3.xy Studieretningsprojektet 2014 - Enigma
Høng Gymnasium & HF 19/12-2014
Side 1 af 23
Abstract
There will be explained the different encryption methods that took place before the Second
World War. The focus will be on the enigma machine.
Shops around the cryptology that took place during the Second World War. Enigma machine
had a significant impact in the field of cryptology. There will be an analysis of the Enigma and
its functions as well as analysis of the Battle of the Atlantic and how it happened. There will be
a discussion about how encryption influenced the outcome of the war.
3.xy Studieretningsprojektet 2014 - Enigma
Høng Gymnasium & HF 19/12-2014
Side 2 af 23
Indholdsfortegnelse
Indholdsfortegnelse
Indholdsfortegnelse ................................................................................................................... 1
Indledning .................................................................................................................................. 3
Kryptologi før Enigma ................................................................................................................. 4
Cæsarsystem .................................................................................................................................................................................... 4
Monoalfabetisk substitution ...................................................................................................................................................... 4
Polyalfabetisk substitution ......................................................................................................... 5
Permutation: .............................................................................................................................. 8
Flere permutationer ved n antal kabler: .................................................................................. 10
Slaget om Atlanten ................................................................................................................... 13
Brydning af Enigma .................................................................................................................. 15
Krigens udfald idet Storbritannien blev knækket ...................................................................... 17
Kryptering i dag ........................................................................................................................ 19
Konklusion ............................................................................................................................... 21
3.xy Studieretningsprojektet 2014 - Enigma
Høng Gymnasium & HF 19/12-2014
Side 3 af 23
Indledning
Kryptologi har altid været eksisterende ligeså vel som sproget. Behovet for hemmelig kom-
munikation mellem to parter har altid været eksisterende, hvor tredjeparten ikke har måtte få
fat i de fortrolige oplysninger. Igennem verdenshistorien er der opfundet utallige metoder, at
kryptere beskeder på. Ligeledes er der folk, som har arbejdet med at dekryptere beskeder.
Efter 1. Verdenskrig ønskede man en måde at kryptere på, som skulle foregå mekanisk, idet
man formodede, at det ville være mere sikkert og enkelt. I forlængelse af dette oprettede de
to tyskere A. Scherbius og R. Ritter i 1918 krypteringsmaskinen Enigma. Enigma er det græ-
og var såmænd det, som var tanken bag Enigma-maskinen. Man mente, at
denne maskine var ubrydelig.
I denne opgave vil der kort og grundigt blive redegjort for de forskellige krypteringsmetoder
før 2. Verdenskrig. Herudover vil der være fokus på krigen Slaget om Atlanten, samt Enigma-
maskinen, idet Enigma var altafgørende i krigen omkring Storbritanniens sejr under 2. Ver-
denskrig, da det udløste, at de fik brudt de tyske koder. Hertil vil jeg samtidig inddrage en ana-
lyse af Storbritanniens tanke, måde og metoder til at knække Enigma på. Med udgangspunkt i
to selvvalgte kilder, vil jeg diskutere betydningen af Storbritanniens dekryptering af Enigma
for krigens forløb.
Slutteligt vil jeg foretage en vurdering af den nutidige kryptering, hvor der med årene i højere
grad er kommet fokus på beskyttelse af personlig data og digital identitet.
3.xy Studieretningsprojektet 2014 - Enigma
Høng Gymnasium & HF 19/12-2014
Side 4 af 23
Kryptologi før Enigma
Cæsarsystem
Et af de tidligste og mest simple krypteringssystemer var det såkaldte Cæsarsystem.
Som fremgår i cæsarsystem, var det Julius Cæsar som fandt på dette kryptosystem og
anvendte metoden til at gøre meddelelser ulæselige, under De Galliske Krige.
Systemet bestod af klartekstalfabet og kryptoalfabet. Dette gik ud på, at man substituerede et
vilkårligt bogstav, tre pladser frem mod venstre i alfabetet, som vist herunder:
Klartekstalfabet:
ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUWVXYZÆØÅ
Kryptoalfabet:
DEFGHIJKLMNOPQRSTUWVXYZÆØÅABC
Vi kan lave et eksempel VIANGRIBERI-
MORGEN” som fås til krypteringen: ”ZLDQJULEHULPRUJHQ”.
Monoalfabetisk substitution
En videreudvikling af Cæsarsystemet er monoalfabetisk substitution.
I forhold til Cæsar systemet, hvor krypteringen foregik ved at lade et bogstav blive forskudt 3
gange til venstre i alfabetet, foregår krypteringen i monoalfabetisk sådan at lade et klartekst-
bogstav svare til et vilkårligt bogstav, som kun benyttes én gang. Et eksempel på en mulig mo-
noalfabetisk substitution er er vist herunder:
Klartekstalfabet:
ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUWVXYZÆØÅ
Kryptoalfabet:
QWERTYUIOPÅASDFGHJKLÆØZXCVBNM
Vi kan igen lave et eksempel på kryptering. Denne gang med henblik på monoalfabetisk:
Klartekst:
VIANRGIBERIMORGEN” som så ZOQDUJOWTJOSFJTD”
Man indså tidligt, at metoden var et svagt krypteringsmetode, idet man benyttede sig af stati-
stik. Man regnede ud, at nogle krypteringsbogstaver ville forekomme hyppigere end andre
bogstaver. Eksempelvis forekom Det vil sige, at det bogstav der fore-
kom hyppigst i en given kryptotekst, svarede å-
kaldte polyalfabetisk ciffer, hvor der blev anvendt mere end ét alfabet, som gjorde det svære-
re at dekryptere koden, hvis man benyttede sig af dekryptering i forhold til statistik af bogsta-
ver. Det lykkedes dog at bryde koderne, da anvendelsen af alfabeter ikke var stort nok, ved
igen at benytte sig af statistik. Dog fandt man ud af, at hvis man benyttede sig af et nyt alfabet
for hvert bogstav, ville koden være ubrydelig men problemet med sådan et system er, at det
3.xy Studieretningsprojektet 2014 - Enigma
Høng Gymnasium & HF 19/12-2014
Side 5 af 23
krævede en masse information, kodebøger mm. Meddelelser blev sendt hver dag, og ville tage
en evighed for at dekryptere, selv med kodebøgerne i hånden.
Af den grund, ledte man efter 1. Verdenskrig, metoder der bestod af mekanisk kryptering.
Polyalfabetisk substitution
Ovenfor skrev jeg, hvorledes det monoalfabetiske kryptosystem var svagt, idet optræden af
bogstaver
Polyalfabetisk system er en udvikling af det monoalfabetiske system og dermed en kraftigere
krypteringsmetode end førhen. I den polyalfabetisk substitutionsmetode udgøre klartekst-
bogstaverne af flere krypteringstekstbogstaver for hver gang de optrædes. Dvs., at første gang
når fx , Den
første der udtænkte dette system var Leon Battisa Alberti i 1567
1
.
Dette krypteringssystem, blev brugt af Blaise de Vigenére og blev kaldt Le Chiffre Indé-
. Som tidligere nævnt er polyalfabetisk en videreudvikling af monoalfabetisk kryp-
tering, hvor der er taget udgangspunkt i ét alfabet, hvor i polyalfabetisk substitution, benyttes
der flere alfabeter. Dvs. systemet benytter flere monoalfabetisk kryptosystemer. Systemet er
opkaldt efter Vigenére Vigenére-tableau, som er vist på næste side:
1
Frandsen, Jesper og Mads Rangvid: Enigma, - Et Dilema. 1. udg. Systime, 2010. (Bog)
3.xy Studieretningsprojektet 2014 - Enigma
Høng Gymnasium & HF 19/12-2014
Side 6 af 23
a
b
c
d
e
f
g
h
i
j
k
l
m
n
o
p
q
r
s
t
u
v
w
x
y
z
æ
ø
å
A
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
M
N
O
P
Q
R
S
T
U
V
W
Z
Y
Z
Æ
Ø
Å
B
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
M
N
O
P
Q
R
S
T
U
V
W
X
Y
Z
Æ
Ø
Å
A
C
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
M
N
O
P
Q
R
S
T
U
V
W
X
Y
Z
Æ
Ø
Å
A
B
D
D
E
F
G
H
I
J
K
L
M
N
O
P
Q
R
S
T
U
V
W
X
Y
Z
Æ
Ø
Å
A
B
C
E
E
F
G
H
I
J
K
L
M
N
O
P
Q
R
S
T
U
V
W
X
Y
Z
Æ
Ø
Å
A
B
C
D
F
F
G
H
I
J
K
L
M
N
O
P
Q
R
S
T
U
V
W
X
Y
Z
Æ
Ø
Å
A
B
C
D
E
G
G
H
I
J
K
L
M
N
O
P
Q
R
S
T
U
V
W
X
Y
Z
Æ
Ø
Å
A
B
C
D
E
F
H
H
C
J
K
L
M
N
O
P
Q
R
S
T
U
V
W
X
Y
Z
Æ
Ø
Å
A
B
C
D
E
F
G
I
I
J
K
L
M
N
O
P
Q
R
S
T
U
V
W
X
Y
Z
Æ
Ø
Å
A
B
C
D
E
F
G
H
J
J
K
L
M
N
O
P
Q
R
S
T
U
V
W
X
Y
Z
Æ
Ø
Å
A
B
C
D
E
F
G
H
I
K
K
L
M
N
O
P
Q
R
S
T
U
V
W
X
Y
Z
Æ
Ø
Å
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
L
L
M
N
O
P
Q
R
S
T
U
V
W
X
Y
Z
Æ
Ø
Å
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
M
M
N
O
P
Q
R
S
T
U
V
W
X
Y
Z
Æ
Ø
Å
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
N
N
O
P
Q
R
S
T
U
V
W
X
Y
Z
Æ
Ø
Å
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
M
O
O
P
Q
R
S
T
U
V
W
X
Y
Z
Æ
Ø
Å
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
M
N
P
P
Q
R
S
T
U
V
W
X
Y
Z
Æ
Ø
Å
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
M
N
O
Q
Q
R
S
T
U
V
W
X
Y
Z
Æ
Ø
Å
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
M
N
O
P
R
R
S
T
U
V
W
X
Y
Z
Æ
Ø
Å
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
M
N
O
P
Q
S
S
T
U
V
W
X
Y
Z
Æ
Ø
Å
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
M
N
O
P
Q
R
T
T
U
V
W
X
Y
Z
Æ
Ø
Å
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
M
N
O
P
Q
R
S
U
U
V
W
X
Y
Z
Æ
Ø
Å
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
M
N
O
P
Q
R
S
T
V
V
W
X
Y
Z
Æ
Ø
Å
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
M
N
O
P
Q
R
S
T
U
W
W
X
Y
Z
Æ
Ø
Å
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
M
N
O
P
Q
R
S
T
U
V
X
X
Y
Z
Æ
Ø
Å
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
M
N
O
P
Q
R
S
T
U
V
W
Y
Y
Z
Æ
Ø
Å
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
M
N
O
P
Q
R
S
T
U
V
W
X
Z
Z
Æ
Ø
Å
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
M
N
O
P
Q
R
S
T
U
V
W
X
Y
Æ
Æ
Ø
Å
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
M
N
O
P
Q
R
S
T
U
V
W
X
Y
Z
Ø
Ø
Å
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
M
N
O
P
Q
R
S
T
U
V
W
X
Y
Z
Æ
Å
Å
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
M
N
O
P
Q
R
S
T
U
V
W
X
Y
Z
Æ
Å
For at kunne benytte sig af systemet, kræves det, at afsender og modtager er i besiddelse af
det på forhånd aftalte nøgleord.
Vi kan lave et eksempel på kryptering af polyalfabetisk substitution.
Vi kan benytte os af nøgleordet, ANALYSE, for at kryptere klarteksten bombe i øst.
Opstillingen af nøgleord og klartekst kan skrives således:
Nøgleord:
A
N
A
L
Y
S
E
A
N
Klartekst:
b
o
m
b
e
i
ø
s
t
r-
det gentager sig.
Til kryptering benytter vi os af Vigenére-tableauet
3.xy Studieretningsprojektet 2014 - Enigma
Høng Gymnasium & HF 19/12-2014
Side 7 af 23
Vi kan starte med at findeA som fremkommer i vores nøgleord ANALYSE. A findes i
kryptoteksten (Jeg henviser til tabellen nedenunder, idet jeg har givet en illustration i Vigené-
re-tableauet). Dernæst finder vi b i klarteksten bombe i øst - og finder bogstavet, som mø-
des med A og b I dette tilfælde får vi kryptobogstavet B.
Igen kan vi prøve , hvor kryptobogstavet bli-
ver Ø (Illustreret i tabellen). Til sidst har vi en kryptotekst, der ser således ud:
Nøgleord: ANALYSEAN
Klartekst: Bombe i øst
Kryptotekst: BØMMÅÆCST
a
b
c
d
e
f
g
h
i
j
k
l
m
n
o
p
q
r
s
t
u
v
w
x
y
z
æ
ø
å
A
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
M
N
O
P
Q
R
S
T
U
V
W
Z
Y
Z
Æ
Ø
Å
B
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
M
N
O
P
Q
R
S
T
U
V
W
X
Y
Z
Æ
Ø
Å
A
C
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
M
N
O
P
Q
R
S
T
U
V
W
X
Y
Z
Æ
Ø
Å
A
B
D
D
E
F
G
H
I
J
K
L
M
N
O
P
Q
R
S
T
U
V
W
X
Y
Z
Æ
Ø
Å
A
B
C
E
E
F
G
H
I
J
K
L
M
N
O
P
Q
R
S
T
U
V
W
X
Y
Z
Æ
Ø
Å
A
B
C
D
F
F
G
H
I
J
K
L
M
N
O
P
Q
R
S
T
U
V
W
X
Y
Z
Æ
Ø
Å
A
B
C
D
E
G
G
H
I
J
K
L
M
N
O
P
Q
R
S
T
U
V
W
X
Y
Z
Æ
Ø
Å
A
B
C
D
E
F
H
H
C
J
K
L
M
N
O
P
Q
R
S
T
U
V
W
X
Y
Z
Æ
Ø
Å
A
B
C
D
E
F
G
I
I
J
K
L
M
N
O
P
Q
R
S
T
U
V
W
X
Y
Z
Æ
Ø
Å
A
B
C
D
E
F
G
H
J
J
K
L
M
N
O
P
Q
R
S
T
U
V
W
X
Y
Z
Æ
Ø
Å
A
B
C
D
E
F
G
H
I
K
K
L
M
N
O
P
Q
R
S
T
U
V
W
X
Y
Z
Æ
Ø
Å
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
L
L
M
N
O
P
Q
R
S
T
U
V
W
X
Y
Z
Æ
Ø
Å
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
M
M
N
O
P
Q
R
S
T
U
V
W
X
Y
Z
Æ
Ø
Å
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
N
N
O
P
Q
R
S
T
U
V
W
X
Y
Z
Æ
Ø
Å
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
M
O
O
P
Q
R
S
T
U
V
W
X
Y
Z
Æ
Ø
Å
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
M
N
P
P
Q
R
S
T
U
V
W
X
Y
Z
Æ
Ø
Å
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
M
N
O
Q
Q
R
S
T
U
V
W
X
Y
Z
Æ
Ø
Å
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
M
N
O
P
R
R
S
T
U
V
W
X
Y
Z
Æ
Ø
Å
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
M
N
O
P
Q
S
S
T
U
V
W
X
Y
Z
Æ
Ø
Å
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
M
N
O
P
Q
R
T
T
U
V
W
X
Y
Z
Æ
Ø
Å
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
M
N
O
P
Q
R
S
U
U
V
W
X
Y
Z
Æ
Ø
Å
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
M
N
O
P
Q
R
S
T
V
V
W
X
Y
Z
Æ
Ø
Å
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
M
N
O
P
Q
R
S
T
U
W
W
X
Y
Z
Æ
Ø
Å
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
M
N
O
P
Q
R
S
T
U
V
X
X
Y
Z
Æ
Ø
Å
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
M
N
O
P
Q
R
S
T
U
V
W
Y
Y
Z
Æ
Ø
Å
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
M
N
O
P
Q
R
S
T
U
V
W
X
Z
Z
Æ
Ø
Å
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
M
N
O
P
Q
R
S
T
U
V
W
X
Y
Æ
Æ
Ø
Å
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
M
N
O
P
Q
R
S
T
U
V
W
X
Y
Z
Ø
Ø
Å
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
M
N
O
P
Q
R
S
T
U
V
W
X
Y
Z
Æ
Å
Å
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
M
N
O
P
Q
R
S
T
U
V
W
X
Y
Z
Æ
Å
Vi her dermed benyttet os af polyalfabetisk substitution til at kryptere på.
3.xy Studieretningsprojektet 2014 - Enigma
Høng Gymnasium & HF 19/12-2014
Side 8 af 23
Permutation
2
:
For også at kunne forstå Enigma er permutation en vigtig egenskab.
En permutation forstås som en afbildning, hvor der byttes om på elementerne ved en given
mængde
3
Fx, hvis vi har en given mængde
, angiver det så:
En permutation, som sender . Ligeledes kan man
inddele permutation i cykler. Det er en sekvens, hvor man altid ender til samme udgangs-
punkt, som man startede. I vores tilfælde får vi en 2-cykel og en 4-cykel:
-
Det er også muligt at sammensætte permutationer. Hvis vi har to given permutationer A og B:
Dernæst kan man sammensætte AB, som fås via følgende måde:
Dette fås da A afbilder 12, B afbilder 23. Således fortsættes, så vi til sidst har ovenstående
sammensatte permutation.
4
Endnu en måde, er den trivielle permutation, hvor der ikke bliver lavet ændringer. Den kaldes
identiteten:
Så er der inverse permutation, som er omvendt permutation. Hvis vi fx har en permutation
bliver den inverse permutation således:
Mere om permutation vil jeg ikke komme ind på.
2
http://www.matematiksider.dk/enigma/enigma_matematik.pdf
3
http://www.matematiksider.dk/enigma/enigma_matematik.pdf
4
Bilag 1:
3.xy Studieretningsprojektet 2014 - Enigma
Høng Gymnasium & HF 19/12-2014
Side 9 af 23
Enigmas virkemåde:
I 1918 dannede de to tyskere, A.Scherbius og
R.Ritter, et firma, hvor de udviklede en mekanisk
krypteringsmaskine, som skulle afhjælpe de svaghe-
der krypteringsmetoder førhen har givet. Maskinen
kaldtes Enigma, og der blev lavet flere tusinder af
eksemplarer, fordelt og brugt i den tyske hær, luft-
våben, efterretningsvæsen og flåde.
5
Enigma krypteringsmaskinen består af flere dele,
der er forbundet med ledninger:
Tastatur
Koblingstavle
Scramblerenhed (rotorer)
En reflektor
En lampeplade, hvor dioden lyses efter ind-
tastning
Kort kan krypteringsprocessen beskrives på følgende måde:
Når man ønsker at kryptere et bogstav- trykkes der h på tastaturet, hvorefter det
sendes igennem en ledning til koblingstavlen og dernæst til scramblerenhedens hjul. Herefter
sendes det videre til reflektoren, hvor det tilbageføres til scramblerenheden og koblingstav-
len. Dernæst sendes det til lampeladen, hvor det bogstav, som h er krypteret til, lyser. Der
sker således en ombytning af bogstaver. Trykker man fx
Trykker man igen på B, sker der en anden slags kryptering, altså trykker man på B igen kan
det så blive H
6
. Dvs. Permutationen ændres ved tastetryk.
5
Frandsen Jesper, Mads Rangvid, Enigma et dilemma, SYSTIME, 2010
1
Den tyske kodemaskine Enigma. Udgivet af Erik Vestergaard. Sidst opdateret:
Internetadresse: http://www.matematiksider.dk/enigma.html - Besøgt d.
6
Nævnt under polyalfabetisk substitution
Frandsen Jesper, Mads Rangvid, Enigma et dilemma, SYSTIME,
2010
Den tyske kodemaskine Enigma. Udgivet af Erik Vestergaard
1
3.xy Studieretningsprojektet 2014 - Enigma
Høng Gymnasium & HF 19/12-2014
Side 10 af 23
Enigmaen havde forskellige komponenter, som gjorde den sværere at dekryptere.
Tastatur:
Tastaturet er ligesom et ganske almindeligt tastatur uden ÆØÅ.
Rotorerne:
Enigmaen har 3 rotorer, som er hjernen i Enigma. (det var muligt at benytte op til 5 rotorer)
Rotorerne består af et antal ledninger.
Rotorerne har tallet 1-26, og der findes permutation af de 26 bogstaver. Som tidligere nævnt
ændres permutationer, for hver gang et bogstav tastes, og når det sker, er det fordi rotorerne
drejes en enkelt gang, ergo for hver bogstav der ændres, drejer rotorerne sig. Når den har ro-
teret 26 gange, begynder den midterste rotor at rotere. Når den når 26 gange så drejer den 3.
Rotor én gang.
For 3 rotorer har vi altså i alt 25*26
2
=16900 permutationer
Reflektoren:
Når krypteringen har været igennem de 3 rotorer, kommer det til reflektoren, som sender
signalet tilbage baglæns gennem de 3 rotorer.
Når vi kryptere et bogstav kommer den videre til reflektoren, og køre en anden vej tilbage
igennem de 3 rotorer. Det har den effekt, at et bogstav ikke kan blive krypteret til sig selv.
Koblingstavle:
En anden ting der styrkede kryptering var koblingstavlen, hvilket var en ny tilføjelse der end-
nu en gang kunne ombyttes.
Man kan placere 13 par ledninger, (idet der i det tyske alfabet er 26 bogstaver). Antallet af
ledninger kan skrives som: .
Antallet af mulige kombinationsmuligheder S kan beregnes ved formlen:
Starter man eksempelvis fra den ene ende, kan ledningen indsættes i 26 forskellige huller.
Den anden ende af stikket kan indsættes i 25 huller osv. Dette kan gøres indtil alle ledninger k
er brugt, og derfor deles 26! Med (26-2p).
3.xy Studieretningsprojektet 2014 - Enigma
Høng Gymnasium & HF 19/12-2014
Side 11 af 23
Lampeplade:
Som fortalt ovenfor, at når det bogstav der er indtastet er krypteret, lyser det krypterede bog-
stav. Dvs. at både afsender og modtager skal have en Enigma-maskine.
Skemaet nedenunder viser kombinationsmuligheder S, med antal af ledninger k, brugt i Enig-
ma via den beregnede formel ovenfor:
k
Kombinationer
k
Kombinationer
k
Kombinationer
0
1
5
75
10
4.937.250
1
325
6
1.500
11
3.096.250
2
44.850
7
89.500
12
6.548.125
3
3.453.450
8
638.375
13
80.625
4
5
9
191.875
Flere permutationer ved n antal kabler
Hvis vi opfatter n som antallet af kombinationer, som en funktion af n som antallet af lednin-
ger. Tallet vil vokse men vil aftage igen på et tidspunkt. Vi kan beregne, hvilket antal ledninger
der giver flest mulige permutationer. Dette gøres ved at beregne det antal ledninger, hvor an-
tallet af kombinationer øges, hvis der føjes endnu en ledning, dvs. en sammenligning i antallet
af kombinationer med n antal ledninger og med n+1 ledninger:
7
Vi kan skrive en ulighed:
(Det er vigtigt at pointere, at uligheden ikke ændre sig, idet det ikke er muligt at have et negativt antal uligheder.
Dvs. n antal ledninger er et positiv tal.)
Vi forkorter
og
på siderne. Vi ganger med
på hver siden side, så vi får:
7
Side 50 Enigma - Dilemma
3.xy Studieretningsprojektet 2014 - Enigma
Høng Gymnasium & HF 19/12-2014
Side 12 af 23
Vi kan fjerne fakultet ved at dividere med 26! på hver af siden
Begge sider kan nu forlænges med n! fra
til
Dernæst ganger vi 2 ind i parentes
Dernæst kan vi reducere
Vi forlænger med
På højre side kan vi samle udtrykket ved at gange sammen
, så kommer det til
at se således ud:
Vi ganger nu venstre og højres nævner, på hver side af uligheden (ganger over kryds)
Vi kan nu forkorte begge sider med 2
Vi kan gange
ind i =
Vi kan nu gange parenteserne sammen
Vi kan nu reducere uligheden
Til sidst, kan vi forkorte, ved at dividere højre side med 2.
8
3.xy Studieretningsprojektet 2014 - Enigma
Høng Gymnasium & HF 19/12-2014
Side 13 af 23
Vi kan finde ud hvornår udtrykket er mindre en nul ved at sætte
lig med 0
dvs.
og benytte Nspire CAS til udregning af dette:
9
Da det ikke er muligt at anvende mere end 13 ledninger forkaster vi 15,65.
Dette betyder også, hvis anvendelsen er mindre end 10 ledninger, øges antallet af kombinati-
oner. Samtidig betyder det, hvis der anvendes 10 ledninger, vil kombinationen øges ved at ta-
ge en ekstra ledning i brug. Derimod, hvis du bruger 11 ledninger, vil antallet af kombinatio-
ner ikke øges, ved at tage en ekstra ledning i brug. Dog er det ikke muligt, idet det ikke er mu-
ligt at benytte mere end 13 ledninger.
Slaget om Atlanten
Slaget om Atlanten var en krig som foregik mellem tyskerne og de allierede. Krigen strakte sig
fra september 1939 og fortsatte helt frem til tyskernes kapitulation i 1945
10
, hvor krigen
havde sit klimaks fra
Storbritannien var stærkt afhængig af forsyninger fra USA, som foregik via konvojer over At-
lanten, og det var den eneste måde at kunne holde sig førende i krigstiden. Uden forsyninger-
ne ville Storbritannien ikke kunne forsyne militæret med ammunition og føde - og derfor star-
tede tyskerne slaget i håb om, at det medførte kapitulation fra Storbritanniens side.
11
Atlanterhavet blev derfor en krigszone, og handelsskibene havde alvorligt brug for beskyttel-
se, for at kunne komme sikkert frem til destinationen.
Tidligt i krigen havde tyskerne allerede plyndret de allieredes konvojer.
8
Frandsen Jesper, Mads Rangvid, Enigma Et dilemma, SYSTIME, 2010 Benyttet d.
s. 50
9
Bilag 2
10
http://www.history.co.uk/study-topics/history-of-ww2/battle-of-the-atlantic -søndag
d.14-12-14
11
http://www.historienu.dk/degraaulve.pdf
3.xy Studieretningsprojektet 2014 - Enigma
Høng Gymnasium & HF 19/12-2014
Side 14 af 23
Fra 1940 fokuserede den tyske marine på U-bådskrig. Deres taktik var at angribe på overfla-
den om natten, hvor det ikke kunne påvises ved hjælp af radar. Ubådene havde en stor succes
mod de allierede konvojer. I 1941 bragte det et enormt tab ved sænkningen af 875 allierede
skibe.
Under slaget om At-
lanten sænkede ubåde 2848 allierede skibe, hvad der svarede til cirka 14 millioner tons. På trods
af dette havde ubådene, selv ikke da krigen i Atlanten var på sit højeste, bragt Storbritannien i
. Det viser sig at selv ved et stort tab af de allierede skibe over flere
tons, formåede de at holde sig oppe samt at sikre sig en sejr over tyskerne i Atlanten.
Da Frankrig blev besejret af tyskerne, kunne tyskerne nu sende deres ubåde til baser i Frank-
rig, som medførte de herefter havde større herredømme over Atlanterhavet.
Tyskerne opererede med den såkaldte taktik af Karl Dönitsz. Taktikken gik ud på
at dele sig op i grupper (typisk 2-6 stk.). Når en tysk ubåd så fik kontakt til britisk konvoj, blev
der kontaktet flere ubåde, så de kunne angribe konvojen i en samlet flok. Taktikken fungere-
de, idet tyskerne havde brugt flere kryptosystemer, som briterne havde brugt til kommunika-
tion mellem konvojerne.
I løbet af 1941 begyndte det at gå bedre for briterne. De modtog 50 amerikanske destroyere i
bytte for amerikansk adgang til de britiske baser.
I marts 1941 lykkedes det for de allierede at erobre U-110, hvor de fandt en Enigma-maskine
samt kodebøger, hvilket hjalp sporingen af de tyske ubåde.
Året 1942 var godt for tyskerne. Nye og opdaterede ubåde kom til, og der kom ca. 138 om
måneden fordelt over alle oceaner.
12
De allierede var for alvor kommet på banen. Igen i 1943 var krigen til fordel for de allierede.
De teknologiske udvidelser førte til nye forbedrede ubåde, og de havde nu en tilstrækkelig
mængde af hangarskibe og fly til dækning over Atlanterhavet. Det førte til 96 sænkede ubåde
hos tyskerne. Da tabene var store, blev det d. 24. maj beordret at ubådene skulle væk fra
Nordatlanten, indtil man fik et tiltrækkeligt antal og opdaterede ubåde.
Dermed havde tyskerne tabt slaget. Årsagerne var mange, men en betydelig årsag var de allie-
redes brydning af Enigma-maskinen.
12
http://www.denstoredanske.dk/Geografi_og_historie/Militære_forhold_og_krigshistorie/M
arine-_og_søkrigshistorie/Slaget_om_Atlanterhavet
3.xy Studieretningsprojektet 2014 - Enigma
Høng Gymnasium & HF 19/12-2014
Side 15 af 23
-
, ville vort
13
- Samuel Roskill 1954. Dette citat viser at en lille ændret taktik hos tyskerne kunne
gøre tyskerne dygtige, og Storbritannien ville have været ukampdygtige, hvis tyskerne havde
ændret deres taktik.
Brydning af Enigma
Efter 1. Verdenskrig fortsatte briterne med at følge tyskernes kommunikation, men i 1926, da
tyskerne benyttede Enigma, fik de alvorlige problemer de kunne nemlig ikke bryde den. De
tabte tråden, og deres håb om brydning af tyskernes koder var faldet, da deres overbevisning
var, at den var ubrydelig. Frankrig havde succes i 1. Verdenskrig, og med sejren bag sig, brug-
te de ikke ressourcer på brydning af Enigma-koden. Polen derimod havde en særlig interesse
for brydningen.
Polen blev efter 1. Verdenskrig en selvstændig nation og følte sig klemt af Sovjetunionen som
ønskede at udbrede kommunismen. Ifølge Jesper Frandsen(Cand.scient)
14
og Mads Rang-
vid(Cand. Mag.)
15
i bogen Enigma et dilemma, ønskede Polen at indfange så meget informa-
tion som muligt, for bedst muligt at kunne undgå en mulig invadering af Tyskland. I 1926 blev
det såkaldte Biuro Szyfrów (cifferkontor) oprettet, hvor den store udfordring var, at adskille
enigmas komponenters virkning.
Marian Rejewski var en disciplinerede matematiker, som stod i spidsen og sammen med hans
kollegager begyndte de at strukturer maskinens ind- og udkodning.
Polakkerne fandt hurtigt en svaghed hos tyskerne i deres brug af Enigma. Hver måned blev
der sendt kodebøger, som indeholdte startindstillinger for hver dag. Tyskerne ville ikke give
fjenden for mange beskeder, som blev krypteret med samme nøgle og førte til at, de kun brug-
13
Bauer, Oberstløjtnant Eddy; Anden Verdenskrig Slaget om Atlanten; Overs. Christian Dah-
lerup Koch; København, Det Ny Lademand A/S; 1991 s. 50
14
Jesper Frandsen, f.1944, Cand. Scient et art. I matematik og dansk. Forfatter til ca. 65 mate-
matikbøger.
15
Mads Frandsen, f.1974. Cand. Mag. I filosofi og venskabsteori samt dansk.
3.xy Studieretningsprojektet 2014 - Enigma
Høng Gymnasium & HF 19/12-2014
Side 16 af 23
te dagsnøglen til krypteringen af seks bogstaver i starten af hver besked. De seks bogstaver
var nye rotorer-indstillinger som hele beskeden var krypteret med. Rotorer-indstillingerne
var dog kun tre bogstaver, men for at undgå slagfejl besluttede man sig for at lade operatø-
rende gentage de tre bogstaver. Dette var dog en fejl, da det netop var denne type for systema-
tik Marian Rejewski og hans kollegaer søgte efter.
Eksempelvis, hvis tyskerne startede en besked med YUAWQL, vidste Rejeswski, at Y og W var
det samme bogstav krypteret, hvor rotorhjulet var rykket 3 hak mellem indtastningerne og
det samme med U og Q, og med A og L.
Englændernes indblanding af polakkernes viden:
Idet polen frygtede invadering af Tyskland, og med viden omkring Enigma, ønskede lederen af
Biruo Szyfrow, at de allierede skulle indvies i den polske viden, for evt. at kunne udbygge den
viden polakkerne var k-
kerne havde brugt til at bryde Enigma med.
Den 16. August 1939, blev Enigma sendt til Storbritannien, som var i sidste ende. D. 1 septem-
ber 1939 blev Polen invaderet af Tyskland, hvormed 2. Verdenskrig blev indledt.
Skjul af brydningen af Enigma:
Briterne omkom i et dilemma, idet briterne selvfølgelig ikke ønskede, tyskerne skulle vide, at
Enigma koden var brudt. Der var frygt for, at tyskerne ville ændre Enigma indstillingerne så
de ville blive mere avancerede og benytte et større antal rotorer ergo et større antal kombi-
nationer.
Tyskerne fik da også flere gange mistanke om, at Enigma var brudt, men blev gang på gang af-
vist. Man regnede derfor Enigma som ubrydelig. De allierede forsøgte hermed ikke at afsløre
deres brydning af Enigma.
16
Eksempelvis, hvis briterne opsnappede tyskerne position omkring et tysk krigsskib, kunne de
ikke bare erobre det, men derimod sende et fly ind, så det viser sig at være tilfældigt, og der-
næst kunne de sende et krigsskib ud og nedkæmpe skibet på normalvis.
16
Frandsen Jesper, Mads Rangvid, Enigma Et dilemma, SYSTIME, 2010 Benyttet d.
s. 66
3.xy Studieretningsprojektet 2014 - Enigma
Høng Gymnasium & HF 19/12-2014
Side 17 af 23
Det var problematisk, hvis briterne fandt ud af, at tyskerne ville angribe de allieredes mål.
Skulle man så evakuere eller ofre menneskeliv? Man kan sige dilemmaet var selvskabt, idet
det var forudset inden brydning af koderne.
Krigens udfald idet Storbritannien blev knækket
17
Da hemmeligheden omkring brydning af Enigma har eksisteret i 28 år, har det været svært, at
finde nøjagtige kilder dette betyder dog også hvor loyale mennesker, at gøre brydningen af
Enigma muligt Kontra-faktuel historie, er en del af historien, der besvare krigens udfald. En
historisk begivenhed, hvor nogle faktorer forbigås. Det er dog også muligt, med de mange fak-
torer der har fundet sted, at forløbet netop er endt sådan, som det nu gjorde.
For at belyse krigens udfald analyseres kildematerialet The Influence of ULTRA in the Second
World War af Sir Harry Hinsley.
Dette er en tale, som Sir Harry Hinsley meddelte i 1993 omkring Bletchley Park. Sir Harry
Hinsley er en fornem historiker, der under 2. Verdenskrig arbejdede på Bletchley Park, hvor
en stor del af de allierede analytikere fandt sted.
Kilden omhandler, hvorledes Enigma og ULTRA-programmet spillede en væsentlig rolle for
krigen, tilmed hans personlige vurderinger og historier. Dette er en beretning, idet det er en
mundtlig gengivelse af en begivenhed.
Kilden er en førstehåndskilde, idet Harry var til stede under begivenheden. Samt en primær-
kilde, idet den formår at være tæt på begivenheden.
Han forholder sig positiv omkring det arbejde kryptologoerne gjorde på Bletchley Park som
har medført et kortere krigsforløb, My own conclusion is that it shortened the war by not less
that two years and probably by four years - that is the war in the Atlantic, the Mediterranean
18
.
De 4 år, han mente krigen var forkortet med, er en kontra-faktuel analyse, af i den grad ved in-
formationerne som ULTRA gav, og håndteringen af data for tyskerne. Der var selvfølgelig en
del fordele med informationerne, men de allierede skulle sørge for at have andre kilder end
17
http://www.cix.co.uk/~klockstone/hinsley.htm
18
3.xy Studieretningsprojektet 2014 - Enigma
Høng Gymnasium & HF 19/12-2014
Side 18 af 23
ULTRA, idet de skulle begrunde deres handlinger.
Tyskerne fik flere ubåde i Atlanten og flere ansatte, og hvis dette skete samtidig med at få af
de allieredes konvojer blev spottet, så var ULTRA nok afsløret. Det greb de allierede an, ved at
instruere piloterne i nyere radarsystem, som skulle se ubåde under vandet, i meget store
dybder. Oveni købet sørgede de samtidigt for, at tilkalde fly, på ubådenes destination, for så at
kunne meddele at en ubåd var blevet spottet.
Men ville De allierede have vundet, hvis ULTRA ikke havde eksisteret, samt den tyske kode
var blevet knækket? Et citat fra Sir, siger: My own view is that given that the Soviets survived
the German attack and the Americans came in as they did, the combined forces of Russia, Amer-
ica and the British would eventually have won the war. The long term relative strengths of Ger-
many and those three counties were such that Germany was bound to loose in the end. (..)I think
we would have won but it would hav
Dette citat viser os at Sir på baggrund af de kombinerede kræfter fra Rusland, Amerika og
Storbritannien, ville have vundet krigen. Samtidig med at selvom ULTRA ikke havde eksistens,
ville det stadig fører til allieret sejr, men dog en mere brutal og langvarig krig. Hans citat kan
videreføres på en anden vis fx atombomben. Hvis sejren gik til Tyskland under Slaget ved At-
lanten, i stedet for de allierede, kunne bomben måske blive brugt? Idet at bomben blev nedka-
stet mod japanerne i 1945, hvilket er senere under krigen, kunne det ske, at nedkastningen
kunne ske såvel som i Tyskland også, og dermed en helt anden afslutning på krigen.
For at belyse Sir Henrys påstand om krigens udfald er blevet kortere på baggrund af briternes
viden, har jeg fundet et citat
2. verdenskrig, og den forkortede, a
19
Hvor stor betydning havde de allieredes brydning af Enig-
telegrammerne for 2. verdenskrigs forløb? af Niels Ole Faurholt, for at belyse Sir Henry.
Niels Ole Faurholt er tidligere major og afdelingsleder i Forsvarets Efterretningstjeneste. Ar-
tiklen er fra et krigshistorisk tidskrift, som udkom i 2009.
19
Winther Christensen, Lars; Ultra, http://www.math.ku.dk/famos/arkiv/10-4/node6.html
3.xy Studieretningsprojektet 2014 - Enigma
Høng Gymnasium & HF 19/12-2014
Side 19 af 23
I et afsnit i artiklen har Niels beskrevet hans egne holdninger omkring krigens
udfald, til samtidig at bekræfte S. H. Hinsley påstand. Artiklen er en anden håndskilde, idet at
Niels ikke har oplevet kilden, samt en sekundær kilde, da den er produceret efter andre pri-
mære kilder, hvilket fremgår til slut.
Niels er enig med, at krigens udfald tydeligvis har været kortere, idet ULTRA-programmet har
fundet sted, men han mener dog, at Tyskland var blevet besejret uanset hvad, hvilket frem-
kommer i citatet:
20
. Dette viser samme vurdering
af krigens udfald, som Sir Harry Hinsley nævnte i sin tale.
21
. Igen er der udtryk for samme synspunkt. Naturligvis, havde de allierede ingen
mulighed for at undgå ulvekoblerne, ville det medføre større tab og deres oprustning ville ha-
ve taget længere tid.
ULTRA og den brudte kode gjorde altså ikke udfaldet. Det har dog tydeligvis haft indflydelse
på krigens længe.1940 var den første store succesperiode for ty-
skerne. Man ændrede taktik og opere- rede i grupper af f
Kryptering i dag
Kryptering handler i dag i bund og grund om det samme, som fandt sted under 2. verdenskrig,
nemlig at fortroliggøre personlig data. Dengang gik det ud på, at fjenden ikke skulle kende til
hemmeligheder, hvor det i dag mere handler om beskyttelse af personlig data såsom bank-
konti-oplysninger, personnummer og Nem ID. Ligeledes handlede det også om at sikre, at en
tredjepart ikke kunne få adgang til de fortrolige oplysninger.
I nyere tid er der kommet øget fokus på brug af Nem ID til både netbank, e-Boks samt andre
offentlige og private tjenester, som er digitalt tilgængelige. Nem ID skal fungere som en slags
20
e-
grammerne for 2. verdenskrigs forløb? 20 . 45, nr. 2 (2009) S. 31
21
e-
grammerne for 2. verdenskrigs forløb? 20 . 45, nr. 2 (2009) S. 31-32
3.xy Studieretningsprojektet 2014 - Enigma
Høng Gymnasium & HF 19/12-2014
Side 20 af 23
-infrastruktur osv. NEM ID benytter sig
One-time-pad foregår således, at man har en
nøgle, som kun anvendes én gang. Ligesom vores NEM ID nøglekort vi har et nøglekort som
er baseret af nøgler, som kun benyttes en gang.
22
Angreb på NEM ID
Morton K. Thomsen har d. 12 april 2013 skrevet en artikel omkring et angreb på NEM ID. Der
har formået at hacke sig ind på NEM ID ved blot at købe en app til 10 Dollar og benytte sig af
en VPN-forbindelse. Hensigten med angrebet ifølge DanishLulzTeam, er at udstille den in-
kompetence, NETS har udvist i forhold til sikkerhed i NEMID-Vi ville bare give Nets
g-
le ordentlige medarbejdere, som har styr på hvad de laver :P. Dette viser, at der formodentlig
altid er en måde at dekryptere.
I forhold til Enigma, og at briterne formåede at knække Enigma. Dog var DanishLulzTeam
formål ikke at benytte sig af, at andres NEM ID, men at vise, at sikkerhedsniveauet ikke er højt
nok, ligesom tyskerne troede, at Enigma ikke var ubrydeligt.
22
http://searchsecurity.techtarget.com/definition/one-time-pad
3.xy Studieretningsprojektet 2014 - Enigma
Høng Gymnasium & HF 19/12-2014
Side 21 af 23
Konklusion
Det er hermed muligt at konkludere, at brydningen af kryptologi har under 2. Vedenskrig haft
en stor betydning , og Enigma har spillet en væsentlig rolle, i forhold til briternes arbejde.
Enigma som var tyskernes kryperingsmaskine som ret indviklet, og dermed svær at knække,
som medførte en base bestående af 5-9000 forskellige mennesker af forskellige uddannelser,
til at dekryptere tyskernes kode.
Samtidig kan jeg konkludere, at det har været muligt at dekryptere tyskernes kode, hvor det
har mindsket krigs perioden, samt reddet mange menneskeliv, men samtidig først til risici af
tab. Hvis man kigger på de tidligere krypteringsmetoder fra Cæsars tid og opefter, var Enigma
helt klart en revolution indenfor kryptologien på daværende tid. I nyere tid er der blevet fo-
kuseret på beskyttelse af personlig data, og der vil altid være analytikere som prøver at kun-
ne dekryptere data.
3.xy Studieretningsprojektet 2014 - Enigma
Høng Gymnasium & HF 19/12-2014
Side 22 af 23
Litteraturliste:
Bøger:
1. Frandsen Jesper, Mads Rangvid, Enigma Et dilemma, SYSTIME, 2010 Benyttet d.
2. Bauer, Oberstløjtnant Eddy; Anden Verdenskrig Slaget om Atlanten; Overs. Christian
Dahlerup Koch; København, Det Ny Lademand A/S; 1991
Internet
1. Den tyske kodemaskine Enigma. Udgivet af Erik Vestergaard. Sidst opdateret:
Internetadresse: http://www.matematiksider.dk/enigma.html - Besøgt d.
2. Matematikken bag løsningen af Enigma. Udgivet af Erik Vestergaard. PDF-dokument.
Skrevet i 2008
Internetadresse: http://www.matematiksider.dk/enigma/enigma_matematik.pdf - Be-
søgt
3. Sørensen, Jakob: Anmeldelse af Slaget om Atlanten, af Andrew Williams, Gyldendal.
s. 1-3. Internetadresse: http://www.historienu.dk/degraaulve.pdf - Besøgt d.
(Anmeldelse)
4. Hinsley, Sir Harry: The Influence of ULTRA in the Second World War. I: Sir Harry
Hinsley, Internetadresse: http://www.cix.co.uk/~klockstone/hinsley.htm
Besøgt d. (Tale)
Video/billede/forelæsning:
1. Enigma - elektromekanisk krypteringsmaskine. 2010. Instruktion: Lars Ramkilde
Knudsen, Professor, DTU Matematik. Internetadresse:
https://www.youtube.com/watch?v=9ZQ8l54aTi4 - Besøgt d. (Youtube-
