HTX - [navn fjernet] Gymnasium
[navn fjernet] 2.A Lærer: Hedinn Bjornson
Matematik A Side 1 af 8
Logistisk vækst og epidemi
Indhold
Indledning .......................................................................................................................................................... 2
Teori ................................................................................................................................................................... 2
Udregning .......................................................................................................................................................... 5
Konklussion ........................................................................................................................................................ 8
Vurdering ........................................................................................................................................................... 8
HTX - [navn fjernet] Gymnasium
[navn fjernet] 2.A Lærer: Hedinn Bjornson
Matematik A Side 2 af 8
Logistisk vækst kan også være opstillet
på følgende måde
hvor
Her ser løsningsfunktionen blot lidt
anderledes ud
Differensation af sammensat funktion
(kæderegel)
Forskudt eksponentiel vækst
har løsningen
Indledning
Denne opgave handler om at skønne udbredelsen af en sygdom, hvor smitten følger et logistisk
forløb, da smitten vil brede sig hurtigere og hurtigere i takt med, der er flere som bliver smittet.
Man antager altså en sammenhæng mellem antal smittede, S, i forhold til tiden, T, som
tilfredsstiller differentialligningen
Af erfaring skønner man yderligere at der i gennem hele tidsperioden vil blive smittet 1.000.000
mennesker før smitten går i stå igen.
©opyrigts 2015
All rights reserved on all figures.
Teori
Logistisk vækst er beskrevet med differentialligningen
og væksten er ofte som funktion af tiden, t.
For at finde frem til løsningsformlen kan følgende
udledning gøres
Multipliceres et led på begge sider
Højre side forkortes lidt
Derefter reduceres venstre side ud fra reglen om
differensation af sammensat funktion
Dette udtryk svarer til forskudt eksponentiel vækst - blot hvor a og b er byttet rundt, og hvor y
erstattet med
. Derfor kan differentialligningen ovenfor løses ligesom forskudt
eksponentielvækst, hvor løsningen bliver
HTX - [navn fjernet] Gymnasium
[navn fjernet] 2.A Lærer: Hedinn Bjornson
Matematik A Side 3 af 8
Ovenfor bliver konstanten ad gode grunde kaldt k
1
. Forklaring følger.
For at få y til at stå alene, kan der ganges med y og deles med
på begge sider, så der
kommer til at stå
For at gøre højre side mere læselig, ganges med
i både tælller og nævner
Men da både a og b er konstanter reduceres udtrykket i nævneren
En differentialligning for logistisk vækst har altså (den ikke trivielle) løsning
Logistisk vækst har i modsætning til exponentielvækst et maximum. Det skyldes, at man i
differentialligninen har tilføjet en grænse/dæmper, ved at multiplicere et ekstra led på
differentialligningen.
Eksponentiel vækst er beskrevet med differentialligningen . Men ved logistisk er der som
sagt tilføjet et led mere.
Derfor er der flere ting, som er karakteriskt ved logistisk
vækst.
Logistisk vækst forekommer oftest som funktion af tid,
hvor væksten vil have en løsning, der danner en kurve
som vist på figur 1 - forudsat at væksten er positiv!.
Som det ses flader kurven modsat ekspononentielvækst
ud, når det nærmer sig maksimum (dæmpningen)
Figur 1) afbillede af positiv logistisk vækst
HTX - [navn fjernet] Gymnasium
[navn fjernet] 2.A Lærer: Hedinn Bjornson
Matematik A Side 4 af 8
Den indlagte dæmpning kan også illustreres Y' som funktion
af Y, som viser hvordan hastigheden for udviklingen har form
som et andengradspolynomie. På figur 2 ses det hvordan
hastigheden pludselig aftager, og til sidst går i nul.
Når man tager et kig på den logistiske vækst, ses det også,
at, hvis man ganger y ind i parantesen, fås et
andengraddspolynomie som funktion af y
og da a-leddet er negativt, vil grafen komme til at ligne en
sur mund.
Samtidig kan det så siges, at når hastigheden er lig med 0, vil
sælve væksten også gå i stå.
Figur 3) Sammenhæng mellem hastighed og vækst
Ud fra figur 3, kan det aflæses, hvad den maksimale vækst vil være. I differentialligningen for
logisk vækst skal Y' være lig 0, for at finde det tidspunkt, hvor væksten står stille, og når y' mærke
er udtrykt som et podukt, gælder at den ene part af produktet skal være lig med 0, for at y' selv
bliver 0.
Så enten skal y være lig 0, eller også skal b-ay være lig 0. Ud fra figur 3 er det nemt at se, at y=0
findes ved begyndelsen af væksten. Derfor må vækstens grænse altså være når b-ay er lig med 0.
Figur 2) Hastigheden aftager
HTX - [navn fjernet] Gymnasium
[navn fjernet] 2.A Lærer: Hedinn Bjornson
Matematik A Side 5 af 8
Herudfra kan y isoleres, og det fremkommer at
Det betyder at grænseværdien for en logistisk vækst svare til
som (næsten) opnås når tiden, t,
går mod uendelig.
Så en oversigt over teorien er vist på figur 4. Yderligerer illustrerer figur 4 også den positive
logistiske vækst i forhold til negativ logistisk vækst.
Figur 4) En oversigt over positiv og negativ vækst
Udregning
Antal smittede mennesker i forhold til tiden vil have løsningen,
for at passe ind i differentialligningen for (positiv) logistisk vækst, hvor noget forøges.
Da der allerede kendes antal smittede ud fra kan disse værdier allerede sættes ind i
løsningen
HTX - [navn fjernet] Gymnasium
[navn fjernet] 2.A Lærer: Hedinn Bjornson
Matematik A Side 6 af 8
Derudover kan der også opstilles en anden ligning, når det vides, at der samlet set smittes
1.000.000 mennesker før væksten går i stå
Hvis der antages, at tiden, t, måles i uger, vil der i uge i være smittet 3920 mere. Derfor kan der
igen stilles en ligning op ud fra
De tre ovenstående ligninger med tre ubekendte kan nu løses, så konstanterne, k, b og a, kan
bestemmes (udregnet vha. maple).
Dermed er den bestemte løsning til diferentialligningen
Denne
funktionsforskrift vil se
ud som vist på figur 5
Figur 5)
Antallet af smittede mennesker
HTX - [navn fjernet] Gymnasium
[navn fjernet] 2.A Lærer: Hedinn Bjornson
Matematik A Side 7 af 8
Hastigheden for hvor hurtigt smitten breder sig svarer til hældningskoeficienten, så for at finde
den uge, hvor antallet af smittede per uge overstiger 20.000 skal differentialkoeficienten først
findes (maple brugt).
Herefter kan hastigheden, v, sættes til 20.000 og tiden, t, kan
isoleres derfra
Der er altså som forventet to tispunkter, hvor hastigheden er
på 20.000 smittede pr. uge.
Så tidspunktet, t
0
, hvor tiden, t, overstiger 20.000 smittede
pr. uge er
For at finde ud af, hvor hastigheden er størst, skal toppunktet
på hastighedsfunktionen findes. Det kan ske ved at differentiere hastigheden og sætte
differentialkoeficienten lig med 0, da hældningen i toppunktet er 0 (calculator brugt).
Så der hvor hastigheden er størst, er ved tidspunktet, t
1
Den eksakte hastighed kan blot findes ved at sætte tiden, t, til 21,27 i forskriften for hastighed.
95% af det samlede antal forventede smittede er
Figur 6) Hastigheden af væksten
HTX - [navn fjernet] Gymnasium
[navn fjernet] 2.A Lærer: Hedinn Bjornson
Matematik A Side 8 af 8
For at finde ud af, hvornår det samlede antal af smittede er 950.000, skal antallet af smittede, S,
sættes til 950.000
Tidspunktet, t
2
, til kan findes enten ved at aflæse t-værdien på grafen over smittede
eller ved at sætte tallet ind på S's plads i funktionsforskriften og løse for tiden, t.
Tidpunktet, t
2
, hvor 95% af det
forventede antal smittede er nået er
Konklussion
Det er muligt ud fra de få informationer og erfaringer at opstille en funktionsforskrift passende til
differentialligningen for logistisk vækst.
Med funktionsforskriften er det muligt at aflæse sig frem til hvor mange og hvor hurtigt smitten
rammer befolkningen, hvoraf det blev aflæst at 95% af det forventede antal smittede er nået efter
37,36 uger.
Vurdering
Logistisk vækst er en fremragende metode til at estimere fremkomne sammenhænge, hvilket er
rigtig brugbart i verdenen i dag.
Bl.a. når der i dag produceres og sælges mange produkter fra en producent, er det dejligt at vide,
hvordan efterspørgslen og salget af de nye produter vil stige helt vildt i starten, når folk med tiden
lærer produktet at kende, men senere ikke køber produktet længere, da alle har det, eller det ikke
er atraktivt længere.
Ydermere viser sådanne logistiske sammenhænge - dannet ud fra tidligere erfaring - også hvor
lang tid en producent har til at komme frem med et nyt/andet atraktivt produkt som også sælges,
så det gode salg vil fortsætte.
Figur 7) Afæsning af S=950.000