Side 1 af 43
Eksamensspørgsmål i matematik 2.g – B-niveau - Noter
1. Tal, regneteknik og andengradspolynomier
Redegør kort for kvadratsætninger, potensregneregler og ligningsløsning. Bevis løsningsformlen for
en generel andengradsligning.
Disposition
1. Først vil jeg komme ind på kvadratsætningerne.
2. Dernæst vil jeg hurtigt gennemgå potensregnereglerne.
3. Til sidst vil komme ind på de 2. Gradsligninger. Herunder ligningsløsninger og beviset for
løsningsformlen for en generel andengradsligning.
1. Kvadratsætning:
2
22
()
( ) ( )
2
ab
a b a b
a b ab
2. Kvadratsætning:
(a+b)×(a-b)
a
2
-b
2
Potenregneregler
2 4 6
()
m n m n
m
mn
n
m m m
a a a
a
a
a
a b a b
a a a
Andengradspolynomiet
a, b, c = ligningens koefficienter
ax
2
= 2. gradsleddet
bx = 1. gradsleddet
c = konstantleddet
Side 2 af 43
For at kunne bevise løsningsformlen til en generel andengradsligning, er jeg nødt til at omskrive den
generelle ligning:
2
22
2 2 2
2 2 2
2
0
4 4 4 0
4 4 4 4
4 4 , så bruges 1. kvadrat sætning:
(2 )
ax bx c
a x abx ac
a x abx ac b ac d
a x abx b d
ax b d
2
0
Da kvadratet (2ax+b) ikke kan blive negativt,
er der ingen løsning (når man gange det ud, kan det ikke blive negativt)
0 1 l ,
2
for dette (brug den omskrevede fra ti
d Ingen løsning
b
d øsning x
a
Bevis
2
2
dligere):
(2 ) 0
(2 ) 0
20
2
Dette er desuden også formlen for at finde toppunktet i en 2.gradsligning
2
0 2 ,
2
for dette ses nedenfor:
2
2
ax b
ax b
ax b
ax b
b
x
a
bd
d L x
a
Beviset
d ax b
bd
x
a
Side 3 af 43
2. Polynomier og parabler
Redegør for grafen for et andengradspolynomium. Kom herunder blandt andet ind på nulpunkter og
toppunkt.
Disposition
1. Først vil jeg komme ind på, hvordan grafen for et andengradspolynomium kan se ud.
2. Dernæst vil jeg forklare om et andengradspolynomiums 0-punkter og forklare om toppunktet til
et andengradspolynomium.
3. Til sidst vil jeg bevise formlen for toppunktet til et andengradspolynomiumet.
a = Hvor meget parablen stiger/falder,
bred/smal
b = Se tegning
c = Fortæller hvor på y-aksen parablen
skærer.
d = Hvor mange gange den skærer på x-
aksen.
Nulpunkter (side 24 i B2)
Definition: Ved et nulpunkt (rod) for en funktion forstås en x-værdi for et skæringspunkt mellem
grafen og x-aksen, dvs. en x-værdi, der giver y = f(x) = 0.
Det vil sige, at man sætter andengradsligningen = 0
0 = ax
2
+ bx + c
Antallet af nulpunkter afhænger af d’s fortegn (SE FORRIGE SIDE).
Side 4 af 43
Toppunkt (side 22+23 i B2)
Der findes en hjælpesætning, som siger, at grafen for f(x) = a (x-h)
2
+ k er en parabel med toppunkt
i (h,k).
Bevis for, at udtrykket a (x-h)
2
+ k altid kan omskrives til ax
2
+ bx + c.
2
22
22
22
( ) Gang parantesen ud
= a(x 2 ) Gang a ind i paratensen
= ax 2 Byt om på to led
= ax 2 Sæt -2ah
a x h k
h xh k
ah axh k
axh ah k
2
2
2
2
= +b og ah = +c
ligningen b=-2ah fås (del med 2a på hver side og gang med -):
h= --> Er x-koordinat til toppunkt
2
Ligningen c=ah giver y-koordinaten således:
k=c-ah
k
ax bx c
Af
b
a
k
2
2
2
Indsæt h = -
2
( ) Gang parantesen ud
2
( ) ( ) Gang tæller med tæller og nævner med nævner
22
4
b
a
b
k c a
a
bb
k c a
aa
b
k c a
a
2
2
2
2
2
Fællesnævner 4a
4
4 1 4
4
44
4
Indfør d = b 4
4
4
vi ved, at y=a(x-h) fremstiller en parabel med toppunkt i (h,k),
a c b
k
aa
ac b
k
aa
ac b
k ac
a
d
k
a
Da k har vi bevist sætningen.
( , )
24
bd
T
aa
Side 5 af 43
3. Sammenhænge og modeller
Redegør for begreberne proportionalitet og omvendt proportionalitet. Beskriv en lineær
sammenhæng og bevis herunder formlen
12
12
xx
yy
a
.
Kom ind på regression.
Disposition:
1. Først vil jeg forklare begreberne proportionalitet og omvendt proportionalitet.
2. Dernæst vil jeg beskrive en lineær sammenhæng og forklare kort hvad en matematik model er.
3. Så vil jeg bevise formlen for, hvordan man finder a i en lineær funktion:
12
12
xx
yy
a
4. og, til sidst vil jeg komme ind på regression.
Proportionalitet (side 64 i AB1)
At noget er proportionalt, betyder at forholdet mellem to variabler er konstante (vokser i samme
takt). Dvs. .
Omvendt proportionalt (side 66 i AB1)
To variabler kaldes omvendt proportionalitet, hvis deres produkt er konstant.
Hvis vi gør x dobbelt så stor, bliver y halvt så stor.
2 ud, 1 op
4 ud, ½ op
8 ud, ¼ op
2*1 = 2 4*½ = 2 8 * ¼ =2 Altså er 2 en konstant.
Side 6 af 43
Lineær sammenhæng
Forskrift for en ret linje er: y = ax + b
En lineær sammenhæng kunne opstilles således:
x
-2
-1
0
1
2
3
y
-5
-3
-1
1
3
5
Dette ville danne en ret linje, og derfor kan man sige, at det er en lineær sammenhæng.
En anden måde at forklare det på kunne være sådan, som det er tegnet på figuren nedenfor:
Vi kan se, at y = |BC| + |DB| = |BC| + b
De to trekanter der kan ses, er begge ensvinklede, fordi de har <A fælles og begge har en ret vinkel.
Derfor kan vi slutte, at det gælder:
| | | |
| | kalder vi for x
1
||
Der ganges med a på begge sider
1
||
*
1
| |
BC AB
AB
a
BC x
a
BC ax
a
a
BC ax
Dette indsætter vi i ligningen y = |BC| + b og får:
y = ax + b
Matematik model
Er noget, som prøver at beskrive en sammenhæng i den virkelig verden.
Fx prisen for taxa-kørsel (startgebyr (b), pris (y-akse), min (x-akse), a (pris pr. min), x (antal min).
SKITSER GRAFEN HURTIGT!
Side 7 af 43
Bevis for a i en lineær funktion
TEGN TEGNING NEDENFOR PÅ TAVLEN
Tilvæksten i x-aksens retning kaldes for: ∆x
Tilvæksten i y-aksens retning kaldes for: ∆y
Da begge trekanter har <A tilfælles og har en ret vinkel, er de ensvinklede.
Forholdet mellem ensliggende sider er derfor konstante:
1
*1
*
21
21
a
yx
ay
y
yx
y
a
x
y y y
a
x x x
Regression
Eksempel (BRUG LOMMEREGNER):
År
1981
1984
1985
1988
1998
1999
2002
2003
2007
tid
7698
7685
7632
7610
7565
7542
7538
7495
7466
Udviklingen i verdensrekorderne for en maraton i perioden kan beskrives ved
en model af typen y = ax+b , hvor x betegner tiden målt i år efter 1981, og y betegner
verdensrekorden målt i sekunder.
VIS PÅ LOMMEREGNER, og bagefter UDEN LOMMEREGNER (vælg to punkter ∆y / ∆x
Sæt punkt ind og isoler b):
Statlist Skriv tallene ind i list 1 og 2 (list 1 = 0, 3,4,7,17,18,21,22,26) (list 2 = 7698 osv.)
Vælger F4 (calc) Regression LinReg (ax+b), fordi det er en lineær funktion.
a = -8,18776 b = 7680,57
Side 8 af 43
4. Statistik og sandsynlighedsregning
Kom ind på følgende begreber: Observationssæt, middelværdi, trappediagram, histogram, sumkurve
og boxplot.
1. Først vil jeg komme ind på, hvordan et observationssæt kunne se ud herunder middelværdi.
2. Dernæst vil jeg forklare om trappediagram, histogram og sumkurver, og give eksempler på,
hvordan disse kunne se ud.
3. Til sidst vil jeg forklare om, hvordan man tegner et boxplot.
Observationssæt/sygedage for elever
Antal Syge
0
2
11
4
5
3
5
2
5
Dag
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Observationssættets størrelse: 9 (samlede antal observationer)
Mindsteværdien: 0
Højsteværdien: 11
Typetallet: 5 (det tal som optræder flest gange)
Middelværdien/Medianen: ca. 4 (37 / 9) (Gennemsnittet af alle tallene - plus alle
tallene med hinanden og divider med antal af tal).
Ved middelværdien forstår man:
1 2 3
1
...
1
n
n
i
i
x x x x
X
n
Xx
n
∑ = Bruges til at angive, at tal skal lægges sammen.
i = variabel som løber fra 1 til n. Første led ved at sætte i = 1, andet led ved at sætte i = 2 osv.
Side 9 af 43
OBS! OBS! OBS! OBS!
Til TRAPPEDIAGRAM & HISTOGRAM, brug tal nedenfor.
Trappediagram: Et trappediagram er et diagram der ud fra statistisk beskriver hyppigheden og
observationerne, ud fra summeret frekvens (det vil sige, at det skal nå 100 % til sidst) Se tegning
nedenfor.
LAV ET HURTIGT EKSEMPEL PÅ, HVORDAN ET TRAPPEDIAGRAM KUNNE SE UD!
Histogram
y-akse = frekvens
x-aksen = Observationer
Her tegner man bare de observationer der
er ind, under frekvens (normal %-del).
LAV ET HURTIGT EKSEMPEL PÅ,
HVORDAN ET HISTOGRAM KUNNE
SE UD!
Antal cigaretter pr. dag
5-10
10-15
15-20
20-25
25-30
30-35
Antal personer
74
119
127
129
32
50
Frekvens %
13,9
22,4
23,9
24,3
6
9,4
Summeret frekvens %
13,9
36,3
60,2
84,5
90,5
100
Side 10 af 43
Sumkurve – Summeret frekvens
Eksempel – Grupperede observationer = Genstande om måneden
Observationer
0-50
50-60
60-70
70-80
Hyppighed
0
9
11
5
Frekvens
0,00
0,36
0,44
0,2
Summeret
frekvens
0
36 %
80 %
100 %
TEGN SUMKURVE UD FRA DE GRUPPEREDE OBSERVATIONER OVENFOR
HUSK: Man skriver kun det sidste tal af de grupperede frekvenser (50, 60, 70, 80)
TEGN KVATILSÆT, og derefter BOXPLOT!
Man finder den summerede frekvens ved først at finde frekvensen (observation / samlede antal
observation * 100).
Den summerede frekvens er så, når man ligger frekvenser sammen, og til sidst giver det 100 %. Se
tegning ved siden af.
Boxplot: For at tegne et boxplot skal man kende kvartilsættene (25 %, 50 %, 75 %)
Først tegner man x-aksen. Så tegner man boxen over x-aksen:
Hvor venstre streg er: Minimum
Venstre side af boxen: Nedre kvartil
Midten af boxen: Median
Højre side af boxen: Øvre kvartil
Højre side af stregen: Maximum
Side 11 af 43
5. Statistik og sandsynlighedsregning
Med udgangspunkt i din rapport om øl-smagning gør rede for begrebet binomialtest.
Tjek rapport om øl-smagning.
Disposition
1. Til at starte med, vil jeg forklare, hvad vores forsøg gik ud på.
2. Bagefter vil jeg fortælle, hvad vores antagelse var, og fortælle om vores resultater i testen, og
hvordan vi finder frem til dem.
(Binomialtest – Fortæl MÅSKE)
Denne test benyttes ti at undersøge stikprøver, hvor antallet med en bestemt farve, politik holdning
eller kvalitetsniveau kan antages at være binomialtfordelt.
Det vil sige, at man har en hypotese og derefter laver man en stikprøve, og det vil vise, om
hypotesen kan bekræftes eller forkastes.
Eksempel:
- Erfaring viser, at 10 % af leverede appelsiner er dårlige.
- En stikprøve med 50 appelsiner (stikprøven betragtes som samme eksperiment 50 gange i
træk).
Antallet af dårlige frugter i stikprøven er derfor binomialfordelt med:
- Antalsparameter = 50
- Sandsynlighedsparameter (for at appelsinen er dårlig) = 0,10
Nulhypotese: Der er 10 % dårlige appelsiner
Modhypotese: Der er flere end 10 % dårlige appelsiner.
Side 12 af 43
Forsøg / Binominaltest – KAN MAN SMAGE FORSKEL PÅ TUBORG OG CARLSBERG?
Binomialfordeling = Vi har lavet det samme forsøg 38 gange.
Prøvesmagning af Tuborg og Carlsberg:
- 2/3 glas er Tuborg
- 1/3 glas er Carlsberg.
Antagelse: Man kan IKKE smage forskel.
n = antal deltager = 38
Der er 1/3 der vil gætte rigtigt (p = 1/3).
Der var 23 der svarede rigtigt.
TI.StatbinomCdf (n,p,r) TI.StatbinomCdf (38,1/3,23) = 0,99984 ) 99,98 %
Sandsynligheden for, at 23 eller derunder svarer rigtigt P(X≤23)
Vores signifikansniveau er (100-99,98) = 0,02 % Antagelsen forkastes
Cdf = kumuleret frekvens.
Signifikansniveau = 5 %
P (antagelse) = Sandsynlighed for, at antagelsen den er mindre eller lig med 5 %.
P = sandsynlighed
P (x = r) = K (n,r) ∙ p
r
(1-p)
n-r
Eksempel
P (x=7) = K (20,7) ∙ (1/3)
7
∙ (1-1/3)
20-7
Sådan skrives det ind på lommeregner (vælg ”n” inde i catalog): nCr (20,7) = 77520 (hvor mange
kombinationer der er ved at vælge 20/7)
P (x=7) = 77520 ∙ (1/3)
7
∙ (2/3)
13
P (x=7) = 0,182 = 18,2 % (for at præcis 7 gætter rigtigt).
På lommeregneren: TI Stat.binompdf (20,1/3, 7) = 0,182 = 18,2 %
Side 13 af 43
For at finde den kumulerede frekvens:
På lommeregneren: TI Stat.binomcdf (20, 1/3, 11) = 0,987 = 98,7 %
Her finder man, hvor stor sandsynligheden er for, at 0-11 personer vil svare rigtigt. Det er 98,7 %.
Derfor må der være 1,3 % chance for, at 12 personer eller derover svarer rigtigt.
- Tallet 77.520 angiver hvor mange kombinationer der er ved at vælge 20/7.
- (20,7) angiver antal kombinationer hvor man kan vælge 7 ud af 20.
- 18,2 % angiver sandsynligheden for at præcis 7 gætter rigtigt.
- For at finde ”binom”, trykkes på catalog F3 Så kommer det frem.
- TIbinomCdf (20, 1/3, 11) bestemmer, hvor stor sandsynligheden er for, at
11 eller derunder svarer rigtigt. Hvis man tager tallet 98,7 og minusser
med 100, får man hvor stor sandsynligheden er for, at 12 eller derover
svarer rigtigt. Dette gælder ved et signifikansniveau på 1/3, og vi har en
hypotese der hedder: ”Ingen kan smage forskel”.
R
P(x=r)
0
1
2
3
4
5
14,57
6
18,2
7
18,2
8
Side 14 af 43
6. Geometri og trigonometri
Redegør for begreberne sinus, cosinus og tangens. Bevis regnereglerne for hhv. sinus, cosinus og
tangens til en spids vinkel i en retvinklet trekant. Kom ind på ikke retvinklede trekanter
Disposition
1. Først vil jeg forklare kort, hvad begreberne sinus, cosinus og tangens.
2. Herefter vil jeg bevise regnereglerne, for hhv. sinus, cosinus og tangens til en spids vinkel i en
retvinklet trekant
3. Til sidst vil hurtigt komme ind på vilkårlige trekanter, og hvordan man kan bruge sinus og
cosinus. Hvis der er tid, vil jeg også bevise sinus- og cosinusrelationerne.
Sinus, cosinus og tangens
- Ved sinus til en vinkel v forstås andenkoordinaten til vinklens retningspunkt på en
enhedscirkel (Se tegning nedenfor til venstre).
- Ved cosinus til en vinkel v forstås førstekoordinaten til vinklens retningspunkt på en
enhedscirkel (Se tegning nedenfor til venstre).
- Ved tangens til en vinkel v forstås:
Man kan ikke udregne tangens til vinklerne 90 og 270. Det skyldes, at cosinus til disse to vinkler =
0 (man kan ikke dividere med 0). Tanges er et udtryk for, hvor stærkt hypotenusen hælder.
2. koordinat
1. koordinat
2. koordinat
sin
tan
cos
v
v
v
Side 15 af 43
Bevis for regnereglerne, for hhv. sinus, cosinus og tangens til en spids vinkel i en retvinklet
trekant
TEGN TREKANTEN TIL
HØJRE
Ifølge definitionen på cos A og sin A gælder der:
Cos A = |AS| og Sin A = |RS| De er proportionelle
∆ARS er ensvinklet med ∆ABC, fordi de har vinkel A tilfælles og begge er retvinklede. Af
sætningen om ensvinklede trekanter gælder det:
sin 1
1
ligningen = : A=
sin 1
ligningen = : A=
Endelig kan vi finde tan A ved at dividere sin A med Cos A:
tan A =
A
kan dividere med en
A cos A
a b c
cos A b
Af får vi cos
b c c
Aa
Af får vi sin
a c c
a
sin A
c
b
cos
c
Man
brøk ved at gange med den omvendte:
tan A = .
a c a
c b b
modstående katete
sin
hypotenuse
hosliggende katete
cos
hypotenuse
modstående katete
tan
hosliggende katete
a
A
c
b
A
c
a
A
b
Side 16 af 43
Sinus og cosinus i en vilkårlig trekant
Først skal man bevise: T=½ bc Sin A og T=½ ac sin B
PÅ SIDE 250 NEDERST TEGNES:
½ h Formel for en trekants areal.
Man kan finde højden i en retvinklet trekant således: Det gælder:
SinC=
b SinC=
b SinC
a
a
a
a
TREKANT
Ta
h
b
h
b
b
h
Hermed er h definerert, og kan indsættes i den første ligning:
½ h ½ ab SinC
a
a
T a T
Sinusrelationerne + bevis:
sin sin C
a b c
sin A B
Vi beregner trekantens areal på to måder. Tager vi udgangspunkt i <A, får vi arealet
T=½ bc sin A. Med udgangspunkt i <B får vi: T = ½ ac sin B.
Der findes kun et areal, derfor må det gælde:
½ bc sin A = ½ ac sin B ½ går ud med hinanden
sin = ac sin B c går ud med hinanden
b sin A = a sin B del med sin B på hver side
sin
bc A
b
A
Der deles med (ganges med den omvendte)
sin 1
1 sin A 1
Sin A går ud med hinanden.
sin
sin sin
var den første a
SinA
a
B
b
a
SinA B SinA
ba
BA
Dette f de tre ligninger i sinusrelationerne.
Den næste får man ved at tage: T=½ ac sin B og T=½ ab sin C
Side 17 af 43
Cosinusrelationerne + bevis
2 2 2
2 cos C
Byt om på a,b eller c, alt efter hvilken side der skal findes.
SIDE 253 i BOGEN - TEGN NEDERSTE TREKANT - DEN TIL HØJRE
Højden i trekant ABC fra A og ned til grundlinjes punkt, som jeg
c a b ab
2 2 2
kalder D.
Vi har nu to stykker på grundlinjen. Den ene hedder |DC| den anden | | (a minus x).
Så kan Pythagoras anvendes i trekanten ABD (den største).
( ) Pa
a
BD
a x h c
22
2 2 2 2
2
2 2 2
2 2 2
rantes ganges ud
( )( ) Paranteser ganges sammen
anvendes i ADC (vi vil gerne af med )
+
= b
a
a
a
a
a
a x a x h c
a ax xa x h c
Pythagoras h
x h b
hx
2
2 2 2 2 2 2
2 2 2
Dette indsættes på ' plads i det vi fik før
2 b x går ud med hinanden
b2
at få x væk sætter man cos C = ind (gang med b på begge
a
hs
a ax x x c
a ax c
x
For
b
2 2 2
sider, for at få x til at stå alene) :
sidst får man så: 2 cos CTil c a b ab
Side 18 af 43
7. Geometri og trigonometri
Redegør for begreberne sinus og cosinus. Bevis cosinusrelationen.
Disposition
1. Først vil kort redegøre for begreberne sinus og cosinus.
2. Herefter vil jeg bevise cosinus- og sinusrelationerne.
Sinus og cosinus
- Ved sinus til en vinkel v forstås andenkoordinaten til vinklens retningspunkt på en
enhedscirkel (Se tegning nedenfor til venstre).
- Ved cosinus til en vinkel v forstås førstekoordinaten til vinklens retningspunkt på en
enhedscirkel (Se tegning nedenfor til venstre).
2. koordinat
1. koordinat
Side 19 af 43
Sinus og cosinus i en vilkårlig trekant
Cosinusrelationerne + bevis
2 2 2
2 cos C
Byt om på a,b eller c, alt efter hvilken side der skal findes.
SIDE 253 i BOGEN - TEGN NEDERSTE TREKANT - DEN TIL HØJRE
Højden i trekant ABC fra A og ned til grundlinjes punkt, som jeg
c a b ab
2 2 2
kalder D.
Vi har nu to stykker på grundlinjen. Den ene hedder |DC| den anden | | (a minus x).
Så kan Pythagoras anvendes i trekanten ABD (den største).
( ) Pa
a
BD
a x h c
22
2 2 2 2
2
2 2 2
2 2 2
rantes ganges ud
( )( ) Paranteser ganges sammen
anvendes i ADC (vi vil gerne af med )
+
= b
a
a
a
a
a
a x a x h c
a ax xa x h c
Pythagoras h
x h b
hx
2
2 2 2 2 2 2
2 2 2
Dette indsættes på ' plads i det vi fik før
2 b x går ud med hinanden
b2
at få x væk sætter man cos C = ind (gang med b på begge
a
hs
a ax x x c
a ax c
x
For
b
2 2 2
sider, for at få x til at stå alene) :
sidst får man så: 2 cos CTil c a b ab
Side 20 af 43
Sinusrelationerne + bevis
Først skal man bevise: T=½ bc Sin A og T=½ ac sin B
PÅ SIDE 250 NEDERST TEGNES:
½ h Formel for en trekants areal.
Man kan finde højden i en retvinklet trekant således: Det gælder:
SinC=
b SinC=
b SinC
a
a
a
a
TREKANT
Ta
h
b
h
b
b
h
Hermed er h definerert, og kan indsættes i den første ligning:
½ h ½ ab SinC
a
a
T a T
sin sin C
a b c
sin A B
Vi beregner trekantens areal på to måder. Tager vi udgangspunkt i <A, får vi arealet
T=½ bc sin A. Med udgangspunkt i <B får vi: T = ½ ac sin B.
Der findes kun et areal, derfor må det gælde:
½ bc sin A = ½ ac sin B ½ går ud med hinanden
sin = ac sin B c går ud med hinanden
b sin A = a sin B del med sin B på hver side
sin
bc A
b
A
Der deles med (ganges med den omvendte)
sin 1
1 sin A 1
Sin A går ud med hinanden.
sin
sin sin
var den første a
SinA
a
B
b
a
SinA B SinA
ba
BA
Dette f de tre ligninger i sinusrelationerne.
Den næste får man ved at tage: T=½ ac sin B og T=½ ab sin C
Side 21 af 43
8. Eksponentiel vækst og logaritmer
Redegør for kapitalfremskrivningsformlen. Kom yderligere ind på eksponentialfunktioner samt
fordoblings-/halveringskonstant.
Disposition
1. Først vil jeg komme ind på, hvordan kapitalfremskrivningsformlen.
2. Dernæst vil jeg forklare om eksponentialfunktioner og bevise formlen for.
3. Til sidst vil jeg bevise formlen for fordoblingskonstanten, og hurtigt vise, hvordan man beviser
halveringskonstanten.
Kapitalfremskrivningsformlen
Hvor Kn er det nye tal, K er det gamle tal (start på y-aksen), (1+r) er procenttillæg og n er terminen.
Eksponentialfunktioner
Kan se således ud (vis også aftagende)
y = b ∙ a
x
y = Resultat
b = skæring på y-akse
a = udviklingshastigheden (hvor meget den stiger/falder)
x = variablen
Hvis vil grafen være stigende (voksende funktion).
Hvis vil grafen være en vandret linje (konstant funktion).
Hvis vil grafen være faldende (aftagende funktion).
Side 22 af 43
Bevis for formlen til for a i en eksponentiel funktion
1 2 1
2
1
2
1
21
12
2
1
2
1
2
1
og Del med y1 og venstre side
b går ud med hinanden
Potensregneregel (skal de deles, kan de trækkes fra
x x x
x
x
x
x
xx
y b a y b a b a på
y
ba
y
ba
y
a
y
a
y
a
y
21
21
21
21
2
1
2
1
i eksponenten)
Tag den x2-x1'ne rod. Så står a alene
xx
xx
xx
xx
y
a
y
y
a
y
Fordoblingskonstanten / Bevis
Sætter man penge i banken med fast rente vil pengene efter noget tid være fordoblet. Hvis renten er
4,7 % vil der gå 15 år, da
15
1,047 2
. Ergo er fordoblingstiden 15 år.
Hver gang x vokser med T
2
, bliver y dobbelt så stor.
Bevis for fordoblingskonstanten
Ved fordoblingskonstanten T
2
for en eksponentielt voksende funktion forstås den tilvækst
T
2
= x
2
-x
1
, man skal give x
1
for at funktionsværdien f(x
2
) bliver det dobbelte af f(x
1
).
Præmis: T
2
er defineret som: T
2
= x
2
-x
1
, hvor 2∙y
1
=y
2
Side 23 af 43
2
1 2 1 2
2
log(2)
log( )
x være en tilfældig x-værdi. Ligger vi T til x , vi en ny x-værdi, som vi kalder x .
Hvis T en fordoblingskonstant, må funktionsværdien f(x2) være det dobbelte af f(x1) dv
T
a
Lad får
er
12
1 2 1
s:
2 ( ) ( ) Sæt forskriften får en eksponentiel funktion ind i stedet for f(x1) og f(x2)
2 Del med ba på begge sider
x x x
f x f x
ba ba
12
1
11
2
21
1
2
går ud med hinanden på den ene side, og b går ud på den anden side.
2 =a Potensregneregel (ska
xx
x
xx
x
xx
x
ba ba
ba
ba ba
a
a
l to potenser deles med hinanden,
må man trække dem fra hinanden i eksponenten
log (2) =(x2-x1) log( ) Tag log på beggea sider. Logaritmeregneregel: Står noget ophævet og man tager log,
ryger det ned foran, og roden kommer i parantes.
Omskrevet:
log(2
x2-x1=
2
)
log( )
log(2)
log( )
a
T
a
Halveringskonstanten
1/2
log(½)
log( )
T
a
Beviset for dette er det samme som fordoblingskonstanten, bare hvor man indsætter ½ i stedet for 2.
Side 24 af 43
9. Eksponentiel vækst og potensvækst
Redegør kort for både eksponentiel vækst og potensvækst. Forklar hvordan forskrifterne for hhv.
funktionerne
x
abxf )(
og
a
xbxf )(
findes, når to punkter på graferne er kendte.
Disposition
1. Først vil jeg forklare om eksponentiel vækst og potensvækst..
2. Dernæst vil jeg forklare, hvordan man finder forskrifterne for en ekspotentiel funktion og potens
funktion, ud fra to kendte punkter.
3. Til sidst vil jeg bevise formlen til at finde a i henholdsvis en eksponentiel funktion og en potens
funktion.
Eksponentiel funktion:
Her er to punkter: (1,5) og (3,10) For at finde a bruger man
formlen:
21
2
1
31
10
5
2 1,41
xx
y
a
y
a
a
Så bruger man et (x,y) koordinat og indsætter det i funktionen sammen med a:
1
5 1,41
3,55
( ) 3,55 1,41
x
b
b
fx
Side 25 af 43
Potens funktion
()
x
f x b a
Igen har vi 2 punkter: (6,5) og (9,10)
21
21
1,71
log( ) log( )
log( ) log( )
log(10) log(5)
log(9) log(6)
1,71
()
yy
a
xx
a
a
f x b x
Så bruger man et (x,y) koordinat, og sætter det ind i funktionen for at finde b:
Når x er opløftet skal x altid være over 0.
Bevis for formlen til for a i en eksponentiel funktion
1 2 1
2
1
2
1
21
12
2
1
2
1
2
1
og Del med y1 og venstre side
b går ud med hinanden
Potensregneregel (skal de deles, kan de trækkes fra
x x x
x
x
x
x
xx
y b a y b a b a på
y
ba
y
ba
y
a
y
a
y
a
y
21
21
21
21
2
1
2
1
i eksponenten)
Tag den x2-x1'ne rod. Så står a alene
xx
xx
xx
xx
y
a
y
y
a
y
Side 26 af 43
Beviset for at finde formlen til a for en potens funktion
11
22
22
1
1
( )
1. punkt
2. punkt
a
a
a
a
a
f x b x
y b x
y b x
y bx
y
bx
2 2 2 2
1 1 1
1
22
11
Sættes lig med hinanden - b går ud
Eksponenten a kan sættes udenfor en parates
log log Log tages på begge sider for at f
a
a
a
a
y x y x
y y x
x
yx
yx
2 2 2
1 1 1
2
1
21
21
2
1
å a ned.
log log Skrives om - Der deles med log på begge sider
log
log log
log log
log
y x x
a
y x x
y
y
yy
a
xx
x
x
(Renteformel)
Hvor Kn er det nye tal, K er det gamle tal (start på y-aksen), (1+r) er procenttillæg og n er terminer.
Side 27 af 43
10. Økonomisk matematik
Med udgangspunkt i matematikdelen i din SRO gør rede for begreberne udbud, efterspørgsel,
ligevægt samt styksafgift. Inddrag lineære matematiske modeller i din redegørelse.
Disposition
1. Først vil jeg kort gøre rede for, hvad udtrykkene udbud, efterspørgelse, ligevægt og styksafgift er.
2. Efter dette, vil jeg forklare, hvordan man kan sætte økonomi ind i en matematisk sammenhæng.
3. Til sidst vil jeg tegne et par diagrammer, som skal illustrere, hvordan udbud og efterspørgelsen
mødes.
Udbud, efterspørgelse, ligevægt og styksafgift
Udbud = Udbuddet på en bestemt vare fra et firma (fx cowboybukser eller olie)
Alt efter hvor stort udbuddet er reguleres prisen herefter.
Efterspørgelse: = Hvor mange vil have fat på en bestemt vare/produkt (fx cowboybukser
eller olie).
Hvis efterspørgelsen er stor, og udbuddet er begrænset, stiger prisen.
Ligevægt = Her mødes udbydelsen og efterspørgelsen. Det angiver prisen på en
bestemt vare/produkt (fx cowboybukser eller olie).
Styksafgift = En afgift der bliver pålagt pr. styk på en vare (fx 50 kr. pr. cowboybuks
eller 5 kr. pr. liter olie. Går til staten.
TEGN GRAF (P-Q-DIAGRAM), OG ARBEJD UD FRA DET!
Økonomi i en matematisk sammenhæng
For efterspørgelsen på et produkt, gælder følgende formel:
Q
D
= a – b ∙ P Inverse
1
()
D
P a Q
b
Q
D
= Demand (efterspørgelse)
a = efterspørgelsen på en varer, hvis den er gratis.
b = hvor meget efterspørgelsen falder, hvis prisen stiger med 1 kr.
P = Pris på vare.
Side 28 af 43
1
()
Hvordan man kommer fra den ene til den anden:
1
()
D
D
D
D
D
P a Q
b
Q a b P
b P Q a
b P a Q
P a Q
b
Hvis prisen på min varer var 0 (P = 0), bliver Q
D
= a, fordi b ∙ 0 = 0. Man kunne antage, at a var
100. Hvis jeg så besluttede, at min vare ikke længere skulle være gratis, men derimod koste 5 kr.,
ville prisen på varen stige med 5 kr. Formlen ville se således ud:
Q
D
= 100 – 5 ∙ 5
Q
D
= 100 – 25
Q
D
= 75
Efterspørgelsen på et produkt falder, hvis prisen er blevet sat op.
For udbud af en vare gælder følgende formel:
Q
S
= β (P – C) Inverse
1
Hvordan man kommer fra det ene til det andet:
Q ( )
1
1
1
S
S
S
S
S
P Q c
PC
Q P C
Q c P
P Q c
Side 29 af 43
Q
S
= Supply (udbud).
β = Den mængden man udbyder ekstra, når prisen stiger med 1 kr.
P = Pris på produktet.
C = Cost. Prisen for produktionsomkostningerne; det som det har kostet at lave produktet.
Hvis vi antager, at β er 5, ville formlen for mit firmas udbud se således ud:
Q
S
= 5 (22,5 – 13)
Q
S
= 5 ∙ 9,5
Q
S
= 47,5
FORKLAR HVAD DER SKER, HVIS PRODUKTIONSOMKOSTNINGERNE STIGER MED 1
KR.
Ligevægt = Hvor udbud og efterspørgelse mødes. VIS PÅ DIAGRAM
Afgift
(( ) )
S
Q P C
Afgift
Afgift = Højere pris = Mindre efterspørgelse
Side 30 af 43
11. Differentialregning
Redegør for begrebet differentialkvotient. Kom herunder blandt andet ind på begreberne
differenskvotient, sekant, tangent, grænseværdi. Bevis hvorfor differentialkvotienten for x
2
er 2x.
Kom ind på tangentligningen.
Disposition
1. Først vil jeg meget kort gøre rede for, hvad udtrykkene differentialkvotient, differenskvotient,
sekant, tangent og grænseværdi.
2. Efter dette, vil jeg lave to beviser. Jeg starter med at bevise, hvorfor differentialkvotienten for x
2
er 2x.
3. Til sidst vil bevise tangentligningen.
TEGN GRAFEN NEDENFOR:
a
s
= differenskvotient
00
21
2 1 0 0
( ) ( )
Går mod a (tangenthældning)
a '( ) (dens differentialkvotient)
st
t
f x x f x
yy
y
a
x x x x x x
fx
Afstanden mellem de to punkter bliver uendelig lille, derfor: Sekant Tangent.
Side 31 af 43
Differentialkvotient: Kan også kaldes for hældningen af en tangent i et punkter af grafen. Den kan
beskrives ved:
dy
dx
. Når man differentierer noget finder man hældningen i et punkt = tangent.
Differenskvotient: Hældningen for en sekant = 2 punkter på grafen. Differens = forskel i to
punkter.
Sekant - Skærer to gange på en graf (TEGN EKSEMPEL)
Tangent – Skærer en gang på grafen (TEGN EKSEMPEL)
Grænseværdi – Hvad en funktion nærmer sig i mod. Kunne fx være, at man lader ∆x 0
Beviset for hvorfor differentialkvotienten for x
2
er 2x - Tretrinsreglen
00
22
00
2 2 0 2
00
00
( ) ( )
()
2
0 2 2
s
s
s
f x x f x
y
a
xx
x x x
y
a
xx
x x x x x
y
a
xx
x x x x
A
t
= differentialkvotient (tangenthældning). Funktion f(x)=x
2
er differentiabel i tallet x
0
, fordi jeg
netop har bevist ovenfor, at x
2
har differentialkvotienten 2x. Dvs f(x)=x
2
har i punktet x
0
tangenthældning 2x
0
.
Tangentligning
Eksempel:
000
0
( ) '( ) ( )
1
(1) '(1) ( 1)
y f x f x x x
x
y f f x
Da f(x
0
) er x
2
er f(1)=1
2
:
1 2 ( 1)
21
yx
yx
Side 32 af 43
Ret linje: y = ax +b
For at bruge denne ligning, skal man kende a og et punkt (x
0
,y
0
).
000
00
00
( ) '( ) ( ) Omskrives til:
()
:
f(x )
'( ) en konstant vi kalder a
y f x f x x x
y y a x x
FORDI
y
fx
BEVIS FOR DETTE:
00
0
0 0 0
*
Der skal findes en sammenhæng mellem disse to ligninger.
Man trækker fra hver side
kan også skrives
y ax b
y ax b
y ax b y
y y ax b y y
0
00
00
00
00
som (*)
( ) Hæv parantes
b går ud med hinanden
a sættes udenfor en parentes
()
ax b
y y ax b ax b
y y ax b ax b
y y ax a x
y y a x x
Side 33 af 43
12. Differentialregning
Bevis regnereglen for differentiation af en sum eller differens af to funktioner. Kom ind på
monotoniforhold og optimering.
Disposition
1. Først vil jeg bevise regnereglen for, hvordan man differentierer en sum/differens.
2. Herefter vil jeg forklare om monotoniforhold.
3.og til sidst vil jeg forklare om optimering og komme med et eksempel på, hvordan man regner
dette ud.
Regnereglen for, hvordan man differentierer en sum/differens
Hvis f og g er differentiable funktioner:
h(x) = f(x)
g(x) h’(x) = f’(x)
g’(x)
( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ))
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
Da f og g er differentiable, ved jeg, at de to brøker har grænseværdierne f '(x) og g
s
s
s
y h x x h x f x x g x x f x g x
a
x x x
f x x f x g x x g x
a
x
f x x f x g x x g x
a
xx
'(x)
for gående mod 0. Man kan desuden bevise, at grænseværdien
for en sum er summen af grænseværdierne. Derfor får man:
'( ) '( ) for --> 0
Dvs. h'(x)=f '(x)+g'(x)
s
x
a f x g x x
Monotoniforhold
Her bestemmer man grafens forløb (minimum, maksimum, lokal minimum, lokal maksimum)
Man sætter f’(x) = 0. Det vil sige, at man finder de steder, hvor tangenten har hældning 0.
Måde man udregner monotoniforhold for en graf (eksempel):
Side 34 af 43
32
3 1 2 1 1 1
2
2
2
11
( ) 2
32
11
'( ) 3 2 2 2 1
32
'( ) 2
20
( 2, )
1, x=2
f x x x x
f x x x x x
f x x x
xx
solve x x x
x
Monotoniskema:
x -1 2
f’(x) + 0 - 0 +
f’(-2)=4 f’(0)= -2 f’(4)=10
f(x)
lokalt max lokalt min
er voksende i: ] , 1] og ]2, [
er aftagende i: ]-1,2]
f
f
Optimering
Bruges til at bestemme hvornår noget er størst eller mindst. Fx hvordan produktion af majs bliver
størst eller mindst.
Eksempel (side 90+91 i MAT B2):
Man har et litermål med radius x og højde h. Forbruget af stål er bestemt af overfladearealet, der er
givet ved:
Side 35 af 43
2
2
2
2
( ) 2
vil nu stemme den værdi af x, der giver MINDST areal.
Rumfanget skal være en liter. Rumfanget sættes lig med 1.
V= 1
Højden isoleres:
1
h= , og indsættes i O(x).
2
()
O x x xh
Jeg
xh
x
O x x
2
2
2
2
3
3
3
3
3
, dette sættes ind på x's pla
2
For at finde minimum, benytter man monotoniforholdsmetoden.
2
O'(x)=2
2
20
2 1 0
1
1
0,683
1
Nu ved jeg, at O(x) har et globalt minimun for x=
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
2
33
3
ds:
O(
1 1 2
) *( ) 4,394
1
Så måden at finde minimum på er, ved at beregne monotoniforholdet, finde minimummet (dette er
en x-værdi), og sætte det ind i den originale formel.
Side 36 af 43
13. Differential- og integralregning
Definer begrebet stamfunktion. Forklar integrationsprøven. Forklar hvad der forstås ved hhv.
ubestemt og bestemt integral.
Disposition
1. Først vil jeg definere begrebet stamfunktion.
2. Bagefter vil jeg hurtigt give et eksempel på, hvad integrationsprøven kunne være.
3. Til sidst vil jeg forklare, hvad et ubestemt integral er, og hvad et bestemt integral er. Herunder vil
jeg bevise sætningen om arealfunktionen.
Stamfunktion
Definitation
F(x) er en stamfunktion til f(x) hvis og kun hvis:
F'(x) = f(x)
f
F(x)
5
5x+k
2x
X
2
+ k
Eksempler
Den defirentierede ligning hedder: f(x) = 5x
2
+ 3x +1
Integreret hedder den så: 1,66667x
3
+ 1,5x
2
+ x
Sagt med egne ord / Guldkorn
- Hvis man har en defirentieret ligning. Fx: f(x) = 5x
2
+ 3x +1. For så at finde, hvordan man
har “fundet” den, skal man integrerer den, og så har man svaret.
- Når man integrerer, betyder det, at man skal finde stamfunktionen.
- Det omvendte af diffenrenierer, er at integrerer.
Side 37 af 43
Integrationsprøven
Man har fundet en stamfunktion F(x) til f(x), og ønsker at tjekke om den er rigtig ved at
differentiere F(x).
Eksempel:
Er F(x) = ½x
2
+7e
x
-7x en stamfunktion til f(x) = x + 7e
x
- 7.
Udregn F’(x): F(x) = ½x
2
+ 7e
x
- 7x
F’(x) = ½ ∙ 2x + 7e
x
-7
F’(x) = x+7e
x
-7
Det vil sige: F(x) er stamfunktion til f(x).
Ubestemt integral
23
23
Dette er et eksempel på en skrivemåde for en stamfunktion:
3
Dete gør man, for at angive, at funktionen 3 har stamfunktion x .
At funktionen f(x) har stamfunktionen F(x), skriver man sålede
x dx x c
x
2
s:
( ) ( )
Symbolet kaldes et ubestemt integral, og 3x og f(x) er integranten.
Symbolet dx efter integranten, fortæller, at det er x der er variablen (der kunne også stå fx a).
f x dx F x c
Bestemt integral – Definition
Antag at f(x) er defineret i [a;b] og har stamfunktionen F(x).
Tallet F(b)-F(a) kaldes integralet fra a til b af f(x) og betegnes med symbolet (f(x) kaldes
integranden):
()
b
a
f x dx
Et bestemt integral afgrænser et areal via dens grænser (i ovenstående tilfælde, a og b).
EKSEMPEL PÅ NÆSTE SIDE:
SIDE 113 I BOGEN (B2) – SKITSER GRAF + SKRAVER AREAL
Side 38 af 43
2
2
2 3 2 3 3
1
1
( ) 1
1 1 1 10
( 1) [ ] ( 2 2) ( 1 1) 3,33
3 3 3 3
f x x
A x dx x x
Arealfunktion – Side 111 i MAT B2
Arealfunktionen A(x) for en funktion f(x) er differentiabel, og der gælder:
A’(x) = f(x) Arealfunktionen er stamfunktion til f(x)
( ) ( )
Arealtilvæksten ( ) er lig med arealet under grafen
fra a til x+ minus arealet fra a til x.
Ovenstående kan ikke reduceres, så man går videre i tretrinsreglen,
hvor man und
s
a A x x A x
a
xx
A A x x
x
ersøger om a / har en grænseværdi for 0.
Funktionen f er forudsat til at være voksende, derfor må det gælde:
f(x) ( ) )
Da 0 kan man dividere med hvert led:
f(x) ( ) )
s
A x x
x A f x x x
x
x A f x x
xx
( ) ( )
Hermed er det vist at:
( ) fordi 0
x
x
A
f x f x x
x
A
f x x
x
Side 39 af 43
14. Differential- og integralregning
Definer begrebet ubestemt integral og bevis dets sammenhæng med bestemmelse af arealer.
Disposition
1. Først vil jeg kort definere begrebet ubestemt integral.
2. Bagefter vil jeg bevise sammenhængen mellem et ubestemt integral, og hvordan man bestemmer
arealer, ved at bevise arealfunktionen.
Ubestemt integral
23
23
Dette er et eksempel på en skrivemåde for en stamfunktion:
3
Dete gør man, for at angive, at funktionen 3 har stamfunktion x .
At funktionen f(x) har stamfunktionen F(x), skriver man sålede
x dx x c
x
2
s:
( ) ( )
Symbolet kaldes et ubestemt integral, og 3x og f(x) er integranten.
Symbolet dx efter integranten, fortæller, at det er x der er variablen (der kunne også stå fx a).
f x dx F x c
( ) ( )f x dx F x c
, hvor F(x) er stamfunktionen til f(x) og c er konstant.
( ) ( ) '( ) ( ) ( ) ( )f x F x c A x f x f x f x
Bestemt integral – Definition
Antag at f(x) er defineret i [a;b] og har stamfunktionen F(x).
Tallet F(b)-F(a) kaldes integralet fra a til b af f(x) og betegnes med symbolet (f(x) kaldes
integranden):
()
b
a
f x dx
Et bestemt integral afgrænser et areal via dens grænser (i ovenstående tilfælde, a og b).
EKSEMPEL PÅ NÆSTE SIDE:
SIDE 113 I BOGEN (B2) – SKITSER GRAF + SKRAVER AREAL
Side 40 af 43
2
2
2 3 2 3 3
1
1
( ) 1
1 1 1 10
( 1) [ ] ( 2 2) ( 1 1) 3,33
3 3 3 3
f x x
A x dx x x
Arealfunktion – Side 111 i MAT B2
Arealfunktionen A(x) for en funktion f(x) er differentiabel, og der gælder:
A’(x) = f(x) A(x) (Arealfunktionen) er stamfunktion til f(x) Derfor: A(x) = F(x)+k
( ) ( )
Arealtilvæksten ( ) er lig med arealet under grafen
fra a til x+ minus arealet fra a til x.
Ovenstående kan ikke reduceres, så man går videre i tretrinsreglen,
hvor man und
s
a A x x A x
a
xx
A A x x
x
ersøger om a / har en grænseværdi for 0.
Funktionen f er forudsat til at være voksende, derfor må det gælde:
f(x) ( ) )
Da 0 kan man dividere med hvert led:
f(x) ( ) )
s
A x x
x A f x x x
x
x A f x x
xx
( ) ( )
Hermed er det vist at:
( ) fordi 0
x
x
A
f x f x x
x
A
f x x
x
Side 41 af 43
15. Andengradsligning, det gyldne snit og Fibonacci-tallene
Definer det gyldne rektangel og bevis hvorfor forholdet mellem den lange og korte side er givet ved
det gyldne snit:
15
1,618...
2
Kom ind på sammenhængen mellem det gyldne snit og Fibonacci-tallene.
Disposition
1. Først vil jeg definere det gyldne retangel.
2. Bagefter vil jeg bevise formlen for det gyldne snit (fi)
3. Til sidst vil jeg vise, at der er en sammenhæng mellem det gyldne snit og Fibonacci-tallene.
Et rektangel ABCD kaldes et gyldent rektangel, hvis det opfylder følgende:
Når vi skærer et kvadrat ABEF væk, så får vi et nyt rektangel ECDF,
som er ligedannet med det store rektangel ABCD:
.
Når rektanglerne er ligedannede gælder
x y x
xy
, (1)
dvs. forholdet mellem den lange og den korte side er ens for de to rektangler.
Forholdet mellem x og y kaldes for det gyldne snit, og betegnes med .
Derfor:
x
y
(eller
xy
x
).
x
x
x
y
y
D
C
F
E
B
A
x+y
x+y
x
x
y
D
C
E
D
C
B
A
F
Side 42 af 43
Bevis for hvorfor forholdet mellem den lange og korte side er givet ved det gyldne snit
2 2 2
22
222
2
Omskrives til
x -xy-y 0 Der deles med y i hvert led
y
- - 0
yyy
( ) 1 Dette står nu som en andeng
y
x y x
xy
x xy
xx
y
radsligning. Da vi er interesseret i at finde ud af,
forholdet beregner vi det vi har nu, som en andengradsligning.
x
y
x
z
y
2
22
Derfor kan man omskrive det således:
1 0 Dette er en 2.gradsligning hvor:
a = 1
b = -1
c = -1
Nu skal "d" regnes ud vha:
d = b 4 --> 1 +4
zz
ac d
11
5
( 1) 5
z = --> z =
2 2 1
15
z = 1,618...
2
15
Konklusion: 1,618...
2
d
bd
a
Det gyldne snit er lig med
BONUS
Hvis man differentiere den ser det således ud
-’ = x / x+ y = 0,618
’ = x / x+ y = - 0,618
15
z = 0,618..
2
som er det samme som minus ’ (det gyldne snit).
Side 43 af 43
Sammenhængen mellem det gyldne snit og Fibonacci-tallene
Fibonacci-tallene er den talrækkefølge:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, …,
der opstår ved, at »det næste element« dannes som summen af de to foregående.
Reglen for Fibonacci-tallene er derfor:
21n n n
u u u
u
1
u
2
u
3
u
4
u
5
u
6
u
7
u
8
u
9
u
10
u
11
u
12
u
13
u
14
u
15
1
1
2
3
5
8
13
21
34
55
89
144
233
377
610
Hvis man dividerer med u
n-1
på begge sider, ser den sådan her ud:
u
n
/ u
n-1
= u
n-1
+ u
n-2
/ u
n-1
som så bliver
2
11
1
nn
nn
uu
uu
.
Og det bliver altid 1,618, som er det samme som det gyldne snit.
Fx: u
8
= 21, u
8-1=7
=13
21 / 13 = 1,618
DERFOR:
Når man tager et tal og deler med det foregående, vil man, desto højere tallene bliver, komme
tættere og tættere på 1,618 = Det gyldne snit SAMMENHÆNG