1
Eksamensopgave
HTX 2. år
Klasse: 2.e
Projekt 8: Konstruktion og måling på en kapacitor
Opgave: Eksamensopgave
Fag: Fysik
Skole: Frederiksberg HTX
Lærer: John Ukpo
Dato: 21/4/2009
Indhold
Formålet ............................................................................................................................................... 2
Hypotese............................................................................................................................................... 2
Teori ..................................................................................................................................................... 3
Kapacitorer ....................................................................................................................................... 3
Pladekapacitoren .............................................................................................................................. 3
Udledning af formlen for feltstyrke.................................................................................................. 3
Formlen for pladekapacitorens kapacitans ....................................................................................... 5
Kobling af kapacitorer ...................................................................................................................... 6
2
Parallelkobling.................................................................................................................................. 6
Seriekobling...................................................................................................................................... 7
Afladning og opladning af en kapacitor ........................................................................................... 8
Afladning .......................................................................................................................................... 8
Opladning ....................................................................................................................................... 10
Energi i en kapacitor....................................................................................................................... 12
Materialer ........................................................................................................................................... 13
Fremgangsmåde ................................................................................................................................. 14
Resultater ........................................................................................................................................... 14
Fejlkilder ............................................................................................................................................ 19
Måleusikkerheder ............................................................................................................................... 19
Diskussion .......................................................................................................................................... 19
Konklusion ......................................................................................................................................... 21
Litteratur............................................................................................................................................. 21
Formålet
Formålet med denne øvelse er at måle kapacitansen for en kondensator (kapacitor) i forbindelse
med ændringer i pladeareal, plademateriale, pladeafstand og materiale mellem pladerne. Endvidere
måler vi en kondensators energi i forbindelse med opladning og afladning, og vi måler
spændingsfaldet over kondensatorerne ved serieforbindelse af to kondensatorer.
Hypotese
Vi venter at kapacitansen er proportional med arealet.
Vi venter at kobber giver en større kapacitans end stål.
Vi venter at kapacitansen er omvendt proportional med afstanden mellem pladerne.
3
Vi venter at papir mellem pladerne forøger kapacitansen med en faktor på ca. 2, og at glas forøger
kapacitansen med en faktor på mellem 2 og 16
1
.
Vi forventer at spændingsfaldet over to serieforbundne kondensatorer med samme kapacitans er
identisk.
Teori
Kapacitorer
En kondensator eller kapacitor rummer en elektrisk ladning, dvs. en mængde elektroner i overskud
et sted og et tilsvarende underskud et andet sted. Ladning måles i Coulomb, C. En Coulomb svarer
til 6.24 * 10^19 elementarladninger. En elementarladning er en elektrons ladning.
Pladekapacitoren
I en pladekapacitor er overskuddet og underskuddet af elektroner placeret i to elektrisk ledende
plader, der er lige store og parallelle og med et isolerende stof imellem pladerne, evt. luft eller
vakuum. Denne placering forøger kapacitorens ydeevne, da underskud og overskud tiltrækker og
dermed forstærker hinanden. (I praksis anvendes ofte sammenrillede folielag i stedet for plader.)
Ladningsforskellen ses også som en spændingsforskel mellem pladerne, og der gælder ligningen
UCQ
,
Hvor Q er ladningen i coulomb, U er spændingsforskellen i volt og C er
proportionalitetskonstanten, der kaldes kapacitansen og måles i coulomb pr. volt eller farad (F),
altså
VCF /11
Udledning af formlen for feltstyrke
I området mellem de to plader dannes der et homogent elektrisk felt. Feltstyrken på en punktladning
er givet som
Q
F
E
Hvor F er den kraft (målt i newton), der påvirker ladningen, og Q er ladningen målt i coulomb.
Feltstyrken måles altså i newton pr coulomb, der kan omregnes til volt pr meter, således at
1
Tabellen over permittivitet i Håndbog i fysik og kemi s. 44
4
s
V
E
Hvor V er spændingen målt i volt og s er længden af den vej, ladningen flyttes.
Betragter vi nu en punktladning, der flyttes fra den ene plade til den anden, er feltarbejdet lig med
sFA
felt
*
idet
fås
Samtidig gælder der at den elektriske kraft er konservativ, således at feltarbejdet er lig med den
negative ændring i den potentielle energi, hvorfor vi har at
potfelt
EA
Så vi får
sQEE
pot
**
La d W
1
og W
2
være to steder. Vi får forskellen i de to steders potentielle energi ved at trække de to
steders potentielle energi fra hinanden:
sQEWEWE
potpot
**))()((
12
Der er ensbetydende med
sE
Q
WE
Q
WE
potpot
*
)()(
12
Potentialet i et punkt defineres nu som K
P
Q
PE
K
Pot
P
)(
Her er K
P
potentialet i punktet P i joule pr. coulomb, dvs. i volt, E
pot
(P) er den potentielle energi i
punktet P i enheden joule og Q er den betragtede ladning målt i coulomb.
QEF *
sQEA
felt
**
5
Ud fra denne formel får vi
sEKK
WW
*
21
Idet d betegner afstanden mellem pladerne i en kondensator, får vi
En forskel i potentiale er ensbetydende med en spændingsforskel. Derfor får vi
dEU *
eller
d
U
E
Hermed har jeg udledt formlen for den elektriske feltstyrke for de to plader i en pladekondensator.
Formlen for pladekapacitorens kapacitans
Vi har formlen
UCQ
Og vi har
d
U
E
Ved at isolere U i den sidste ligning og indsætte udtrykket i den første fås
dECQ *
Og dermed
dE
Q
V
Q
C
*
Vi har følgende ligning for den elektriske feltstyrke
A
Q
E
*
sE
Q
WE
Q
WE
potpot
*
)()(
12
dEKK
WW
*
21
6
Ɛ er permittivitteten for det isolerende materiale mellem de to kondensatorplader og A er arealet af
pladerne og måles i kvadratmeter. Af den sidste ligning fås
E
Q
A *
men da
fås
eller
Og dette er altså udtrykket for kapacitansen for en pladekondensator.
Dette er diagramsymbolet for en pladekondensator.
Kobling af kapacitorer
Kapacitorer kan, ligesom modstande m.m. kobles i serie og parallelt.
Parallelkobling
Ved parallelkobling af to kapacitorer er der samme spændingsforskel U over de to kapacitorer, og
med denne værdi af U gælder ligningerne
og
UCQ
22
Hvor C
1
og C
2
er de to kapacitanser og Q
1
og Q
2
er ladningerne i de to kapacitorer.
Den totale positive ladning på de to kapacitorer kaldes Q, og den er lig med
dC
E
Q
*
dCA **
d
A
C
*
UCQ
11
7
21
QQQ
For hele systemet gælder
UCQ *
Men
21
2121
CC
U
Q
U
Q
U
QQ
U
Q
C
ialt
21
CCC
Dvs. kapacitanserne er additive.
Her ses to kapacitorer koblet parallelt.
Seriekobling
Ved seriekobling af to kapacitorer vil der være ladningerne Q og – Q over de to yderste plader, og
der vil være spændingsforskellen U mellem de samme to plader. Der gælder nu
11
*CUQ
Og
22
*CUQ
Og spændingsforskellen over hele seriekoblingen er
21
21
C
Q
C
Q
UUU
Så ved division med Q fås
CQ
U
CC
111
21
I alt
8
21
111
CCC
Dvs. kapacitanserne er reciprokt additive.
Her ses to kapacitorer koblet i serie
Afladning og opladning af en kapacitor
Opladning og afladning af en kapacitor sker ikke momentant, da de veje, der fører til (og fra)
pladerne har begrænset kapacitet hvad angår transport af elektroner. Vi antager både om afladning
og opladning at det foregår med en modstand i kredsløbet. Strømstyrke er ladning, der passerer et
punkt i en leder pr. tidsenhed. Strømstyrken er proportional med spændingsforskellen, og da denne
falder med tiden ved afladning, vil strømstyrken også aftage over tiden ved afladning. Det kan vises
at både spændingsforskel over resistoren samt strømstyrke og ladning aftager over tiden med
funktioner, der er aftagende over tiden, og hvis afledede er negative men voksende over tiden.
Afladning
Vi har en kapacitor og en resistor, der er forbundet i serie, og vi tænker os at kredsløbet sluttes,
således at kapacitoren aflades. Dette sker ikke momentant, da ohms lov, som gælder for resistoren,
gør, at der kun kan gå strøm af begrænset styrke gennem resistoren og dermed over kredsløbet. Vi
har nu at spændingsfaldet over resistoren og kapacitoren tilsammen er 0 volt. Spændingsforskellen
over modstanden er lig med
)(*)( tIRtU
Hvor R er modstanden målt i ohm, og I er strømstyrken målt i ampere.
Spændingsforskellen over kapacitoren er lig med
C
Q
U
9
Den strøm der går i ledningen stammer fra kondensatorens afladning, således at strømstyrken er lig
med ændringshastigheden for ladningen, med andre ord
)()´( tItQ
hvor den afledede er over tiden t. Af ligningen for I fås
RC
tI
CR
tQ
tI
)(
*
)('
)´(
Dette samles til en differentialligning
CR
tI
tI
*
)(
)´(
Denne ligning har den generelle løsning
t
RC
ektI
*
1
*)(
For t = 0 får vi at
kI )0(
For I får vi
t
RC
eItI
*
1
*)0()(
dvs. I(t) følger en eksponentialfunktion i forbindelse med afladning af en kondensator.
Ud fra det foregående fås umiddelbart at spændingsforskellen over kondensatoren også følger en
eksponentialfunktion, nemlig
t
RC
ekRtU
*
1
**)(
Og kondensatorens ladning følger af ligningen
t
RC
ekRCtQ
*
1
***)(
10
Opladning
Opladning af en kondensator foregår ved en spændingskilde med en konstant spænding.
Spændingen over kondensatoren og dens ladning vokser begge med tiden, men med en
stigningstakt der er aftagende over tiden. Tilsvarende falder strømstyrken og spændingen over
modstanden med tiden, men med en faldhastighed der er aftagende over tiden.
Ligningerne i forbindelse med opladning er de samme som ligningerne i forbindelse med afladning,
dog er der tale om en batterispænding, der gør de første ligninger lidt anderledes. Således er
batterispændingen U
B
lig med summen af de to spændinger over resistoren og kapacitoren:
BKR
UtUtU )()(
Ved hjælp af de samme omskrivninger
som tidligere får vi at
Og
Og heraf
Og ved division med R på begge sider får vi
R
U
tQ
RC
tI
B
)(*
1
)(
Vi differentierer over t på begge sider og får
RC
tI
CR
tQ
tI
)(
*
)('
)´(
Denne ligning har ligesom før løsningen
)(*)( tIRtU
R
C
tQ
tU
K
)(
)(
B
UtQ
C
tIR )(*
1
)(*
11
t
RC
eItI
*
1
*)0()(
dvs. I(t) følger en eksponentialfunktion i forbindelse med opladning af en kondensator.
Ud fra det foregående fås umiddelbart at spændingsforskellen over kondensatoren også følger en
eksponentialfunktion, nemlig
t
RC
RR
eUtU
*
1
*)0()(
Det er naturligt at antage at kapacitoren har ladningen 0 ved opladningens begyndelse. Så er U
K
(0)
= 0 volt, og af formlen i begyndelsen fås
BR
UU )0(
dvs.
t
RC
BR
eUtU
*
1
*)(
Vi får nu spændingen over kapacitoren som
)1(*)(
*
1
*
1
t
RC
B
t
RC
BBRBK
eUeUUUUtU
.
Da spændingen over kapacitoren følger en eksponentielfunktion kan en halveringstid findes, og vi
har
)(*
2
1
=)T(tU
21K
tU
K
De to U
K
- værdier erstattes med deres funktionsværdier ifølge formlen, og vi får
t
RC
K
RC
eUe
*
1
21
1
K
*)0(*
2
1
=)T(t *(0)U
12
U
K
(0) og
*
1
t
RC
e
forkortes væk på begge sider, og vi får
2
1
2
1
*
1
T
RC
e
Vi tager ln på begge sider og får
)
2
1
ln(*
1
2
1
T
RC
Og isolation af T
1/2
giver
ln2*C*R=T
2
1
Hvor R er modstanden i Ohm, C er kapacitansen i F
Energi i en kapacitor
Energien ved en kapacitor fås som
E=1/2Q*U
Denne formel fås på følgende måde hver gang en lille ladning dq løber gennem en ledning udfører
kapacitoren en lille arbejde dA. Vi bruger definitionerne på kapacitans og spænding og får
dA=U*dq og U=q/C
her af fås
UQQCqCdqq
C
dqUdAE
Q
QQ
A
2/1*2/1*/1]*2/1*/1[**
1
*
2
0
2
000
13
Materialer
Forsøg 1:
Multimeter
2 stativer
2 Kobber plader 15x15 og 30x30
2 stål plader 15x15
Papir
Porcelæn glas
ledninger med krokodillenæb
Forsøg 2:
Stativ
ledninger
Lod
Motor med snor
Kondensator på 10 µF
Strømkilde voltmeter
Oplader og aflader
Forsøg 3:
Multimeter
2 kondensator
Ledninger
Strømkilde voltmeter
14
Fremgangsmåde
Før alle forsøgene havde vi bygget nogle plader som skulle forstille vores egne byggede
kondensator. Vi byggede nogle af stål og kobber.
Forsøg 1:
Dette forsøg har fire underforsøg. Det første vi udførte var at hente 2 stativer til at sætte vores
plader på. Vi begyndte med kobberpladerne på 15x15 og fik skrevet nogle målinger og derefter med
pladerne på 30x30, og det var fordi vi først skulle se om der skete nogle ændringer ved udskiftning
af pladeareal. Det andet forsøg var at se om der skete nogle ændringer ved brug af en anden slags
metal så vi brugte kobber 15x15 og stål 15x15. Det tredje forsøg var at undersøge om der skete
noget ved ændring af pladeafstanden. Det sidste del var at måle med nogle materiale mellem
pladerne og uden noget. Vi brugte papir og porcelænsglas som materiale. Under alle forsøg brugte
vi en multimeter til at måle kapacitansen.
Forsøg 2:
I dette forsøg skulle vi se hvor lang en strækning en opladet kondensator kan få et lod til at blive
trukket op af en motor. Vi satte motoren med snor fast på et stativ, vi hang et lod på snoren og
loddets begyndelsesposition var på bordet. Vi havde koblet en strømkilde til motoren og til
opladningen og afladningsmaskinen. Og vi havde en kondensator på 10µF. Først opladede vi
kondensatoren og idet vi afladede den gik motoren i gang og trak loddet op.
Forsøg 3:
Vi satte to kondensatorer i serieforbindelse og satte en strømkilde til med en spænding på 15 volt og
målte spændingsfaldet over hver af de to kondensatorer med et multimeter.
Resultater
Forsøg 1 måling af plade kondensator:
a. Pladeareal
b. Materiale af pladerne
15
c. Pladeafstand
d. Materiale mellem pladerne
a. Pladeareal
Kobber plade
Kobber plade
d= 5cm= 0,05m
A= 15cm x 15cm = 0,15m x 0,15m
C = 0,043µF
Ɛ = luft
d= 5cm= 0,05m
A= 30 cm x 30 cm = 0,3m x 0,3m
C = 0,087µF
Ɛ = luft
d= 10cm= 0,1m
A= 15cm x 15cm = 0,15m x 0,15m
C = 0,037µF
Ɛ = luft
d= 10cm= 0,1m
A= 30cm x 30cm=0,3m x 0,3m
C = 0,074µF
Ɛ = luft
d= 15cm= 0,15m
A= 15cm x 15cm
C = 0,033µF
Ɛ = luft
d= 15cm= 0,15m
A= 30cm x 30cm= 0,3m x 0,3m
C = 0,064µF
Ɛ = luft
b. Materialer af plader
Kobber plade
stål plade
d= 5cm=0,05m
d= 5cm= 0,05m
16
c. Pladeafstand
A= 15cm x 15cm = 0,15m x 0,15m
C = 0,043µF
Ɛ = luft
A= 15cm x 15cm= 0,15m x 0,15m
C = 0,036µF
Ɛ = luft
d= 10cm= 0,1m
A= 15cm x 15cm = 0,15m x 0,15m
C = 0,037µF
Ɛ = luft
d= 10cm=0,1m
A= 15cm x 15cm = 0,15m x 0,15m
C = 0,031µF
Ɛ = luft
d= 15cm=0,15m
A= 15cm x 15cm = 0,15m x 0,15m
C = 0,033µF
Ɛ = luft
d= 15cm=0,15m
A= 15cm x 15cm = 0,15m x 0,15m
C = 0,027µF
Ɛ = luft
Kobber plade
d= 5cm=0,05m
A= 15cm x 15cm = 0,15m x 0,15m
C = 0,043µF
Ɛ = luft
d= 10cm=0,1m
A= 15cm x 15cm = 0,15m x 0,15m
C = 0,037µF
Ɛ = luft
d= 15cm=0,15m
A= 15cm x 15cm = 0,15m x 0,15m
17
d. Materiale mellem pladerne
C = 0,033µF
Ɛ = luft
kobber plade
Kobber plade
d= 1cm = 0.01m
A= 15cm x 15cm = 0,15m x 0,15m
C = 0,061µF
Ɛ = luft
d= 1cm = 0.01m
A= 15cm x 15cm = 0,15m x 0,15m
C = 0,067µF
Ɛ = papir
kobber plade
Kobber plade
d= 0,5cm = 0.005m
A= 15cm x 15cm = 0,15m x 0,15m
d= 0,5cm = 0.005m
A= 15cm x 15cm = 0,15m x 0,15m
18
Forsøg 2 energi i en kondensator:
a. Det udførte arbejde af en kapacitor
Variable
Resultater
Massen( m) af loddet
10,2 g
g
9,82 m/s^2
∆s
36cm=0,36m
Først vil jeg finde det arbejde som kondensatoren udfører idet den aflades. Der gælder
Resultanterne i boksen indsættes i formlen
b. Det udførte energi af en kapacitor
Her vil jeg finde den energi som kondensatoren indeholder, for at sammenligne det udførte arbejde
med den energi der er tilsted.
Variabel
Resultat
C
10 µF
U
15 v
C = 0,071µF
Ɛ = luft
C = 0,095µF
Ɛ = porcelæn glas
sgmsFA ***
JmsmkgA 036,036,0*2^/82,9*0102,0
19
Forsøg 3 serieforbindelse af kondensator:
Da de to kondensatorer har samme kapacitans, nemlig 10 µF, venter vi at spændingsfaldet over de
to kondensatorer er det samme og dette viste sig at være tilfældet i det vi målte spændingsfaldet til
7,63 v og 7,42 v og spændingen var på 15 v dvs.
vvUUU 05,1542,763,7
21
Fejlkilder
Der er stor usikkerhed forbundet med måling af kapacitans. Endvidere var det ikke sikkert at vores
plader var parallelle og lige store. Derfor kunne vi ikke vente at vores resultater stemte helt overens
med teorien, men faktisk gik det bedre end ventede.
Måleusikkerheder
Der er ikke så meget måleusikkerhed, fordi vores resultater kom ud som cifre på et multimeter, dvs.
det var ikke muligt at tage fejl ved aflæsning. Den eneste mulighed for målefejl var hvis der var
noget galt med multimeteren.
Diskussion
Formålet med denne øvelse var at måle kapacitansen for en kondensator (kapacitor) i forbindelse
med ændringer i pladeareal, plademateriale, pladeafstand og materiale mellem pladerne. Derefter
målte vi en kondensators energi i forbindelse med opladning og afladning, og vi målte
spændingsfaldet over kondensatorerne ved serieforbindelse af to kondensatorer. Vi nåede det hele
og vi fik tilfredsstillende resultater.
Pladeareal: 0.15m x 0.15m kapacitans 0.043µF
Pladeareal: 0.3m x 0.3m kapacitans 0.087µF
Ifølge teorien er kapacitansen proportional med pladearealet. Vi firedoblede arealet og fik kun en
fordobling af kapacitansen, dvs. vores resultat er ikke i særlig god overensstemmelse med teorien.
Det er muligt at vores plader ikke stod helt parallelt i begge forsøg og at pladernes areal ikke er helt
nøjagtigt bestemt samt at pladeafstanden var lidt forskellig i de to forsøg.
JvFUCUQE 125.1)15(*10*10*2/1**2/1**2/1
262
20
Plademateriale af kobber: 0.15m x 0.15m kapacitans 0.043µF
Plademateriale stål: 0.15m x 0.15m kapacitans 0.036µF
Da kobber er en bedre leder end stål ventede vi at kobber gav en større kapacitans end stål og det
gjorde det også. Vores resultat stemmer godt overens med teorien.
Pladeafstand 0,05m: 0.15m x 0.15m kapacitans 0.043µF
Pladeafstand 0.1m: 0.15m x 0.15m kapacitans 0.037µF
Vi ventede uf fra teorien at kapacitansen er omvendt proportional med afstanden mellem pladerne,
dvs. en fordobling af afstanden skulle give en halvering af kapacitansen. I vores forsøg bevirkede en
fordobling af afstanden at kapacitansen faldt med en faktor på 0.86, dvs. resultatet var i den rigtige
retning men med en ændring der var for lille.
Materiale (papir) mellem Pladerne: kapacitans 0.067µF, afstand mellem pladerne 0.01m
Uden Materiale mellem Pladerne: kapacitans 0.061µF, afstand mellem pladerne 0.01m
Materiale (porcelæn glas) mellem Pladerne: kapacitans 0.095µF, afstand mellem pladerne 0.005m
Uden Materiale mellem Pladerne: kapacitans 0.071µF, afstand mellem pladerne 0.005m
Vi ventede at papir mellem pladerne forøger kapacitansen med en faktor på ca. 2, og at glas forøger
kapacitansen med en faktor på mellem 2 og 16. Som det ses, var begge ændringer i den rigtige
retning, men meget mindre end forventet. Dette går igen næsten overalt: vi får en forandring i
kapacitansen der er i den rigtige retning, men er alt for lille.
Resultaterne stemte overens med det ventede. Vi forventede at spændingsfaldet over to
serieforbundne kondensatorer med samme kapacitans er identisk. Og det stemte bortset fra en lille
afvigelse på 0,05 v. Vi undersøgte hvor stor en del af den energi der var til rådighed efter opladning
af en kondensator, der faktisk blev brugt til at hæve loddet op, og vi fandt at kun 3,2 % blev brugt.
Dvs. resten gik tabt, så det vi kan konkludere er at der går mere tabt end vi bruger.
0,036 J / 1,125J = 0,032*100 = 3,2 %
21
Konklusion
Formålet med denne øvelse var at måle kapacitansen for en kondensator (kapacitor) i forbindelse
med ændringer i pladeareal, plademateriale, pladeafstand og materiale mellem pladerne. Endvidere
målte vi en kondensators energi i forbindelse med opladning og afladning, og vi målte
spændingsfaldet over kondensatorerne ved serieforbindelse af to kondensatorer. Der var en
systematisk afvigelse fra det forventede i næsten alle vores forsøg, nemlig at vi fik en forskel i den
rigtige retning, der bare var for lille. Vi kender ikke årsagerne. Vores resultater var rimelige set i
lyset af at kapacitans er upålideligt at arbejde med.
Litteratur
Fysik bog, Grundlæggende fysik, Erik Øhlenschlæger
Udleveret ark om kondensatorer kapitel 3