvor er også er tale om et legeme, altså er
komplekse tal næsten perfekte tal.
Derudover kan det også siges, at hverken tid, længder eller masser er absolutte størrelser, men at
alle er relative i forhold til, hvordan de er observeret, altså, at en person i hvile ikke vil observere
den samme tid, som en person i jævn bevægelse i forhold til den hvilende person. Tilsvarende vil en
person i hvile ikke måle samme længde af et objekt, som en person i jævn bevægelse. En observatør
i translativ bevægelse vil opleve et længere tidsforløb, kortere længder og mere massive objekter i
forhold til, hvad en observatør i hvile vil opleve. Den specielle relativitetsteori arbejder kun i
inertielle rammer. I 1908 formulerede Hermann Minkowski den specielle relativitetsteori
geometrisk, hvor han tilføjede tiden som den fjerde dimension, hvor tiden opfattes som imaginær
rumdimension, så komplekse tal spiller en væsentlig rolle, da der i den geometriske formulering
arbejdes med imaginære tal. Senere udgav Einstein den generelle eller almene relativitetsteori, som
bl.a. behandler store masser og tyngdekraften imellem dem.
Underskrift: .
[navn fjernet] SRP
Komplekse tal og relativitetsteori
Side 21 af 21
7 – Litteraturliste
Bøger
Sten Hansen : Komplekse tal med anvendelser i relativitetsteori og vekselstrømsteori
Sten Hansen Rådgivning og Forlag
1. udgave, 1. oplag 1994
Jesper Frandsen: Komplekse tal og fraktaler
Forlaget Systime A/S
1. udgave, 2. oplag 1995
Richard P. Feynman: Lectures on Physics, Volume I
Addison-Wesley Publishing Company 1963
David J. Griffiths: Introduction to Electrodynamics, Third Edition
Prentice Hall 1999
Jens Carstensen: Komplekse tal
Forlaget Systime A/S
2003
Jørgen H.-Jørgensen: Matematisk analyse
Århus Universitet 1976
Internet
http://www.nbi.dk/~dam/fys12/sr10.pdf
http://www.matilde.mathematics.dk/arkiv/M32/MCA.pdf