[navn fjernet] Matematik aflevering 25. februar 2009
HH2L
Side 1 af 9
Trigonometriske funktioner
Der findes 3 forskellige trigonometriske funktioner
1) Sinus-funktionen
2) Cosinus-funktionen
3) Tangens-funktionen
Vi har tidligere stiftet bekendtskab med de trigonometriske beregninger, med henblik på fx at
beregne en vinkel. Ud fra det, ved jeg endvidere, at en vinkel i enhedscirklen nødvendigvis ikke
behøves være mellem
0
og
360
, men kan defineres både mindre end
0
og større end
360
.
Ved brug af trigonometriske funktioner skal vi bruge radiantallene, som også er kendt fra
enhedscirklen.
)cos( v
er 1. koordinaten til retningspunktet
for vinklen med gradtallet v
)sin( v
er 2. koordinaten til retningspunktet for
vinklen med gradtallet v
)tan( v
er defineret:
)cos(
)sin(
v
v
Radiantallet er længden af en cirkelbue.
Vinklens radiantal.
De trigonometriske funktioner har hver især
forskellige egenskaber:
Sinus-funktionen:
- Definitionsmængden er altid
R
, dvs. at den kan bevæge sig overalt på x-aksen.
- Værdimængden er
]1;1[
, fordi bølgen ikke kan bevæge sig hverken større eller mindre end det
- Funktionen er periodisk med perioden
2
, som betyder at, bølgen både har noget bunden og
[navn fjernet] Matematik aflevering 25. februar 2009
HH2L
Side 2 af 9
toppen på længden
2
.
- Nulpunkterne er
n
, hvor n er heltal.
Cosinus-funktionen:
- Definitionsmængden er altid
R
, dvs. at grafen kan bevæge sig overalt på x-aksen.
- Værdimængden er
]1;1[
- Funktionen er periodisk med perioden
2
, som betyder at, bølgen både har noget bunden og
toppen på længden
2
.
- Nulpunkterne er
n
2
, hvor n er heltal.
Tangens-funktionen:
- Definitionsmængden er
nR
2
\
hvor n er alle heltal.
- Værdimængden er
R
- Funktionen er periodisk med perioden
, som betyder at, bølgen både har noget bunden og
toppen på længden
2
.
- Nulpunkterne er
n
, hvor n er heltal.
Harmoniske svingninger
Definitionen af harmoniske svingninger, er når
)cos()sin( xyogxy
. En harmonisk svingning
har en formel, hvori der indgår forskellige bogstaver a, b, c og d, som hver især har sin betydning.
dcbxaxfellerdcbxaxf cos)(sin)(
Bogstavet A:
Bogstavet A påvirker bølgeudsvingets størrelse.
Jo større A er, jo større vil bølgeudsvinget være.
Jeg har brugt et eksempel, hvor der er 2
forskellige størrelser på bogstavet A, for at vise
hvad der sker, når det ændrer sig.
Vi kalder desuden også bølgeudsvingets
størrelse for amplituden.
grønxxf
rødxxf
)2sin(2)(
)2sin(4)(
f(x)=4*sin(2x)
f(x)=2*sin(2x)
-
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
x
y
[navn fjernet] Matematik aflevering 25. februar 2009
HH2L
Side 3 af 9
Bogstavet B:
Bogstavet B påvirker perioden, som bestemmer
om grafen svinger hurtigere eller langsommere
Stort B = Hurtigere svingninger
Lille B = Langsommere svingninger
grønxxf
rødxxf
)8sin()(
)2sin()(
Bogstavet C:
Bogstavet C, påvirker grafen således, at den
parallelforskyder grafen i x-retningen.
Når bogstavet C er et positivt tal, vil grafen
rykke til venstre på x-aksen, som det ses i
eksemplet. Hvis det derimod er et negativt tal,
vil det rykke til højre på x-aksen.
grønxxf
rødxxf
)1sin()(
)sin()(
Bogstavet D:
Bogstavet D minder om C, bare at det er på
y-aksen grafen parallelforskyder sig, altså i
y-retningen.
Man kan sammenligne det lidt med bogstavet
B, når det gælder en lineær funktion, som
bestemmer hvor grafen skærer på y-aksen.
Når bogstavet D er et negativt tal, vil det
ligge under x-aksen. Hvis D er et positivt tal,
vil et ligge over x-aksen.
D svarer til aksen der svinges omkring.
grønxxf
rødxxf
3)sin()(
3)sin()(
f(x)=sin(2x)
f(x)=sin(8x)
-
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
x
y
f(x)=sin(x)
f(x)=sin(x+1)
-
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
x
y
f(x)=sin( x)+3
f(x)=sin( x)-3
-
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
x
y
[navn fjernet] Matematik aflevering 25. februar 2009
HH2L
Side 4 af 9
Differentialkvotienten for tan(x)
)(tan1
)(cos
1
)(')tan()(
2
2
x
x
xfxxf
Jeg skal vise differentialkvotienten for
)tan( x
ved hjælp af reglen for at differentiere brøker. Reglen
for at differentiere en brøk ser således ud:
2
0
0000
0
)(
)(')()()('
)('
xg
xgxfxgxf
x
g
f
For at gøre det lidt mere overskueligt, tager jeg et let eksempel, bare lige for at vise formlen i brug.
2
2
)12(2
x
xxx
x
x
f
Man kan regne videre på dette, men jeg bruger det kun lige for at skabe overblik
Selvom der findes 2 udtryk for differentialkvotienten, viser jeg kun differentieringen af den første:
)(cos
1
)('
2
x
xf
Inden jeg beviser differentialkvotienten, skal der først ske en omformning:
)cos(
)sin(
)tan()(
x
x
xxf
)(cos
1
)('
)(cos
)(sin)(cos
)('
)cos(
)sin()sin()cos()cos(
)('
:
2
2
22
2
x
xf
x
xx
xf
x
xxxx
xf
BEVIS
[navn fjernet] Matematik aflevering 25. februar 2009
HH2L
Side 5 af 9
Standardanalyse for harmonisk svingning
xxf 2cos4)(
1)
;0
2
22
:
)(
b
perioden
RfDm
2)
24
2
2
0cos)2cos(cos
0)2cos(
0)2cos(4
0)(
11
nx
nx
x
x
x
xf
I intervallet
;0
har vi følgende nulpunkter:
4
3
4
xx
3)
f
0
4
4
3
[navn fjernet] Matematik aflevering 25. februar 2009
HH2L
Side 6 af 9
4)
)2sin(8)('
)sin()(')cos()()2sin(24)('
2)('2)(
)2cos(4)(
xxf
xxyxxyxxf
xixxi
xxf
2
2
0sin)2sin(sin
0)2sin(
0)2sin(8
0)('
11
nx
nx
x
x
x
xf
I intervallet
;0
har vi følgende nulpunkter:
xxx
2
0
'f
0
2
5)
f
er aftagende i intervallet
2
;0
f
er voksende i intervallet
;
2
[navn fjernet] Matematik aflevering 25. februar 2009
HH2L
Side 7 af 9
6)
f
er globalt maksimum i
4;00;0 f
f
er globalt maksimum i
4;;
f
f
er globalt minimum i
4;
22
;
2
f
7)
f
har ingen asymptoter da
RfDm )(
og har en periode
8)
4;4)( fVm
;0)2cos(4)( xxf
f(x) =4*cos(2x)
π
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
x
y
[navn fjernet] Matematik aflevering 25. februar 2009
HH2L
Side 8 af 9
Harmonisk svingning fra virkeligheden
Jeg lod mig inspirere fra bogen og valgte et eksempel om en lokal isforhandler. En isforhandler
sælger et antal forskellige is, alt afhængig efter årstiden. Forhandlerens salg er i trigonometrisk
udvikling, hvor han sælger eksplosivt om sommeren, og har næsten underskud om vinteren.
Jeg har valgt en sinus-funktion, fordi grafen kører rundt om dens egen akse, som jeg synes gør det
lettere at få vist det mere præcist.
)( xf
Beskriver hvor mange is han sælger.
x
Beskriver hvilken måned det er. Tallene går fra 1-12, hvor 1 er januar, og 12 er
december.
50004
6
sin5000)(
xxf
12;0
12
126
2
6
22
:
)(
b
perioden
RfDm
Eksempel:
Forhandleren vil gerne vide hvor mange is han sælger i august måned. August måned er nummer 8.
.48
6
sin5000)8( stkf
Han sælger altså 9722 is i august måned.
[navn fjernet] Matematik aflevering 25. februar 2009
HH2L
Side 9 af 9
f(x)=5000*sin((pi/6)x+4)+5000
-16 17
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
9000
10000
11000
x
y