Kraftpåvirkning af køretøjer i bevægelse
Større skriftlig opgave, januar 2009
HF 2. år
Side 1 af 31
Summary
This is a study on the forces that have an impact on a vehicle in motion. We will look into the
tractive force, the gravity, the normal force, the air resistance and Newton’s three laws of
motions. Though an experiment we will analyze the friction between tire and track surface. We
will find the coefficient of friction and debate how that has an influence on the vehicles driving
abilities in rotating movements as well as in translationary movements. The difference between
static and dynamical friction will be clarified. We will though another experiment look deeper into
the centripetal force and how it, when driving in curves, is equal the frictional resistance. Why the
resultant force is the same as the frictional force when you drive though a curve will be explained.
Finally we will conclude that friction is the critical parameter for how fast you can accelerate or
how hard you can jam on the brakes. It is also the parameter for how fast you can drive through a
curve with a certain radius.
Kraftpåvirkning af køretøjer i bevægelse
Større skriftlig opgave, januar 2009
Side 2 af 31
Indholdsfortegnelse
Indledning 05
1. Kraftpåvirkning af køretøjer 05
1.1 Translatorisk bevægelse 06
A. Trækkraft 06
B. Tyngdekraft og normalkraft 07
C. Friktion og luftmodstand 08
2. Friktionskraft 09
2.1 Betydning af underlag og vægt 09
2.2 Forskel på statisk og dynamisk gnidningskoefficient 10
2.3 Forsøg 11
A. Materialeliste 11
B. Fremgangsmåde 11
C. Måleresultater 12
D. Karakteristik af statisk og dynamisk friktion på tør asfalt 13
E. Beregninger 14
F. Tabelværdier og sammenligning med målte resultater 15
G. Flere karakteristikker 15
H. Fejlkilder 16
Kraftpåvirkning af køretøjer i bevægelse
Større skriftlig opgave, januar 2009
Side 3 af 31
I. Konklusion 16
2.4 Opbremsning, gnidningskraftens negative arbejde 17
2.5 Rullemodstand 19
3. Kraftpåvirkning af køretøj ved kørsel i kurver 20
3.1 Jævn cirkelbevægelse 20
A. Hastighed/fart 20
B. Vinkelhastighed 21
C. Centripetalacceleration 21
D. Centripetalkraft 22
E. Den oplevede centrifugalkraft 22
3.2 Forsøg 23
A. Materialeliste 23
B. Fremgangsmåde 22
C. Måleresultater 24
D. Karakteristik af centripetalkraft som funktion af omløbstiden 25
E. Fejlkilde 26
F. Konklusion 26
4. Kørsel i kurver 27
4.1 Med bil 28
Kraftpåvirkning af køretøjer i bevægelse
Større skriftlig opgave, januar 2009
Side 4 af 31
4.2 Med tohjulede køretøjer 28
4.3 Kørebanens mest hensigtsmæssige udformning i kurver 29
5. Konklusion 30
Litteraturliste 31
Bilag
Kraftpåvirkning af køretøjer i bevægelse
Større skriftlig opgave, januar 2009
Side 5 af 31
Indledning
Når vi kører bil eller motorcykel er vi fuldt ud opmærksom på, at der en færdselslov vi skal
overholde, i hvert tilfælde når Jens betjent er i nærheden. Men vi tænker nok ikke så meget over
de naturlove, hvis kræfter vi er underlagt under kørslen. Bryder vi disse love, er der kontant
afregning på stedet og vi kan ikke charme os ud af det.
Betegnelsen kraft dækker over et eller andet, som påvirker en genstand så den ændre form,
retning eller fart. Fra vores hverdag kender vi godt kræfterne, uanset om vi kører i bil, på
motorcykel, knallert, cykel eller bare er på gå ben. Transporten går lidt lettere når der er vindstille
eller ligefrem er medvind og vi kan spare på vores egne kræfter og på brændstoffet. Vi skal se
nærmere på, hvorfor det er sådan. Når vi cykler, kan vi rigtig mærke forskel på de forskellige typer
asfalt. Cykler vi på en meget ru asfalt, hvor der er tromlet småsten ned i, skal vi træde hårdere i
pedalerne og ”rugbrøds-motoren” skal arbejde lidt hårdere, for at frembringe kraft nok til at vi
kommer fremad, end vi skal på den mere jævne, men også glattere asfalt. Om vinteren kan vi rigtig
komme på glat is på gader og stræder. Vi ser, bilerne sætter hjulene rundt når de skal opstarte og
når de skal bremse bloker hjulene, hvis de ikke har en ABS der slår til. Som fodgænger skøjter vi
rundt på fortovet og jordens tyngdekraft trækker i vores bagdels masse, så vi ender på halen med
benene strittende i vejret.
Vi vil i det efterfølgende, bl.a. via gnidningsforsøg og forsøg med jævn cirkelbevægelse, undersøge
hvad det er for kræfter vi har at gøre med og hvordan de påvirker os i trafikken.
1. Kraftpåvirkning af køretøjer
Når et køretøj er i bevægelse er det påvirket af fire typer kræfter: trækkraften, tyngdekraften,
normalkraften og friktionskræfterne. Dette gør sig gældende både ved den translatoriske (ligeud
rettede), så vel som den roterende bevægelse. I den roterende bevægelse kommer der endnu en
kraft i spil, centripetalkraften.
I afsnit 2 vil vi analysere gnidningskraften og rullemodstanden, der begge er friktionskræfter. I
afsnit 3 og 4 vil kraftpåvirkningen i den roterende bevægelse blive nærmere gennemgået.
Kraftpåvirkning af køretøjer i bevægelse
Større skriftlig opgave, januar 2009
Side 6 af 31
1.1 Translatorisk bevægelse
Som beskrevet ovenfor, har vi i et ligeud kørende køretøj en påvirkning fra motorens trækkraft,
jordens tyngde- og normalkraft, samt friktionskræfterne som luftmodstanden er en af. Vi vil nu, en
efter en se på dem.
A. Trækkraft
Tilbage i 1600-tallet grundlagde den engelske videnskabsmand, Isaac Newton, den moderne fysik.
Han formulerede tre love og i det efterfølgende vil vi især arbejde med de to første. I den første
lov siger han:
Et legeme forbliver i hvile eller jævn retlinjet bevægelse, så længe det ikke påvirkes af en
resulterende kraft.
(1)
Ifølge Newton vil en bil, cykel eller du og jeg forblive på stedet hvis vi eller bilen ikke bliver påvirket
af en kraft. I motorkøretøjer får vi den trækkraft fra motoren og på cyklen er det vores krop, der
via musklerne sender kraften ned i pedalerne og får hjulene til at rulle. Newton siger så videre, at
når vi har fået tingene sat i bevægelse, vil de fortsætte med at bevæge sig lige frem med en
konstant fart til uendelig tid, med mindre de bliver påvirket af en kraft, der enten øger farten,
bremser farten eller skubber tingene over i en anden kurs. Det bringer os frem til Newtons anden
lov:
Påvirkes et legeme af en resulterende kraft, vil ændringen i legemets bevægelsesmængde pr.
sekund være lig med den resulterende kraft.
(1)
Det der siges er, at hvis vi træder hårdere på speederen eller i pedalerne tilfører vi mere kraft til
vores fremad drift og resultatet bliver at vi accelererer. Vi kommer hurtigere frem for hver
sekund.
(2)
Formlen for Newtons 2. lov er som følger:
1. Mekanisk fysik og varmelære, side 53
2. Acceleration = hastighed ændring/tids intervallet a =
og hastighed v =
hvor s er lig strækningen.
Kraftpåvirkning af køretøjer i bevægelse
Større skriftlig opgave, januar 2009
Side 7 af 31
F
res
= m ∙ a eller a =
F
res
står for den resulterende kraft; m er massen i kg. og a er accelerationen. Den resulterende
kraft er resultatet efter vi har lagt alle de kræfter sammen der påvirker køretøjet. Acceleration er
ikke altid fremad rettet. Ved nedbremsning har vi en negativ acceleration.
B. Tyngdekraft og normalkraft
Når vi, som tidligere nævnt falder på halen, er vi ikke i tvivl om tyngdekraftens træk i os. Og når vi
rammer jorden kan vi med al tydelighed mærke normalkraftens modsatrettede virkning, som en
smerte op i bagdelen, av. Tyngdekraften trækker os ind imod jordens centrum og skyldes jordens
massetiltrækning. Hvor meget den trækker afhænger af legemets masse, da tyngdekraften kan
udtrykkes ved:
F
tyn
= m ∙ g
hvor g er tyngdeaccelerationen, en konstant, der i Danmark er lig med 9,82 N/Kg.
(1)
Normalkraften F
n
er en opadgående kraft, der forhindre os i at synke igennem jordoverfladen eller
en anden flade. Det er den modstand et bord yder imod den bog, der ligger oven på bordet. Uden
bordet ville bogen falde til jorden, som da ville bremse bogen vha. normalkraften. Normalkraften
står vinkelret på fladen og har samme størrelse som F
tyn
. Newton beskriver virkningen i sin tredje
lov:
Påvirker et legeme A et andet legeme B med en kraft, vil B påvirke A med en lige så stor og
modsat rettet kraft.
(2)
Denne lov bliver også omtalt som aktion og reaktion, hvor aktion = reaktion. Uden den naturlov
ville billard være kedelig. Når en billardkugle støder ind i en anden kugle (aktion), reager (reaktion)
den anden kugle med en lige så stor kraft på den første kugle, men med kraften rettet modsat.
1. Kraft måles i Newton, 1N er den kraft der skal til for at få 1 Kg. til at accelererer med 1 m/s
2
.
SI-enheden: Kg ∙
m/s
2
= N.
2. Mekanisk fysik og varmelære, side 53.
Kraftpåvirkning af køretøjer i bevægelse
Større skriftlig opgave, januar 2009
Side 8 af 31
Det er derfor den ramte kugle, med held, triller i hul og den første forhåbentlig triller over i en god
placering til næste stød. Ved kollision, mellem to køretøjer eller et køretøj og et stationært
legeme, er konsekvensen af Newtons tredje lov meget mere fatal.
C. Friktion og luftmodstand
Men det er ikke kun den negative acceleration der kan bremse vores fremfærd, det kan friktion
også. Det er friktion der får en billardkugle til at standse lige inden den går i hul, hvis vi ikke har
tilført en kraft stor nok til at overvinde luftmodstanden og modstanden fra klædet hele vejen. Det
er også friktionen der sænker farten på bilen når vi køre i frigear. Friktionskraften er modsatrettet
den trækkraft vi tilfører køretøjet. Friktion finder vi ikke kun mellem hjul og vejbane, men også i
lejer og andre bevægelige dele i køretøjet. Friktion kan opdeles i luftmodstand, rullemodstand og
gnidningsmodstand.
Da luften ikke er noget tom ingenting, men består af partikler af flere forskellige stoffer, så yder
disse partikler en modstand imod al bevægelse. Den modstand afhænger af, hvor stort et areal det
legeme der bevæges har og med, hvor stor hastighed det bevæges. Endvidere har legemets form
også stor betydning. Et dråbeformet legeme yder en meget mindre modstand end en jævn plade.
Man ser det tydeligt ved enkeltstarterne i Tour De France, hvor rytterne monteret disse
dråbeformede hjelme på hovedet og rytterne ligger hen over deres specialdesignede cykler, for at
yde mindst mulig luftmodstand. Luftmodstanden på et legeme/køretøj i bevægelse er givet ved:
F
l
= 0,5 ∙ ∙ c
w
∙ A ∙ (v + v
0
)
2
At hastigheden v er i anden potens viser, hvor stor betydning hastigheden har for luftmodstanden.
v
0
er vindhastigheden. Tallet er positiv ved modvind og negativ i medvind. V er køretøjets
hastighed. A er køretøjets frontareal, ρ er luften densitet, der for atmosfærisk luft ved 0° C er på
1,276 Kg./m
3
.
(1)
c
w
er en luftmodstandskoefficient der er forskellig alt efter legemets form, en slags
form-faktor.
1. Kemi 112 Førstehjælp til formler s.77
Kraftpåvirkning af køretøjer i bevægelse
Større skriftlig opgave, januar 2009
Side 9 af 31
Den førnævnte dråbeform har en c
w
= 0,05 og en VW Golf II har ca. en c
w
= 0,35 og en cyklist på en
”bedstemor”-cykel har en c
w
på ca. 1.
(1)
En motors skal yde en ekstra effekt for at kompenserer for luftmodstanden. Det er givet ved:
P
l
= F
l
∙ v
(2)
Dvs.:
P
l
= 0,5 ∙ ∙ c
w
∙ A ∙ (v + v
0
)
2
∙ v
Vi kan se ud fra ligningen se, at hastighed og formfaktor har en stor betydning og at det, især med
tanke på miljøet og brændstofpriserne, er en fordel at bilproducenterne producerer køretøjer med
en c
w
gående imod nul.
2. Friktionkraft
Gnidning eller friktion der den modstand, der opstår når to legemer gnider/glider imod hinanden.
Fryser vi vores hænder kan vi gnide håndfladerne imod hinanden og vi kan mærke de yder en
modstand imod hinanden. Den friktion bevirker, at der dannes varme. På et køretøj er der friktion
imellem alle de bevægelige dele f.eks. i hjullejer og nav, samt imellem dækket og vejbanen eller
det underlag køretøjet bevæger sig hen over.
2.1Betydning af underlag og vægt
Friktionen afhænger af fladernes overflade og den kraft, hvormed de presses sammen. To hårde,
glatte overflader er der ikke så stor friktion imellem, som mellem to ru eller bløde flader. Ru,
ujævne flader griber ind i hinandens ujævnheder, det er det man udnytter i køretøjets vejgreb på
vejen. Dækkenes forholdsvise bløde gummi griber som et tandhjul ned i ujævnhederne i asfalten,
og giver derved et ”afsæt” for hjulenes fremdrift. Derved danner gnidningskraften sammen med
træk/motorkraften et kraftpar, der samarbejder om at drive køretøjet frem.
1. Trafikfysik s.37.
1. P = M ∙ ω; M er motorens moment, ω er vinkelhastighed; r er radius/momentarm; M = F ∙ r og dvs. P = F ∙ r ∙ ω og
V = r ∙ ω derfor: P
l
= F
l
∙ v
Kraftpåvirkning af køretøjer i bevægelse
Større skriftlig opgave, januar 2009
Side 10 af 31
Ligger der vand, sne eller is på vejen bliver disse ujævnheder fyldt ud og slidbanen på dækket kan
ikke få fat, men glider hen over, hvorved hjulene snurrer rundt og køretøjet bliver ude af stand til
at bremse, styrer eller accelererer. Gnidningskraften går i modsat retning af bevægelsen F
træk
.
Den vægt eller kraft, hvormed legemerne bliver presset sammen med har stor indflydelse på
friktionen. Jo hånde du
presser håndfladerne
sammen, jo sværere bliver
det at gnide dem imod
hinanden og jo mere
varme får du ud af denne
gnidning. Vi har i 1.1.b set
på tyngde- og
normalkraftens
indvirkning på køretøjer,
hvor både F
tyn
og F
n
er
produktet af massen gange tyngdeaccelerationen, der i Danmark er på 9,82 N.
Dvs.: F = m ∙ g
Friktionskraften finder man ved, at gange F
n
med en konstant, der er en enhedsløs størrelse og
som man kun kan finde ad eksperimentel vej. Konstanten har som regel benævnelsen μ (My).
Derved bliver formlen for friktionskraften:
F
g
= μ ∙ F
n
2.2 Forskel på statisk og dynamisk gnidningskoefficient
Gnidningskoefficienter benævnes, som nævnt ovenfor som μ, der er et tal fra 0 til 1. Når μ = 0 er
der tale om en spejlglat overflade, hvorpå der ingen modstand er, og 1 er som deraf følger det
modsatte, absolut gnidningsmodstand. Når et legeme skal sættes i bevægelse skal der bruges
nogle flere kræfter, end der derefter skal bruges til at holde bevægelsen ved lige. Det er det, der
Fn
F
t
træk
F
F
g
Kraftpåvirkning af køretøjer i bevægelse
Større skriftlig opgave, januar 2009
Side 11 af 31
gør forskellen mellem den først omtalte statiske gnidningskoefficient og den dynamiske koefficient
vi har ved den jævne vedvarende bevægelse.
2.3 Forsøg
Der er i forbindelse med denne afhandling lavet et forsøg, for ad eksperimentel vej at finde
friktionskoefficienten imellem et stykke gummi og forskellige underlag. Da friktionskraften og
trækkraften er modsatrettede, sætter vi dem lig hinanden i dette forsøg. Og vi ved at F
tyn
= F
n
. For
at beregne trækkraft/friktionskraften vha. en fjedervægt siger vi m ∙ g, på samme måde som
F
n
= m ∙ g.
A. Materialeliste
Gummi 43 x 54 cm.
Fjedervægt fra 0- 10 Kg. med 50 g. intervaller.
Spand og målebæger.
B. Fremgangsmåde
Gummi og spand blev vejet, derefter blev fjedervægteren sat fast i gummiet og spanden placeret
oven på gummiet. Derefter blev der trukket i fjedervægten indtil gummiet begyndte at glide hen
over underlaget. Der blev noteret, hvor kraftigt et træk, der skulle til at sætte gummiet i
bevægelse, den statiske gnidningsmodstand. Derefter blev der målt hvor stort et træk, der skulle
til at holde et jævnt glid hen over underlaget, den dynamiske gnidningsmodstand. Efter dette blev
massen forøget ved at hælde et Kg. vand i spanden. Forsøget blev gentaget, hvor både den
statiske og dynamiske gnidningsmodstand blev aflæst og noteret ned. På samme måde blev
forsøget udført med forskellige masser og på forskellige underlag.
Kraftpåvirkning af køretøjer i bevægelse
Større skriftlig opgave, januar 2009
Side 12 af 31
C. Måleresultater
Vægt i Kg.
0,800
1,800
2,800
F
normal
7,856 N
17,676 N
27,496 N
Statisk
Dynamisk
Statisk
Dynamisk
Statisk
dynamisk
Tør asfalt F
g
i Kg.
1,75
1,35
2,1
1,75
2,75
2,25
F
g
i N (m ∙ g)
17,185
13,257
20,622
17,185
27,005
22,095
Is F
g
i Kg.
3,75
0,5
5,0
1,05
5,3
1,5
F
g
i N (m ∙ g)
36,825
4,91
49,1
10,311
52,046
14,73
Betonfliser F
g
i Kg.
1,6
1,5
1,9
1,75
2,8
2,6
F
g
i N (m ∙ g)
15,712
14,73
18,658
17,185
27,496
25,532
Grus F
g
i Kg.
1,0
0,75
1,75
1,5
F
g
i N (m ∙ g)
9,82
7,365
17.185
14,73
Græs F
g
i Kg.
2,0
1,75
2,8
2,5
3,75
3,0
F
g
i N (m ∙ g)
19,64
17,185
27,496
24,55
36,825
29,46
Vægt i Kg.
3,800
4,800
5,800
F
normal
37,316 N
47,136 N
56,956 N
Statisk
Dynamisk
Statisk
Dynamisk
Statisk
dynamisk
Tør asfalt F
g
i Kg.
3600
2500
4000
3000
4500
3250
F
g
i N (m ∙ g)
35,352
24,55
39,28
29,46
44,19
31,915
Is F
g
i Kg.
7,0
1,85
F
g
i N (m ∙ g)
68,74
18,167
Betonfliser F
g
i Kg.
3,75
3,5
F
g
i N (m ∙ g)
39,28
39,28
Grus F
g
i Kg.
2,75
2,0
F
g
i N (m ∙ g)
27,005
19,64
Græs F
g
i Kg.
4,75
4,25
F
g
i N (m ∙ g)
46,645
41,735
Kraftpåvirkning af køretøjer i bevægelse
Større skriftlig opgave, januar 2009
Side 13 af 31
D. Karakteristik af statisk og dynamisk friktion på tør asfalt
Der er en tydelig forskel på de kræfter, der skal bruget på at sætte gummiet i gang og på de
kræfter, der skal bruges på at vedligeholde bevægelsens fremdrift. Beregningerne vha. lineær
regression har en meget dårlig forklaringsgrad når man sættet tendenslinien til at gå gennem (0,0).
Derfor foretages der følgende beregning for at finde μ.
13,257
17,185
22,095
24,55
29,46
31,915
17,185
20,622
27,005
35,352
39,28
44,19
y = 0,6432x
R² = 0,4316
y = 0,8675x
R² = 0,6798
0
10
20
30
40
50
60
0 50 60
Gnidningskraft
Normalkraft
Statisk (rød) og dynamisk (blå) friktion med
gummi på tør asfalt
Serie1
Serie2
Lineær (Serie1)
Lineær (Serie2)
Kraftpåvirkning af køretøjer i bevægelse
Større skriftlig opgave, januar 2009
Side 14 af 31
E. Beregninger
=
g
n
Dynamisk friktion: Statisk friktion:
13,257/7,856 = 1,6875 = μ 17,185/7,856 = 2,1875 = μ
17,185/17,676 = 0,9722 = μ 20,622/17,676 = 1,1667 = μ
22,095/27,496 = 0,8036 = μ 27,005/27,496 = 0,9821 = μ
24,55/37,316 = 0,6579 = μ 35,352/37,316 = 0,9474 = μ
29,46/47,136 = 0,625 = μ 39,28/47,136 = 0,8333 = μ
31,915/56,956 = 0,5603 = μ 44,19/56,956 = 0,7759 = μ
middel
=
∑μ =5,3065/6 = 0,8844 = μ
d
∑μ = 6,8928/6 = 1,1488 = μ
s
Dvs. vi får en statisk friktionskoefficient for tør asfalt = 1,1 (dvs. over maksimal μ)
Og en dynamisk friktionskoefficient for tør asfalt = 0,9
Kraftpåvirkning af køretøjer i bevægelse
Større skriftlig opgave, januar 2009
Side 15 af 31
F. Tabelværdier og sammenligning med målte resultater
Til højre ses den gennemsnitlige dynamiske friktionskoefficient af de forsøg der er lavet. De er
fundet ved samme beregningsmetode som ovenfor.
Til sammenligning er her tabelværdierne ifølge bogen Køreteknik:
G. Flere karakteristikker
13,257
17,185
22,095
29,46
14,73
17,185
25,532
39,28
y = 0,7172x
R² = 0,2962
y = 0,8869x
R² = 0,8092
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
0 50
Gnidningskraft
Normalkraft
Sammenligning af dynamisk friktion på tør
asfalt (blå) og tøre betonfliser (rød)
Serie1
Serie2
Lineær (Serie1)
Lineær (Serie2)
Tør vej
Fugtig vej
Beton (ru)
0,9
0,7
Asfalt (ru)
0,7
0,5
Asfalt
(jævn)
0,6
0,4
Brosten
0,5
0,2
Grus
0,4
0,4
Sne
0,3
0,1
Is
0,2
0,1
Forsøgs resultater
Dynamisk friktion
Tør asfalt (ru)
0,9 (statisk 1,1)
Is
0,6
Betonfliser
1,2
Grus
0,6
Græs
1,4
Kraftpåvirkning af køretøjer i bevægelse
Større skriftlig opgave, januar 2009
Side 16 af 31
H. Fejlkilder
Upræcis afmåling af masse og upræcis aflæsning af fjedervægt. Underlagenes beskaffenhed var
heller ikke optimal. I den forbindelse skal det bemærkes, at den udendørs skøjtebane, hvorpå der
er lavet forsøg, ikke var mere glat end man uden besvær kunne gå derpå med almindeligt fortøj,
uden at glide. Derfor er koefficienten så høj for is. De statiske måleresultater for is, er tårnhøje da
gummiet nærmest sugede eller frøs fast til isen og var derfor næsten umulig at trække fri. Når
gummiet endeligt slap var det med et kæmpe ryk.
Med hensyn til græsset, så er plænerne ikke så jævne på denne tid af året, derfor hang gummiet
lidt fast i græssets ujævnheder. Havde det været et hjul med en del tyngde på, der rullede hen
over græsset, ville koefficienten se helt anderledes ud. For hjulet ville have svært ved at gribe fat i
det saftige, glatte græs.
I. konklusion
På tros af fejlkilder og genvordigheder med underlaget, så kan vi drage den konklusion, at der er
en væsentlig forskel på de statiske og dynamiske gnidningskræfter. Og vi kan på grafen se, at jo
mere vægt der kommer på, jo større bliver forskellen mellem den statiske og dynamiske friktion.
4,91
10,311
14,73
18,167
13,257
17,185
22,095
24,55
y = 0,5168x
R² = 0,9632
y = 0,7657x
R² = -0,087
0
5
10
15
20
25
30
35
0
Gnidningskraft
Normalkraft
Sammenligning af dynamisk friktion på Is
(blå) og tør asfaft (rød)
Serie1
Serie2
Lineær (Serie1)
Lineær (Serie2)
Kraftpåvirkning af køretøjer i bevægelse
Større skriftlig opgave, januar 2009
Side 17 af 31
Det kan også konkluderes, at der er bedre friktion på asfalt frem for is, og beton har den bedste
friktion, - bedre end asfalt.
2.4 Opbremsning, gnidningskraftens negative arbejde
For at opnå den optimale opbremsning skal man udnytte friktionen mellem dæk og vejbane, samt
mellem bremsebelægninger og bremsetrommel/skive, fuldt ud. Under den optimale opbremsning
skal hjulene vedblive med at rulle. Blokeres hjulene vil dækkenes slidbane bare glide hen over
vejbanens ujævnheder uden at gribe ned i dem med en betydelig længere bremselængde til følge.
Hvor hurtigt man kan bringe et køretøj til standsning afhænger af, hvor meget friktion, der er til
rådighed og køretøjets masse.
F
g
= m ∙ g ∙ μ
Hvis vores bil vejer 900 kg. og vejbanen har en friktionkoeffecient på 0,9 μ så kan der bremses
med en kraft på 900 ∙ 9,82 ∙ 0,9 = 7954,2 N. Bremser vi hårdere bruger vi flere kræfter end der kan
overføres mellem dæk og vejbane med en udskridning til følge.
Opbremsning af et køretøj, er en følge af gnidningskræfternes negative arbejde. Når et køretøj
bevæger sig ud af vejen ”oplagres” den en kinetisk energi.
E
kin
= ½ ∙ m ∙ v
2
Det er derfor køretøjet bliver ved med at bevæge sig, indtil E
kin
er opbrugt, efter trækkraften er
frakoblet. Den oplagrede energi skal også opbruges ved opbremsning. Det arbejde
(1)
A bremserne
udfører ved en opbremsning er produktet af gnidningskraften F
g
og bremsestrækningen s.
A = F
g
∙ s
1. ”Arbejde er en proces, hvorved der overføres energi.” Mekanik 1 for gymnasiet s 71
Kraftpåvirkning af køretøjer i bevægelse
Større skriftlig opgave, januar 2009
Side 18 af 31
Som følge af energisætningen, energi kan hverken opstå eller forsvinde
(1)
eller energi er altid
bevaret
(2)
må gnidningskræfternes arbejde være lig med tabet at E
kin
.
F
g
∙ s = ½ ∙ m ∙ v
2
Den energi bliver dog ikke tabt, men omsat til varmeenergi i bremserne.
Derfor er ligningen A = ½ ∙ m ∙ v
2
også et udtryk for hvor meget varmeenergi, der bliver dannet i
bremserne under opbremsning.
Hvis vi lader bilen før på de 900 kg. fortage en katastrofeopbremsning på en motorvej med
gnidningskoefficienten på 0,9 μ og bilen bremser ned fra 130 km/t til 0 km/t, hvor lang en
bremsestrækning skal bilen med en optimal bremsning så bruge?
=
½
,
/
2
,
= ,
Tankevækkende, og dertil skal så lægges reaktionstiden/længde. Reaktionstiden varierer fra
chauffør til chauffør. Gennemsnitter er på et sek. Det giver en samlet standselængde på 36,11 +
73,77 = 109,88 m. Vigtigheden af at holde en god afstand er tydelig.
Man skal være opmærksom på, at både når man accelererer, styrer og bremser bruger man
friktionskræfter og, at antallet af friktionskræfter på et givent vejstykke er konstant. Så når man
bremser og styrer eller styrer og accelerer på samme tid, så bliver friktionskraften delt imellem de
to funktioner. Det forklarer også, hvorfor det er sværere at bremse op i en kurve. Er der et godt
vejgreb kan det godt lade sig gøre at styre og bremse på samme tid, men det er ikke tilrådeligt at
vænne sig til det, for i kritiske situationer på glat vej kan det have katastrofale følger. Det er derfor
altid bedre at undvige og så bremse bagefter eller at lave det man på køretekniske anlæg kalder
for ”brems-undvige-bremsmanøvre”.
1. Jørgensen, Nielsen, Norbøll; Mekanik 1 for gymnasiet s.77
2. Jensen, Werner; Trafikfysik s 15
Kraftpåvirkning af køretøjer i bevægelse
Større skriftlig opgave, januar 2009
Side 19 af 31
2.5 Rullemodstand
Rullemodstand opstår fordi et legeme aldrig er absolut uelastisk. Hvis vi laver det
tankeeksperiment og tænker os et uelastisk hjul der ruller, uden nogen form for glidning, hen over
et tilsvarende uelastisk vandret plan. Så vil hjulet og planen kun røre hinanden i en ret linie lodret
under hjulets centrum/aksel. Dermed vil F
tyn
og F
n
ligge oven i hinanden og der er derfor ingen
rullemodstand.
Sådan forholder virkelighed sig imidlertid sig ikke. Vi skal til
stadighed tilføre hjulet en kraft for at forhindre det i at standse.
Dette skyldes, at hjulet og underlaget er elastisk og bliver en
smule deform under rulningen. Køretøjets dæk bliver en smule
flad ved kontakten med asfalten og derfor bliver
berøringsområdet en flade og ikke en ret linie. Dette bevirker at
F
n
, der er underlagets reaktion, bliver rykket frem foran F
tyn
aktion, der stadig trækker i hjulets tyngdepunk/centrum. Denne forskydning gør at F
n
presser opad
imod hjulets drejning og derved bremser bevægelsen. Den afstand, der er imellem F
tyn
og F
n
kaldes
ofte for rulningsfriktionskoefficient f og den måles som regel i mm. Rullemodstanden er givet ved:
F
rul
= F
n
∙ f
Dvs.:
F
rul
= F
n
∙ f ≤ F
motor
for at bevægelsen kan køre.
(1)
Rullemodstanden for et gummihjul på en asfaltvej er på ca. 0,015
mm.
(2)
1. Mekanisk fysik og varmelære s.81.
2. Trafikfysik s. 15
f
Kraftpåvirkning af køretøjer i bevægelse
Større skriftlig opgave, januar 2009
Side 20 af 31
3. Kraftpåvirkning af køretøj ved kørsel i kurver
3.1 Jævn cirkelbevægelse
Jævn cirkelbevægelse er når et legeme bevæger sig i lige store buer indenfor lige lange
tidsintervaller.
(1)
Dvs. at legemets fart er konstant og hvormed acceleration rundt i banen må være
lig med nul. Men det er ikke ensbetydende med at der ikke er nogen acceleration og at
hastigheden er konstant.
A. Hastighed/fart
Fart angiver, hvor langt et legeme flytter sig pr. tidsenhed f. eks. m/s eller Km/t.
(2)
Hastigheden
derimod angiver både legemets fart og retning. Derfor er hastigheden en vektor
, hvorimod fart
er et rent tal/skalar. Et legeme, der bevæger sig rundt i en cirkelbue forbliver jo ikke på samme
punkt, men flytter sig i løbet at tiden fra punkt A og B. Derfor er hastigheden ikke konstant,
retningen ændre sig. Når omkredsen af en cirkel er lig med 2 ∙ π ∙r og vi kalder omgangstiden T så
må hastigheden være givet ved:
=
danner tangent til cirklen og står derfor vinkelret på radius r. Da acceleration er ændring af
hastighed pr. tidsenhed må der være en acceleration som følge af den ændrede hastighed rundt i
banen.
1. Nielsen, Arly og Jørgen; Mekanisk fysik og varmelære s. 43
2. http://da.wikipedia.org/wiki/Fart
Kraftpåvirkning af køretøjer i bevægelse
Større skriftlig opgave, januar 2009
Side 21 af 31
B. Vinkelhastighed
Når et legeme bevæger sig i en bane rundt om et centrum,
afgrænser bevægelsen fra A til B, med hjælp af radius r en
vinkel. Den drejede vinkel pr. tidsenhed er det der forstås med
vinkelhastighed, der bliver betegnet med ω. I en jævn
cirkelbevægelse er vinkelhastigheden konstant.
=
C. Centripetalacceleration
Da: =
må accelerationen have samme retning som Δv.
Hvis vi kalder hastigheden i punkt A for V
0
og i punkt B for V
1
og laver lidt vektorregning derpå, finder vi:
V
1
– V
0
= ΔV som står vinkelret på den lige strækning S
mellem A og B (
) i punktet B. Vektorerne V
1
, V
0
og ΔV
danner tilsammen en ligebenet trekant. Punkterne A, B og
cirklens centrum C danner tillige en ligebenet trekant. Idet
|V
1
| = |V
0
| kaldes de Herefter kun for V. Da de to
fremkomne trekanter er ensvinklede kan vi opstille følgende ligning:
|
|
=
=
Den krumme banestrækning mellem A og B (
) må være lig med V ∙ Δt så må
Δt =
Den numeriske værdi af centripetalaccelerationen må derfor blive:
(1)
c
=
=
2
1. Mekanisk fysik og varmelære s. 43
f
f
Kraftpåvirkning af køretøjer i bevægelse
Større skriftlig opgave, januar 2009
Side 22 af 31
Hvis man lader tidsintervallerne gå imod nul, vil V
1
gå imod V
0
i punktet A og dermed kommer ΔV
og dermed også centripetalaccelerationen til at stå vinkelret på V
0
med retning imod centrum.
Centripetalaccelerationen kan også findes på følgende måde:
Vi ved at
= r ∙ ω og ω = 2 ∙ π ∙ f.
f =
=
2
=
2
=
2
2
=
r ∙ ω
2
= r ∙ (2 ∙ π ∙ f)2 = r ∙ 4 ∙ π
2
∙ f
2
= r ∙ 4 ∙ π
2
∙
2
=
2
2
D. Centripetalkraft
Den resulterende kraft i en jævn cirkelbevægelse er altid rettet mod cirklens centrum.
(1)
Den resulterende kraft i en jævn cirkelbevægelse kaldes centripetalkraften. I stangtennis er den
visualiseret i form af snoren, der holder bolden rundt i sin bane.
E. Den oplevede centrifugalkraft
Når man i en luftgynge i tivoli ikke oplever, at man bliver trukket ind imod midten, men derimod
føler man bliver slynget udad, så skyldes det inertiens lov om, at et legeme helst vil bevæge sig ud
ad en ret linie med konstant fart. Wiren (centripetalkraften) i gyngen trækker gyngen ind mod
centrum og holder den på plads rundt i sin bane, men knækker wiren, så vil vi fortsætte lige ud af
tangenten til cirkelbevægelsen. Det som vi i daglig tale kalder centrifugalkraft er en fiktiv eller
oplevet kraft, resultatet af legemets træghed i den roterende bevægelse. På samme måde som
normalkraften er lige så stor men modsat rettet af tyngdekraften, så er centrifugal-”kraften” lige
så stor, men modsat rettet af centripetalkraften.
1. Orbit
BA
s.29
Kraftpåvirkning af køretøjer i bevægelse
Større skriftlig opgave, januar 2009
Side 23 af 31
3.2 Forsøg
Dette forsøg går på at finde størrelsen af den kraft, centripetalkraft, der holder et legeme fast i en
jævn cirkelbevægelse og derved eftervise formlen:
=
2
2
Da: ∑F = m ∙ a og =
2
2
A. Materialeliste
Centrifugalapparat med motor, vogn (0,200 Kg.) og indbygge målebånd.
Lodder med forskellig vægt (0,10032 Kg.; 0,10046 Kg.; 0,05039 Kg.)
dynamometer
stopur
B. Fremgangsmåde
Lodderne blev vejet. Centrifugalapparatet blev tilsluttet strømmen og den tynde snor, der var
fastmonteret på vognen, blev via en trisse sat fast i dynamometret. Motoren blev tændt og der
blev lavet nogle kontrolforsøg af omløbshastigheden. Der blev forsøgt at lave tre forsøgsrækker:
en hvor radius og omløbstid var konstant og hvor massen var variablen. En hvor radius og masse
er konstant og en hvor omløbstid og masser er konstant.
Disse tre forsøgsrækker måtte desværre opgives. Pga. defekt i apparaturet (se under fejlkilder)
kunne radius ikke ændres og omløbstiden ikke holdes konstant. I et nærmest desperat forsøg på at
få lidt brugbart, blev massen holdt konstant, hvorefter der blev forsøgt at regulere på farten, indtil
dynamometret stod på henholdsvis 1 N, 2 N. 3 N blev også forsøgt – uden held, derfor blev 2,7 N
valgt. Ved hvert af disse intervaller blev omløbstiden og radius målt (forsøg 7, 8, 9).
Kraftpåvirkning af køretøjer i bevægelse
Større skriftlig opgave, januar 2009
Side 24 af 31
C. Måleresultater
Her blev der forsøgt at holde omløbstiden og radius konstant og variere massen. – det sidste lykkedes.
Forsøg nr.
Masse
(i Kg.)
Omløbstid (20
omdrejninger)
Omløbstid
(pr.
omgang)
Radius
(i meter)
F
c
(målt)
F
c
(teori)
% -
afvigelse
1
0,2
28 s
1,4 s
0,161
0,6 N
0,649 N
7,55 %
2
0,30032
40,6 s
2,03 s
0,159
0,5 N
0,457 N
9,41 %
3
0,3507
33,3 s
1,67 s
0,167
0,9 N
0,829 N
8,56 %
4
0,4512
32,5 s
1,63 s
0,168
1 N
1,126 N
11,19 %
Her var omløbstiden konstant for en kort bemærkning. Det var meningen at lave endnu et eller
to forsøg med omløbstiden på 0,75 s, men det blev ikke nået inden apparaturet igen drillede
med at ændre farten.
Forsøg nr.
Masse
(i Kg.)
Omløbstid (20
omdrejninger)
Omløbstid
(pr.
omgang)
Radius
(i meter)
F
c
(målt)
F
c
(teori)
% -
afvigelse
5
0,2
14,9 s
0,75 s
0,216
3,4 N
3,032 N
12,14 %
6
0,30032
14,9 s
0,75 s
0,240
4,6 N
5,059 N
9,07 %
Kraftpåvirkning af køretøjer i bevægelse
Større skriftlig opgave, januar 2009
Side 25 af 31
Massen blev holdt konstant og F
c
besluttet på forhånd og omløbstiden blev reguleret indtil F
c
blev ramt.
Forsøg nr.
Masse
(i Kg.)
Omløbstid (20
omdrejninger)
Omløbstid
(pr.
omgang)
Radius
(i meter)
F
c
(målt)
F
c
(teori)
% -
afvigelse
7
0,3507
31 s
1,55 s
0,178
1 N
1,026
2,53 %
8
0,3507
23,5 s
1,18 s
0,198
2 N
1,986 N
0,70 %
9
0,3507
21,1 s
1,06 s
0,212
2,7 N
2,637 N
2,39 %
D. Karakteristik af centripetalkraft som funktion af omløbstiden
1
2
2,7
1,026
1,986
2,637
y = -4,258ln(x) + 2,827
R² = 0,9785
y = -4,044ln(x) + 2,7634
R² = 0,981
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
1,4
1,6
1,8
2
2,2
2,4
2,6
2,8
3
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8
Centripetalkraft
Omløbstiden
Sammenligning af Fc målt (blå) og Fc teori
(rød) hvor omløbstiden og radius er variabel
Serie1
Serie2
Log. (Serie1)
Log. (Serie2)
Kraftpåvirkning af køretøjer i bevægelse
Større skriftlig opgave, januar 2009
Side 26 af 31
På ovenstående karakteristik er 4. forsøg medtaget, da dette forsøg var lavet med samme masse,
men 4. har dog en noget større %-vis afvigelse.
E. Fejlkilder
Desværre blev der ved kontrolforsøgene konstateret, at apparatet ikke fungerede optimal. Det
kunne ikke holde en konstant fart. I de fire første forsøg er motoren indstillet til samme hastighed,
men som det ses svingede omløbshastigheden betydeligt og målingerne er ikke meget vær. Der
blev også forsøgt at ændre radius, men det var heller ikke muligt, da knuden på snøren fra
dynamometret til vogn løb ind i trissen og stoppede vognen. Hvis dette skulle undgås skulle
dynamometret være helt i toppositionen. Forsøg på at gøre snøren kortere mislykkedes også.
Endvidere var apparatets lodrette akse skæv. Der var ikke en ret vinkel mellem dynamometer og
vogn.
F. Konklusion
Der kan ud fra forsøg 4, 7, 8 og 9 konkluderet, at jo hurtigere omløbstiden er, jo kraftigere bliver
trækket i snoren, ergo må der være en kraft der trækker, dvs. centripetalkraften i skikkelse af
2,7
2
1
0,9
2,637
1,986
1,026
0,829
y = -3,864ln(x) + 2,7762
R² = 0,9735
y = -3,83ln(x) + 2,7358
R² = 0,9846
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
1,4
1,6
1,8
2
2,2
2,4
2,6
2,8
3
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8
Centripetalkraften
Omløbstiden
Sammenligning af Fc målt (blå) og Fc teori
(rød)
Serie1
Serie2
Log.
(Serie1)
Log.
(Serie2)
Kraftpåvirkning af køretøjer i bevægelse
Større skriftlig opgave, januar 2009
Side 27 af 31
”snorekraften”. Ud fra de øvrige forsøg, især nr. 5 og 6, kan vi konkluderer, at massen også har en
betydning, jo mere vægt jo større træk.
4. Kørsel i kurver
Ved kørsel i kurver påvirkes køretøjet af tre
kræfter: tyngdekraften, normalkraften og
gnidningskraften, der i dette tilfælde er lig
med den resulterende kraft, der igen svare
til centripetalkraften. Derfor er det særligt
vigtigt i vejsving at have en god friktion
mellem dæk og vejbane. Det er dette vejgreb, der skal holde køretøjet fast rundt i svinget. Vi har
tidlige set på inertiens lov og hvis den skal modvirkes, skal friktionen være stærkere end den. Vi
har tidligere set, at de kræfter der kan overføres mellem dæk og vejbane er givet ved:
F
g
= μ ∙ m ∙ g
Derfor gælder der at:
μ ∙ m ∙ g
2
hvis man vil undgå at køre i grøften. Det vil sige:
μ ∙ g ≥
2
Vi isolerer nu radius, dvs.:
r ≥
2
Hvis et køretøj skal følge en kurve bedst muligt, må hastigheden være afpasset til både
gnidningskraften og kurvens radius. Formlen viser, at gnidningskraften er ligefrem proportional
med hastigheden i anden potens og omvendt proportional med radius. Konsekvensen af denne
ligning vedrørende kørsel i kurver, vil blive diskuteret i afsnit 4.3.
Gnidningskraften F
g
Kraftpåvirkning af køretøjer i bevægelse
Større skriftlig opgave, januar 2009
Side 28 af 31
4.1 Med bil
Ved kørsel i kurver, med bil er det især vigtigt at have gode dæk og god friktion på forhjulene ved
det, at vægten fra bilen bliver presset frem på udvendige hjul. Dvs. i et venstre sving ligger vægten
hovedsagelig på højre forhjul. Lad os tænke os, at der er pletvis glatte veje, hvorved venstre forhjul
mister friktionen mens højre har fuld friktion, så vil bilen (hvis det vel at mærke er en ældre bil
uden ABS osv.) roterer omkring højre forhjul. På glat vej i kurver kan udskridning på forhjulene
skyldes, at hastigheden er for høj eller at hjulene bloker under bremsning. Bremserne på
forhjulene er stærkere end på baghjulene, da de er dimensioneret efter den før omtale
vægtforskydning, som også opstår i forbindelse med opbremsning.
4.2 Med tohjulede køretøjer
Det er karakteristisk for tohjulede køretøjer, at de i kurver hælder ind imod centrum af kurven.
Hvorfor vælter de ikke? Tohjulede køretøjer bliver også påvirket af gnidningskraften og
normalkraften der hvor dæk og vejbane mødes,
men tyngdekraften virker på både køretøj og
fører, dvs. i det samlede tyngdepunkt.
Gnidningskraften trækker ind imod centrum af
kurven og ligger vinkelret på normalkraften.
Tyngdekraften og normalkraften er stadig lige
store, men de er forskudt for hinanden.
Umiddelbart burde køretøjet så vælte, men det gør det ikke fordi føreren automatisk finder den
rigtige vinkel i forhold til vandret. Dvs. vinkelen bliver lig med F
tyn
/F
g
. F
tyn
kan opløses i to
komposanter: i centripetalkraften og i en vektor, der går ned igennem center af køretøjet. Vha.
kræfternes parallelogram kan vi lægge F
g
og F
n
sammen til en F
res,
der går op gennem center af
køretøjet og dermed ophæver den modsatrettede vektor. Dermed får vi at F
g
bliver lig med
centripetalkraften. Da centripetalkraften er ligeså stor som centrifugalkraften, men modsatrettet,
vælter køretøjet ikke, med mindre vinkelen bliver for lille. Centripetalkraften styrer køretøjet
rundt i banen, - styret drejes ikke.
Kraftpåvirkning af køretøjer i bevægelse
Større skriftlig opgave, januar 2009
Side 29 af 31
4.3 Kørebanens mest hensigtsmæssige udformning i kurver
Vi har tidlige udledt formlen: r ≥
2
Debattøren, i det vedlagte bilag fra en debat på Ingeniøren.dk, påstår at man snildt kan køre
igennem en kurve med en radius på 400 m. med 180 Km/t. hvis friktionen er på o,7. Denne
påstand vil vi nu efterprøve:
=
=
, , = 52,4 m/s = 188,7 Km/t.
Vi kan hermed konstatere, at debattøren har ret i, at man kan køre igennem en sådan kurve med
180 Km/t. i godt føre. Men hvad så I det tilfælde hvor det er regnvejr?
=
, , = 142,7 Km/t.
Eller der er islag?
=
, , = 100,9 Km/t.
Det er også hver at huske på andre forhold der kan gøre sig gældende, så som sigtbarheden i dårlig
vejr og muligheden for at kunne orienterer sig ordentligt i kurven under sådanne forhold. Og hvad
så hvis der skal katastrofe opbremses? Vi har tidligere set på at styre og bremser man på samme
tid, deler de to funktioner vejgrebet med en længere bremselængde og forringe styreegenskaber
til følge. Og vi nåede frem til en stanselængde, ved en katastrofe opbremsning fra 130 Km/t. er på
over 109 m.
Ganske vis er der langt fra de 130 Km/t., der er det maksimal lovlige på de danske motorveje, og
op til de 180 Km/t. og ja, man skal køre efter forholdene, men der er altså mange fartgale
motorbøller, hvad med dem? Skal vi bare trække på skulderen når det går galt for dem og sige: ”Så
kan de lære det!”
Nej, så hellere bygge vejene så de yder den maksimale sikkerhed, både for dig, mig, Brian og alle
bøllerne.
Heldigvis tager Vejdirektoratet deres job dybt alvorligt og laver beregninger for, hvordan vejene
skal anlægges så de giver trafikanterne den mest sikker og komfortable rejse på det danske vejnet.
Kraftpåvirkning af køretøjer i bevægelse
Større skriftlig opgave, januar 2009
Side 30 af 31
De sørger bl.a. for at vejene har en sidehældning på mindst 25 ‰ så vandet kan løbe af banen og
derved kan vi forhåbentligt undgå akvaplaning. I kurver ”tippes” kørebanen så den får en hældning
ind mod kurvens inderside, netop for at modvirke centrifugalkraften. Men som de skriver:
Normalt vil kun en del af centrifugalkraften herved blive kompenseret, hvilket betyder at
resten skal optages af sidefriktionen mellem dæk og kørebane.
(1)
5. Konklusion
Vi har nu fået gennemgået kraftpåvirkningerne af køretøjer i bevægelse. Vi har set, at køretøjer
med translatorisk bevægelse bliver påvirket af motorens trækkraft, af tyngde- og normalkraften,
samt friktionskræfternes gnidnings-, rulle- og luftmodstand. Der blev bevist, at gnidningskraften er
proportional med normalkraften (m ∙ g) og at friktionskoefficienter afhænger at underlagets
beskaffenhed. Vi har kunnet konstatere, at gnidningsmodstanden sammen med trækkraften udgør
det kraftpar, der giver os en kontrolleret fremdrift såvel som opbremsning. Der kan også
konkluderes, at rullemodstanden og luftmodstanden arbejder imod der fremad rettede bevægelse
med et øget brændstofforbrug til følge.
I forbindelse med kørsel i kurver, har vi analyseret centripetalkraften og udledt formlen:
∑F
c
= m ∙ v
2
/ r
og derud af har vi se, at den resulterende centripetalkraft er ligefrem proportional med kvadratet
af hastigheden og omvendt proportional med radius. Hvad kan vi så lære af det? Man kan ikke
accelerere hurtigere eller bremse hårdere end der er friktion til. Eller sagt med andre ord, så er det
antallet af μ du har til rådighed, der afgøre hvor stærkt du kan kører sikkert rundt i en kurve med
en given radius. Og det er μ, der afgør hvor lang en bremselængde du har. Kør sikkert.
1. se vedlagte bilag.
Kraftpåvirkning af køretøjer i bevægelse
Større skriftlig opgave, januar 2009
Side 31 af 31
Litteraturliste:
Nielsen, Arly; Nielsen, Jørgen. Mekanisk fysik og varmelære.
Erhvervsskolernes forlag, 1. oplag 2002 (9. udgave)
Jensen, werner. Trafikfysik. Fysikforlaget, 1991 (1. udgave)
Brydensholt, Morten; Gjøe, Tommy; Jessen, Claus; Keller, Ole; Møller, Jan;
Vaaben, Jens. Orbit
BA
. Systime. 1.oplag 2006 (1. udgave)
Pederseb, Lars. Kemi 112 førstehjælp til formler. Nyt Teknisk Forlag.1. 2.
rettede oplag 2007 (1. udgave)
Møller Jørgensen,M.; Nielsen, Fr.; Nørbøll, K. W. Mekanik 1 for gymnasiet. P.
Haase & Søns Forlag. 2. oplag 1973
Christensen, claus; Claussen, Carsten; Felsager, bjørn. Fysikkens spor.
Gyldendal 1. oplag 1990 (1. udgave)
http://da.wikipedia.org/wiki/Fart