Fysik A
Thomas og Rene
3.a
HTX
Side 1 af 12
HTX 3. år
HTX 3. år
Fysik A
Thomas og Rene
3.a
HTX
Side 2 af 12
Forord
Denne rapport omhandler kondensatoren. Vi udarbejder forsøg, og holder resultaterne fra disse op
mod teoretiske værdier. Vi udvikler beregningsmetoder til at bestemme kapaciteten ud fra
forsøgsdata, og tabelværdier.
Indhold
Forord ................................................................................................................................................... 2
Indhold ................................................................................................................................................. 2
Teori ..................................................................................................................................................... 3
Kondensatoren generelt .................................................................................................................... 3
Op- og afladning af kondensatoren .................................................................................................. 3
Halveringstid .................................................................................................................................... 4
Permitivitet ....................................................................................................................................... 5
Feltstyrke mellem pladerne på en kondensator ................................................................................ 5
Kraften mellem pladerne i en kondensator ...................................................................................... 5
Energiindholdet i en kondensator .................................................................................................... 6
Måleopstilling ...................................................................................................................................... 7
Hjemmelavet kondensator ................................................................................................................ 7
Fremgangsmåde ................................................................................................................................... 7
Data ...................................................................................................................................................... 7
Tekniske data fra opstillingen .......................................................................................................... 7
Data fra forsøgene ............................................................................................................................ 8
Udregninger ......................................................................................................................................... 9
Forsøgsserie A.................................................................................................................................. 9
Regneeksempel ............................................................................................................................ 9
Resultater – forsøg 1, 2 og 3 ........................................................................................................ 9
Forsøg B ........................................................................................................................................... 9
Forsøg C ......................................................................................................................................... 10
Forsøg D ......................................................................................................................................... 10
Regneøvelse ................................................................................................................................... 11
Grafer ................................................................................................................................................. 11
Afvigelser ........................................................................................................................................... 12
Fejlkilder ............................................................................................................................................ 12
Konklusion ......................................................................................................................................... 12
Fysik A
Thomas og Rene
3.a
HTX
Side 3 af 12
Teori
Kondensatoren generelt
En kondensator kan være opbygget på to måder. Den kan enten være opbyget som en rulle, hvor der
er to ruller metalfolie og to ruller isolerende materiale. Den kan også være opbygget som to
metalplader som enten holdes adskilt i en opstilling, eller med en isolator. I denne øvelse har vi
benyttet os af den sidstnævnte type, men de virker på samme måde.
Når der sættes spænding over en kondensator gennem en modstand vil kondensatoren oplades med
en kapacitet, C. Denne kapacitet har enheden Farad, F, eller coulomb over volt, C/V.
Kapaciteten for en kondensator er bestemt af den ladning der kan oplades i den og den spænding
der sættes over den;
C
Q
U
Det er dog ikke altid lige nemt lige nemt at sige hvor stor en ladning der er opladet i en
kondensator, så udtrykket omskrives.
U
V E d
Q d
A
E
Q
A
I første omgang omskrives spændingen. Denne er lig med ændringen i det elektriske potentiale. Det
elektriske potentiale er også lig med størrelsen på det elektriske felt omkring kondensatoren ganget
med afstanden mellem kondensatorpladerne. Dette kan endeligt omskrives til ladningen ophobet i
kondensatoren ganget afstanden mellem pladerne divideret arealet af pladerne ganget permitiviteten
for isolatoren. Skrives dette sammen med den oprindelige formel for kapacitet fås følgende udtryk;
C
A
d
Op- og afladning af kondensatoren
Når der sluttes en strøm over en kondensator vil den ikke blive opladet med ét, men der vil gå et
lille stykke tid fra den er nul til den er helt opladet. Dette skyldes at opladningen følger ohms lov
som siger at strømstyrken til opladningen ikke kan overstige spændingen delt med modstanden.
For at få et udtryk for opladningen af en kondensator kan det være nødvendigt at finde et udtryk for
spændingen over kondensatoren som funktion af tiden.
Til at starte med kigges der på hele systemet. Her er spændingen fra spændingskilden lig summen af
spændingen over modstanden og spændingen over kondensatoren.
U U
R
U
c
Spændingen over modstanden kan omskrives vha. ohms lov og
spændingen over kondensatoren omskrives i forhold til definitionen
af kapacitet lig ladning over spænding.
U R I
Q
C
Spændingen I kredsløbet er konstant og der kan derfor divideres med tiden på hver side af
lighedstegnet og samtidigt kan udtrykket sættes lig nul.
dU
dt
R
dI
dt
1
C
dQ
dt
0
R
I
U
R
U
C
U
Fysik A
Thomas og Rene
3.a
HTX
Side 4 af 12
Ladning pr. tid er det samme som strømstyrke, og der omskrives.
0 R
dI
dt
1
C
I
Dette omskrives i forhold til dI/dt, og der indføres en RC tidskonstant, som er lig produktet af
modstanden og kapaciteten
dI
dt
1
RC
I
1
I
R C
Ved en videre omskrivning kan et udtryk for strømstyrke som funktion af tiden udledes.
dI
dt
1
RC
I
1
I
I t( ) I e
t
Ved en yderligere omskrivning findes et nyt udtryk for strømstyrken som funktion af tiden.
I t( )
U
R
e
t
Dette udtryk kan indsættes i udtrykket for spændningen i systemet.
U
c
t( ) U U
R
t( )
Heri omskrives U i forhold til R og I, og udtrykket for stræmstyrke sættes ind.
U
c
t( ) U R I t( ) U R
U
R
e
t
U U e
t
Dette giver anledning til det endelige udtryk for spændingen som funktion af tiden, hvilket sammen
med den konstante kapacitet giver et udtryk for opladningen.
U
c
t( ) U 1 e
t
Når kondensatoren skal aflades er situationen den samme, næsten. Udtrykket for spændningen over
kondensatoren ved afladning udledes på stort set samme måde, og ser således ud:
U
c
t( ) U e
t
Halveringstid
Efter at have fundet et udtryk for spændingen som funktion af tiden under op- og afladning, kan
man finde et udtryk for halveringstiden. Halveringstiden er den samme for både op- og afladning.
Halveringsspændingen er den tid det tager kondensatoren for at opnå halvdelen af den maximale
spænding. Halveringstiden er en nyttig størrelse idet den karakteriserer kurven for en
ekspotentialfunktion - ligesom udtrykket for op- og afladningstiden. Et udtryk for halveringstiden
kan findes ved at indsætte T
½
i udtrykket for spændingenover kondensatorenved opladning, og
derefter udlede T
½
.
U
c
T
½
U
2
U 1 e
T
½
1
2
e
T
½
T
½
ln 2( )
Afsluttende erstattes τ med R og C således at et færdigt udtryk for halveringstiden kan findes.
ln 2( )
T
½
Fysik A
Thomas og Rene
3.a
HTX
Side 5 af 12
T
½
R C ln 2( )
I vores udregninger brugte vi en udledning af udtrykket for halveringstiden til at bestemme
kapaciteten for kondansatoren ud fra modstand i systemet og en målt T
½
;
C
T
½
R ln 2( )
Permitivitet
Under afsnittet kondensatorer generelt nævnes et udtryk permitivitet. Dette er et udtryk der
karakteriserer den elektriske feltstyrke i et ikke ledende stof. Permitiviteten for et stof findes ud fra
permitiviteten for vakuum ganget med en faktor for stoffet. Dette giver at;
0
r
Den relative Permitivitet er en enhedsløs tabelværdi. Permitiviteten for vacuum er kendetegnet ved:
0
17 10
12
C
2
N m
2
I vores udregninger bruges også et udtryk for den relative Permitivitet.
0
17 10
12
C
2
N m
2
r
0
Feltstyrke mellem pladerne på en kondensator
Den elektriske feltstyrke mellem pladerne på en kondensator, kan findes ud fra en omskrivning af
udtrykket for sammenhængen mellem kapacitet, spænding og ladning. Derudover kan spænding
omskrives til afstanden mellem pladerne ganget med feltstyrken.
C
A
a
U E a
Disse to udtryk kan indsættes i sammenhængen mellem ladning, spænding og kapacitet og udledes
således:
Q C U
A E
A
a
U
Dette kan igen omskrives til et udtryk for feltsyrken
E
Q
A
Feltstyrken mellem pladerne er altså lig ladningen på pladerne divideret med permitiviteten for
dielektrikummet ganget med arealet af pladerne der peger mod hinanden.
Kraften mellem pladerne i en kondensator
Mellem pladerne i en kondensator virker en kraft. Denne kraft opstår idet at pladerne er ladet med
forskelligt fortegn og derfor tiltrækker hinanden. Denne tiltrækningskraft kan beskrives ved at man
kigger på en punktladning dQ og den del af det elektriske felt der virker på den - produktet af disse
Fysik A
Thomas og Rene
3.a
HTX
Side 6 af 12
er så kraften på punktladningen. Derefter omskrives der, og det foregående udtryk for det elektriske
felt benyttes.
dF E dQ
Q
A
dQ
1
A
Q dQ
Den sidste ligning er dermed lig med en lille del af kraften som virker mellem pladerne. Idet
permitiviteten og arealet af pladen er konstante kan der integreres mellem 0 og hele ladningen i
kondensatoren for at få størrelsen på hele den kraft der virker mellem pladerne.
F
0
Q
Q
1
A
Q
d
1
2
1
A
Q
2
1
2
Q E
Efter omskrivning af integralet får man til sidst et udtryk for kraften som funktion af permitiviteten,
arealet af pladerene som peger mod hinanden og feltstyrken.
F
1
2
A E
2
Energiindholdet i en kondensator
Energiindholdet i en kondensator kan tænkes ved at den kraft som påvirker pladerne kan trække
pladerne sammen. På den måde vil energiindhildet i kondensatoren altså være lig med det arbejde
kraften vil udføre for at bevæge pladerne den afstand der er mellem dem. Dette gælder idet både
feltstyrken og ladningen i kondensatoren er konstante under sammenførslen.
A
0
a
sF
d
1
2
Q E a
1
2
Q U
1
2
C U
2
På denne måde findes energiindholdet altså som funktion af kapacteten af kondensatoren samt
spændingen over kondensatoren.
E
energiindhold
1
2
C U
2
Tænker man i mere praktiske retninger kan man også forestille sig andre metoder at måle
energiindholdet i en kondensator på.
Tænker man sig et kredsløb med en ladet kondensator og et kaloriemeter vil det være muligt at måle
den energi som ligger i kondensatoren med kalorimeteret. Når at kredsen sluttes vil den ophobede
energi nemlig aflades og gå til varme i kaloriemetret, hvilket kan måles med denne.
En anden metode til måling af energiindholdet kunne være at sætte en kondensator til en motor.
Denne motor skulle være monteret til et lod som hænger frit. Når energien i kondensatoren går til
motoren vil motoren kunne dreje rund, og loddet vil hæves. Det arbejde motoren udfører, vil være
det samme som energiindholdet i kondensatoren.
Fysik A
Thomas og Rene
3.a
HTX
Side 7 af 12
Alufolie
Papir m. lim
Foliestrimme
l
Måleopstilling
Til alle vores forsøg brugte vi den samme opstilling. Opstillingen bestod af følgende dele:
- En tonegenerator med en firkantspænding som output.
- Et oscilloskop med en funktion til at fryse billedet af op- og afladningen.
- En modstand på 100 kΩ.
- En modstand på 2.2 kΩ.
- En hjemmelavet pladekondensator
- Diverse dielektrika, herunder: papir, PE-plastik og vand.
- Diverse ledninger og krokodillenæb til sammenslutning af opstillingen.
Hjemmelavet kondensator
Den hjemmelavede pladekondensator
blev fremstillet af to stykker A4 papir,
pålimet alufolie.
Alufolien blev klippet til, og glattet ud,
således at det fyldte hele arket. På
begge plader til kondensatoren blev
pålimet en ekstra strimmel alufolie
som blev benyttet til at forbinde
kondensatoren til opstillingen.
Fremgangsmåde
Fremgangsmåden var den samme ved hvert af vores forsøg. Efter at alle ledninger var sluttet, kunne
vi lægge forskellige dielektrika imellem pladerne og derefter aflæse en halveringstid på
oscilloskopet. Halveringstiden er den tid det tager, at lade kondensatoren op til en halv så stor
spænding, som den spændningskilden leverer. Halveringstiden kunne nemt findes vha. indlægslinjer
i oscilloskopet.
Data
Herunder fremgår måledata fra forsøgende.
Tekniske data fra opstillingen
Tykkelsen på et stykke A4 papir: 0,1 mm.
Arealet af et stykke A4 papir: 623.7 cm
2
.
Tykkelsen af polyethen-plastik (PE): 0,016 mm.
Relativ permitivitet for papir: 2
Relativ permitivitet for PE: 2.35
Fysik A
Thomas og Rene
3.a
HTX
Side 8 af 12
Relativ permitivitet for vand: 80
Data fra forsøgene
Forsøgsnummer
T
½
[μs]
U [V]
R
samlet
[kΩ]
Forsøg 1 - 1 ark papir
295
6
100,6
Forsøg 2 - 2 ark papir
235
6
100,6
Forsøg 3 - 3 ark papir
180
6
100,6
Forsøg 4 - PE plast
190
6
100,6
Forsøg 5 - Papir og PE
160
6
100,6
Forsøg 6 - Vand, papir og PE
212
6
2,8
Fysik A
Thomas og Rene
3.a
HTX
Side 9 af 12
Udregninger
Forsøgsserie A
Regneeksempel
Resultater – forsøg 1, 2 og 3
Forsøg
Praksis [nF]
Teoretisk [nF]
Forsøg 1 – 1 stk. papir
4.216
11.045
Forsøg 2 – 2 stk. papir
3.355
5.522
Forsøg 3 – 3 stk. papir
2.566
3.682
Forsøg B
Regnes på samme måde som forsøgsserie A, den eneste forskel er at der bruges plastik i stedet for
papir som isolator.
Halveringstiden for
opladningen:
Da oscilloskopet også har en kapacitet. Denne skal vi trække fra vores fundne kapacitet, da:
Formel for parallelkoblede
kondensatorer:
Kapacitet praksis:
Kapacitet teoretisk:
Halveringstiden
for opladningen:
Kapacitet praksis:
Kapacitet teoretisk:
T
½.1
295s
C C
1
C
2
C
1p
T
½.1
R
1
ln 2( )
15pF
C
1p
4.216nF
C
1t
A
A4
papir
d
A4
C
1t
11.045nF
T
½.4
190s
C
4p
T
½.4
R
1
ln 2( )
15pF
C
4p
2.71nF
C
4t
A
A4
PE
d
PE
C
4t
81.11nF
Fysik A
Thomas og Rene
3.a
HTX
Side 10 af 12
Forsøg C
Forsøg D
Halveringstiden
for opladningen:
Kapacitet praksis:
Ligning for kapacitet:
Gennemsnitlig perimitivitet:
Den relative permitivitet
for kombinationen:
Halveringstiden
for opladningen
Kapacitet praksis:
Ligning for kapacitet:
Gennemsnitlig perimitivitet:
Den relative perimitivitet
for kombinationen:
T
½.5
160s
C
5
T
½.5
R
1
ln 2( )
15pF
C
5
2.28nF
C
5
A
A4
tør
d
A4
d
PE
tør
C
5
d
A4
d
PE
A
A4
tør
4.24
pF
m
r.tør
tør
0
r.tør
0.479
T
½.6
212s
C
6
T
½.6
R
2
ln 2( )
15pF
C
6
109.218nF
C
6
A
A4
våd
d
A4
d
PE
våd
C
6
d
A4
d
PE
A
A4
våd
203.13
pF
m
r.våd
våd
0
r.våd
22.942
Fysik A
Thomas og Rene
3.a
HTX
Side 11 af 12
Regneøvelse
Grafer
Som det fremgår af den teoretiske kurve, burde den praktiske kurve have dannet en eksponentiel
udvikling. Det kan konstateres at den praktiske kurve, ikke på nogen måde, ligner en eksponentiel
udvikling, den minder mere om en ret linje, selv efter en regression. Den teoretiske kurve, burde
også falde mere stejl i starten, og flade mere ud til sidst, end den gør. Dette skyldes at vi ikke har
lavet nok støttepunkter. Vi kan derfor konkludere at der ikke er en sammenhæng imellem teorien og
praksis (selvom der nu nok er alligevel). Teorien siger at kapaciteten er omvendt proportional med
afstanden imellem pladerne.
Kapacitet som funktion af afstand ml. pladerne
0,000
5,000
10,000
15,000
20,000
0 0,1 0,2 0,3 0,4
Afstand [mm]
Kapacitet [nF]
Praksis
Teoretisk
Eksponentiel.
(Teoretisk)
Eksponentiel.
(Praksis)
Permitivitet for papir:
Afstand mellem pladerne:
Spænding over pladerne:
a) Feltstyrke mellem pladerne
Feltstyrken:
b) Kraften mellem pladerne
Kraften:
papir
0.018
nF
m
d
A4
0.1mm
U
rø
100V
E
rø
U
rø
d
A4
E
rø
1 10
6
N
C
F
rø
1
2
papir
A
A4
E
rø
2
F
rø
0.552 N
Fysik A
Thomas og Rene
3.a
HTX
Side 12 af 12
Afvigelser
Fejlkilder
Der er to primære fejlkilder. Den ene er randeffekter. Dette er et udtryk for det der sker i kanterne af
kondensatoren, hvor felterne afbøjes i stedet for at løbe direkte imellem pladerne. Disse har vi ikke
medtaget i vores beregninger, og er derfor en potentiel årsag til at vi har fået store afvigelser, idet
pladerne ikke er uendeligt store, som teorien tager udgangspunkt i. Den anden store fejlkilde, er
den, at afstanden imellem pladerne sikkert ikke har været ens overalt. Vi havde ellers lagt en ca. 3
kg tung bærbar computer oven på pladerne, for at formindske forskellen. Men da der var mindre
luftlommer under aluminiumet, og da der var folder, og andre ujævnheder, var det stadig ikke nok
til at lave en ens overflade overalt på pladerne. Der er også andre, mindre fejlkilder, end disse to.
Blandt andet kan vi have aflæst galt på oscilloskopet, da billedet flimrede pga. baggrundsstøj.
Denne baggrundsstøj (50hz) kunne vi mindske, hvis vi forkortede ledningerne, da disse virker som
antenner, som opfanger baggrundsstøjen.
Konklusion
Vi vurderer ikke denne øvelse til at underbygge teorien. Dette ville være grotesk at sige eftersom, vi
har en gennemsnitlig afvigelse på ca. 60 %. Men alligevel synes vi, at vi har eftervist teorien så godt
som vi kunne, med de midler vi havde. Det skal i den forbindelse nævnes, at der heller ikke har
været forventning om at lave et forsøg som ville kunne underbygge teorien. Alt i alt, har forsøgene
og det efterfølgende arbejde givet en hvis indsigt i teorien bag en kondensator, som ville gøre os i
stand til, at lave et forsøg, som ville kunne underbygge teorien, med de rette midler.
Forsøg 1 - 1 stk. papir:
Forsøg 2 - 2 stk. papir:
Forsøg 3 - 3 stk. papir:
Forsøg 4 - PE:
Forsøg 5 - perimitivitet tør:
Forsøg 6 - perimitivitet våd:
Gennemsnitlig afvigelse:
Afs1
C
1p
C
1t
C
1t
Afs1 61.832 %
Afs
2
C
2p
C
2t
C
2t
Afs
2
39.245 %
Afs
3
C
3p
C
3t
C
3t
Afs
3
30.292 %
Afs
4
C
4p
C
4t
C
4t
Afs
4
96.659 %
Afs
5
r.tør
r.pap
r.pap
Afs
5
76.058 %
Afs
5
r.våd
r.vand
r.vand
Afs
5
71.323 %
Afs
Afs
1
Afs
2
Afs
3
Afs
4
Afs
5
5
Afs 59.87 %