[navn fjernet] Kemi B og matematik A 22-12-09
3.y studieretningsprojekt
Levnedsmiddelfarver og matrixregning
1
Abstract
This study contains a more detailed look on the tree colorings in a green soda. It account for the chemical
construction of the tree coloring and for the reason it “carries” this color. In addition it accounts for the law
of Lambert-Beer and the mathematical model it expresses. It shows also how Matrix linear system of
equations is used to solve three equations with three unknowns. The study uses a practical experiment to
analyze the content of the colorings in the breezers. That occurs throw a spectrophotometric analyze,
which contains in drawing the absorption spectrums for a couple of known solutions of the coloring and
thereby produce a standard curve that shows the connection between the absorbance and the
concentration of the coloring. Then the matrix linear system of equations is used for a quantitative
regulation of the coloring in the soda, which resulted in a content of the coloring Amarnth to be
g/M, the content of the coloring Quinoline Yellow to be
g/M and the content of sunset
yellow to be
g/M
[navn fjernet] Kemi B og matematik A 22-12-09
3.y studieretningsprojekt
Levnedsmiddelfarver og matrixregning
2
Indholdsfortegnelse
Indledning……………………………………………………………………………………………………………………………………………..3
Den generelle teori……………………………………………………………………………………………………………………………4-11
Lidt om lyset som vi kender det……………………………………………………………………………………………………………..4
Foto/partikler…………………………………………………………………………………………………………………………………………4
Atomers og molekylers energi………………………………………………………………………………………………………………..4
Bindingsenergi/excitationsenergi…………………………………………………………………………………………………………..5
Absorptionsspektre………………………………………………………………………………………………………………………………..5
Bindinger/orbitaler………………………………………………………………………………………………………………………………6-7
Sigma og pi orbitaler……………………………………………………………………………………………………………………………….7
Syntetiske/azofarvestoffer…………………………………………………………….........................................................7-8
Lysfarver og pigmenter…………………………………………………………………………………………………………………………..8-9
Quinolin gult…………………………………………………………………………………………………………………………………………….9
Amaranth………………………………………………………………………………………………………………………………………………9-10
Lambert Beer’s lov………………………………………………………………………………………………………………………………..10-11
Matrice lineær ligningssystemer……………………………………………………………………………………………………………11-18
Selve forsøget……………………………………………………………………………………………………………………………………….18-20
Databehandling…………………………………………………………………………………………………………………………………….20-22
Diskussion/fejlkilder…………………………………………………………………………………………………………………………….22-23
Kunklution……………………………………………………………………………………………………………………………………………....23
[navn fjernet] Kemi B og matematik A 22-12-09
3.y studieretningsprojekt
Levnedsmiddelfarver og matrixregning
3
Indledning
Farvestoffer i levnedsmidler er blevet brugt i mere end 2000 år. Førhen tilsatte man hovedsageligt
farvestoffer for at skjule madvarernes ringe kvalitet. I dag bruges de til at farve mad eller genopfriske
farven i maden, hvis den er blegnet under fremstillingsprocessen. De kan også bruges til at forstærke en
naturlig farve, som for eksempel at gøre jordbæris mere rød. Alt sammen blot for at få maden til at se
bedre og mere appetitlig ud. De syntetiske såvel som naturlige farvestoffer, er i dag en integreret del af
vores hverdag. Desværre har syntetiske farvestoffer i blandt andet fødevarer og kosmetik vist sig at
fremkalde allergiske reaktioner, ligesom de i visse tilfælde mistænktes for at være kræftfremkaldende,
derfor er mange begyndt at protestere mod brugen af de syntetiske farvestoffer i levnedsmidler.
I Danmark er 42 forskellige farvestoffer tilladte i levnedsmidler, og de er primært anvendt i produkter som
is, slik, kage, læskedrikke, vin og snacks. Der er dog en grænse for, hvor stor en mængde af disse
farvestoffer, der må tilsættes fødevarer.
Rød Breezer indeholder de syntetiske farvestoffer Amaranth med EF-nummeret E123, Allura red AC med
EF-nummeret E129, Sulfite ammonia caramel med EF-nummeret E150d. Orange river energidrik indeholder
de syntetiske farvestoffer Quinolingult med EF-nummeret E104, og Sunset yellow med EF-nummeret E110,
som alle er godkendte levnedsmidelfarvestoffer, og jeg vil i denne projekt se nærmere på disse, og
undersøger hvor stor koncentrationen af dem. Dette vil jeg gøre ved først at redegøre for forskellige
farvestoffers kemiske opbygning. Herefter vil jeg fremstille et absorbtionsspektre af såvel det rene farvestof
som findes i blandingen, og af blandingen selv, som videre kan bruges til at fremstille en stanardkurve for
farvestoffet opløst i vand. Når dette er gjort, kan en sammenhæng mellem absorbansen og farvestoffets
koncentration findes ved linear regression, og denne sammenhæng kan anvendes til en kvantitativ
bestemmelse af indholdet af farvestof i blandingen. Ved udførslen af lineær regression vil jeg benytte
matrix lineare systemer, som jeg i opgaven gør rede for. Herudover vil jeg redegøre for den matematiske
model, som Lambert-Beers lov er udtryk for.
[navn fjernet] Kemi B og matematik A 22-12-09
3.y studieretningsprojekt
Levnedsmiddelfarver og matrixregning
4
Den generelle teori
Lidt om lyset som vi kender det.
Lys som vi kende det består af fotoner eller lyskvanter. Disse fotoner kan både optræder som partikler eller
som bølger (lysbølger).
1
For at forklar at fotoner både kan optræde uden rumlig udstrækning (partikel) og
med en rumlig udstrækning (bølge) skal vi først se på lyset som elektromagnetiske bølger. Fotonen med
Bølgebevægelsen bevæger sig fra lyskilden, i en stabil skiften mellem at være det man godt kunne anse for
værende elektrisk og det man godt kunne anse for værende magnetisk. Der af kommer ordet
elektromagnetisk. Denne skiften/bølgebevægelsen foregår meget meget hurtig, samtidig med at det
bevæger sig fra lyskilden med en meget meget hurtig hastighed. For sådan en bølge bevægelser, er der tre
ting der gør sig gældende: hastigheden fotonen bevæger sig med (lysets hastighed), afstanden mellem to
steder hvor enten det elektriske eller magnetiske felt er størst (bølgelængden), og hvor mange svingninger
pr. sekund, passere et bestemt punkt (frekvensen).
Fotoner/partikler.
Når det er tale om atomer eller molekyles optagelse af lysten, er det bedre at beskrive lyset som fotoner:
med afgrænsede, masseløse energipakker, der optræder uden den rummelige udstrækning (partikel).
Det at man kan beskrive lyset som bølger og partikler hænger sammen med at, partiklen/foton energien
afhænger af bølgelængden i bølgebevægelsen.
Fotonenergien = konstant/bølgelængden.
Det ville sige at fotonenergien har samme variation som bølgelængden, som variere fra et par meter til en
brøkdel af en nanometer.
Atomers og molekylers energi
Både atomer og molekyler tilstræber at befinde sig det stadie, hvor de er på det laveste mulige
energiniveau. Men dette ser ikke ud til at være tilfældet, da det viser sig at en foton i visse tilfælde godt kan
optages af et atom, ion og et molekyle, og derved kommer i en energirigestadie.
Det er ikke hvilke som helt energi som kan optages af atomer, ioner og molekyler. Som bekendt hos
atomer, hvor elektronerne kun kan befinde sig i bestemte skaller. Gælder tilsvarende også for molekyler.
Dermed er det ganske bestemte foton der kan absorberes, da det kun er bestemte energier der kan
optages af molekyler, ioner og atomer med bestemte energier.
1
http://www.astro.ku.dk/~erik/AlderLys.pdf
[navn fjernet] Kemi B og matematik A 22-12-09
3.y studieretningsprojekt
Levnedsmiddelfarver og matrixregning
5
Bindingsenergi/excitationsenergi
Kemiske bindinger mellem to atomer finder sted såfremt atomer tilsammen kan få en lavere energi. Det
medfører af en kemisk binding brydes hvis det får tilført energi. Den rette mængde energi der skal til for at
en kemisk binding brydes og derved opnår en højere energirigetilstand kaldes bindingsenergien eller
excitationsenergien (når et molekyle befinder i et tilstand med mere energi end det lavest mulig, siges det,
at det er blevet exciteret).
2
Den nødvendige energi der skal til for at flytte molekylet fra den energifattige bindende tilstand til den
energirige ikke-bindende tilstand kan tilføres med en foton. Fotonenergien skal have samme værdi som
bindeenergien. Altså belyses et molekyle med lys, hvor fotonenergien svare til bindingsenergien i
molekylet, brydes bindingen. Men Lang fra alle fotonabsorptioner fører til at bindinger brydes. I de fleste
tilfælde eksistere der mulig energiniveauer mellem den mest stabile tilstand og den tilstand, hvor bindingen
er brudt.
Absorptionsspektre
Vi vil prøver at betragte en dobbeltbinding mellem 2 C-atomer. De to elektron par, der udgør bindingen,
opføre sig ikke ens, idet elektronskyen for det andet par nærmes ligger uden på det første. Det yderste
elektronsky er mindre gunstige end det inderste og derfor også lettere at få til at reagere. Det er helt
overensstemmelse med at alkener er mere reaktive end alkaner.
Molekylet med dobbeltbindingen kan optage energi svarende til, at den ene del af dobbeltbindingen
brydes. Molekylet er nu ustabilt og bindingen genetableres hurtigt, og energien frigøres som kinetisk
energi.
Hvis molekylet kun har 1 dobbeltbinding er energiforskellen mellem de to energirige tilstande ikke så stor.
Hvis molekylet har flere dobbeltbindinger, der sidder efter hinanden med enkeltbindinger ind i mellem (se
bilag 1) smelter elektronskyrene delvist sammen. Det bliver så mindre ustabilt at have et enkelt elektron-
par i en ikke-bindende tilstand. Der skal derfor ikke tilføres så meget energi for at få det til at ske, og
molekylet vil kunne absorbere fotoner med lavere energi. Jo flere dobbeltbindinger i systemet jo lavere
energi behøver fotonen at have.
2
Parbo, Nyvad, Mortensen, Kusk: 2007 s. 39
Munthe: s. 82-83
[navn fjernet] Kemi B og matematik A 22-12-09
3.y studieretningsprojekt
Levnedsmiddelfarver og matrixregning
6
Når der er flere dobbeltbindinger kan molekylet også være mere effektivt indfange fotonerne. Af tabellen
(se bilag 1) fremgår f.eks. at alkenen med 5 dobbeltbinder absorberer mere end 4 gange så effektivt som
den med 3.
3
Altså årsagen til farvestoffernes farve ligger i den kemiske opbygning. Molekyler, der kun indeholder C-C
enkeltbindinger, er farveløse. Dette skyldes, at excitationsenergien er alt for høj i forhold til fotonenergien
for synligt lys. I molekyler med konjugerede dobbeltbindinger, dvs. hvor carbonkæden holdes sammen med
skiftevis enkelt- og dobbeltbindinger, har C-atomet fire elektroner i yderste skal, hvoraf tre af elektronerne
indgår i enkeltbindinger til de nabostillede C- og H-atomer, og den fjerde elektron bidrager til en fælles
elektronsky, som lægger sig ud over alle de konjugerede dobbeltbindinger. Disse elektroner kaldes de
delokaliserede elektroner, og det er dem der kan absorbere det synlige lys, fordi de ikke er bundet så
stærkt til selve carbonskelettet og derfor ikke kræver så meget energi for at excitere molekylet.
4
Men det er ikke kun molekyler med mange dobbeltbindinger, der kan absorbere lys, uden at molekylet
springes. Blandt de organiske forbindelser gælder det også molekyler med række andre funktionelle
grupper. De funktionelle grupper, der nedsætter den nødvendige fotonenergi og forøger evnen til at
absorbere. Altså er de endnu bedre til at sikre absorption af synliglys end C=C og de findes altid i
farvestoffer opbygget af ret små molekyler. De kaldes generelt for chromofore grupper. I tabellen (figur 87)
er der eksampler. De chromofore grupper er i reglen mest effektive hvis de er placeret sammen med
dobbeltbindinger eller en benzenring.
Bindinger/orbitaler
Et atomorbital, AO, er et område der angiver hvor elektronen til en kerne befinder sig det meste af tiden (fx
99% af tiden).
Et molekyleorbital, MO, også som AO, som angiver hvor elektronerne af sammenførte atomer befinder sig,
da hver elektron nu ikke længere kredser omkring enkelte atomkerner , men påvirker hinanden så der i
stedet indføres MO.
Man kan forestille sig at MO’er er dannet ud fra AO’erne som molekylet består af.der dannes lige så mange
nye MO’er, somder var af de oprindelig AO’er
3
Munthe, 1996; S. 90-92
4
Parbo, Nyvad, Mortensen, Kusk; 2007
[navn fjernet] Kemi B og matematik A 22-12-09
3.y studieretningsprojekt
Levnedsmiddelfarver og matrixregning
7
For at elektronerne i en MO kan være med til at binde atomerne sammen, skal de negative ladet elektroner
en stor del af tiden befinde sig imellem de positive ladet kerner, eller ville det være antibindende.
Antibindende MO har højre energi end den oprindelig AO. Antibindende orbitaler markeres med *. Dette
hænger sammen med som jeg forklarede tidligere med excitationsenergien.
Sigma og pi orbitaler
Et s-orbital er cirkel/kugle formet. Et p-orbital er 8-tal klokke formet. Molekyleorbitaler der overlapper
hinanden mellem to kerner kaldes sigma-orbital, eller sigma-binding (se bilag 2 og 3). Sigma-bindinger
repræsenterer alle enkelte bindinger.
Pi orbital, eller pi binding er, når to parallelle p-orbitaler ovelapper hinanden to steder (over og under de to
kerner), kaldes det for en pi-orbital, eller pi-binding (se bilag 4). Pi orbitaler er ikke så stærke som sigma
orbitaler.
En dobbeltbinding er repræsenteret af et sigma orbital og et pi orbital. Dette er stærkere end en enkelt
binding, men er dog ikke dobbelt så stort, da pi orbitalen ikke er lige så stor som sigma orbitalen.
En trippelbinding er repræsenteret af et sigma orbital og to pi orbitaler. Samme princip som tidligere, så er
dette stærkere end dobbeltbindingen, men ikke 3 gange så stærk som enkeltbindingen.
5
Syntetiske farvestoffer. Azofarvestoffer
Af de syntetiske fremstillede organiske farvestoffer er den største gruppe azofavestoffer. Azofarvestoffer
indeholder en azo-gruppe,-N = N-, som en del af strukturen. Azogrupper forekommer ikke naturligt. De fleste
azofarvestoffer indeholder kun en azo-gruppe, men der findes også nogle der indeholder to (DISAZO), tre
(trisazo) eller mere.
Ca.60-70% af alle farvestoffer, der anvendes i fødevarer og tekstil fremstilling ar azofarvestoffer. I teorien
kan azofarvestoffer levere en komplet regnbue af farver (et spektrum).
De forskellige, hovedsagelig aromatiske, side-grupper rundt om azo-bindingen bidrager til at stabilisere N =
N gruppen ved at gøre det en del af den udvidet delokaliseret system. Dette har også den konsekvens, at
mange azoforbindelser farvet, som delokaliseret eller konjugerede systemer absorberer ofte synligt
frekvenser af lys. Aromatiske azoforbindelser (R = R '= aromatiske) er normalt stabil og har tendens til at
producere stærke levende farver.
5
http://www.youtube.com/watch?v=8PiL-ceRHZQ
http://www.youtube.com/watch?v=ree49ge4VA4&feature=related
Kemi i perspektiv 2. Andersen/Parbo
[navn fjernet] Kemi B og matematik A 22-12-09
3.y studieretningsprojekt
Levnedsmiddelfarver og matrixregning
8
Azofarvestoffer er langt mere stabile end de fleste af de naturlige farvestoffer til levnedsmidler.
Azofarvestoffer er stabile i hele pH vifte af fødevarer, for bliver stabile og ikke falmer, når de udsættes for lys,
varme eller ilt. Dette er gældende for næsten allecazofarvestoffer, der i næsten alle fødevarer. Den eneste
ulempe er, at azofarvestoffer ikke er opløselige i olie eller fedt. Kun når azofarvestoffer er koblet til et fedt
opløseligt molekyle, eller når de er spredt i meget fine partikler, kan olier være farvet.
6
Lysfarver og pigmenter
At blande farvet lys, og at blande farvede pigmenter giver maget forskellige resultater.
Vi betragter lyset som bølger med forskellige bølgelængder.
Lyset fra solen syntes at være hvidt. Et eksperiment men fx et prisme viser at det hvide lysfarve er
sammensat af mange forskellige spektralfarver. Der findes også andre måder hvoraf det hvide lys kommer
til udtryk på. Blander man farvede stråler, forekommer der en farve, som svare til en forening af de
bølgelængder, der er blevet blandet med hinanden. Fx hvis et hvidt stykke papir belyses med et rødt lys,
reflekteres det røde lys så det forekommer rødt. Hvis det igen belyses med et grønt lys, forekommer det
gult. En yderligere belysning med violet lys syntes det at det forekommer hvidt. Det er det samme der ville
ske når spektralfarverne der kommer ud prismen – når et hvidt lys sendes igennem – samles igen. Varieres
intensiteten på de tre grund farver, rød, grøn og violet kan man indtrykket af næsten enhver farve
frembringes. Dette kaldes ”additiv farveblanding”.
Af det farvede genstande vi kender i vor hverdag, er det langt fra de fleste der udsender lyset, men
reflektere dele af det synlige i hvide lys. Betragtes fx grønne blade gennem et spektroskop, observeres det,
at klorofylet absorbere overvejende rødt og blåt lys. Det er derfor rimeligt at sige at grønt lys er det der
svare til hvidt lys, minus rødt og blåt lys. På samme måde sker det hvis et stof absorbere grønt lys,
fremtræder det rødviolette magenta/purpur (denne farve findes ikke i spekteret). Vi siger, at magenta er
komplementærfarven til grønt. Hvis farvestofmolekyle kan optage synligt lys vil stoffet fremtræde farvet.
Blander man farvepigmenter, opsluger pigmenterne lysets bølgelængder. Det ville sige at fx rent rødt
pigment vil opsluge alle bølgelængder med undtagelse af de bølgelængder der repræsentere den røde
farve, som reflekteres tilbage.
En blanding mellem fx gul og blå farvepigmenter, ville resultere en grøn farve, da grøn er den farver både
gule og blå farvepigmenter ikke absorbere og dermed reflekteres tilbage. Da pigmenter opsluger lyset, har
de ikke den klarhed, som lysfarver har. Så jo mere de blandes, desto mørkere og uklar bliver de, da de
6
http://www.food-info.net/uk/colour/azo.htm
[navn fjernet] Kemi B og matematik A 22-12-09
3.y studieretningsprojekt
Levnedsmiddelfarver og matrixregning
9
opsluger mere og mere lys. Dvs. modsat lysfarverne, hvis alle pigmenter blandes sammen bliver resultatet
sort, da alle bølgelængder opsluges.
7
Quinolingult
Dette farvestof, som almindeligvis er kendt som E104, er et syntetisk farvestof, hvilket vil sige, at det er
industrielt fremstillet, og den kemiske opbygning er derfor ikke identisk med strukturen af de naturlige
farvestoffer. Egentlige er dette ikke et azofarvestof da det ikke
indeholder N=N (azo) gruppe.
Farvestoffets molekyle indeholder en såkaldt aromatisk ring.
Dette er som sagt en ring af seks carbonatomer, som hver er
bundet til to nabo C-atomer og til et H-atom. Hver C-atom bruger således tre elektroner til
elektronparbindinger, og den fjerde indgår i en elektronsky, som udbreder sig over hele ringen. Som det ses
på figur 1 er en C=C nogen steder erstattet af en C=O, den såkaldt carbonylchromofore og af en C=N. Disse
kaldes chromofore grupper og bidrager også til systemet af delokaliserede elektroner. De indeholder
nemlig ud over dobbeltbindingen et eller flere ledige elektronpar. Og som sagt gør dette at der kræves
mindre energi til at excitere molekylet og bølgelængden af absorberet lys stiger.
Som det ses består molekylet også af to ladede grupper. Sådanne grupper sættes ofte på
farvestofmolekylerne for at øge farvestoffets opløselighed i vand, da man har en ende af molekylet der er
mere elektronegativt end den anden.
Quinolingult forekommer som en blanding af flere isomere mht. sulfonatgruppernes placering på
quinolinringen i molekylet.
Farvestoffets strukturformel er C
18
H
9
NNa
2
O
7
S
2
8
.
Amaranth
Dette farvestof som er almindeligvis er kendt som E123, er også et syntetisk farvestof og som sagt ville sige,
at det er industrielt fremstillet og dermed er dets kemiske opbygning er derfor ikke identisk med strukturen
af de naturlige farvestoffer. Farvestoffet her tilhører gruppen azofarvestoffer, da det indeholder det
såkaldte azo gruppe (N=N).
7
Jespersgaard, 1991, s 180-181
Lyhne og Lødsen, 2000, s 11
8
http://www.biosite.dk/leksikon/images/quinolingult.gif
Figur 1: Quinolingults kemiske opbygning
på stregformel. Fra hjemmesiden:
http://www.biosite.dk/leksikon/images/qu
inolingult.gif
[navn fjernet] Kemi B og matematik A 22-12-09
3.y studieretningsprojekt
Levnedsmiddelfarver og matrixregning
10
Farvestoffets molekyle indeholder også de såkaldte aromatiske ringe. Dette er som sagt en ring af seks
carbonatomer, som hver er bundet til to nabo C-atomer og til et H-atom. Hver C-atom bruger således tre
elektroner til elektronparbindinger, og den fjerde indgår i en elektronsky, som udbreder sig over hele
ringen. Som det ses på figur er der kun en azo gruppe, som det eneste chromofore gruppe. Og som sagt er
azo gruppen stærkest bundet til aromatiske ringe Og dette gør at der kræves mindre energi til at excitere
molekylet og bølgelængden af absorberet lys stiger.
Som det ses består molekylet også af tre sulfit grupper (SO
3
) og en
hydroxy gruppe (OH). Disse grupper har ikke nogen betydning for
farvestoffets farve. En ting som også er meget kendt hos azo farvestoffer er isomeri , som det også ses
tydeligt her.
Molekyleformel: C
20
H
11
N
2
Na
3
O
10
S
3
9
Lambert Beers lov
En farvet opløsning indeholder molekyler eller ioner, der absorberer synligt lys på bestemte bølgelængder.
Dette sker da farvestoffets molekylers eller ioners yderste elektroner får tilført energi. Nu har molekylet
større energi end det har i grundtilstanden, det er dermed blevet exciteret. Når excitationsenergien, altså
den energi det kræves for at excistere et molekyle, er lige så stor som energien af det farvede lys,
absorberes lyset.
Ved spektrofotometri måles, hvor meget lys ved en bestemt bølgelængde, der passere igennem et bestemt
stof. Et stof kan absorbere en bestemt farve, så hvis fx et stof har blå som komplementærfarve, dvs. med
vores øjne er stoffet blåt, så absorberes den orange farve.
Ved at nedsætte en opløsning i en kuvette i et spektrofotometer og sende lys med en bestemt bølgelængde
(monokramtisk lys) igennem, kan lysitensiteten I sammenholdes med lysitensiteten I
0
, efter at lyset har
passeret en kuvette med opløsningsmidlet uden farvestof.
I
0
I
A = log (I
0
/ I)
9
http://en.wikipedia.org/wiki/Amaranth_(dye)
Figur 2: Amaranths kemiske opbygning på
stregformel. Fra hjemmesiden:
http://en.wikipedia.org/wiki/Amaranth_(d
ye)
[navn fjernet] Kemi B og matematik A 22-12-09
3.y studieretningsprojekt
Levnedsmiddelfarver og matrixregning
11
Størrelsen der måles, kaldes absorbansen. Denne størrelse angives A og måles for alle bølgelængder i det
område, man vælger spektret skal dække.
Ved at fremstille nogle standardopløsninger af et farvestof med kendte koncentrationer og måle
absorbansen ved en række bølgelængder med et spektrofotometer, kan en ukendt koncentration af
farvestoffet i en opløsning bestemmes. Ud fra dette kan en standardkurve afbildes, der viser
sammenhængen mellem absorbans og koncentrationen af farvestoffet. Absorbansen afhænger og af
kuvettebredden l og selvfølgelig af hvilket farvestof man undersøger.
Lamber Beer har sammenfattet dette i sin lov:
A = * l * [farvestof]
Hvor er den molare absorbtionskoefficient, der varierer fra stof til stof og afhænger af bølgelængden.
Hvis man afbilder absorbansen som funktion af farvestoffets koncentration fremkommer en ret linje, dvs.
at absorbansen er proportional med koncentrationen. Som det også fremkommer af ligningen for
absobansen er dette en lineær model ( y = ax + b ), hvor absobansen er den afhængige variabel y,
koncentrationen er den uafhængige variabel x, og hvis kuvettestørrelse og bølgelængde fastholdes vil l og
tilsammen være en konstant. Heraf fås:
A = k * [farvestof]
Matrice lineare ligningssystemer:
Matrixregning er ikke den mest anvendte regningsmetode til løsningen af teoretiske skoleopgaver i
matematik, men bruges dog til at løse flere af dagligdagens problemer. Matrixregning bruges for det meste
til at løse ligninger, hvor der til og ofte involverer flere ligninger med flere ubekendte. Det anvendes fx til
optimering af fortjenester, eller minimeringen af udgifter. Det anvendes i en høj grad også indenfor
lægevidenskaben og i kemien. Bl.a. bruges det til at bestemmelse af stofkoncentrationer i fx blodprøver,
eller til at bestemme ukendte koncentrationer af farvestoffer i en farveblanding. Ved anvendelse af
matrixregning, spares der til på at løse mange forskellige ligninger ved at isolere variabler og
erstatninger(substitution). Her kan man nøjes med at løse én ligning, bestående af alle ligninger samlet i
ligningssystem.
Dette opnås ved at opstille alle ligningernes koefficienter i en matrix, og opstille variablerne i en anden
matrix og ligningernes resultat i en tredje matrix:
[navn fjernet] Kemi B og matematik A 22-12-09
3.y studieretningsprojekt
Levnedsmiddelfarver og matrixregning
12
Her er a
ij
og d
i
reelle tal, for i=1…m, j=1…n, og x
1
, ..., x
n
er de ubekendte.
Dette lineære ligningssystem kan omskrives til Matrixligningen: Ax=d.
=
hvor:
A, x og d kaldes for Matricer (ental: matrix). En anden måde hvor på man kan skriver en matrix er
A=[aij]
Ethvert lineært ligningssystem med m ligninger og n ubekendte kan altså skrives på matrixform,
som Ax = b, hvor A er Mat
m,n
(F) er matricen (a
ij
), b F
m
er matricen på højre side, og x = (x
1
, x
2
,
..., x
n
) F
n
er den ubekendte vektor.
For at løse ligningssystemet skal vi have isoleret x. dette gøres ved hjælp af en inversmatrix. Men
da den inverse matrix kun kan findes såfremt determinanten af A ≠ 0, undersøges først om
determinanten til A er lige 0. Fremkommer det at detA≠0 findes der netop en løsning til ligningen.
10
Her ville jeg vise hvordan man undersøger det med en (3x3) matrice, da en (4x4) matrix eller større
ville kræve meget mere udregning, og man er tilbøjelig for at lave små regne fejl.
For en (3x3) matrice undersøges det ved at tage den første søjle, og for hvert koefficient på den 1.
10
Udleveret ark om matricer og lineære ligningssystemer. Grete Ridder Ebbesen
[navn fjernet] Kemi B og matematik A 22-12-09
3.y studieretningsprojekt
Levnedsmiddelfarver og matrixregning
13
søjle fjerner vi dets række, samt den 1. søjle, og finder determinanten af de resterende koefficienter,
som ville være ”(2x2) matrix” og ganger det med koefficienten i den tilhørende søjle.
Altså hvis:
Så findes det(A) ved:
Og hvis determinanten ≠ 0, kan man nu den inverse matricen til at isolere x.
Den inverse (3x3) matrice findes ved:
Først finder vi minor matricen Aij, som findes for en (3x3) matrice A, næsten samme måde som vi
fandt determinanten til A. Ved at fjerne den i’te række og den j’te søjle for den respektive
koefficient og finde determinanten af de resterende koefficienter, (dette gælder for alle koefficienter
i alle søjler og rækker, og ikke kun den første søjle) men her skal koefficienterne ikke ganges på
determinanterne.
[navn fjernet] Kemi B og matematik A 22-12-09
3.y studieretningsprojekt
Levnedsmiddelfarver og matrixregning
14
Så udregnes determinanterne:
Hermed har vi vores minor matrice.
Nu skal minor matricen konverteres til cofaktor matricen. Og til dette benyttes fænomenet:
. Som indføres i vores minor matrice. Altså dette skal overlappe vores minor matrice så
hvert tegn i hvert punkt, ganges til dets respektive koefficient i minor matricen:
Hermed har vi vores cofaktor matrice.
Nu finder vi den adjugerede af A adj(A), som er cofaktoren af A, spejlvendt om diagonalen. Altså
forbliver diagonalen det samme.
mens koefficienter på siderne af diagonalen bytter plads.
Hermed har ve den adj(A).
[navn fjernet] Kemi B og matematik A 22-12-09
3.y studieretningsprojekt
Levnedsmiddelfarver og matrixregning
15
Tilbage til formlen for inverse matrice:
Hvis vi nu går tilbage til vores formel:
Herved er ligningen løst.
(det kan måske være lidt svært at se, men dette er altså en (3x1) matrix.
11
Selvfølgelig findes der flere måder at løse ligningssystemer på. En anden måde hvor på man kan
løse dette er ved determinantmetoden, som jeg ville bevise.
Bevis for determinantmetoden
Determinantreglen – løsning af ligninger med to ubekendte:
11
http://www.youtube.com/watch?v=S4n-tQZnU6o&feature=channel
http://mathworld.wolfram.com/MatrixInverse.html
[navn fjernet] Kemi B og matematik A 22-12-09
3.y studieretningsprojekt
Levnedsmiddelfarver og matrixregning
16
Ved et givet ligningssystem:
med de to ubekendte variabler x og y, er løsningen givet ved:
Beviset herfor kan føres vha. matrixregning. Følgende matrixligning kan opsættes for ligningssystemet:
Vi ønsker at løse denne ligning. Som nævn tidligere kan dette gøres vha. ab-matricens inverse matrix:
Denne matrix multipliceres ind i matrixligningen (foran på begge sider af lighedstegnet), og på venstre siden
opnås herved en enhedsmatix. Højresiden udregnes:
Hvis udtrykkene i den sidste matrix skrives som determinanter, fås determinantreglen:
[navn fjernet] Kemi B og matematik A 22-12-09
3.y studieretningsprojekt
Levnedsmiddelfarver og matrixregning
17
Og hermed er determinantreglen bevist, q.e.d.
Disse metoder kan bruges til at bruges til at beregne af farve stoffer i en farveblanding, som kan foretages
af spektrofotometrisk analyse af farveblandingen.
Fx
For en farveblanding med kun én farve, vil absorbansen kunne beregnes ud fra lambert-beers lov,
A = * l * [farvestof]
Men når farve blandingen indeholder flere farvestoffer, vil den samlede absorbans være summen af
absorbansen for de enkelte stoffer.
Dette kan også skrives som:
kuvettebredden har i dette tilfælde ingen betydning, da det er på 1cm, og derfor kan det udlades af
ligningen. Da ekstinktionskoefficienten er kendt ud fra målingerne for de rene farvestoffer, kan man opstille
tre simple ligninger med tre ubekendte. De ubekendte ville være de forskellige farvestoffers
koncentrationer.
λ(nm)
Methæmoglobin
Deoxyhæmoglobin
Oxyhæmoglobin
415
0,98*10^5
0,93*10^5
1,34*10^5
420
0,60*10^5
1,23*10^5
1,19*10^5
430
0,25*10^5
1,47*10^5
0,58*10^5
Heraf fås de tre ligninger:
[navn fjernet] Kemi B og matematik A 22-12-09
3.y studieretningsprojekt
Levnedsmiddelfarver og matrixregning
18
Dermed forekommer matriceligningen:
Og denne ligning løses ved hjælp af den inverse matrix, som tidligere.
Og dermed er koncentrationerne for farvestofferne fundet.
12
Selve forsøget:
Formål
Formålet med øvelsen er at bestemme koncentrationen af de etiketterede farvestoffer i sodavand(min
blanding).
Teori
Til bestemmelse af det forskellige farvestoffers koncentrationer anvendes spektrofotometri. Man måler
absorptionsspketret for et farvestof med et spektrofotometer.
Har vi fx en opløsningder kun indeholde et farvestof, kan vi ved hjælp af det såkaldte spektrofotometer
måle et absorptionspektrum for farvestoffet. Af absorbtionsspektret aflæses hvor absorbansen har
maksimum, altså absorptionen er mest kraftig, og der af kan man undersøge sammenhængen mellem
absorbans ved en bestemt bølgelængde og koncentration.
Rød breezer indeholder farvestofferne Amaranth(E123) Allura Red() karamel… og energidrikken indeholder
Quinolingult (E104) og sunset yellow.
Hvert farvestof har sit eget absorptionsspektrum, som vi kan bruge til at sandsynliggøre, at det er det rigtig
farvestof, vi har i vores opløsning. Vi vil i forsøget derfor optegne absorptionsspektret for farvestofferne for
at finde den bølgelængde, hvor det absorberer maximalt. Herefter vil jeg afbilde en standardkurve ud fra de
målte værdier og udregne koncentrationerne af de af de ukendte koncentrationer i disse drikke.
12
Ebbesen, anvendelser af lineære ligningssystemer i kemi, s 10-12
[navn fjernet] Kemi B og matematik A 22-12-09
3.y studieretningsprojekt
Levnedsmiddelfarver og matrixregning
19
Apparatur og kemikalier
1. Spektrofotometer, kuvetter (kantlængde: 1,00 cm), referencekuvette med dioniseret vand,
målepipetter og måleglas, vægt, pH-meter.
2. Rød breezer, farvestofferne Quinolingult (betegnes senere bare som gul) amaranth, sunset yellow,
puffer opløsning og dioniseret vand.
Fremgangsmåde
Som det første, startede jeg med at afgasse brezzeren, da CO2’en i brezzeren godt kan påvirke
farvestoffernes absorption. Herefter blander jeg det med sportsdrikken, i størrelsesforholdet 50:50 og
herved fremstilles ”min blanding”. Dette gjorde jeg fordi min henblik på farvestofferne var især rettet i mod
azofarvestoffer og skolen var ikke i stand til at forsyne mig med alle tre rene azostoffer som fandtes i den
røde breezer. Så derfor blandede jeg selv mit ejet mikstur af drikke som indeholdte tre azofarvestoffer,
hvilke skolen kunne forsyne mig de rene stoffer af.
Hernæst fremstiller jeg standardopløsninger til at lave standardkurve. Dette kom jeg frem til ved at
fremstille en række fortyndede opløsninger af de rene farvestoffer, hvor jeg nøje afmålte den tilsatte
mængde farvestof og den tilsatte mængde deioniseret vand. Og da farvestoffers absorption er pH
afhængigt, sørgede jeg for at, opløsningerne havde pH på 5. Til alt dette anvendte jeg små pippetter , vægt
pufferopløsning og pH-meter . Inden jeg gik i gang med at fortage mine målinger med spektrofotometeret,
måtte jeg kalibrere det med deioniseret vand (en slags kontrol forsøg). Først lavede jeg et
absorptionsspektra for ”min blanding”, så jeg kunne få et godt billede af hvordan det så ud.
[navn fjernet] Kemi B og matematik A 22-12-09
3.y studieretningsprojekt
Levnedsmiddelfarver og matrixregning
20
Dernæst lavede jeg absorptionsspektre for de oprindelige farvestoffer med kendt koncentrationer. Deraf
fandt jeg hvor farvestofferne havde absorptionsmaksimum og derved fastsatte hvilken bølgelængde der
skulle bruges til resten af målingerne.
Da standardopløsningerne var fremstillet, målte jeg absorbansen på dem og ud fra det fremstillede jeg
standart kurverne, hvorfra jeg så kunne bestemme ekstinktionskoefficienterne.
(standardkurverne kan ses på bilag 6)
Databehandling
Her har jeg valgt at bruge de punkter hvor hvert enkelt farvestof har absorptionsmaksimum.
λ (nm)
Min blanding
Amaranth
Quinolin gult
Sunset yellow
414,2
1,642506
0,41437
1,219518
0,879212
464,9
1,632571
0,793993
0,221539
1,367291
533,3
1,331782
1,077172
0,008296
0,401903
Da Lambert Beer siger, at absorptionen findes ved:
Fremkommer ligningerne:
[navn fjernet] Kemi B og matematik A 22-12-09
3.y studieretningsprojekt
Levnedsmiddelfarver og matrixregning
21
Hermed forekommer matriceligningen. A * x = d:
Hvor:
Hernæst undersøger jeg om der kun er en løsning, ved at undersøge om determinanten er forskellige fra
nul. (dette gør ved hjælp af ti-interactiv)
detA = 1,23474
da jeg nu ved at der kun er en løsning, ville jeg nu løse ligningen ved at isolerer c-matricen ved hjælp af den
inverse matrice til A. c = A^-1 * d. (her finder jeg A^-1 ved hjælp af ti-interactiv)
Jeg har nu bestemt x, som er den ukendte koncentration af farvestoffet i den ukendte opløsning som er
divideret med den kendte koncentration fx[amaranth] i den kendte koncentration i farvestoffets
standardkurve:
[navn fjernet] Kemi B og matematik A 22-12-09
3.y studieretningsprojekt
Levnedsmiddelfarver og matrixregning
22
Nu skal jeg altså finde den aktuelle koncentration af farvestofferne. Dette gør jeg ved at C* men mine x
værdier:
Diskussion/fejlkilder
Forsøgsprocessen gik egentlig fint som det skulle. Alt blev gjort så omhyggeligt som jeg nu kunne. Mine
resultater var ikke helt perfekte, men de kan dog klassificeres som kvalificeret resultater. Fx de
standardkurver som jeg fremstillede af standardopløsningerne afveg lidt. Dette kan dog skylles at pH-
værdien af farve opløsningen ramte ikke helt plet, eller mine standard opløsninger havde alt for høje
koncentrationer, da med alt for høje koncentrationer vil absorptionerne af de forskellige opløsninger ikke
være regelmæssige, hvilke vil føre til afvigelsesfuld standardkurve.
At skulle præciser hvad den acceptable daglige indtagelse af azofarvestoffe kan være lidt problematisk, da
påvirkningen af disse stoffer er ikke ens for enhver individ.
Hvis man kigger på positivlisten
13
, hvis officielle navn er Fortegnelsen over godkendte tilsætningsstoffer i
levnedsmidler, og som beskriver i hvilke madvarer farvestofferne må forekomme og i hvilke
maksimalekoncentrationer, ses det at quinolingult’s ADI ligger på 10,0 mg per kg legemsvægt, dog tager
danne ADI ikke højde for overfølsomhedsproblemer. Dette er dog ikke det store problem da de fødevarer
dette må anvendes i, må der anvendes 100 mg/liter i læskedrikke og 50-500 mg/kilo, og for at dette skal
13
Henrik Parbo: ”Bag den farvede virkelighed”
[navn fjernet] Kemi B og matematik A 22-12-09
3.y studieretningsprojekt
Levnedsmiddelfarver og matrixregning
23
overskrides, skal man fx drikke seks liter væske med den maksimalmængde af stoffet. Og ifølge mine
resultater, overskrider det ikke den accepteret daglige indtagelse.
Kigger vi derimod på sunset yellow har det en betydelig lavere ADI, som er på 2,5 mg/kg legemsvægt. Så
som quinolin gult, tager denne ADI heller ikke hensyn for overfølsomhedsproblemer dette skyldes at det er
hyppigt rapporteret til at give allergilignende symptomer. Den maksimale forholdsvis lavt da dets ADI er
relativ lavt, men alligevel ville det kunne overskrides ved ”skævt” forbrug. Og ser man på min resultat,
overholder det grænsen.
Ser vi på amaranth har det en utrolig lavet ADI, som er på 0,75 mg/kg legemsvægt. Dette skyldes at man
har mistanke om, at det er fosterskadende og kræftfremkaldende og har faktisk været forbudt at anvende
det som levnedsmiddelfarvestof i nogle lande. Ironisk nok forekom det af mine resultater, at amarant var
det stof der var mest af, men heldigvis overskrider det heller ikke grænserne
Konklusion
Alt i alt har jeg fået redegjort for matrice lineær ligningssystemer, redegjort for farvestoffernes kemiske
opbygning og kommet frem til nogenlunde resultater i forsøget. Dette var ikke så vellykket som det kunne
have været, men der var desværre ikke tid til at lave et nyt forsøg.
Litteraturliste
http://www.astro.ku.dk/~erik/AlderLys.pdf
http://en.wikipedia.org/wiki/Sunset_Yellow_FCF
http://en.wikipedia.org/wiki/Amaranth_(dye)
http://en.wikipedia.org/wiki/E104
http://www.youtube.com/watch?v=8PiL-ceRHZQ
http://www.youtube.com/watch?v=ree49ge4VA4&feature=related
http://www.youtube.com/watch?v=3mJdxJ2ItSo&feature=related
[navn fjernet] Kemi B og matematik A 22-12-09
3.y studieretningsprojekt
Levnedsmiddelfarver og matrixregning
24
http://www.youtube.com/watch?v=I9mXoN8HG7M&feature=related
http://www.youtube.com/watch?v=S4n-tQZnU6o&feature=channel
kend kemien 2. Parbo/Nyvad/Mortensen.
Kemi mellem niveau. Munthe/søren.
Farve lærebogen. Lyhne/Lødsen
Kemi 3 hverdag og videnskab. Paul Jespersgaad
Kemi i perspektiv 2. Andersen/Parbo
Udleveret ark om matricer og lineære ligningssystemer. Grete Ridder Ebbesen
Udleveret kemiøvelses ark. AB+JK